Управление динамическими системами Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 3(8)

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.865

У.В. Андреева, Н.С. Демин, Е.В. Ерофеева

ОПЦИОН КУПЛИ НА ОСНОВЕ МАКСИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ЦЕНЫ РИСКОВОГО АКТИВА С ФИКСИРОВАННОЙ ЦЕНОЙ ИСПОЛНЕНИЯ

Рассматривается задача нахождения цены опциона, портфеля (хеджирующей стратегии) и капитала на диффузионном (Б^-финансовом рынке Европейского типа с фиксированной ценой исполнения, когда в качестве цены рискового актива используется ее максимальное значение в рассматриваемом временном периоде. Исследуются свойства решения.

Ключевые слова: опцион, портфель, капитал, хеджирование.

Опцион представляет собой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право покупки или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного рискового актива по оговоренной цене, а продавец опциона за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли, а во втором - опцион продажи. Стандартные платежные функции этих опционов характеризуются ценой исполнения и ценой базисного актива в момент исполнения [1 - 4]. С развитием рынка опционных контрактов стали появляться дополнительные требования к платежным обязательствам, что породило класс экзотических опционов [5 - 7]. Важным частным случаем подобных опционов являются опционы, основанные на учете экстремальных значений цены базисного актива. В данной работе для диффузионного (В,5)-финансового рынка Европейского типа приводится полное исследование задачи хеджирования опциона купли, основанного на максимальном значении цены рискового актива, в случае выплаты дивидендов по рисковым активам [1, 2, 8].

1. Постановка задачи

Рассмотрение задачи проводится на стохастическом базисе (^, ^, Е = (^) е0, Р) [1 - 3]. На финансовом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых St и В{ в течение интервала времени t е[0, Т] определяются уравнениями

= St (^ + ), йВг = гВ^, (1)

где ^ - стандартный винеровский процесс, с > 0, г > 0, ^0 > 0, В0 > 0 , решения которых имеют вид

St = S0 ехр {(д - с2/2) t + сWt} , В( = В0ехр {г^ . (2)

Считаем, что текущее значение капитала инвестора Хг определяется в виде

X = ел + Jtst, (3)

где п = ^, Yt) есть пара - измеримых процессов, составляющая портфель

ценных бумаг инвестора. Аналогично [9, §6] предполагается, что за обладание акциями происходят выплаты дивидендов в соответствии с процессом Д со скоростью 'ifitSt, пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом 5, таким, что 0 < 5 < г, т.е. = 5JtStdt. Тогда изменения капитала в задаче с ди-

видендами происходит в виде

dXt = в^В( +^ . (4)

Так как

dXt = вtdВt +у^( + Вtdpt + StdYt, (5)

то Вtdpt + StdYt = . (6)

Условие (6) является балансовым соотношением, которое заменяет условие самофинансируемости Вtdpt + StdYt = 0 в стандартной задаче без дивидендов. Тогда капитал определяется уравнением [9]

dXt = гХ^ + туг+5 , (7)

где процесс Ж— ~г+5 = ——г+51 + (8)

с

является винеровским относительно меры Р—-г+5, такой, что

в—-г+5 = 2—-г+5 d р

dPf-r+5 = Zf-r+s dPt, (9)

Zf -' *5 = exp{-w, - 1 J (J. (10)

Обозначая через Law(-|P) и Law(-|Pf-r+5) свойства процессов относительно P и Pf-r+5, получаем [1]

Law(Wf-r+5 |Pf-r+5) = Law(W\P).

Таким образом

Law

S0 exp

r - 5-----

2

t + oWf ~r+5 J;t < T |Pf~r+5

= Law | S0 exp r - 5 - -^2- 11 + oWt J; t < T | P \.

(11)

Следовательно,

Law(S(f, r, 5) |Pf-r+5) = Law(S(r, 5) |P), (12)

т.е. вероятностные свойства процесса S(f,r, 5), описываемого уравнением

dtSt (f, r, 5) = St (f, r, 5)((r - 5)dt + vdWf ~r+5), (13)

/

относительно меры Рц r+5 совпадают со свойствами процесса S(r, 5), который определяется уравнением

dtSt (r, 5) = St (r, 5)((r - 5)dt + cdWt), (14)

относительно меры P .

Ставится задача: сформировать хеджирующую стратегию п* = (Р*, у*), а также соответствующий ей капитал X* таким образом, чтобы выполнить платежное обязательство XT = /max (S) относительно платежной функции

/max(S) = (max St - K)+ , (15)

0<t <T

где a+ = max(a; 0), K > 0 - цена исполнения опциона, а также найти стоимость опциона CT™ = X0*.

Из (15) следует, что опцион с платежной функцией /max(S) предъявляется к исполнению, если максимальное значение цены рискового актива на интервале времени t е [0, T] превышает цену исполнения К. При этом владелец опциона получает доход Д = MT - K , где MT = max St.

0<t <T

Используемые обозначения: P{-} - вероятность события; Е{-} - математическое ожидание; N{a; D} - плотность нормального распределения с параметрами a и D ; I[A] - индикаторная функция события A ; интеграл без указания пределов означает интегрирование на интервале R = (-да, +да);

Ф(г) = { 4>(y)dy, ф(у) = ^= exP j-yr j . ()

2. Предварительные результаты

Приведем два результата, которые понадобятся при решении поставленной задачи.

Утверждение 1 [1, 8]. Пусть для t < T

Mt = max o^T = max(o^T + Ax), (17)

0<T<t 0<T<t

h o2

4t = rt + -t, h = r -5- —. (18)

o 2

Тогда для x > 0 и h е R плотность вероятности pM (t, x) = dP{Mt < x}/ dx

имеет вид

PM (', x) = wb ^ {-^ j-fexp B-

І (2hx) I (x + ht)2

+Ж7exp brxp і-їй- <19)

Утверждение 2. Если

г1-- f exp{cx}exp

V2nd J

J =t" | exp{cx}exp \ -(X d I dx , (2G)

I c2d I 1 f I [x - (a + cd)]2 I

то J = exp <{ca +-----1 , exp {-------------Idx . (21)

і 2 JV2ndJ і 2d J v '

Пусть X ~ N{a; d}. Тогда

E{exp{cX}I[X > b]) = exp <jca + ^|ф^ - b - (^+ cd) j. (22)

Представление (21) для J следует из (2G) в результате элементарных преобразований, а (22) следует из (2G) и (21) с учетом свойства функции Лапласа

Ф( z ) + Ф(-) = 1. (23)

Пусть

З. Основные результаты

d1(t)=( V5+с , ()

d2(t) = ( ^ - "I^'T-7, (

ln(K/St)-I r -5 + с2 j(T -1)

Уі (t) =------------------------------------------------------\1-, (26)

сл/T -1 ln( K / St) + | r - 5 - у | (T -1)

с і

I 2 '

ln(K/St)-I r-5- — j I (T -1) I

1 2.

У2 (t) =-----------------------------------4 , У-, (27)

2(r - 5)

a = ^^, (29)

с2

а й?2,у1,у2,у3 определяются формулами (24) - (28) при ґ = 0.

Теорема 1. Стоимость опциона, платежная функция которого имеет вид (15), определяется формулами

СГ = £0 [(1 + а-1 )е-5тФ{ёх) + (1 - а-1 )е“гТФ(-ё2)] -

ср = S0 (1 + a-V5T Ф(-У1) - (a-1)e-rT ^-K I Ф(-yr)

-Ke-T Ф(-y3), если S0 < K . (31)

Доказательство. Поскольку платежная функция /T (S) вида (15) является естественной [1,2], то

СГХ = exp{-r T }E{/max (S (r, 5))}, (32)

где с учетом (1), (2), (14), (18)

St (r, 5) = S0 exp{o^T }. (33)

Тогда согласно (17), (18),

max ST = S0 max exp{ht + oWt} = S0 exp{max(ht + oWt)} = S0 exp{MT } . (34)

0<t<T 0<t<T 0<t<T

Следовательно,

/max (S(r, 5)) = (S0 exp{MT } - K)+ . (35)

Использование (35) в (32) дает с учетом (19), что

CTmax = e-rTE{(S0 exp{MT } - K)+ } = e-rTFT (S0), (36)

Ft (S0) = J (S0ex - K) + pM (T, x)dx. (37)

0

а) Случай S0 > K. Использование (19) в (37) дает с учетом условия нормировки для pM (t, x), что

да

FT (S0) = S0 J expM (T, x)dx - K = S0 J - K , (38)

0

J = Jx - J2 + J3, (39)

J1 = * } ex exp j-(x - h2T) } dx , (40)

ov2nT 0 [ 2o2T J

G

Ji=f|exp I1+f) xH“ Їж Idx, <41)

'3 = жг {ехр С1+I) х1ехр {-ёх ■ <42)

Из сравнения <40) с <22) следует, что Ь = 0, с = 1, а = АТ, ё = с2Т . Тогда, согласно <22) с учетом <18), получаем

= ехр{<г - 5)Т}Ф^ + ^)ЛТ} ■ <43)

J1 = exp j hT + |ф

hT + с 2T

с 2У

ал/Г

Использование (24) в (43) дает, что

J1 = exp{(r - 5)T}Ф{d1} . (44)

2И 2

Из сравнения (42) с (22) следует, что Ь = 0,с = 1 + —- а = -ИТ, ё = с Т . Тогда,

согласно (22), аналогично (43)

2И А 1

У = ехр\-HT\l + с-) + -\1 + -И.) с2Т^Ф

( -ИТ + (1 + (2И / с2))с2Т А слТ

. (45)

Использование <18) и <24) в <45) приводит с учетом <44) к тому, что

J3 = ^ = ехр{<г - 5)Т}Ф<ё1) ■ (46)

Для вычисления J2 вида <41) воспользуемся формулой интегрирования по частям:

| ыёу = ыу -1 уёы ■

Возьмем

, х + ИТ А , ((, 2И

и = Ф|--------, = ехр|\1 + ~ Iх

2

}ёх.

Тогда

ёи = —

1

сл/ 2-Т Следовательно:

2И

ехр

(х + ИТ )2 2с2Т

ёх, V = -

2И + с'

-ехр <1 1 +

■71 'I

У2 =

2И + с

-Ф| - ^)+сТ-Т

і— іехр +§')х -

(х + ИТ)-2с2-

Так как, согласно (42), интеграл в (50) равен У3, то с учетом (46)

У2 ="

2И

2И + с

Использование (18) в (51) дает, что

ехр{(г - 5)Т }Ф(ё1) -Ф

И4Т

У2 =

2(г - 5 - (с2/2))

2(г - 5 - (с2/2)) + с2

ехр{(г - 5)Т }Ф(ё1) -Ф

( (г-5-(с2/2))—

В результате использования (25) и (29) в (52) получаем, что

У- = (1 - а-1) [ехр{(г - 5)Т}Ф(^) - Ф(-ё-)].

Подстановка (44), (46) и (53) в (39) дает, что

У = (1 + а-1) ехр{(г - 5)Т}Ф(ё1) + (1 - а-1 )Ф(-ё2).

Последовательно подставляя (54) в (38), а (38) в (36), приходим к (30). б) Случай £0 < К. Согласно (37),

і

Р $0) = | (^ех - К)рм (Т, х)йх,

Ь

где Ь - это решение уравнения 5'0ех = К, т.е.

Ь = 1п

К

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54) () (56)

а

2

где

Выражение <55) можно представить в виде

Рт <50) = Е1 - Е/, (57)

ад ад

ЕТ = 501 ехрм <Т, х)ёх, ¥Т = £| рм <Т, х)ёх ■ <58)

Ь Ь

Обозначим

ад

J1 =| ехрм <Т, х)ёх ■ (59)

Ь

Учитывая, что рм <Т, х) имеет вид <19), J1 представим в виде

J1 = J11 - Jl + J3, (60)

= ШТг Iе'ехр ^-1£252Т)1^ А • <

12=* адехр С1+1?) хН-х+г)ёх, <б2)

5ПТ ад 'хр I1+§)х}ехр {- 11^г} *■ <63)

J1 b v

Из сравнения (бІ) с (22) следует, что c = 1, a = hT, d = с2т . Тогда, согласно

(22) с учетом (ІВ), получаем

Ti L_, с2тj ф[ b -<h + с2)тА

J,=exp jhT+— H--1Ж~):

= exp{(r - 5)T }Ф

I b - (r - 5 + (с2 /2))T Л

(б4)

Использование (2б), (Зб) в (б4) дает, что

Ji = exp{(r - 5)T }Ф(-Уі). (6З)

2h 2

Из сравнения (бЗ) с (22) следует, что c = 1 +—, a = -hT, d = с T . Тогда, сос

гласно (22), аналогично (б4)

J3=exp і-hT (i+»)+i |i+і* )2 с2т j»(--b - <-hT+сг' ^ j

Использование (ЇВ), (2б) и (Зб) в (бб) приводит с учетом (бЗ) к тому, что

Ji = Ji = exp{(r - 5)T }Ф (-Уі). (67)

Для вычисления J1 вида (б2) воспользуемся формулой интегрирования по

частям (47) аналогично вычислению интеграла J2, где u, du,v, dv имеют вид (4В)

и (49). Тогда аналогично (50)

у2=

2И

2И+с-

Ь+ИТ

"ЇТТ )ехр

И»сИ>Ь={ехр-си:

(х+ИТУ 2с2Т

ск

Так как, согласно (63), интеграл в (68) равен У], то с учетом (18) і 2(г - 5 - (с2/2))

У2 =

ехр{(г - 5)Т }Ф(-У1) -Ф

2(г - 5 - (с2/2)) + с2 ( Ь + (г - 5 - (с2 /2))Т А с\Т

ехр

2Ь

-2 Л

г - 5--

+ Ь

В результате использования (27), (29) и (56) в (69) получаем, что У1 = (1 - а-1) [ехр{ (г - 5)Т}Ф(-у1) - ехр{аЬ}Ф(-у-)]. Подстановка (65), (67) и (70) в (60) дает, что

У1 = (1 + а-1 )ехр{(г - 5)Т}Ф(-у1) + (1 - а-1) (К^ Ф(-у-).

Тогда из (58), (71) следует

(1 + а-1)ехр{(г - 5)Т}Ф(-у1) + (1 - а-1) (К^ Ф(-у2)

Учитывая, что рм (Т, х) имеет вид (19), Р- представим в виде

РТ = К[у12 - У- + У32],

где

У\ = -1= | ехр |-сы—пТ 1

(х - ИТ)2 2с2Т

ёх,

У32 =■

2И I (2И )

с- {ехр Ьх|

1 I РМ /2-Т { ЄХР 1с? х|

ФІ -Ї+ІТ] ёх,

,~/Т )

(х + ИТ )2 2с2Т

ёх.

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

с>/2-Т ^

Из сравнения (74) с (61) с учетом (22) следует, что вычисление У2 будет аналогичным вычислению у1 при с = 0 . В результате получается с учетом (28), что

У- =Ф(-у3 ).

2И

()

Из сравнения (76) с (22) следует, что с = —- а = -АТ, ё = с Т ■ Тогда, согласно

с

(22), выполняя преобразования, аналогичные проводившимся при вычислении , получаем, что

У32 = У- =Ф (-у3).

(78)

Для вычисления !2 вида (75) воспользуемся формулой интегрирования по частям (47), полагая

. х + ИТ А , (2И )

и = Ф|------) , т = ехрI—— ^ах.

Тогда

ёи = —

1

гТ—ПТ

ехр

(х + ИТ )2

„ > ёх, V =— ехр

2с Т І 2И

ЄІ

Следовательно

у — =- ехр {^ 1Ф1 -

— = ~Ш*}ф(. ПИТ)+

им ч сТТ ) о-ЛьТІ I с

/ё? Iехр [

2с2—

(79)

(80)

(81)

Так как, согласно (75), интеграл в (81) равен !3, то с учетом (78), (18), (27) и (29)

У 2 =Ф(-3)-\К] Ф(-у— ).

Тогда, согласно (73), (82),

а-1

Ф(-у3) + ( К| Ф (-у—)

(82)

(83)

Подставляя (72) и (83) в (57), а (57) в (36), приходим к <31)

Теорема доказана^

Теорема 2. Капитал X* и хеджирующая стратегия п* = (у*, в*) определяются формулами

(х™х) = [<1 + а-1 )е~5(Т-)Ф(ё1</)) + <1 - а-1 )е~г<Т-)Ф<-ё2(,))]- ]]-}, (84)

(утх) = <1 + а-1 )е~5(Т-)Ф(ё1 </)) + <1 - а-1 )е_г<Т-')Ф(-ё2(,)), (85)

(в Г)

= - К_

= - В*

- г(Т-ґ)

(86)

если Б, > К :

((— )* = Б

(1 + а-1 )е-5(Т-ґ) Ф(-у, (ґ)) - а-1е-г(Т-ґ) | К | Ф(-у2 —))

-Ке-г(Т-ґ)Ф(-у3(ґ));

(87)

(уР )* = (1 + а-1 )е-5(Т-ґ)Ф(-у (ґ)) + (1 - а-1 )е-

(вР )* =- В е-г (Т

КФ(-у3(ґ)) + ^| — | Ф(-у—(ґ))

г (Т-ґ )

К

К

Ф (-у—)), (88)

(89)

2

Доказательство. Поскольку платежная функция вида (15) является естественной, то согласно общей теории платежных обязательств [1 - 3],

- = е-г<Т)Е{/т <5(г, 5)) | 5, } = е-<Т -)Ет -, <5,) = X* <5,),

X, = е-

Ет-<5 () = Е{/т <5(г, 5)) 15, }, 5Х*<ф),

дф

-< 5),

, = X, < 5,) - уД

в, =

Б,

(90)

(91)

(92)

(93)

Из сравнения (32) и (90) следует, что вычисления по нахождению Ет-, <5,) аналогичны вычислениям по нахождению Ст с заменой 50 на 5, и Т на (Т -, )■ Таким образом, (84) и (87) следуют из (30) и (31) с учетом указанных замен Использование (84) в (92) приводит к (85), а (86) следует из (84), (85), (93)

Из <16) следует

дФ(а< 5))

1

дф л/2П

Согласно (87), д( X^—(s)У

ехр

да(ф) дФ(-а(ф)) дФ(а(ф))

дф

дф

дф

(94)

дф

= (1 + а-1) е-5(т-)Ф<-у (,)) - а-1 |К^ е-г<т-)Ф<-у2 (0) -

(1 + а

1 ) -5<Т -^) дФ<-y1<t)) - -1 ГК_Т е-г<Т-) дФ<-У2<))

дф

е ----...... - а | — | е

-Ке-г<т -г) “V •'3™ +|^| ^г<т ^)Ф<-у2 (,)) ■

дф

г<Т-) дФ<-У3<()) +|КТ е-г<Т-

дф

(95)

Представим (95) в виде ' =(1 + а-1 )е-5т-')Ф(-у|(,)) + (1 - а-1 )е-т-') (фф(-ф)) + V, (96)

д( Xpx<ф))

д5

V = V + фа у2,

¥ = Ке~г<Т-) дФ<у3 <)) - фе-5(Т-) дФ<у1 <))

1 дф дф ’

= е-г(Т-) Г К Т дФ<у2 < ,)) _-5<Т-) дФ<у1(г1))

^ = е I ф ) дф е дф

Из (26) - (28) следует, что

У1<0 = У3<0-,

У1<0 = У2<0 - 2(Г--5^лТ-7 ■ с

Согласно (27), (28), (94),

(97)

(98)

(99)

<100)

дф(Уз(7)) _ 1 гехр2(0., (Ш2)

дф ФОу/2п(Т _ 7) I 2

дФ( У'2<')) _ 1 ехр уіЧ)). (103)

дл ,ло\/2п(Т - 7) I 2

Из (100) и (102) следует

2 У2(Ґ)) •

дФ( Уі(ґ))

дф

1

\Оу12п(Т - 7) Использование (28) в (104) дает, что

2,(Т_7) ЄХР{_Ї_',',ТГ7>!}_

{_У32")}еХР\о'Т~7Уз(7) _ ° Т 7)} • (104)

дл 52^ 2п(Т - 7)

Из (101) и (103) следует

ехр{_(г _ 5)(Т _ 7 )}ехр {—3—}. (105)

дФ(Уа(7)) _ К ґ _ ^ I уз2(7)

__ , ' ЄХР {-1Г У,(,) _ і }:

дф Л'Ол/2п(Т _ 7) [ 2 Г о / |

1

гехр

■У^}ехр{2Г-І)л/Т~_7у2(7) _ 2(Г^25)2 (Т _7)|. (106)

Л'Ол/2п(Т - 7)

Использование (27) в (106) дает, что

^=-да=Гр *-(г -5,(7 -7»(Лехр И (107)

Подставляя (102) и (105) в (98), а (103) и (107) в (99), получаем, что у = 0,

у2 = 0, то есть, согласно (97), у = 0. Тогда (88) следует из (92) и (96), а (89) - из

(87), (88) и (93). Теорема доказана.

4. Свойства

Введем в рассмотрение коэффициенты чувствительности

V дСТ К дСт

С?0 =—т- , СК =—-, (108)

т д?0 т дК

определяющие зависимость цены опциона от начальной цены акции ?0 и цены

исполнения опциона К .

Теорема 3. Выражения для чувствительностей цены опциона, основанного на максимальном значении цены рискового актива, имеют вид

(С?0 )таХ = (1 + а-1 )е~5Т0(4) + (1 - а-1 )е_гТФ(-^2), (109)

Ст. ) _ <i + а-|)е-»тФ<_У|) + <i _ a^i-K] (ill)

о

max _гт

K I Ф(-У2) + Ф(-уз)

(112)

если S0 < K .

Доказательство. Дифференцирование (30) по S0 приводит к (109). Дифференцирование (31) по S0 дает

(CtS0 ) _(l + a-1 ) Ф(-yi) - a

+Sn

n ST дФ(-Уі) 1 f K A -rT дФ(-У2)

e------------------a I — I e

дSn І S0

дSo

д^

Представим это выражение в виде

-Ke-rT дФ( Уз) + fK I e-rTФ(-y2).

ІS0

)max =(1 + a-1 )e-5TФ(-л) + (1 -a-1 e-rTФ(-у2) + у , (113)

где у определяется формулами (97) - (99). Так как у = 0, то (111) следует из (113).

Дифференцирование (30) по K приводит к (110). Дифференцирование (31) по K дает

-n -8T дФ(-Уі) 1 f K Y -rT дФ(-У2)

дK

-

S0

дK

-e

a-1

Ф(-У2) + Ф(-Уз)

- Ke

,-rT дФ(-Уз)

дK

Это выражение представим в виде

(?)

max -rT

_ -e

a-1

K I Ф(-у2) + Ф(-уз)

(114)

i\ -5T дФ(-Уі) і f K A т дФ(-У2)

дK

-

S0

дK

- Ke-’T дФ<-Уз> .<115)

dK

Из (26) - (28), (94) следует

{дФ(-yi)

дK сл/ 2nTK

дФ(-У2) _ 1

дK gV 2nTK

дФ(-Уз) 1

дK

і- 2 у2 j,

- У j,

JbTK''р- - Уз j.

exp

exp

exp

Использование (116) в (115) с последующим использованием (100) и (101) дает, что

Подставляя (26) в (117), получаем, что у = 0. Тогда (112) следует из (114). Теорема доказана.

Теорема 4. При S0 > K стоимость опциона Crpax , основанного на максимальном значении цены рискового актива, является возрастающей функцией по начальной цене акции S0 и убывающей функцией по цене исполнения опциона K , то есть

(CS0 )max > 0; (CK )max < 0 . (118)

При S0 < K стоимость опциона Cf^ является возрастающей функцией по на-

чальной цене акции S0 для > 1 и убывающей по цене исполнения опциона K для любых значений а, то есть

(S \rnax / к \rnax

CS0) > 0, а > 1; (CK)—< 0. (119)

Доказательство. Для доказательства будем использовать следующие свойства функции Лапласа:

Ф(а) > Ф(Ь), a > b ; 0 < Ф(z) < 1; (120)

Рассмотрим случай S0 > K. Так как 0 < 5 < r, то из (109) следует, что

(Cf0 )max > e-T [ФЦ) + Ф(-й?2) + а-1 (Ф(^) -Ф(-^2)) . (121)

(S \max

CT0) > 0 следует с уче-

том (120) из (121), а свойство (Cf" )max < 0 следует непосредственно из (110). Теперь рассмотрим случай S0 < K. Если а > 1, то (1 - а-1) > 0, и свойство

(S \ max / K \rnax

CT0 ) > 0 следует из (111), а свойство (CT ) < 0 следует непосредственно

из (112). Теорема доказана.

Дадим интерпретацию доказанных свойств.

1. Свойство возрастания Cmax по S0 .

Согласно платежному обязательству (15), опцион предъявляется к исполнению, если максимальное значение цены рискового актива на всем временном интервале от момента заключения контракта t = 0 до момента исполнения опциона t = T превысит цену исполнения опциона K , т.е. max St > K. Поскольку при

0<t <T

увеличении начальной цены акции S0 риск не предъявить опцион уменьшается,

то, естественно, что цена опциона возрастает, так как за меньший риск следует больше платить.

2. Свойство убывания C™* по K .

Поскольку при увеличении величины K вероятность того, что максимальное значение цены рискового актива превысит цену исполнения опциона, уменьшается, т. е. увеличивается риск не предъявить опцион к исполнению, то естественно, что величина, которую покупатель платит за опцион, уменьшается, так как за больший риск следует меньше платить.

Заключение

Основные результаты заключаются в следующем.

1. Получены аналитические выражения для стоимости опциона (Теорема 1).

2. Найдены хеджирующие стратегии (портфели) и соответствующие им капиталы, обеспечивающие выполнение платежного обязательства (Теорема 2).

3. Исследованы свойства цены опциона, касающиеся характера ее зависимостей от начальной цены акции и от цены исполнения опциона (Теорема 3 и 4).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д. О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 80 - 29.

2. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1. Вып. 5. С. 780 - 820.

3. Мельников А.В., Волков С.Н., НечаевМ.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001. 253 с.

4. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007. 1052 с.

5. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бумаг. 2002. Вып. 15. С. 53 -57.

6. Rubinstein M. Exotic options // Finance working paper. Berkeley: Inst. of Business and Economic Research, Univ. of California, 1991. Na 220.

7. ZhangP.G. An introduction to exotic options // Europ. Financial M. 1995. V. 1. Na 1. P. 87 -95.

8. Аникина А.В., Демин Н.С. Исследование Европейского опциона продажи с последействием в случае выплаты дивидендов. // Вестник ТГУ. 2006. № 290. С. 216 - 220.

9. Шепп Л.А., Ширяев А.Н. Новый взгляд на расчеты «Русского опциона» // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 130 - 148.

Андреева Ульяна Викторовна Демин Николай Серапионович Ерофеева Екатерина Владимировна Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected]

Поступила в редакцию 18 февраля 2009 г.