CC BY
38
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010
Управление, вычислительная техника и информатика
№ 1(10)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.865
Н.С. Демин, В.В. Толстобоков
ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ КУПЛИ НА ДИФФУЗИОННОМ (ад-РЫНКЕ ОБЛИГАЦИЙ В СЛУЧАЕ МОДЕЛИ ХАЛЛА - УАЙТА
На основе опосредованного подхода осуществлен вывод формул для стоимости опциона, портфеля и капитала Европейского опциона купли с гарантированным доходом для обладателя опциона и с ограничением выплат для инвестора на диффузионном (B, Р)-рынке облигаций. Исследованы свойства решения.
Ключевые слова: опцион, облигация, хеджирование, капитал, портфель.
Опцион на финансовых рынках является одной из наиболее распространенных вторичных (производных) ценных бумаг, поскольку дает право, а не обязанность, предъявить его к исполнению [1 - 5]. Покупатель опциона приобретает право покупки или продажи оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной цене, а продавец опциона (эмитент, инвестор) за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование владельца опциона при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором - опцион продажи (put option). Если платежное обязательство характеризуется только ценой базисного актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения, то такие опционы являются стандартными.
Развитие финансовых рынков потребовало использования более сложных платежных обязательств, учитывающих, с одной стороны, желание обладателя опциона иметь гарантированный доход, а с другой - желание инвестора ограничить выплаты по опционам, что породило класс экзотических опционов [6, 7]. Эта проблематика достаточно исследована, когда в качестве базисного актива используется акция ((B, 5)-рынок), и является малоисследованной, когда в качестве базисного актива используется облигация ((B, Р)-рынок). В данной работе представляется исследование трех видов экзотических опционов купли Европейского типа на диффузионном (B, Р)-рынке облигаций на основе опосредованного подхода: двух опционов с гарантированным доходом, которые дают преимущество владельцу опциона; опциона с ограничением выплат, который дает преимущество продавцу опциона.
Используемые обозначения: £{•} - математическое ожидание; Р{-} - вероятность события; N{b;D} - нормальная (гауссовская) плотность с параметрами b
и D;
1. Постановка задачи
В теории облигаций используются два основных подхода к заданию стоимости облигации - опосредованный и прямой [2]. В случае опосредованного подхода стоимость облигации определяется через краткосрочную процентную ставку, а в случае прямого, известного как модель Хиса-Джерроу-Мортона (ИДМ-модель) [8], через форвардную процентную ставку. В данной работе используется опосредованный подход.
Рассмотрение задачи ведется на стохастическом базисе (^, ^, (^)е0, Р) [2, 3]. Следуя [2, 3, 9], введем следующие характеристики (В, Р)-рынка облигаций. Стоимость В(ґ) в момент времени ґ банковского счета такова, что
где г(/) - некоторый стохастический процесс процентной ставки. Основное предположение относительно процесса г(0 состоит в том, что это есть диффузионный гауссовско-марковский процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением
где Wt - винеровский процесс, функции а(/), Р(0, у(/) - детерминированные функции, причем
Замечание 1. Модель процентной ставки, описываемая уравнением (3), есть не что иное как модель Халла - Уайта [10, 11], частными случаями которой являются модели Мертона, Васичека, Хо - Ли [2].
Стоимость Рґ(Т1) в момент времени ґ бескупонной облигации со сроком пога-
Утверждение 1 [2]. Если краткосрочная процентная ставка г(() подчиняется уравнению (3) и выполнено условие (4), то уравнение (3) имеет, и при этом единственное, решение
(2)
ёг(ґ) = (а(ґ) - Ь(ґ)г(ґ)) йґ + ё(ґ)dWt, г(0) = г0 ,
(3)
Т
(4)
0
шения Т1 согласно теореме 1, п. 5 из [2] определяется формулой
Т1
Р (г1 ) = Е <!ехр <!-| г еА , 0 < Р{ (Т1) < 1.
(5)
(6)
где
(7)
фундаментальное решение уравнения
ё(ґ) = 1 -{Р(у)я(У)ёу .
(8)
Утверждение 2 [2]. Процесс P(Tl) имеет эквивалентное (5) представление в виде уравнения
Pt (T') = exp {At (T') - r(t)Bt (T')} , (9)
где
1 T1
A (T1)=2 J
t
Г1
J (s)du
S g(s)
2
ds -J J g(u)d(s)ds J J g (s)
du, (10)
T1
B (T1) =J gU) du , (11)
t g(t)
Замечание 2. Модели цен облигаций, которые представляются в виде (9), называются однофакторными аффинными моделями согласно терминологии п. 4c, гл. III из [2].
Что же касается динамики процесса цен P(Tl) облигации, то будем предполагать, что относительно исходной меры на (Q, F, (Ft)t>0, P) процесс
Pt (т1 ) = Pt (т 1)/B (t), являющийся дисконтированной относительно банковского
счета ценой облигации, является мартингалом [2, 3], а в силу теоремы 1, п. 5a, гл. VII из [2] рассматриваемый рынок является безарбитражным [1 - 3].
Инвестор в момент времени t формирует капитал
Xt = ßtB (t) + YtP (T'), t e [0, T], T < T\ (12)
состоящий из банковского счета B и бескупонной облигации P(T1) со сроком погашения T1. Задача инвестирования на таком (B, Р)-рынке заключается в следующем: сформировать портфель (хеджирующую стратегию) п* = (ß*, у*) таким образом, чтобы эволюция капитала X* в соответствии с (12) обеспечила в момент T < T1 выполнение платежного обязательства
XT = /т, (13)
где fT > 0 - платежная функция, T - фиксированный момент исполнения опциона, то есть рассматриваются опционы Европейского типа [1 - 3].
В данной работе исследуется проблема хеджирования для опционов купли с платежными функциями соответственно вида (a+=max{a;0})
fmax1 = max {Рт (T1) - *!, K2} ; (14)
frmax2 = max {Pt (T1) - Kx, K2} I ^ (T1) > Kx ] ; (15)
fmin = min {((T1) - K)+ , K2 j, (16)
где Kj > 0, K2 > 0, I[A] - индикатор события A, т. е. I[A]=1, если событие A происходит и I[A]=0, если событие A не происходит.
Согласно платежному обязательству (14), владелец опциона может всегда предъявить его к исполнению, получая гарантированную выплату K2, если P^T1) < K1+K2, и выплату в размере PT<T1) - K1, если P7{T1)> K1+K2. Согласно платежному обязательству (15), владелец опциона предъявляет его к исполнению
только при выполнении условия Р1(Т')>К\. В результате владелец опциона получает гарантированную выплату К2, если РТ{Т1)<К\+К2, и выплату в размере РТ(Т1) - Кь если РТ<Т1)>К1+К2. Согласно платежному обязательству (16), если РТ(Т1) > К1, то покупатель опциона предъявляет его к исполнению и получает выплату в размере Рт(Т1) К1, если Р7(Т1)<К1+К2, и в размере К2, если Р^Т1) > К1+К2.
Замечание 3. Платежные функции (14), (15) дают преимущество владельцу опциона, т. к. гарантируют ему выплату, равную К2, в случае (14) всегда и в случае (15) при выполнении условия РТ(Т1)>К1. Платежная функция (16) дает преимущество инвестору, т. к. ограничивает его выплаты по опциону величиной К2.
Структура статьи следующая. В п. 2 вынесены основные результаты для опционов купли, для которых получены формулы, определяющие цены опционов, а также хеджирующие стратегии (портфели) и соответствующие им капиталы, обеспечивающие выполнение платежных обязательств. В п. 3 исследуются свойства решения.
Обозначим
2. Основные результаты
~К1Б(Г)
1п
Р (Т')
+2 оТ(т') Б2т(Т')
1п
ё 2(г) =-
°т (Т') Бт (Т')
(К + к 2 )Б(г)
Р (Т *)
+2 оТ(т:) Б2(Т')
°т (Т:) Бт (Т')
1п
У:(г) =
кгБ(г) Р (Т').
- 2 о2т(Т') Бт2(Т ')
1п
У2(г) =-
От (Т') Бт (Т') (К! + К 2 )Б(г) Р (Т у
Р (Т *)
- 2 оТ(Т :) Бт2(Т')
(17)
От (Т1)Бт (Т1)
(18)
где
Бт (Т') =|
ё (и) Я (Т)'
ёи .
(19)
От (Т') =
' т 1 г [{ё (»>! >5 ^3
J т V ' ё (^) )
(20)
ё (и) = ехр |-| |,
а ёь ё2, у!, у2 определяются формулами (17), (18) при г = 0.
Теорема 1. В случае опциона купли с платежной функцией вида (14) стоимость опциона С““1, капитал Х!тах1 и портфель (хеджирующая стратегия)
пГ1 = (уГх1, РГзх1) определяются формулами
С““1 = Р0 (Т1 )Ф(-у) - *1 Ф(-^) + К2Ф(ё2); (22)
Хтах1 = Р (Т1 )Ф(-У2 (')) - К Б(ґ )Ф(-^ (Ґ)) + *2 Б(ґ )Ф(^2 (Ґ)); (23)
у“ах1 = Ф(^^(0), в “ах1 = -К1Ф(-^2(0) + *2Ф(^2(0). (24)
Доказательство. Согласно общей теории платежных обязательств на рынке облигаций [2, 3],
X = Б(0 Е{Б-\Т) /т\Ft }, (25)
dXt
Yt =
dp
=XL-bfit;i). (26)
p = P, (T ) t B(l)
В соответствии с теорией расчетов на полных безарбитражных рынках и в предположении, что исходная вероятностная мера на (Q, F, (Ft)t>0, P) является мартингальной, а также, что
R(t, T) = B(t)B- (T) = exp j-Jr(s)dsj, (27)
находим, используя (14), (25), что
Xmaxi = E{R(t, t) fTmaxi | Ft} = E{R(t, T) max {pt (T1) - K1, K2} | Ft} =
= E{/[Pt (T1 ) > Ki + K2 ]R(t,T)Pt (T1) | Ft} - KiE{/[Pt (T1 ) > K + K2 ]R(t, T)| Fi} +
+K2E {I [Pt (T1 ) < K1 + K2 ] R(t, T) | Ft}. (28)
Использование (9) дает, что события
{Pt (T1) > Ki + K2 } = { At (T1 ) - r (T ) Bt (T1 ) > ln( K + K2)} = {r (T ) < r^ } ; (29)
{Pt (T1) < Ki + K2 } = { At (T1 ) - r (T ) Bt (T1 ) < ln( K + K2)} = {-r (T ) < -r^ }, (30)
где r* = ln(Ki + K2)-At(T^. (31)
-Bt (T1)
Пусть
T1 T
4 = r (T ), n =J r (u )du, ç = J r (u )du . (32)
0 0
Тогда из (28) - (30) находим, что
Xtmax1 = E{I[4 < ri*,]exp{-n} | Ft}-KiB(t)E{I[4 < ri*2]exp{-ç} | F(} +
+K2 B(t)E {I [-4 < -ri*2 ] exp {-ç} | Ft}. (33)
Для дальнейшего упрощения этой формулы полезной является следующая лемма из [2].
Лемма. Пусть (X, У) - гауссовская пара случайных величин с вектором сред-
них значений (дх, ц7) и матрицей ковариаций
2
СХ рХ¥
2
Vрху ст /
. Тогда
Е(I [X < х]ехр(-7}} = ехр{2- №г }ф(X) (34)
Е(I (X < х]Х ехр(-7}} = ехр(2 с7 - }(х - рхт )Ф(X) - схф(X)} , (35)
где
X =
х (Дх р ХУ)
>х
Из (6) находим, что
^ — Е (г (Т )} = я (Т) і г (0) + |
а(і') Я (5)'
= Е<! | г(ы)ёы I = г(0) | я(ы)ёы + | |Я^ а(^)^5
I 0 0 10 Я (5)
0
(Т
ёы :
= Е\ |г(ы)ёы I = г(0)|я(ы)ёы +1 | а(5)ё5
10 \ 0 010 я (5)
с2 = Б (г(Т)} = | ё2(5) ^ЯТ)^ ё* ;
ёы
~2 _ ^2 . •
— Б і | г(ы)ёы 1 — |
0
Т
Я (ы) Я (5)
ё (5)ёы
(
Р&
— СОУ
0
Т
— Б <!|г(ы)ёы I — | | Я^ ё(5)ёы
Я (5)
ё5;
ё5;
г (Т), | г(ы)ёы 1 — ё 2(5) ёы
р«п
— СОУ
0 / 0 V
р-й — -рй, Л ґ т
Я (5) 5 Я (5)
ё5:
г(Т), | г(ы)ёы — соу г(Т), | г(ы)ёы + соу г(Т), | г(ы)ёы
V 0
Т^1
Я (ы) Я (Т)
ёы.
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43) ()
(45)
(46)
(47)
и
с
с
Использование (33), (34) дает, что
X"
-К1Б(/) ехр
'{{ач-йп)
1 1 "4
1
+К1Б()ехр(2с2 - }ф
ґ г1*2- (йг-Рг?)
ґ г12 (Д-« р-«? ) Л С-«
(48)
Тогда (23) следует в результате подстановки (37) - (47) в (48), а (22) из того,
^-»шах1 т^шах1 от
что Ст — X 0 [2, 3].
Из (1) следует
дФ(ф)) — 1
л/2п
Согласно (17), (18),
ехр
е (5) I де(5) дФ(-е(5)) дФ(е(5))
д5
д5
д5
У2Ц) -ё2(/) — Ст (Т1)Бт (Т1).
Тогда из (23), (49) следует
дX"
— [Ф(-У2Є))]+*, * —-р
др
Использование (17), (18), (49) дает
дФ( У2(/))'
др
+ (*1 + К2) Б(*)
дФ(ё2(?))
др
дФ( У2(/))
др
дФ(ё 2(/))
1
р -\/2псТ (Т')БТ (Т')
Гєхр
1
1
др Рл/2псТ (Т') БТ (Т')
Из (17), (50) получаем
—ехр
У2
ё22)
У22 — ё22 - 21п
( + К 2 ) Б(ґ)
Р (Т1) .
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
Использование (52) - (54) в (51) дает, что ¥=0. Таким образом (24) следует из
(23), (26), (51). Теорема доказана.
Теорема 2. В случае опциона купли с платежной функцией вида (15) стоимость опциона СТ“ах2, капитал х¡:nax2 и портфель (хеджирующая стратегия) п“ах2 — (утах2, ршах 2) определяются формулами
СПах2 — СТпах1 - К2Ф(4);
Т
^шах2
хnnax2 — хímax1 - к2 Б(/)Ф(ё!(0); утах2 — утахі + *2б(ґ)р-'(Т 1)с-1(Т')БТ\Т 1)ф(ё1(/));
втах2 — в тах1 - *2 [Ф(ё1 (0)+ст1 (т 1) б- (т 1 )ф(ё1 (0)].
()
(56)
(57)
(58)
Доказательство. Использование (15), (25) аналогично (28) дает, что Xtmax2 = E{R(t,T)/Tmax2 | Ft} = E[R(t,T)max{PT(Pp-K1,K2}/[PT(T1) > K1 ] | Ft) =
= E{/ [P (Г1) > Pi + K2 ]R(t,T)Pt (T1) | Ft} - KiE{/[} (Г1) > Ki + K2 ]R(t,T)| Ft) +
+K2Ep[K1 <PT (Tp<K1 + K2]R(t,T)|Ft}=X} -K2E{l[PT (T1)<K1 ]R(t,T)|Ft] =
= Xtmaxl - K2B(t)E[l [- % < -ri* ] exp[-<;} | Ft} , (59)
где %, q имеют вид (32), а
* ln K, - AT (T1)
r =____i___-____
1 -Bt (T p
Преобразование (59) аналогично (28) с использованием (23), (34) и (59) приводит к (56), а (55) следует из того, что CT“ax2 = Xmax2 [2,3]. Из (56) с учетом (49) следует
Щ-----= [Ф(-У2(t))]-K2B(t) mdl{t)) +т, (60)
dp dp
где ¥ имеет вид (51). Использование (17), (49) дает
дФМ»=-11__________________________exp {-dM. (61)
dp p v2ncT (T1)BT (T1) [ 2 J
Так как при доказательстве теоремы 1 было доказано, что ¥=0, то (57) следует с учетом (24) из (26), (60), (61) и (1), а (58) следует с учетом (24) из (26), (56) и (57). Теорема доказана.
Теорема 3. В случае опциона купли с платежной функцией вида (16) стоимость опциона Cm”, капитал Xtmin и портфель (хеджирующая стратегия)
nmin = (Ymin,emin) определяются формулами
cmin = Po(Tp [ф(у2)-ФСуР]-^ [Ф(^2)-ФЦ)] + K2 ФЫ2); (62)
Xtmin = Pt(Tp[(y2(t))-Ф(yx(t))]-K1B(t)[®[d2(t))-Ф(^))] +K2B(tm-d2(t)); (63)
Ymin =Ф( У2 (t)) -Ф( yx(t)); (64)
emin = -K1 [Ф(d2 (t)) - Ф(dl (t))] + K2Ф(-d2 (t)). (65)
Доказательство. Использование (16), (25) аналогично (28) дает, что
Xtmin = E{R(t, T) /nF } = E {R(t, T )min {((T1) - K1)+ ,) j | Ft j =
= E {/ [ Pt (T p < p + K2 ] R(t, T) Pt (T1)^,} - E [l [ Pt (T1) < K ] R(t, T) Pt (T1) | F } -
-K1Ep [Pt (T1 ) < K1 + K2 ]R(t, T^Ft} + E[l [Pt (T1) < K ]R(t, T) | F(} +
+K2E [I [PT (T1) > K1 + K2 ] R(t, T) | Ft} . (66)
Преобразование (66) аналогично (28) приводит к (63), а (62) следует из (63) с учетом того, что С™п = X0“п [2,3]. Из (63) с учетом (49) следует
5ХГ
dp
= [Ф( y2(f)) -Ф( y\(t ))];
^= дФ(y2(t)) - дФ(yi(t))
др др
Использование (18), (49) дает
дФ( у^)) = 1
+ К, B(t) дФ(^^ - (К, + К 2) B(t) ))
dp
dp
dp
Аналогично (54)
p 4i%gt (T')BT (T') KxB(t)
ехр
Ji(t)
y2 = d,2 - 2ln
Pt (T ‘)
(67)
(68)
(69)
(70)
Использование (52) - (54), (61), (69) и (70) в (68) дает, что ¥ = 0. Таким образом (64) следует из (26), (67), а (65) следует из (27), (63) и (64). Теорема доказана.
3. Свойства решения
Утверждение 3. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимости стоимостей опционов от цены исполнения К1 и от величины К2, гарантирующей доход в случае платежных функций (14), (15) и ограничивающей выплаты по опциону в случае платежной функции (16), определяются формулами
дет
дК,
■ = -Ф C-d2),
дет
дК 2
■=Ф(^ 2),
дС
max2
К
= -Ф(-d 2) - ^ g-1 (T1) B- (T1 )<p(d (t));
дК,
К,
dCTmax2 _Ф,,. дстп1п
дК2
■_Ф(^2) -Ф(^),
дК,
_-[Ф(^2)-Ф(^1)],
дСТ
-_Ф(- 2)
При этом
дС
maxi
дК,
< 0,
дСТ
maxi
> 0,
дС
max 2
дК,
< 0,
дС
max 2
(71)
(72)
(73)
Ч дК 2 дК1 дК 2 дК1 дК 2
т.е. по К опционы купли являются убывающими, а по К2 - возрастающими функциями.
Доказательство. Использование (22), (55), (62) и (49) дает, что
дстах1 1 Г 1 \ у2 ] ду2 \ £ ] дё7
~скг=ж ■ро(Г‘)ехр {-т |д|+(К + К )ехр I- -т
длтш ¿v-tmin
>0, <0, >0,
дК,
дС”“1 _ i
л/2л
- P0 (Т1) exp {-^ll^ + (К, + К2 )exp {--Цд
2 I дК
2
2 I дК.
-ФЫ2); (74) + Ф(d2); (75)
дС
max 2
дК,
дС
max,
дК,
К2 expJfL
л/2П exp I 2 | дК,
(76)
дС“" _ 1
дК, л/2п
дСТ”
дСТ
дК2
дК2
--Ф(dl);
р0(Т 1)exp |-f }д|
-(К1 + К 2 )exp |-
()
-s/2n
P0 (Т1 )exp |-[Ж - К, exp|-^ ^
2 I дК,
d,2 I д^
2 I дК,
-[Ф№) -Ф(d1)]; (78)
дет
дК2
л/2П
P0(T 1)exp |-У2 -(К, + К2 )exp |-[д2
2 I дК2
л/2П
P0(T 1)exp |-4-
2 I дК.
- К, exp| -
2
d,2 j д^
2 I дК
+ ФЫ 2).
(79)
Тогда (71) - (73) следуют из (74) - (79), а свойства (73) следуют очевидным образом из (71) - (73) с учетом того, что й2>й\.
Экономическая интерпретация свойств (73) заключается в следующем. Согласно (14), опцион всегда предъявляется к исполнению и при увеличении К уменьшается величина возможной выплаты по опциону, а за меньший доход следует меньше платить, что приводит к уменьшению цены опциона купли с платежной функцией вида (14) при увеличении Кь Согласно (15), (16), опционы предъявляются к исполнению, если Рт{Т1)>К\. Таким образом, при увеличении К1 увеличивается риск не предъявить опцион к исполнению, а за больший риск следует меньше платить, что приводит к уменьшению цен опционов с платежными функциями (15), (16) при увеличении К\. Так как К2 - это максимальная величина, которую владелец опциона может получить при предъявлении к исполнению, то естественно, что цены опционов возрастают при увеличении К2, т.е. за возможность получить больший доход следует больше платить.
Замечание 4. Из (15), (16) следует, что
lim /Tmax2 _ fT
К Т JT
iim /min _ /т
Ко I W
(80)
где /Т = (Рт (Тх ) - К0+ (81)
может быть определена как платежная функция стандартного опциона купли, соответствующая экзотическим опционам с платежными функциями (15), (16). В [2, с. 970 - 979] на основе опосредованного подхода найдена стоимость опциона купли Ст для стандартной платежной функции вида (81).
Утверждение 4. Пусть Ст,Хг,у,Д есть пределы СТ™2,Х™х2,у)”“2,р™х2 при К2 ^ 0 либо СТ“т, Хтт, утт, ртт при К2 Т* . Тогда
Ct = Po (T1 )Ф(-y) - KW-di); (82)
Xt = Pt (T1 )Ф(-у (t)) - KiB(0Ф(-^ (t)); (83)
Y( = Ф(-у (t)), ß t = -KlФ(-dl (t)). (84)
Доказательство. Из (17), (18) следует, что d2(t) = d1(t), y2(t) = y1(t) при K2 = 0. Таким образом, формулы (82) - (84) следуют из (55) - (58) с учетом (22) -
(24). Аналогично d2(t) = да, y2(t) = да при K2 = да . Тогда с учетом свойств
Ф(-да) = 0, Ф (+да) = 1, Ф(-х) + Ф( х) = 1 формулы (82) - (84) также следуют из (62)
- (65).
Утверждение 5. Стоимости опционов CT““1,CT3“2,CT11",Ct связаны следующими соотношениями:
CTiax1 > CT“ax2 > Ct > CT31" . (85)
Доказательство. Свойство C“iaxl > CT“ax2 следует непосредственно из (56).
Свойства CT“ax2 > Ct > C“1” следуют из того, что согласно (73) C™“2 и C“11" яв-
ляются возрастающими функциями K2, и при этом, согласно утверждению 4, lim CT“ax2 = Ct при K2 X 0 и lim C“1111 = Ct при K2 t да .
Экономическая интерпретация свойств (85) заключается в следующем. Поскольку в случае стандартных опционов с платежной функцией (81) отсутствуют ограничения на величину выплаты по опциону, то цена экзотического опциона с платежной функцией (16) меньше цены стандартного опциона, так как за наличие ограничений, уменьшающих величину возможного дохода, следует меньше платить. Цены экзотических опционов с платежными функциями (14), (15) больше цены стандартного опциона, так как за наличие возможности получения гарантированного дохода следует больше платить. При этом CT“ax1 > CT“ax2, так как платежная функция /Tmax2 содержит дополнительное условие, в котором заключена возможность непредъявления опциона к исполнению, а за возрастающий риск следует меньше платить.
Приведем результаты для двух широко используемых моделей цен облигаций [1 - 3, 10, 11]. Для модели Хо - Ли b(t) = 0,d(t) = d, а для модели Васичека b(t) = b, d (t) = d. Тогда для модели Хо - Ли
1
( d 2 ^2
Gt (T')Bt (T') = ^- [(T1 - T)3 ]J (T - T), (86)
а для модели Васичека
1
Gt (T1)Bt (T1) = b (^ T - exp {-2bT}))2 (1 - exp {-b (T1 - T)}) . (87)
Утверждение 6. Для моделей Хо - Ли и Васичека справедливы теоремы 1 - 3 и утверждения 3 - 5, в которых величины gt (T')BT (T1) выражаются соответственно формулами (86) и (87).
Заключение
Основные результаты следующие:
1. Получены аналитические выражения для стоимостей опционов, хеджирующих стратегий (портфелей) и капиталов для опционов купли с платежными функциями (14) - (16) (теоремы 1 - 3)
2. Проведено исследование свойств решения (утверждения 3 - 5).
3. Все общие результаты для опционов купли с платежными функциями (14) -(16) конкретизированы для моделей Хо - Ли и Васичека (утверждение 6).
ЛИТЕРАТУРА
1. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007.
2. ШиряевА.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.
3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУВШЭ, 2001.
4. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М.: Тривола, 1995.
5. Wilmott P. Derivatives: the theory and practice financial engineering. N.Y.: John Willey, 2000.
6. Rubinstein M. Exotic options // Finance Working Paper. Berkeley: Inst. of Business and Econ. Research, 1991. Мо 220.
7. Zang P.G. An introduction to exotic options // European Financ. Manag. 1995. V. 1. P. 87 -95.
8. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. 1992. V. 60. №э. 1. P. 77 -105.
9. Бьорк Т. О временной структуре разрывных процентных ставок // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2. Вып. 4. С. 627 - 657.
10. Hull J., White A. Pricing interest rate derivative securities // Review of Financial Studies. 1990. V. 3. №. 5. P. 573 - 592.
11. Hull J., White A. Bond option pricing on a model for the evolution of bond prices // Advances in Futures and Options Research. 1993. Мо. 6. P. 1 - 13.
Демин Николай Серапионович Толстобоков Вячеслав Васильевич Томский государственный университет
E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 28 сентября 2009 г.
