Экзотические опционы купли на диффузионном (b,p)-рынке облигаций в случае модели Халла Уайта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010

Управление, вычислительная техника и информатика

№ 1(10)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.865

Н.С. Демин, В.В. Толстобоков

ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ КУПЛИ НА ДИФФУЗИОННОМ (ад-РЫНКЕ ОБЛИГАЦИЙ В СЛУЧАЕ МОДЕЛИ ХАЛЛА - УАЙТА

На основе опосредованного подхода осуществлен вывод формул для стоимости опциона, портфеля и капитала Европейского опциона купли с гарантированным доходом для обладателя опциона и с ограничением выплат для инвестора на диффузионном (B, Р)-рынке облигаций. Исследованы свойства решения.

Ключевые слова: опцион, облигация, хеджирование, капитал, портфель.

Опцион на финансовых рынках является одной из наиболее распространенных вторичных (производных) ценных бумаг, поскольку дает право, а не обязанность, предъявить его к исполнению [1 - 5]. Покупатель опциона приобретает право покупки или продажи оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной цене, а продавец опциона (эмитент, инвестор) за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование владельца опциона при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором - опцион продажи (put option). Если платежное обязательство характеризуется только ценой базисного актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения, то такие опционы являются стандартными.

Развитие финансовых рынков потребовало использования более сложных платежных обязательств, учитывающих, с одной стороны, желание обладателя опциона иметь гарантированный доход, а с другой - желание инвестора ограничить выплаты по опционам, что породило класс экзотических опционов [6, 7]. Эта проблематика достаточно исследована, когда в качестве базисного актива используется акция ((B, 5)-рынок), и является малоисследованной, когда в качестве базисного актива используется облигация ((B, Р)-рынок). В данной работе представляется исследование трех видов экзотических опционов купли Европейского типа на диффузионном (B, Р)-рынке облигаций на основе опосредованного подхода: двух опционов с гарантированным доходом, которые дают преимущество владельцу опциона; опциона с ограничением выплат, который дает преимущество продавцу опциона.

Используемые обозначения: £{•} - математическое ожидание; Р{-} - вероятность события; N{b;D} - нормальная (гауссовская) плотность с параметрами b

и D;

1. Постановка задачи

В теории облигаций используются два основных подхода к заданию стоимости облигации - опосредованный и прямой [2]. В случае опосредованного подхода стоимость облигации определяется через краткосрочную процентную ставку, а в случае прямого, известного как модель Хиса-Джерроу-Мортона (ИДМ-модель) [8], через форвардную процентную ставку. В данной работе используется опосредованный подход.

Рассмотрение задачи ведется на стохастическом базисе (^, ^, (^)е0, Р) [2, 3]. Следуя [2, 3, 9], введем следующие характеристики (В, Р)-рынка облигаций. Стоимость В(ґ) в момент времени ґ банковского счета такова, что

где г(/) - некоторый стохастический процесс процентной ставки. Основное предположение относительно процесса г(0 состоит в том, что это есть диффузионный гауссовско-марковский процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением

где Wt - винеровский процесс, функции а(/), Р(0, у(/) - детерминированные функции, причем

Замечание 1. Модель процентной ставки, описываемая уравнением (3), есть не что иное как модель Халла - Уайта [10, 11], частными случаями которой являются модели Мертона, Васичека, Хо - Ли [2].

Стоимость Рґ(Т1) в момент времени ґ бескупонной облигации со сроком пога-

Утверждение 1 [2]. Если краткосрочная процентная ставка г(() подчиняется уравнению (3) и выполнено условие (4), то уравнение (3) имеет, и при этом единственное, решение

(2)

ёг(ґ) = (а(ґ) - Ь(ґ)г(ґ)) йґ + ё(ґ)dWt, г(0) = г0 ,

(3)

Т

(4)

0

шения Т1 согласно теореме 1, п. 5 из [2] определяется формулой

Т1

Р (г1 ) = Е <!ехр <!-| г еА , 0 < Р{ (Т1) < 1.

(5)

(6)

где

(7)

фундаментальное решение уравнения

ё(ґ) = 1 -{Р(у)я(У)ёу .

(8)

Утверждение 2 [2]. Процесс P(Tl) имеет эквивалентное (5) представление в виде уравнения

Pt (T') = exp {At (T') - r(t)Bt (T')} , (9)

где

1 T1

A (T1)=2 J

t

Г1

J (s)du

S g(s)

2

ds -J J g(u)d(s)ds J J g (s)

du, (10)

T1

B (T1) =J gU) du , (11)

t g(t)

Замечание 2. Модели цен облигаций, которые представляются в виде (9), называются однофакторными аффинными моделями согласно терминологии п. 4c, гл. III из [2].

Что же касается динамики процесса цен P(Tl) облигации, то будем предполагать, что относительно исходной меры на (Q, F, (Ft)t>0, P) процесс

Pt (т1 ) = Pt (т 1)/B (t), являющийся дисконтированной относительно банковского

счета ценой облигации, является мартингалом [2, 3], а в силу теоремы 1, п. 5a, гл. VII из [2] рассматриваемый рынок является безарбитражным [1 - 3].

Инвестор в момент времени t формирует капитал

Xt = ßtB (t) + YtP (T'), t e [0, T], T < T\ (12)

состоящий из банковского счета B и бескупонной облигации P(T1) со сроком погашения T1. Задача инвестирования на таком (B, Р)-рынке заключается в следующем: сформировать портфель (хеджирующую стратегию) п* = (ß*, у*) таким образом, чтобы эволюция капитала X* в соответствии с (12) обеспечила в момент T < T1 выполнение платежного обязательства

XT = /т, (13)

где fT > 0 - платежная функция, T - фиксированный момент исполнения опциона, то есть рассматриваются опционы Европейского типа [1 - 3].

В данной работе исследуется проблема хеджирования для опционов купли с платежными функциями соответственно вида (a+=max{a;0})

fmax1 = max {Рт (T1) - *!, K2} ; (14)

frmax2 = max {Pt (T1) - Kx, K2} I ^ (T1) > Kx ] ; (15)

fmin = min {((T1) - K)+ , K2 j, (16)

где Kj > 0, K2 > 0, I[A] - индикатор события A, т. е. I[A]=1, если событие A происходит и I[A]=0, если событие A не происходит.

Согласно платежному обязательству (14), владелец опциона может всегда предъявить его к исполнению, получая гарантированную выплату K2, если P^T1) < K1+K2, и выплату в размере PT<T1) - K1, если P7{T1)> K1+K2. Согласно платежному обязательству (15), владелец опциона предъявляет его к исполнению

только при выполнении условия Р1(Т')>К\. В результате владелец опциона получает гарантированную выплату К2, если РТ{Т1)<К\+К2, и выплату в размере РТ(Т1) - Кь если РТ<Т1)>К1+К2. Согласно платежному обязательству (16), если РТ(Т1) > К1, то покупатель опциона предъявляет его к исполнению и получает выплату в размере Рт(Т1) К1, если Р7(Т1)<К1+К2, и в размере К2, если Р^Т1) > К1+К2.

Замечание 3. Платежные функции (14), (15) дают преимущество владельцу опциона, т. к. гарантируют ему выплату, равную К2, в случае (14) всегда и в случае (15) при выполнении условия РТ(Т1)>К1. Платежная функция (16) дает преимущество инвестору, т. к. ограничивает его выплаты по опциону величиной К2.

Структура статьи следующая. В п. 2 вынесены основные результаты для опционов купли, для которых получены формулы, определяющие цены опционов, а также хеджирующие стратегии (портфели) и соответствующие им капиталы, обеспечивающие выполнение платежных обязательств. В п. 3 исследуются свойства решения.

Обозначим

2. Основные результаты

~К1Б(Г)

1п

Р (Т')

+2 оТ(т') Б2т(Т')

1п

ё 2(г) =-

°т (Т') Бт (Т')

(К + к 2 )Б(г)

Р (Т *)

+2 оТ(т:) Б2(Т')

°т (Т:) Бт (Т')

1п

У:(г) =

кгБ(г) Р (Т').

- 2 о2т(Т') Бт2(Т ')

1п

У2(г) =-

От (Т') Бт (Т') (К! + К 2 )Б(г) Р (Т у

Р (Т *)

- 2 оТ(Т :) Бт2(Т')

(17)

От (Т1)Бт (Т1)

(18)

где

Бт (Т') =|

ё (и) Я (Т)'

ёи .

(19)

От (Т') =

' т 1 г [{ё (»>! >5 ^3

J т V ' ё (^) )

(20)

ё (и) = ехр |-| |,

а ёь ё2, у!, у2 определяются формулами (17), (18) при г = 0.

Теорема 1. В случае опциона купли с платежной функцией вида (14) стоимость опциона С““1, капитал Х!тах1 и портфель (хеджирующая стратегия)

пГ1 = (уГх1, РГзх1) определяются формулами

С““1 = Р0 (Т1 )Ф(-у) - *1 Ф(-^) + К2Ф(ё2); (22)

Хтах1 = Р (Т1 )Ф(-У2 (')) - К Б(ґ )Ф(-^ (Ґ)) + *2 Б(ґ )Ф(^2 (Ґ)); (23)

у“ах1 = Ф(^^(0), в “ах1 = -К1Ф(-^2(0) + *2Ф(^2(0). (24)

Доказательство. Согласно общей теории платежных обязательств на рынке облигаций [2, 3],

X = Б(0 Е{Б-\Т) /т\Ft }, (25)

dXt

Yt =

dp

=XL-bfit;i). (26)

p = P, (T ) t B(l)

В соответствии с теорией расчетов на полных безарбитражных рынках и в предположении, что исходная вероятностная мера на (Q, F, (Ft)t>0, P) является мартингальной, а также, что

R(t, T) = B(t)B- (T) = exp j-Jr(s)dsj, (27)

находим, используя (14), (25), что

Xmaxi = E{R(t, t) fTmaxi | Ft} = E{R(t, T) max {pt (T1) - K1, K2} | Ft} =

= E{/[Pt (T1 ) > Ki + K2 ]R(t,T)Pt (T1) | Ft} - KiE{/[Pt (T1 ) > K + K2 ]R(t, T)| Fi} +

+K2E {I [Pt (T1 ) < K1 + K2 ] R(t, T) | Ft}. (28)

Использование (9) дает, что события

{Pt (T1) > Ki + K2 } = { At (T1 ) - r (T ) Bt (T1 ) > ln( K + K2)} = {r (T ) < r^ } ; (29)

{Pt (T1) < Ki + K2 } = { At (T1 ) - r (T ) Bt (T1 ) < ln( K + K2)} = {-r (T ) < -r^ }, (30)

где r* = ln(Ki + K2)-At(T^. (31)

-Bt (T1)

Пусть

T1 T

4 = r (T ), n =J r (u )du, ç = J r (u )du . (32)

0 0

Тогда из (28) - (30) находим, что

Xtmax1 = E{I[4 < ri*,]exp{-n} | Ft}-KiB(t)E{I[4 < ri*2]exp{-ç} | F(} +

+K2 B(t)E {I [-4 < -ri*2 ] exp {-ç} | Ft}. (33)

Для дальнейшего упрощения этой формулы полезной является следующая лемма из [2].

Лемма. Пусть (X, У) - гауссовская пара случайных величин с вектором сред-

них значений (дх, ц7) и матрицей ковариаций

2

СХ рХ¥

2

Vрху ст /

. Тогда

Е(I [X < х]ехр(-7}} = ехр{2- №г }ф(X) (34)

Е(I (X < х]Х ехр(-7}} = ехр(2 с7 - }(х - рхт )Ф(X) - схф(X)} , (35)

где

X =

х (Дх р ХУ)

>х

Из (6) находим, что

^ — Е (г (Т )} = я (Т) і г (0) + |

а(і') Я (5)'

= Е<! | г(ы)ёы I = г(0) | я(ы)ёы + | |Я^ а(^)^5

I 0 0 10 Я (5)

0

(Т

ёы :

= Е\ |г(ы)ёы I = г(0)|я(ы)ёы +1 | а(5)ё5

10 \ 0 010 я (5)

с2 = Б (г(Т)} = | ё2(5) ^ЯТ)^ ё* ;

ёы

~2 _ ^2 . •

— Б і | г(ы)ёы 1 — |

0

Т

Я (ы) Я (5)

ё (5)ёы

(

Р&

— СОУ

0

Т

— Б <!|г(ы)ёы I — | | Я^ ё(5)ёы

Я (5)

ё5;

ё5;

г (Т), | г(ы)ёы 1 — ё 2(5) ёы

р«п

— СОУ

0 / 0 V

р-й — -рй, Л ґ т

Я (5) 5 Я (5)

ё5:

г(Т), | г(ы)ёы — соу г(Т), | г(ы)ёы + соу г(Т), | г(ы)ёы

V 0

Т^1

Я (ы) Я (Т)

ёы.

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43) ()

(45)

(46)

(47)

и

с

с

Использование (33), (34) дает, что

X"

-К1Б(/) ехр

'{{ач-йп)

1 1 "4

1

+К1Б()ехр(2с2 - }ф

ґ г1*2- (йг-Рг?)

ґ г12 (Д-« р-«? ) Л С-«

(48)

Тогда (23) следует в результате подстановки (37) - (47) в (48), а (22) из того,

^-»шах1 т^шах1 от

что Ст — X 0 [2, 3].

Из (1) следует

дФ(ф)) — 1

л/2п

Согласно (17), (18),

ехр

е (5) I де(5) дФ(-е(5)) дФ(е(5))

д5

д5

д5

У2Ц) -ё2(/) — Ст (Т1)Бт (Т1).

Тогда из (23), (49) следует

дX"

— [Ф(-У2Є))]+*, * —-р

др

Использование (17), (18), (49) дает

дФ( У2(/))'

др

+ (*1 + К2) Б(*)

дФ(ё2(?))

др

дФ( У2(/))

др

дФ(ё 2(/))

1

р -\/2псТ (Т')БТ (Т')

Гєхр

1

1

др Рл/2псТ (Т') БТ (Т')

Из (17), (50) получаем

—ехр

У2

ё22)

У22 — ё22 - 21п

( + К 2 ) Б(ґ)

Р (Т1) .

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

Использование (52) - (54) в (51) дает, что ¥=0. Таким образом (24) следует из

(23), (26), (51). Теорема доказана.

Теорема 2. В случае опциона купли с платежной функцией вида (15) стоимость опциона СТ“ах2, капитал х¡:nax2 и портфель (хеджирующая стратегия) п“ах2 — (утах2, ршах 2) определяются формулами

СПах2 — СТпах1 - К2Ф(4);

Т

^шах2

хnnax2 — хímax1 - к2 Б(/)Ф(ё!(0); утах2 — утахі + *2б(ґ)р-'(Т 1)с-1(Т')БТ\Т 1)ф(ё1(/));

втах2 — в тах1 - *2 [Ф(ё1 (0)+ст1 (т 1) б- (т 1 )ф(ё1 (0)].

()

(56)

(57)

(58)

Доказательство. Использование (15), (25) аналогично (28) дает, что Xtmax2 = E{R(t,T)/Tmax2 | Ft} = E[R(t,T)max{PT(Pp-K1,K2}/[PT(T1) > K1 ] | Ft) =

= E{/ [P (Г1) > Pi + K2 ]R(t,T)Pt (T1) | Ft} - KiE{/[} (Г1) > Ki + K2 ]R(t,T)| Ft) +

+K2Ep[K1 <PT (Tp<K1 + K2]R(t,T)|Ft}=X} -K2E{l[PT (T1)<K1 ]R(t,T)|Ft] =

= Xtmaxl - K2B(t)E[l [- % < -ri* ] exp[-<;} | Ft} , (59)

где %, q имеют вид (32), а

* ln K, - AT (T1)

r =____i___-____

1 -Bt (T p

Преобразование (59) аналогично (28) с использованием (23), (34) и (59) приводит к (56), а (55) следует из того, что CT“ax2 = Xmax2 [2,3]. Из (56) с учетом (49) следует

Щ-----= [Ф(-У2(t))]-K2B(t) mdl{t)) +т, (60)

dp dp

где ¥ имеет вид (51). Использование (17), (49) дает

дФМ»=-11__________________________exp {-dM. (61)

dp p v2ncT (T1)BT (T1) [ 2 J

Так как при доказательстве теоремы 1 было доказано, что ¥=0, то (57) следует с учетом (24) из (26), (60), (61) и (1), а (58) следует с учетом (24) из (26), (56) и (57). Теорема доказана.

Теорема 3. В случае опциона купли с платежной функцией вида (16) стоимость опциона Cm”, капитал Xtmin и портфель (хеджирующая стратегия)

nmin = (Ymin,emin) определяются формулами

cmin = Po(Tp [ф(у2)-ФСуР]-^ [Ф(^2)-ФЦ)] + K2 ФЫ2); (62)

Xtmin = Pt(Tp[(y2(t))-Ф(yx(t))]-K1B(t)[®[d2(t))-Ф(^))] +K2B(tm-d2(t)); (63)

Ymin =Ф( У2 (t)) -Ф( yx(t)); (64)

emin = -K1 [Ф(d2 (t)) - Ф(dl (t))] + K2Ф(-d2 (t)). (65)

Доказательство. Использование (16), (25) аналогично (28) дает, что

Xtmin = E{R(t, T) /nF } = E {R(t, T )min {((T1) - K1)+ ,) j | Ft j =

= E {/ [ Pt (T p < p + K2 ] R(t, T) Pt (T1)^,} - E [l [ Pt (T1) < K ] R(t, T) Pt (T1) | F } -

-K1Ep [Pt (T1 ) < K1 + K2 ]R(t, T^Ft} + E[l [Pt (T1) < K ]R(t, T) | F(} +

+K2E [I [PT (T1) > K1 + K2 ] R(t, T) | Ft} . (66)

Преобразование (66) аналогично (28) приводит к (63), а (62) следует из (63) с учетом того, что С™п = X0“п [2,3]. Из (63) с учетом (49) следует

5ХГ

dp

= [Ф( y2(f)) -Ф( y\(t ))];

^= дФ(y2(t)) - дФ(yi(t))

др др

Использование (18), (49) дает

дФ( у^)) = 1

+ К, B(t) дФ(^^ - (К, + К 2) B(t) ))

dp

dp

dp

Аналогично (54)

p 4i%gt (T')BT (T') KxB(t)

ехр

Ji(t)

y2 = d,2 - 2ln

Pt (T ‘)

(67)

(68)

(69)

(70)

Использование (52) - (54), (61), (69) и (70) в (68) дает, что ¥ = 0. Таким образом (64) следует из (26), (67), а (65) следует из (27), (63) и (64). Теорема доказана.

3. Свойства решения

Утверждение 3. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимости стоимостей опционов от цены исполнения К1 и от величины К2, гарантирующей доход в случае платежных функций (14), (15) и ограничивающей выплаты по опциону в случае платежной функции (16), определяются формулами

дет

дК,

■ = -Ф C-d2),

дет

дК 2

■=Ф(^ 2),

дС

max2

К

= -Ф(-d 2) - ^ g-1 (T1) B- (T1 )<p(d (t));

дК,

К,

dCTmax2 _Ф,,. дстп1п

дК2

■_Ф(^2) -Ф(^),

дК,

_-[Ф(^2)-Ф(^1)],

дСТ

-_Ф(- 2)

При этом

дС

maxi

дК,

< 0,

дСТ

maxi

> 0,

дС

max 2

дК,

< 0,

дС

max 2

(71)

(72)

(73)

Ч дК 2 дК1 дК 2 дК1 дК 2

т.е. по К опционы купли являются убывающими, а по К2 - возрастающими функциями.

Доказательство. Использование (22), (55), (62) и (49) дает, что

дстах1 1 Г 1 \ у2 ] ду2 \ £ ] дё7

~скг=ж ■ро(Г‘)ехр {-т |д|+(К + К )ехр I- -т

длтш ¿v-tmin

>0, <0, >0,

дК,

дС”“1 _ i

л/2л

- P0 (Т1) exp {-^ll^ + (К, + К2 )exp {--Цд

2 I дК

2

2 I дК.

-ФЫ2); (74) + Ф(d2); (75)

дС

max 2

дК,

дС

max,

дК,

К2 expJfL

л/2П exp I 2 | дК,

(76)

дС“" _ 1

дК, л/2п

дСТ”

дСТ

дК2

дК2

--Ф(dl);

р0(Т 1)exp |-f }д|

-(К1 + К 2 )exp |-

()

-s/2n

P0 (Т1 )exp |-[Ж - К, exp|-^ ^

2 I дК,

d,2 I д^

2 I дК,

-[Ф№) -Ф(d1)]; (78)

дет

дК2

л/2П

P0(T 1)exp |-У2 -(К, + К2 )exp |-[д2

2 I дК2

л/2П

P0(T 1)exp |-4-

2 I дК.

- К, exp| -

2

d,2 j д^

2 I дК

+ ФЫ 2).

(79)

Тогда (71) - (73) следуют из (74) - (79), а свойства (73) следуют очевидным образом из (71) - (73) с учетом того, что й2>й\.

Экономическая интерпретация свойств (73) заключается в следующем. Согласно (14), опцион всегда предъявляется к исполнению и при увеличении К уменьшается величина возможной выплаты по опциону, а за меньший доход следует меньше платить, что приводит к уменьшению цены опциона купли с платежной функцией вида (14) при увеличении Кь Согласно (15), (16), опционы предъявляются к исполнению, если Рт{Т1)>К\. Таким образом, при увеличении К1 увеличивается риск не предъявить опцион к исполнению, а за больший риск следует меньше платить, что приводит к уменьшению цен опционов с платежными функциями (15), (16) при увеличении К\. Так как К2 - это максимальная величина, которую владелец опциона может получить при предъявлении к исполнению, то естественно, что цены опционов возрастают при увеличении К2, т.е. за возможность получить больший доход следует больше платить.

Замечание 4. Из (15), (16) следует, что

lim /Tmax2 _ fT

К Т JT

iim /min _ /т

Ко I W

(80)

где /Т = (Рт (Тх ) - К0+ (81)

может быть определена как платежная функция стандартного опциона купли, соответствующая экзотическим опционам с платежными функциями (15), (16). В [2, с. 970 - 979] на основе опосредованного подхода найдена стоимость опциона купли Ст для стандартной платежной функции вида (81).

Утверждение 4. Пусть Ст,Хг,у,Д есть пределы СТ™2,Х™х2,у)”“2,р™х2 при К2 ^ 0 либо СТ“т, Хтт, утт, ртт при К2 Т* . Тогда

Ct = Po (T1 )Ф(-y) - KW-di); (82)

Xt = Pt (T1 )Ф(-у (t)) - KiB(0Ф(-^ (t)); (83)

Y( = Ф(-у (t)), ß t = -KlФ(-dl (t)). (84)

Доказательство. Из (17), (18) следует, что d2(t) = d1(t), y2(t) = y1(t) при K2 = 0. Таким образом, формулы (82) - (84) следуют из (55) - (58) с учетом (22) -

(24). Аналогично d2(t) = да, y2(t) = да при K2 = да . Тогда с учетом свойств

Ф(-да) = 0, Ф (+да) = 1, Ф(-х) + Ф( х) = 1 формулы (82) - (84) также следуют из (62)

- (65).

Утверждение 5. Стоимости опционов CT““1,CT3“2,CT11",Ct связаны следующими соотношениями:

CTiax1 > CT“ax2 > Ct > CT31" . (85)

Доказательство. Свойство C“iaxl > CT“ax2 следует непосредственно из (56).

Свойства CT“ax2 > Ct > C“1” следуют из того, что согласно (73) C™“2 и C“11" яв-

ляются возрастающими функциями K2, и при этом, согласно утверждению 4, lim CT“ax2 = Ct при K2 X 0 и lim C“1111 = Ct при K2 t да .

Экономическая интерпретация свойств (85) заключается в следующем. Поскольку в случае стандартных опционов с платежной функцией (81) отсутствуют ограничения на величину выплаты по опциону, то цена экзотического опциона с платежной функцией (16) меньше цены стандартного опциона, так как за наличие ограничений, уменьшающих величину возможного дохода, следует меньше платить. Цены экзотических опционов с платежными функциями (14), (15) больше цены стандартного опциона, так как за наличие возможности получения гарантированного дохода следует больше платить. При этом CT“ax1 > CT“ax2, так как платежная функция /Tmax2 содержит дополнительное условие, в котором заключена возможность непредъявления опциона к исполнению, а за возрастающий риск следует меньше платить.

Приведем результаты для двух широко используемых моделей цен облигаций [1 - 3, 10, 11]. Для модели Хо - Ли b(t) = 0,d(t) = d, а для модели Васичека b(t) = b, d (t) = d. Тогда для модели Хо - Ли

1

( d 2 ^2

Gt (T')Bt (T') = ^- [(T1 - T)3 ]J (T - T), (86)

а для модели Васичека

1

Gt (T1)Bt (T1) = b (^ T - exp {-2bT}))2 (1 - exp {-b (T1 - T)}) . (87)

Утверждение 6. Для моделей Хо - Ли и Васичека справедливы теоремы 1 - 3 и утверждения 3 - 5, в которых величины gt (T')BT (T1) выражаются соответственно формулами (86) и (87).

Заключение

Основные результаты следующие:

1. Получены аналитические выражения для стоимостей опционов, хеджирующих стратегий (портфелей) и капиталов для опционов купли с платежными функциями (14) - (16) (теоремы 1 - 3)

2. Проведено исследование свойств решения (утверждения 3 - 5).

3. Все общие результаты для опционов купли с платежными функциями (14) -(16) конкретизированы для моделей Хо - Ли и Васичека (утверждение 6).

ЛИТЕРАТУРА

1. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007.

2. ШиряевА.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.

3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУВШЭ, 2001.

4. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М.: Тривола, 1995.

5. Wilmott P. Derivatives: the theory and practice financial engineering. N.Y.: John Willey, 2000.

6. Rubinstein M. Exotic options // Finance Working Paper. Berkeley: Inst. of Business and Econ. Research, 1991. Мо 220.

7. Zang P.G. An introduction to exotic options // European Financ. Manag. 1995. V. 1. P. 87 -95.

8. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. 1992. V. 60. №э. 1. P. 77 -105.

9. Бьорк Т. О временной структуре разрывных процентных ставок // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2. Вып. 4. С. 627 - 657.

10. Hull J., White A. Pricing interest rate derivative securities // Review of Financial Studies. 1990. V. 3. №. 5. P. 573 - 592.

11. Hull J., White A. Bond option pricing on a model for the evolution of bond prices // Advances in Futures and Options Research. 1993. Мо. 6. P. 1 - 13.

Демин Николай Серапионович Толстобоков Вячеслав Васильевич Томский государственный университет

E-mail: dyomin@fpmk.tsu.ru; 4tvv@rambler.ru Поступила в редакцию 28 сентября 2009 г.