Электродинамический отклик квантового кольца Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.958

В. А. Маргулис, В. А. Миронов

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ ОТКЛИК КВАНТОВОГО КОЛЬЦА*

Исследован электродинамический отклик электронного газа, находящийся в квантовом кольце в магнитном поле. Изучен случай, когда вектор поляризации фотонов перпендикулярен магнитному полю. Найдено аналитическое выражение для коэффициентов поглощения электромагнитного излучения кольцом. Показано, что, в общем случае, на кривой поглощения имеются два резонансных пика. Кроме того, при низкой температуре на кривой поглощения возникают изломы.

Введение

Одним из основных методов изучения спектральных свойств электронного газа в различных низкоразмерных структурах является исследование внутризонных электронных переходов под действием электромагнитного излучения. В частности, переходы в квантовых проволоках исследованы в работе [1], в квантовых слоях - в работе [2], в наносфере - в работе [3]. Внутри-зонное поглощение электромагнитного излучения квантовыми наноструктурами с параболическим потенциалом конфайнмента исследовано в работе [4].

Интересным объектом для изучения является квантовое кольцо, поскольку его часто используют на практике (например, для изготовления баллистических интерферометров). При теоретическом исследовании физических свойств колец возникают определенные трудности, связанные с подходящим выбором модельного потенциала конфайнмента, ограничивающего движение электронов в кольце. В настоящей работе квантовое кольцо моде-

2 2

лируется потенциалом V(г) = «1/г + «2г - У0 [5]. Использование такой модели кольца в теоретических исследованиях обусловлено тем, что эта модель позволяет найти выражения для электронного спектра и волновых функций колец при наличии внешнего магнитного поля и далее найти явные аналитические выражения для электродинамического отклика квантового кольца. Потенциал, описывающий кольцо, в модели [5] также успешно использовался для объяснения биений в осцилляциях Ааронова-Бома, которые экспериментально наблюдались в двумерном полупроводниковом кольце [5, 6].

Подобные квантовые кольца изготавливаются на основе гетероструктур, например АЮаА8-ОаА8 - гетероструктуры [7, 8], в которых формируется двумерный электронный газ. В таких кольцах движение электронов вдоль одного направления (ось Oz), перпендикулярного плоскости самого кольца, «заморожено» в основном состоянии сильным поверхностным потенциалом, поскольку толщина кольца намного меньше, чем внутренний и внешний радиусы кольца. Поэтому в плоскости кольца образуется двумерный электронный газ.

Целью настоящей работы является получение и исследование явной зависимости электродинамического отклика в кольце V (г) при Т Ф 0.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ.

1. Вычисление поглощения электромагнитного излучения кольцом

В более удобной записи потенциал V (г) запишем в виде

\2

V (г) =

г -

2 ^ г0

где ю0 - характеристическая частота потенциала; т - эффективная масса электрона. Внешний и внутренний радиусы кольца г±, соответственно, на уровне Ферми имеют вид

г±= г0 (* + е/ ± д/2е / + е/ ) ,

(* 2 2 \

т Юого ); Е/ - энергия Ферми; г0 - средний радиус кольца.

Кольцо находится в однородном магнитном поле В, направленном вдоль оси Ог и перпендикулярном поверхности самого кольца. Собственные функции и собственные значения гамильтониана системы имеют вид [9]

,1/2

Г(П + M + 1)

х | 2M+1 [Г(м +1)] п!п

2 ] г

х exp

1

ф

ехр(гтф) 2 ]

M -] х V х)

(1)

-n, M +1,

F =

nm

n +

- j Йю + ^

1

2 ,

Йю

2 4 ЙЮ

т +р0---------------т—

2 2

■- Йю0р0,

(2)

где т - магнитное квантовое число, т = 0,± 1,± 2,...; X = ^Й/(п ю

М = -^ т2 + Ро ; Ф - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера, п = 0,1,2, ...; ю = ^4ю2+ЮС ; Ро - средний радиус, выраженный в единицах

Й /

юс = eB / т с - циклотронная частота.

Рассмотрим поглощение линейно поляризованного электромагнитного излучения. Выберем направление вектора поляризации фотонов (ek) вдоль оси Oy. Тогда вектор поляризации в полярной системе координат будет иметь вид ek = cos феф + sin ф ег , где еф , ег - единичные вектора в полярной системе координат.

Следует отметить, что в отличие от объемной структуры при таком направлении распространения волны (электромагнитное излучение распространяется перпендикулярно самому кольцу) нельзя ввести коэффициент поглощения, характеризующий потерю энергии волны на единице длины. Однако можно ввести безразмерный коэффициент, равный отношению числа фото-

нов, поглощенных единицеи площади двумерной структуры в единицу времени, к плотности потока фотонов [10].

Коэффициент поглощения в случае невырожденного газа в первом порядке теории возмущений по константе электрон-фотонного взаимодействия описывается выражением, следующим из работы [11]:

Г= [1 - ехр / Т Я Z fo( Es ) [1 - fo( Es + й^)]х

СЙ^к Js^ (3)

х|< s '|HR\s) |2 5( - Es ■ + Ш),

где s - совокупность квантовых чисел, характеризующих состояние электрона в системе; e(Q) - вещественная часть диэлектрической проницаемости

(предполагаем, что в рассматриваемой здесь области частот ее дисперсии нет); Nk - концентрация падающих на кольцо фотонов с частотой Q; k - волновой вектор фотона; ns - концентрация электронов на поверхности кольца; множитель 1 - exp(-hQ/Т) учитывает вынужденное испускание фотонов;

f0(Es) - электронная функция распределения. Оператор электрон-фотонного взаимодействия имеет хорошо известный вид:

Нк = (4)

т \ е(й)й

где Р = р - еА/с - обобщенный импульс электрона в магнитном поле. Векторный потенциал выбран в виде А = Вгеф / 2 .

Для учета размытия резонанса рассеянием электронов введем лоренце-во уширение дельтообразных пиков по формуле

8Т (х) = ^-2Т)-2, (5)

т 2 + х2

где т - феноменологическое время релаксации.

Подставив формулу (5) в (3) и не учитывая процессы самопроизвольного испускания фотонов, получим

Г = Г0 7^ X &(Епт ) [ /Ъ (Епт +^^)]Х

Q

n ,n,m ,m

5m ',m-1^1 (n, n', m, m') + 5m ',m+1^2( n, n', m, m')

^ 2 ,

1 + т [(n - n')ю + (М - M')/2 - (m - m')roc/2 + Q]

где введено Го = mse2т/(4r^/e(Q)m* ). Здесь

Г(1/2 + M '/2 + M/2 + k)

(б)

n !n!

F12(n, n', m, m') =----------------------------------—-x

12 Г(п '+ M'+ 1)Г(п + M +1)

I-

x

/

1 M' M

2

Ґ

k =0 k !(n - k)!(n'- k)! (7)

/

n-k

I J. , ^ + fflc

± M + m +--------------------c x

2ю

(1 + М' + М + 2 к)

Х-

1 - (М' - М )2

_____± к (1 - М' + М)

(1 - М' + М - 2п' + 2к)(1 + М'- М - 2п + 2к) ± п'- к +1

(7)

где (а)п - символ Похгаммера.

Представим формулу (6) для поглощения в виде суммы двух слагаемых: Г = Г1 + Г2, где

Г

12 = .Ю V

О ^

V у> г

Ч + т2

/0(Епт)/ - /0(Епт + ЙО)] F12(n,п',m, т + 1)

(п -п')ю + ^М -^(т +1)2 + р0 |ю/2 + юс/2 +

О

- (8)

Используя формулу (8), найдем особенности поведения кривой электродинамического отклика Г от частоты падающего излучения О. Поскольку функция Г( О) имеет сложный вид, то ограничимся исследованием парциальных коэффициентов поглощения Гпп., где Г = ^ , Гпп. .

Представим Гпп. в следующем виде:

41}

У Г(2) + У г(2) + У Г(1), .

/ ^ пп т. / ; пп т. / ; пп т

. +Г .

пп т пп т

(2)

У г(1),

/ • пп т т=2 1

41)

(9)

пп т

т=-1 т=-^

Как показывает численный анализ (при юс ~ 1012я \ Юо ~ 1012я 1, ро ~ 10 1, ^ ~ 10 "14ег#, т~10 пя), последние две суммы в формуле (9) на 5-6 порядков меньше, чем первые две. С учетом этого получим

-412-1

Гпп' = ^

Гп О

I

/0(Епт)С1 - /0(Епт + hО)]Fl(n,п' , т, т -1)

+5 1

т=21 + т2

-2

-у[(т

-1) + Ро Iю/2-Юс/2 + О

(п -п ')ю + |М -/0(Епт)С1 - /0(Епт + п\ т, т +1)

(10)

’1 + т2

(п -п ')ю + | М -

-д/(т + 1)

+ Роо Iю/2 + Юс /2 + О

Будем рассматривать переходы (п, т) ^ (п', т ± 1), где п = п +1, поскольку, как показывает анализ, коэффициент поглощения для переходов в п = п + к (для к > 1) на 5 порядков меньше, чем для переходов в п = п +1. Тогда поглощение электромагнитного излучения для переходов (п, т) ^ (п +1, т ± 1), вычисленное в предположении, что при т Ф 0

■^т2 + р4 =| т | +0(4/т2) (данное условие хорошо выполняется для

Р0 < 1/2, т.е. для случая, когда г+ » г- , что соответствует широким квантовым кольцам), имеет вид

2

г п,п+1 _ (п + 1)(ю-юс)

г - і 2 Ё /0(Епт)[1 - /0(Епт ЙЙ)] +

г 0 &ЮІ1 + т2 [-Ю/2-юс/2] ) т=2

(11)

+ -

(п + 1)(м + шс)

Ою(1 + Т2 [-Ю/2 + юс/2] I т=2

Ё /0(Еп,-т)[1 -/0(Еп,-т +) ]•

Заключение

В предыдущем разделе получено выражение (11) для поглощения квантового кольца. Используя его, можно найти особенности поведения кривой электродинамического отклика Г от частоты падающего излучения ^ и величины циклотронной частоты шс.

Резонансные частоты для переходов (п, т) ^ (п +1, т ± 1) равны ^12 =ю /2 + шс /2. Видно, что расстояние между пиками равно циклотронной частоте (рис. 1).

Рис. 1 Графики зависимости коэффициента поглощения в единицах Г0 от частоты падающего излучения. Сплошная линия соответствует Шс / Шо = 0,8 , штриховая линия - Шс /Шо = 0,1. Т = 0,01 К, р0 = 1/3, ц = 5-10"14 ег£, т = 10-1Ч п = 1, Ш0 = 5-1012Г1

При низких температурах на графиках поглощения существуют изломы кривой, обусловленные пересечениями уровня ц - ЙЙ с энергетическими

уровнями электронов. Из условия возникновения изломов ц-ЙЙ = Епт находим, что они возникают на кривой поглощения Гпп+1(Й) при частотах электромагнитного излучения

Ш±ШС

Д Ш±Ш^ 2

ш12 (т) = — - (п +1/ 2)ш - т--- + шор0,

Н 2

(12)

соответственно, для левого и правого пиков на рисунке 1. Квантовое число т в (12) (как видно из (11)) изменяется в пределах от 2 до ттах, где ттах находится

оо

из условия д = Епт, и равно т^ = [2(/Й + ^0Р2 -(п + 1/2)ш|/(ш±шс)], где

квадратные скобки обозначают целую часть числа. Как показывает анализ, если частота, при которой возникает первый излом, для левого пика а>^ (т1 / больше резонансной частоты ^, то пик будет отсутствовать на кривой поглощения (рис. 2), что же касается правого пика, то условие его существования Ш2 (т2 / < ^ 2 выполнено всегда.

Рис. 2 Графики зависимости коэффициента поглощения от частоты падающего излучения. Сплошная линия соответствует Шс / Ш0 = 0,8 ,

штриховая линия - Шс /Ш>0 = 0,64 . Т = 0,01 К, р0 = 1/3, ц = 5-10“14ег£,

т = 10-1Ч п = 1, Ш0 = 5-101У1

При увеличении химического потенциала д происходит смещение изломов вправо на графике поглощения, как показано на рисунке 3. Изменение среднего радиуса кольца р0 также приводит к изменению положения изломов (рис. 4).

Рис. 3 Графики зависимости коэффициента поглощения от частоты падающего излучения. Сплошная линия соответствует ц = 5Л0~l4eгg, штриховая линия -ц = 5,1-10“14ег£. Т = 0,01 К, р0 = 1/3, Шс /Ш0 = 0,9, т = 10-1Ч п = 1, Ш0 = 51012^-1

0.15 —І— л j / \

го.1 cf (-І / \

0.05 0_ / ^ *4x '

^ 7.5 8 8.5 9 ~ -1 . .1?

12, S x 1 0

Рис. 4 Графики зависимости коэффициента поглощения от частоты падающего излучения. Сплошная линия соответствует р0 = 1/3, штриховая линия - р0 = 1/4.

Т = 0,01 К, ц = 5-10-14£Г£, /ш0 = 0,9, т = 10-1Ч п = 1, «0 = 5-101У1

На кривой поглощения Г пп+1(^с) также имеются изломы (рис. 5), которые значительно сглаживаются при малом увеличении температуры, что хорошо видно из рисунка 5.

2.5 2

A °'15 11 0 1

\

\

о U 1.5 "+ с с и 1 0.5 ■ I 1 0.05 U Є

5 3 3.5 4

8. 5 1 1.5 2 2 '.5 3 3.5 4

Cl) S ^ x 1012

UJ ■ О A Iw С

Рис. 5 Графики зависимости коэффициента поглощения в единицах Г0 от циклотронной частоты. Сплошная тонкая линия соответствует T = 0,01 K, жирная сплошная линия - T = 0,5 K. р0 = 1/3, ц = 5-10-14erg, ^ = 6-1012s_1, T=10-11s, n = 1, «0 = 5-101У1

Список литературы

1. Blom S., Gorelik L. Y., Jonson M., Shekhter R. I., Scherbakov A. G., Bogachek E. N., Landman Uzi // Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58. - P. 16305.

2. Uspenskii Yu. A., Harmon B. N. // Phys. Rev. B. - 2000. - V. 61. - P. 10571.

3. Булаев Д. В., Гейлер В. А., Маргулис В. А. // ФТТ. - 2002. - Т. 44. -

С. 471.

4. Галкин Н. Г., Маргулис В. А., Шорохов А. В. // ФТТ. - 2001. - Т. 43. -С. 511.

5. Tan W.-C., Inkson J. C. // Phys. Rev. B. - 1996. - V. 53. - P. 6947.

6. Liu J., Gao W. X., Ismail K., Lee K. Y., Hong J. M., S. Washburn //

Phys. Rev. B. - 1993. - V. 48. - P. 15148.

7. Fuhrer A., Luscher S., Ihn T., Heinzel T., Ensslin K., Wegschei-der W., Bichler M. // Nature. - 2001. - V. 413. - P. 822.

8. Keyser U., Borck S., Haug R., Bichler M., Abstreiter G., Wegschei-

der W. // Semicond. Sci. Technol. - 2002. - V. 17. - P. 122.

9. Tan W.-C., Inkson J. C. // Phys. Rev. B. - 1999. - V. 60. - P. 5626.

10. Демиховский, В. Я. Физика квантовых низкоразмерных структур / В. Я. Де-миховский, Г. А. Вугальтер. - М. : Логос, 2000. - 248 с.

11. Басс Ф. Г., Левинсон И. Б. // ЖЭТФ. - 1965. - Т. 49. - С. 914.