Квантильное хеджирование опциона купли на диффузионном (в, s)-рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(13)

УДК 519.865

Е.Ю. Данилюк, Н.С. Демин

КВАНТИЛЬНОЕ ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОНА КУПЛИ НА ДИФФУЗИОННОМ (В, 5)-РЫНКЕ В СЛУЧАЕ ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ ПО РИСКОВОМУ АКТИВУ

Рассматривается задача нахождения цены опциона, портфеля (хеджирующей стратегии) и капитала, обеспечивающих платежное обязательство с заданной вероятностью, для Европейского опциона купли в случае выплаты дивидендов по рисковому активу при использовании диффузионной модели рынка. Исследуются свойства решения.

Ключевые слова: финансовый рынок, цена опциона, хеджирующая стратегия, Европейский опцион купли, дивиденды.

Используемые на рынках, особенно на внебиржевых, финансовые инструменты становятся все более разнообразными [1]. При этом построение математической модели финансового рынка и анализ процессов требуют применения математических методов на достаточно высоком уровне. В связи с этим большую популярность приобрела финансовая математика, основным объектом исследования которой являются различные модели рынка ценных бумаг [2 - 4]. Опцион является производной (вторичной) ценной бумагой и представляет собой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право купли или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного актива по определенной цене, а продавец опциона за премию, являющуюся ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли, а во втором - продажи. Стандартная платежная функция опциона купли, определяющая величину выплаты при предъявлении опциона к исполнению,

имеет вид /Т = (£Т - К)+, где £Т - цена базисного актива в момент исполнения Т, К - цена исполнения контракта, а+ = тах(а;0) Опцион, соответствующий такой

платежной функции в случае фиксированного Т, получил название стандартного опциона купли европейского типа. В случае стандартных опционов, которые исполняются с вероятностью единица, с платежными функциями данного вида выплата по опциону может быть достаточно большой, что представляет существенный риск для эмитента (инвестора) и порождает требование ограничения этого риска. В предлагаемой работе реализация выдвинутого требования осуществляется на основе квантильного хеджирования с вероятностью выполнения платежного обязательства [4, 5], которая, в отличие от стандартного опциона, меньше единицы. В случае опциона продажи с платежной функцией вида /т = (К - £Т)+ задача квантильного хеджирования рассмотрена в [6].

1. Постановка задачи

Рассмотрим модель финансового рынка, представленного безрисковым (банковский счет) В и рисковым (акция) £ активами с ценами соответственно Б{ и £ в момент времени t е[0, Т]. При этом активы В и £ называют основными активами

или основными ценными бумагами, образующими (В,£)-рынок с непрерывным временем. Предполагается, что величина банковского счета В задается детерминированной функцией В = (Вг )>0, отвечающей диффузионному уравнению

йВг = гВ^, (1)

решение которого имеет вид

В{ = В0вг, В0 > 0, г > 0, (2)

где г - процентная ставка, или банковский процент. Изменение стоимости акции

£ = (£ Х>0 происходит на стохастическом базисе (,(,Ж = (^ )t>0,Р) [2 - 4].

Ввиду того, что реально наблюдаемые флуктуации цен акций имеют случайный характер, для описания эволюции £ используется модель «геометрического», или «экономического», броуновского движения [2, 3]. Такой процесс описывается стохастическим диффузионным уравнением

(\\idt + GdWt), (3)

t + aWt

(4)

с решением St (ц) = S0 exp

V

где W = (Wt )t>0 - винеровский процесс, S0 > 0, f е R = (-да, +да), с > 0 .

Рассмотрим некоторого инвестора, значение капитала Xt в момент времени t которого определяется как

Xt = РА + YtSt, (5)

где Ft-измеримые процессы Pt и yt - части безрискового и рискового активов соответственно - составляют портфель ценных бумаг nt = (Pt, yt). За обладание акцией осуществляются выплаты дивидендов в размере Dt со скоростью 5ytSt,

0 < 5 < r, пропорциональной рисковой составляющей капитала, а именно: dDt = 5у tStdt. Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами определяется в виде dXt = PtdBt + YtdSt + dDt. Из (5) следует, что dXt = вtdBt + jtdSt + Btdpt + + Stdyt. Таким образом, получаем балансовое соотношение Btdpt + Stdy = dDt, заменяющее условие самофинансируемости Btdpt + Stdyt = 0 в стандартной задаче [2 - 4]. Аналогично задаче без дивидендов [2] в рассматриваемой задаче риск-нейтральная (мартингальная) мера P* = Pf-r+5, которая связана с исходной мерой преобразованием вида dPtц-r+5 = Zf ~r+5dPt, где

zr+5 = exp j-f-^]2 Д. (6)

При этом вероятностные свойства процесса S(f,г, 5), определяемого уравнением

dSt (f,r, 5) = St (f,r, 5)((r - 5)dt + cdWf-+5), (7)

относительно меры Pf-r+5 совпадают со свойствами процесса S (r, 5), определяемого уравнением

dSt (r, 5) = St (r, 5) ((r - 5) dt + cdWt) (8)

относительно меры Р , где процесс

ц» - г+5 = ц* = Wt + ( - Г + 5)t (9)

а

является винеровским относительно меры -г+5 = Р* .

Задача. Требуется определить капитал X*, соответствующий ему портфель

п* = (в*, У*) и начальное значение капитала X* = СТ как стоимости вторичной

ценной бумаги - опциона, при которых обеспечивается выполнение платежного

обязательства

' т

Xт = /т (St ), (Ю)

где /т (ST) = (ST - K)+ - платежная функция для опциона купли, с вероятностью P(A) = 1 -е,0 < е < 1, [4, 5].

Базовая теория рассматривает хеджирование с единичной вероятностью, когда е = 0 [1] и платежное обязательство выполняется на каждой траектории St [1 - 3]. Подобная идеализация приводит к тому, что решение не зависит от параметра роста ц, который является существенным и определяет тенденцию изменения цены рискового актива. Хеджирование с вероятностью меньше единицы (квантильное хеджирование) является более реалистичным. В рамках проведенного исследования рассматривается задача хеджирования с заданной вероятностью стандартного опциона купли в случае выплаты дивидендов, когда находится не только формула для справедливой цены опциона CT, но и формулы, определяющие эволюцию во времени портфеля (хеждирующей стратегии) и капитала, обеспечивающих платежное обязательство с заданной вероятностью.

2. Цена опциона

Рассматривается задача квантильного хеджирования стандартного опциона купли (са//-опциона) с функцией выплат/т = (ST - K)+ = max (0, ST - K) [2, 3]. По теореме 6.1 из [4] имеем, что оптимальная стратегия в задаче квантильного хеджирования совпадает с совершенным хеджем (с вероятностью единица) платежного обязательства /Т = /TIA , где IA - индикатор множества A, имеющего вид

A = {со: > const • /т}, (11)

I dP* Т)

где P* - рискнейтральная (мартингальная) мера, т. е. мера, относительно которой процесс St = St/Bt является мартингалом и существование которой обеспечивает разрешимость задачи на неарбитражных стратегиях хеджирования, т. е. стратегиях, не допускающих получения прибыли без риска. Из (6), (9) следует

f - Zr*S = exPI"^W* + 2(^'f C2>

где W* = Wf-+5 вида (9) есть винеровский процесс относительно меры P. С учетом (4) и вида платежной функции для опциона купли область успешного хеджирования A примет вид

I I f - r + 5 тг1 ( f - r + 5 A — <!exp •!-—;— Wf - 1 ^

f-r+5

= ^ST

exp

2t

f - r + 5

2 ( f С + 5 ) T \> c0nst •(ST - K )+^[ =

ln S0 +

f + r + 5 - с

2

T f> const -(ST - К)+f. (13)

Далее рассматривается случай - r + 5 )/e 2 ]< 1.

Рис.1. Структура множества хеджирования при [(f - r + 5 )/а2 ]< 1

На рис. 1 9j(ST) = const(ST - K)+ , ф2(ST) = S^1"1"+5^e . Заштрихованная ласть является областью решения неравенства (13). Так как, согласно (4) и (9),

об-

St — S0 exp

2

r + 5--

T + eWT

то множество А может быть представлено следующим образом:

A = {ST < d} = \W* < b} — <|ST < S0 exp j(r - 5 - -у T + bejj

Тогда

P(A) — P \ ST < S0 exp

( 5 e2'

r - 5------

V 2 у

И с учетом (14) из (16) следует P (A) — P { S0 exp Ц f —г

Т + eWT f < S0 exp

T + be

r - 5--

(14)

(15)

(16)

2

T+be—

— P

2

J

„2 Л

T + cWt f < exp (

V /

_2 \

r - 5--

T + be—

T + eWT <

r - 5--

T + be j — f - r + 5'

— P{eWT <be-(f-r + 5)T} — pJwt <b-(f r + 5jт}. (17)

Замечание 1. Далее всюду Ф 1(y) означает функцию, обратную функции Лапласа

х 1 Г 2 Г

ф(х) — J (p(y)dy, ф(у) —-^= exp j-у-j.

Так как винеровский процесс Wt имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией t, то из (17) получаем

ц - r_HT!/■#

P(A) — Ф| I b -

(18)

где P(A) = 1 - e, 0 < e < 1, есть вероятность успешного хеджирования. Следова-

тельно, для нахождения константы b — bc имеем соотношение

-T.

bTc — л/Г Ф-1(1 - е) + r + 5'

(19)

Теорема 1. Пусть y0(T, S0) определяется по формуле

ln—-(r - 5 - —)T S 2

yo(T, S0) = 0 -------

(20)

Тогда цена опциона купли в случае - г + 5)/о 2 ]< 1 определяется формулой

Ct — S0 e

-5T

ф

fb_ л/Г

1 f bT Л

сл/Г у -ф( y0(T, S0) - с4Г) e - ф с JT, V У -ф( y0(T, S0)

. (21)

Доказательство. Согласно [2 - 4],

СТ = е-гТ Е* {/Т1А }, (22)

где Е* - усреднение по мартингальной мере Р*. Используя (4) и (6), находим согласно (22)

Ст = е-ТЕ* {/т1а } = е-гТЕ* { - К)+ 1а } =

— e-rT Е jzT - r+5

S0 exp

fц-С2 |T + cWt f-K | 1А f —

— e rT J exp

ц - r + 5 ^ T f ц - r + 5

S0 exp

f q2 1 1 ^+

T + gxn/t j-K

1A • ф(x)dx —

— e

rT

J exp 1-

ц-r + 5 1 xjt Tf ц-r + 5

L f f s с21

S0exp 1 r - 5 О

V 1 V 2 У

T + сл/Г

х +

ц - r + 5

Y

1a *ф(x)dx.

о

30

Делая замену переменных г = х + [( + 5 - г )/о] ]Т , получаем с учетом (17) - (19),

что

-гТ

Ст — е <

л/2п

I ехр I- V

2 ] Ґ

£0 ехр

2

г - 5 - —

V 2 у

у

Так как подынтегральное выражение больше нуля при

£0 ехр

С 2 Л !

г - 5--Т + слТ^-К > 0,

то окончательно с учетом определения функции Ф( х) и (20) получаем

СТ — е-Т -^= л/2п

" ьТ ^ С С с2 л 1 Л Г г 2 1 "

I КехР 1 £ С г - 5 Т + ол/Тг !>-К ехР Г-г

_У0(Т ,5„) V 1 V 2 У 1 у 1 2 і

-5Т

Ф

с Ы

л/т

-сл/Т -Ф(У0(Т,^-сч/Т)

С Ь Т

Е-ч ь» 1 е К 1 Ф Ьс л/г Vу1 у -Ф (у0 (Т Л))

т.е. пришли к (21). Теорема доказана.

3. Капитал и портфель

Теорема 2. При - г + 5 )/с2 ^< 1 портфель п*—, у*) и капитал X* опре-

деляются формулами

у* — е-5(Т-7)

Ф

с _Ы.

4т-і

-сТТ-7 -ф(у0(Т-7,б7)-сл/Т-7)

р( —-е

-г (Т-^

,К_

5,

Ф

С $Ґ_Л л/Т-7

-Ф(У0(Т - 7, 5())

(23)

(24)

X* — ^-5(Т -7)

Ф

С

ТТ-7

-сл/Т-7 -Ф(у0(Т-7,£7)-ал/Т-7)

- Ке

-г (Т-7 )

Ф

С ь"-7 Л

л/Т-7

-Ф( У0(Т - 7,^))

(25)

где Ь" 7 и у0(Т - 7, £7) определяются по формулам (19) и (20) с заменами Т ^ (Т -7) и £0 ^ £7, т.е.

Ь"-7 — л/Т-7Ф-1 (1 - є) + Ц - г + 5 (Т - 7),

і к

1п-----------

У0(Т - 7, ^ ) — -

2 Л

г - 5------

2

а>/Т -7

(Т-7)

(26)

Доказательство. Согласно [2 - 4],

X* = Е* {г(Т") /т1а\8( }

(27)

..* р* х* - Т*5,

У, =-------|*= 5, , Р, =-

дs

(28)

Проводя вычисления, которые использовали при выводе формулы (21), согласно (27) получаем

Х * = г (т-, )_•_

Х‘ =е -72Л

"ьсТ-'/л/Т- Г г 2 Г 22]

I 5, ехр < г 1 Оо 1 (Т-,)+ал/Т-,г[-К ехр

_ Уо(Т -, ,5,) V 1 V ^ V 1 2 \

Ф

г ьТ-

л/Т - ,

-сл/Т-, -Ф(у0(Т-,,5,)-ол/Т-7)

- Ке

г (Т-7 )

Ф

Г ьТ- 1

[л/Т-7 ^

т.е. пришли к (25). Согласно (25), (28),

-Ф( Уо(Т -,, 5 ())

у* = е-5(Т-7)

Ф

г ьТ-

л/Т-,

Л

- сл/Т-, - ф(у0 (Т -,, 5,) - оТТ-Т)

+Ке-г(Т-7) А Ф(у (Т - ,, 5,)) - 5,е-5(Т-7) А Ф (о (Т - 7,5,) - олТ-7) . (29)

д5,

Учитывая вид функции у0 (Т -,, 5,), имеем

д

— Ф( Уо(Т -,, 5,)) =

-5 ,

л/2л

Уо(Т-, 5,)

л/2л

1 \ (Уо(Т -,, 5,))

ехр; о 1

1

- /—-ехр \12п Аналогично

д

(Уо(Т-,, ))2 [_5

д5,

-Уо(Т-,, 5,)=-

-ехр

(у0(Т-, - ))2

5, Сл/ 2л(Т -)

(уо(Т -у5,) - сл/Т-, )2

5, Сл/ 2п(Т - ,)

ехр <

Подставляя полученные выражения в (29), получаем

у* =- 5,е-5(Т ^) А ф(уо(Т - у5,) - сл/Т-,) + )(Т -)-Ф( у0(Т-7,5)) +

+е-5(Т-,)

Ф

иТ -,

у/Т-,

\

- сТТ-, - Ф(у0 (Т -,, 5,) - сТТ-О

ехр 1

(Уо(Т -,, ))2

5(Т-,) ехр {- с2(Т 1) + Уо(Т -,, 5, )^/Т-Т } -

Ке

-г (Т -7 )

+е-5(Т-,) Так как с учетом (26)

Ф

- сл/Т-7 -Ф(У0(Т - ,, 5,) - сл/Т-7)

е-5(Т-,)ехр 1 С (Т -1)

I----1 ке~г (Т -7)

+Уо(Т - ^, 5, )o^/T-t [------5— = 0:

то

у* = е-5(Т-,)

Ф

г ьТ-

л/Т -,

- сл/Т-7 -Ф(У0(Т - ,, 5,) - сл/Т-7)

т.е. пришли к (23). Используя (23) и (25) в (28), получаем

X,* - у*5, = Ке-г(Т ")

Р* =-

Ф

Г _ЪТ1А

Чл/Т-, ,

-Ф( Уо(Т -,, 5,))

(30)

т. е. пришли к (24). Теорема доказана.

Замечание 2. Теоремы 1 и 2 дают полное решение задачи квантильного хеджирования опциона купли при наличии выплаты дивидендов. При отсутствии этих выплат формула (21) переходит в формулу (6.44) из [4] с учетом свойства Ф( х) + Ф(-х) = 1.

4. Свойства решения

Утверждение 1. Для стандартного опциона купли в случае выплаты дивидендов решение задачи определяется формулами

СТ = 50е-&Т Ф

(-5+(о2/2))т-1п(^5о)

- Ке^гТ Ф

у, = е-5(Т ^) Ф

Сл/Т

(г - 5-(о2/2))т - 1п(^5о)'

сл/Т

V V

(г - 5 + (о2/2 ))(Т ))- 1п( К/5,) сл/Т-,

(31)

(32)

Р, =-е“г(Т-,) К Ф В

(г - 5-(о2/2 ))(Т ))- 1п( К/5,)' сл/ Т -,

ф

- Ке-г (Т -) Ф

(г - 5 + (о 72 ))(Т - 7)- 1п( К/Б() ол/ Т - 7

(г - 5-(о 2/2))(Т - 7)-\п(К/Б{) ал]Т - 7

(34)

Данные формулы следуют в результате обобщения соответствующих формул из [2, 3] на случай выплаты дивидендов.

Следствие. При е = 0 формулы (21), (23) - (25) переходят в формулы (31) -(34), т. е. несовершенное хеджирование переходит в совершенное.

Доказательство. В случае, когда е = 0, вероятность успешного хеджирования РА) = 1 - е = 1, т. е. переходим к совершенному виду хеджирования. Рассмотрим формулы (21), (23) - (25) при е = 0. При е = 0 константа ЬТС принимает вид

ьтс - =л/Т-7Ф-1(1) + ц - г +5 (т - 7 ) = ».

о

Тогда

ф

г ьТ- л

У'/Т-,

= 1, Ф

г ьТ-

л/Т-7

- ол!Т -7

= 1.

(35)

Согласно (23) - (25) с учетом (35), (26) и свойства Ф( х) + Ф(-х) = 1, получаем

X = Бе-5(Т-) [1 - Ф(^ (Т - 7, Б) - оТТ"-7)] - Ке-г(Т-7) [1 - Ф(у (Т - 0, б ))] =

Г(г - 5 + (о72))(Т ))- 1п(К/Б,) ^

= Бе

-5(Т -)

Ф

- Ке-(Т - )Ф

ол/Т -7

(г - 5-(о72 ))(Т-0- 1п( )

Ол/Т-

у( = е-5(Т-7) [1 -Ф(у(Т-7,Б)-ол/г-)] :

г

= е-5(Т-7) Ф

= -е

(г - 5 + (о2/2))(Т ))- 1п()

-г (т-

К

в

[1 -Ф( у,(Т - 7, Б ))] =

= -е“г(Т -7) — Ф

в,

(г -5-(о2/2))(Т-*)- 1п(К/Б,)'

Таким образом, пришли к (32) - (34). Так как СТ = X0, то (31) следует из (34). Следствие доказано.

Представляют интерес зависимости стоимости опциона от параметров 50, К, ц и є, определяющих начальную цену рискового актива, оговариваемую цену исполнения опциона, коэффициент роста и вероятность хеджирования Р (А) = 1 - є . Эти зависимости характеризуются величинами

С50 = дСт /дТ0 , СК = дСт /дК , Сц = дСт /дц, Сє = дСт /дє.

Утверждение 2. Коэффициенты чувствительности ст

СК

СЄ

ляются формулами

Ст0

-8Т

Ф

-т-сТт -Ф(Уо(т,То)-ал/т)

СК = -е“

ґ

Ф

У

т Л

ь

с

л/т

-Ф( Уо(т, То))

тт

с ц =

т а

Тсое

-5т

- Ке

-гт

Ф

Л

Ст =уі2л

ехр

( (1 - є))2

Ке-гт ф

г Ь_ Л

тт

о -5т

- Тое Ф

^ ьт

Ь= - а^

тт

(36)

опреде-

(37)

(38)

Доказательство вытекает непосредственно из определения Ст0, Ст

С ц

Ст

с учетом (19) - (21). Исследования сТ0

и СтК с привлечением численных расчетов показали, что

> 0 , Ст < 0, т.е. рациональная стоимость опциона купли является возрас-

СБ0

тающей функцией от начальной цены акции Б0 и убывающей функцией от цены исполнения опциона К. Экономическая интерпретация этих свойств заключается в следующем. Увеличение начальной цены Б0 приводит в среднем к увеличению БТ. Это повышает вероятность того, что БТ превзойдет К, т.е. вероятность предъявления опциона к исполнению. В этом случае риск покупателя опциона уменьшается, а за уменьшающийся риск следует боьше платить. Увеличение К приводит к повышению вероятности того, что БТ не превзойдет К. Таким образом, риск для покупателя опциона увеличивается, а за увеличивающийся риск следует меньше платить.

Если Т0 > К, то СЦ > 0,

Ст < 0 ,

т.е. стоимость опциона купли является возрастающей функцией коэффициента роста ц и убывающей функцией параметра е, т.е. возрастающей функцией вероятности хеджирования Р(А) = 1 - е . Экономическая интерпретация этих свойств заключается в следующем. Так как с ростом ц повышается в среднем тенденция к росту цены рискового актива Б , то тем самым повышается вероятность превышения величиной БТ барьера К, т.е. вероятность предъявления опциона к исполнению. Поскольку за увеличение вероятности получить доход следует больше платить, то это объясняет увеличение СТ с ростом ц. С ростом е уменьшается вероятность хеджирования, т.е. вероятность исполнения платежного обязательства, что уменьшает вероятность предъявления опциона к исполнению. Поскольку за уменьшение вероятности получить доход следует меньше платить, то это объясняет уменьшение СТ с ростом е.

0

Заключение

Основные результаты работы заключаются в следующем. В случае квантиль-ного хеджирования, то есть в случае выполнения платежного обязательства для опциона купли с вероятностью меньшей единицы:

- найдена формула для цены опциона купли;

- найдены формулы, определяющие оптимальный портфель (хеджирующую стратегию) и отвечающий этому портфелю капитал;

- исследованы некоторые свойства цены опциона, касающиеся характера ее зависимости от начальной цены акции и цены исполнения опциона, коэффициента роста цены акции и вероятности хеджирования;

- решение задачи для случая совершенного хеджирования при выплате дивидендов получено как предельный случай квантильного хеджирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007. 1052 с.

2. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д. О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типа: Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применение .1994. Т. 39. Вып. 1. С. 80-129.

3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 1998. 1017 с.

4. Мельников А.В., Волков С.Н., НечаевМ.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

5. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и ее применение. 1998. Т. 43. Вып. 1. С. 152-161.

6. Данилюк Е. Ю., Демин Н. С. Хеджирование опциона продажи с заданной вероятностью в случае выплаты дивидендов по рисковому активу // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. № 4(9). С. 32-42.

Данилюк Елена Юрьевна Демин Николай Серапионович Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 5 мая 2010 г.