Хеджирование опциона купли с заданной вероятностью на диффузионном (b, s)-рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 1(14)

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 519.865

Е.Ю. Данилюк, Н.С. Демин

ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОНА КУПЛИ С ЗАДАННОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ НА ДИФФУЗИОННОМ (В, 8)-РЫНКЕ В СЛУЧАЕ ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ ПО РИСКОВОМУ АКТИВУ

Рассматривается задача нахождения цены опциона, портфеля (хеджирующей стратегии) и капитала, обеспечивающих платежное обязательство с заданной вероятностью, для Европейского опциона купли в случае выплаты дивидендов по рисковому активу при использовании диффузионной модели рынка и выполнении определенного условия, связывающего параметры модели. Исследуются свойства решения.

Ключевые слова: финансовый рынок, цена опциона, хеджирующая стратегия, Европейский опцион купли, дивиденды.

Опцион является производной (вторичной) ценной бумагой и представляет собой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право купли или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного актива по определенной цене, а продавец опциона за премию, являющуюся ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению [1 - 4]. В первом случае имеем опцион купли, а во втором - продажи. Стандартная платежная функция опциона купли, определяющая величину выплаты при предъявлении

опциона к исполнению, имеет вид /Т = (БТ - К)+, где 8Т - цена базисного актива в момент исполнения Т (спотовая цена), К - цена исполнения контракта (страйковая цена), а + = тах(а;0) Опцион, соответствующий такой платежной функции в случае фиксированного Т, получил название стандартного опциона купли европейского типа. В случае опционов, которые исполняются с вероятностью единица (совершенное хеджирование, или суперхеджирование), выплата по опциону может быть достаточно большой, что представляет существенный риск для эмитента (инвестора) и порождает требование ограничения этого риска. В предлагаемой работе реализация выдвинутого требования осуществляется на основе квантиль-ного хеджирования с вероятностью выполнения платежного обязательства, которая, в отличие от стандартного опциона, меньше единицы [5], и при выполнении некоторого условия, связывающего параметры модели рынка. В случае опциона

продажи с платежной функцией вида /Т =(К - 8Т)+ задача квантильного хеджирования рассмотрена в [6].

1. Постановка задачи

Рассмотрим модель финансового рынка, представленного безрисковым (банковский счет) В и рисковым (акция) £ активами с ценами соответственно Б{ и £ в

момент времени t е [0, Т]. При этом активы В и £ называют основными активами

или основными ценными бумагами, образующими (В, £)-рынок с непрерывным временем. Предполагается, что величина банковского счета В задается детерминированной функцией В = (В( )>0, отвечающей дифференциальному уравнению

йВг = гВ^, (1)

решение которого имеет вид

В{ = В0вг, В0 > 0, г > 0, (2)

где г - процентная ставка, или банковский процент. Изменение стоимости акции £ = (£ )>0 происходит на стохастическом базисе (О, (, Р = (Ft )t>0, Р) [2- 4].

Для описания эволюции £ используется модель «геометрического», или «экономического», броуновского движения [2, 3]. Такой процесс описывается стохастическим диффузионным уравнением

= £ (\jidt + ), (3)

с решением

St (ц) = S0 exp

и ст2 Л Л

t + oWt

(4)

где W = (Wt )t>0 - винеровский процесс, S0 > 0, д e R = (-да, +да), с > 0 .

Рассмотрим некоторого инвестора, значение капитала Xt в момент времени t которого определяется как

Xt = РА + YtSt, (5)

где ^-измеримые процессы Pt и yt - части безрискового и рискового активов соответственно составляют портфель ценных бумаг nt = (Pt, yt). За обладание акцией осуществляются выплаты дивидендов в размере Dt со скоростью 5ytSt, 0 < 5 < r, пропорциональной рисковой составляющей капитала, а именно: dDt = 5у tStdt. Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами определяется в виде dXt = PtdSt + ytdSt + dDt. Из (5) следует, что dXt = PtdSt + jtdSt + Btdpt + Stdyt. Таким образом, получаем балансовое соотношение Btdpt + Stdy = dDt, заменяющее условие самофинансируемости Btdpt + Stdyt = 0 в стандартной задаче [2 - 4]. Аналогично задаче без дивидендов [2] в рассматриваемой задаче рискнейтральная (мартингальная) мера P* = Pf-r+5, которая связана с исходной мерой преобразованием вида

dPf -r+5 = Ztf-r+5dPt, Zf-r+5 = exp j- f-r + 5 Wt --2^ f-r + 5j tJ . (6)

При этом вероятностные свойства процесса S (д, r, 5), определяемого уравнением

dSt (д,r, 5) = St (д,r, 5)((r - 5)dt + cdWf-+5), (7)

относительно меры Pf r+5 совпадают со свойствами процесса S (r, 5), определяемого уравнением

dSt (r, 5) = St (r, 5) ((r - 5) dt + cdWt) (8)

относительно меры P , где процесс

W^ -r+5 = w* = Wt + ( - r + 5) t (9)

с

является винеровским относительно меры Pf-r+5 = P* .

Задача. Требуется определить капитал X*, соответствующий ему портфель

п* = (*, Y*) и начальное значение капитала X* = CT как стоимости вторичной

ценной бумаги - опциона, при которых обеспечивается выполнение платежного обязательства

X* = fT (St ), (10)

где fT (ST) = (ST - K)+ - платежная функция для опциона купли, с вероятностью

P(A) = 1 -е,0 < е < 1, [4, 5].

Базовая теория рассматривает хеджирование с единичной вероятностью, когда е = 0 [1] и платежное обязательство выполняется на каждой траектории St [1 - 3]. Подобная идеализация приводит к тому, что решение не зависит от параметра роста ц, который является существенным и определяет тенденцию изменения цены рискового актива. Хеджирование с вероятностью меньше единицы (квантиль-ное хеджирование) является более реалистичным. В рамках проведенного исследования рассматривается задача хеджирования с заданной вероятностью стандартного опциона купли при выполнении определенного условия для параметров модели в случае выплаты дивидендов, когда находится не только формула для справедливой цены опциона CT, но и формулы, определяющие эволюцию во времени портфеля (хеждирующей стратегии) и капитала, а также исследуются свойства решения.

2. Цена опциона

Рассматривается задача квантильного хеджирования стандартного опциона купли (call-опциона) с функцией выплат fT = (ST - K)+ = max (0, ST - K) [2, 3]. По теореме 6.1 из [4] имеем, что оптимальная стратегия в задаче квантильного хеджирования совпадает с совершенным хеджем (с вероятностью единица) платежного обязательства fT = fTIA , где IA - индикатор множества A, имеющего вид

A = f°: "{> COnSt ’ fT }. (

С учетом (4), (6) - (9) и вида платежной функции для опциона купли область успешного хеджирования A примет вид

д - r + 5 * 1 ( д - r + 5

A Txp Wt- 2

д + r + 5 - с2 Л ln S0 +1-----------------

T ^> const -(ST - K)+j>. (12)

Далее рассматривается случай

[( - r + б)с2 ]> І . (ІЗ)

На рис. І q)!(ST) = const (ST - K)+ , ф2(ST) = S(l+б^с . Заштрихованная об-

ласть является областью решения неравенства (І2). Так как, согласно (З), (4) и (?) - (9),

ST = S0 exp {r + б -(2/2))7’ + c WT }, (14)

то множество А может быть представлено следующим образом:

A = {ST < d1}U {ST > d2 } = { < b1}U { > b2}. (ІЗ)

Рис. І. Структура множества хеджирования при [( - r + 5 ))a2 ]> 1

Тогда

P(A) = P{st < S0 exp{r - 5 - (2/2)) T + )с}} +

+P{st > S0 exp{r-5-(2/2)т + b2с}}, (16)

и с учетом (14) из (16) аналогично (17) в [6] следует

P(A) = P{S0 exp -(2/2)^^ + aWTI < S0 exp {r - 5 -(2/2)t + Ta}} +

+P{S0 exp -(2/2)t )WTI > S0 exp {(^ - 5-(’-/2))^+t2}=

= p{ <S-fS-n5]T}+p{ >S-fS-Tt5]t}. (17)

о ; ) { V о ; )

Замечание 1. Далее всюду Ф-1(у) означает функцию, обратную функции Лап-

ласа

ф(х) = ] ф(y)dy, ф(У) = ^у= expj-Угj.

Так как винеровский процесс Wt имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией t, то из (17) получаем

Р (А) — Ф||Ь -

И-г_±5т^Л/Г'1 + фГ(- т \Ш

(18)

о Л у Ч\ о

где Р(А) = 1 - е, 0 < е < 1, есть вероятность успешного хеджирования. Следовательно, константы Ь1 = Ь^ и Ь2 = Ь11 должны удовлетворять условию (18), но в явном виде в отличие от [6] они не находятся.

Теорема 1. Пусть у0(Т, £0) определяется по формуле

К о,

1п—-(г - 5- — )Г ^ 2

Уо(т,^0) = 0 олУт--------

(19)

Тогда цена опциона купли в случае выполнения условия (13) определяется формулой

Ст — 5>-5т [ф ((Д/т ) - ол/Г) - Ф(У0(Т, ^) - ол/т) + Ф( - (ЪЦ4Г) + ол/Г)] -

-Ке-гт [ф(Ь1т/л/Г)- Ф(у(Т,^)) + Ф(-ЬТ/Л)] . Доказательство. Согласно [2 - 4],

Ст = е^ Е* {/т1а },

(20)

(21)

* * где Е - усреднение по мартингальной мере Р . Используя (4) и (6), находим согласно (21)

Ст — е-гт Е* {/т1а } = е-гт Е* {(5т - К)+ 1а } =

= е-гт Е —-г+5 ( ехр — - (2/2)) ) + о ^ } - К)+ 1а } =

-гт

I ехР I-

£0 ехр

И - г + 5 \.,ут т ( И' - г + 5

7

2 Л 1 Л

И - — т + ох%/Т1-К

1а • ф(х)йХ —

-гт

I ехР

И - г + 5 Л,„ут т ( И - г + 5

£0 ехр

,т2Л

г - 5-------

т+о^т [х+[И г+5^Тт11-

К

1А • ф(х)йх .

Делая замену переменных г = х + [(ц + 5 - г))о]] , получаем с учетом (17) - (19),

что

Ст — е

-гт

ьт14т

\/2л

$0 ехр

( о2 Л 1 л г - 5-------т + ол/тг 1-К

+е

гт

^ 1_ ехр I-т

л/2л

ьЦ^т

$0 ехр

( о2 Л 1 л

г - 5- — т + ол/тг 1-К

йг +

йг — Сг+ С2. (22)

/

/

Так как подынтегральное выражение больше нуля при

S0 exp К - б -(с2//)" + олГz} — K >0,

то окончательно с учетом определения функции Ф( х) получаем с учетом доказательства теоремы 1 из [б], что

Сі = S()e—T [Ф (Т ДГ) - слТ) - Ф(+ (Т, S0) - слТ)] -

-Ke-rT [Ф(bT/VT)-Ф(У0(Т,S0))], (2З)

а для С2 = C° - C/

Cl = S0.-5t [ф(-((/>Г ) + aVT)], С/2 = Ke-rT Ф(-Ь/Т/лГ) .

Таким образом

C2 = S0е-5Т [ф(-(Ь2Т/лГ) + ^VT)^-)e-rTф(-b2T/VT) . (24)

Использование (2З), (24) в (22) приводит к (20). Теорема доказана.

З. Капитал и портфель Теорема 2. При выполнении условия (ІЗ) портфель п* = ,у*) и капитал X*

записываются как

y* = е-б(т-t) [ф ((_/(T—t) - оVT—7)+ф(-(ь2Т(VT—7)+ссГ—7) -

-Ф( y,(T -t, St) -сТТ—)]; (2З)

P* =-е-r(T-t + K[ф(ьГ-77Г—7) + ф(-bT-t/Jr_t)-Ф(У0(T-1,St))] ; (2б)

t

X* = Ste-5(T-t) [ф((^г -7 (T—t) - cVT—7) +

+Ф (- (Г ^A/T—t) + с +T_t) - Ф(У0 (T -1, St) - сл/Т—7) ] --Ke-r(T-t) [Ф(bT-t/jT_t) + Ф(-bT-7VT—7) -Ф(y0(T -1,St))], (2?)

где b1T-t, b"-t и y0(T-1,St) определяются по формулам (ІВ) и (19) с заменами

Г ^ (Г -1) и S0 ^ St, т.е.

P(A) = фГГьг -Ц-r + б(г-t+1^ч/Т_7Аі + ф(^(^-ЬТ +ц-г + б(г-t

1п K—Г r—б—т)(т—'+

У0(Т-t,St) =-------------------t V , J-. (28)

о/ Г -1

Доказательство. Согласно [2 - 4],

X* = Е* {е-r (т-t) f"IA\St}; (29)

y* dX*(s) і p* X* - Y*St p0.

Yt =—I-s=St , pt =------- ----. (30)

ds 1 1 Bt

Из сравнения (21) и (29) видно, что формула (27) следует из формулы (20) с заменами т ^ (т -,) и 50 ^ 5,. Согласно (27), (30),

у* — е-5(т-) [ф ((-7'/т-7) - сл/т-7)+ф( -(-t|4т—7)+сот-7) -

- Ф( у0 (т - 7,5,) - ол/т-) ] + Ке-г (т-) А Ф( у0 (т - 0,5,)) -

^-7) ф((т - 7,5,) - ол/т-7 ).

д5,

Учитывая вид функции у0 (т - 7,5,), имеем 5 1

*Т Ф(у"(т - '•57))—-

ехр

(у0(т - 7,5, ))2

ф((т-7,5,) - ол/т-7)

1

Так как с учетом (28)

е 5(т ,) ехр

((- (, 5,) - о^т-

5, о,] 2п(т-,)

^- о2(т - 0 + у0(т - ,, 5, )^л/т-, |-

Ке

-г (т - )

— 0,

(31)

(32)

(33)

(34)

то, используя (32) - (34) в (31), приходим к (25), а (26) следует из (25), (27), (30). Теорема доказана.

Замечание 2. Теоремы 1 и 2 дают полное решение задачи квантильного хеджирования опциона купли при наличии выплаты дивидендов в случае выполнения условия (13). При отсутствии этих выплат формула (20) переходит в соответствующую формулу из [4, с. 146].

4. Свойства решения

Утверждение 1. Для стандартного опциона купли в случае выплаты дивидендов решение задачи определяется формулами

Ст — Б0е-Ът ф|

(г - 8+(о72))т - 1п(К/5))

- Ке-гт Ф

(г - 5-(72)) - 1п( К/50)'

у, — е-5(т ^) Ф

ол/т л V ©от

(г - 5 + (72 ))(т -7)- 1п( К/5, )Л

ё, —_е-лт-,)КФ[(г -5-(-/2))(т-I)-Ыф,)

д

Л

7

; (35)

(36)

(37)

- с „-5(т-0

Ф

(г - 5 + (72 ))(т -7)- 1п( К/Б,)

зл/т-

- Ке

-Лт) ф1( -5-(72))(т-о- )

Л

(38)

ол/ т -,

Данные формулы следуют в результате обобщения соответствующих формул из [2, 3] на случай выплаты дивидендов.

Следствие. При е = 0 формулы (20), (25) - (27) переходят в формулы (35) -(38), т. е. несовершенное хеджирование переходит в совершенное.

Доказательство. В случае, когда е = 0, вероятность успешного хеджирования Р(А) = 1 - е = 1, т. е. переходим к совершенному виду хеджирования. Рассмотрим формулы (20), (25) - (27) при е = 0. При е = 0 с учетом свойства Ф(х) + Ф(-х) = 1 из формулы (18) при Р(А) = 1 следует, что

ф(( ЬТ - ц^г + 5 т ^ ^фГЛг - Ц^г + 5 т Л/^ 1. (39)

Из (39) получаем, что Ь1т = Ьт = Ьтс . Согласно (25) - (27), с учетом (39), (28) и свойства Ф(х) + Ф(-х) = 1 получаем для X, = ИшХ(, у, = Иш у,, в, = Иш в, при е = 0, что

= 8(в-5(т-г) [1 - Ф(у (Т - ,, ) - ^/т—)] - Ке-г(т-) [1 - Ф(у (Т - 0, 0,))] =

£ -йУ-Оф1 [Г~(( /2,Н'г ~П_1И(™ ■' К5“( /211) ~Ч-Ш(Л/О,/^

=£е-5(т)ф|(г-й+(°У2))(т^)-1"(К£,)| Ке_,т)фГ(-5-(!/2))(т-0- 22)

л/т-, / V с^т -

г ____п Л Г(г-5+(2/2))(^))- 1п(К/£ )|

[1-Ф( у0(т-,, )-^л/т-7 )]=е-5(т -г) ф^----------------------*-- —

= 5(т-ог- -- - -- с—л -5(т-,) ^ 1(-5+- -1п(к£,Л

- ^ V ©V т -г

, Кг. Ф -г(т-,)К -5--2/2))(^^)-1п(^£,)А

в, =-е-г(т-,) - [1-Ф( У0(т-,, ))]=-е-г(т -,)- Ф

^л/т-

Таким образом, пришли к (36) - (38). Так как Ст = Х0, то (35) следует из (38).

Следствие доказано.

Представляют интерес зависимости стоимости опциона от параметров £0 и К, определяющих начальную цену рискового актива и оговариваемую цену исполнения опциона. Эти зависимости характеризуются величинами С£0 =дСт/ д£0 ,

СК = дСт/ дК .

£ К

Утверждение 2. Коэффициенты чувствительности Ст 0 и Ст определяются формулами

с£0 = е-5т [ф(т/л/т)-^л/т) + Ф(-(Ь2т/л/т) + ©у[т)-Ф(у0(т,£0) - ^л/т)], (40) СК = -е^ [ф(Ь1т/л/т) + Ф(-Ь2т/л/т)-Ф(у0(т,£0))] . (41)

£ К

Доказательство вытекает непосредственно из определения Ст 0, Ст с учетом (19), (20).

£ К

Исследование Ст0 и Ст с привлечением численных расчетов показало, что

£ К

Ст0 > 0 , Ст < 0, т.е. рациональная стоимость опциона купли является возрастающей функцией от начальной цены акции £0 и убывающей функцией от цены исполнения опциона К. Экономическая интерпретация этих свойств заключается в следующем. Увеличение начальной цены £0 приводит в среднем к увеличению £т. Это повышает вероятность того, что £т превзойдет К, т.е. вероятность предъявления опциона к исполнению. В этом случае риск покупателя опциона умень-

шается, а за уменьшающийся риск следует больше платить. Увеличение К приводит к повышению вероятности того, что £т не превзойдет К. Таким образом, риск для покупателя опциона увеличивается, а за увеличивающийся риск следует меньше платить.

Численные расчеты показали, что стоимость опциона купли является возрастающей функцией коэффициента роста ц и убывающей функцией параметра е, т.е. возрастающей функцией вероятности хеджирования Р(А) = 1 -е . Экономическая интерпретация этих свойств заключается в следующем. Так как с ростом ц повышается в среднем тенденция к росту цены рискового актива £,, то тем самым повышается вероятность превышения величиной £т барьера К, т.е. вероятность предъявления опциона к исполнению. Поскольку за увеличение вероятности получить доход следует больше платить, то это объясняет увеличение Ст с ростом ц. С ростом е уменьшается вероятность хеджирования, т.е. вероятность исполнения платежного обязательства, что уменьшает вероятность предъявления опциона к исполнению. Поскольку за уменьшение вероятности получить доход следует меньше платить, то это объясняет уменьшение Ст с ростом е.

Заключение

В случае квантильного хеджирования, то есть в случае выполнения платежного обязательства для опциона купли с вероятностью меньшей единицы, при выполнении условия (13) для параметров модели рынка получены следующие результаты:

1. Найдена формула для цены опциона.

2. Найдены формулы, определяющие оптимальный портфель (хеджирующую стратегию) и отвечающий этому портфелю капитал.

3. Исследованы некоторые свойства цены опциона, касающиеся характера ее зависимости от начальной цены акции, цены исполнения опциона, коэффициента роста цены акции и вероятности хеджирования.

4. Решение задачи для случая совершенного хеджирования при выплате дивидендов получено как предельный случай квантильного хеджирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007. 1052 с.

2. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д. О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типа: Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применение.1994. Т. 39. Вып. 1. С. 80-129.

3. ШиряевА.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 1998. 1017 с.

4. МельниковА.В., Волков С.Н., НечаевМ.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

5. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и ее применение. 1998. Т. 43. Вып. 1. С. 152-161.

6. Данилюк Е. Ю., Демин Н. С. Хеджирование опциона продажи с заданной вероятностью в случае выплаты дивидендов по рисковому активу // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. № 4. С. 32-42.

Данилюк Елена Юрьевна___

Демин Николай Серапионович\

Томский государственный университет E-mail: Daniluc_Elena@sibmail.com

Поступила в редакцию 21 октября 2010 г.