Спин-гибридно-фононные резонансы в квантовом канале Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.958

В. В. Карпунин, В. А. Маргулис

СПИН-ГИБРИДНО-ФОНОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ В КВАНТОВОМ КАНАЛЕ

Исследован коэффициент поглощения электромагнитного излучения электронами проводимости параболического квантового канала, находящегося в магнитном поле. Рассмотрены резонансные переходы между дискретными уровнями, происходящие при перевороте спина электрона из-за взаимодействия с решеткой. Исследована форма и положение резонансной кривой.

Введение

В классической работе [1] был вычислен коэффициент поглощения электромагнитного излучения электронами объемного (3D) полупроводника, находящимися в магнитном поле и испытывающими рассеяние на оптических фононах. Установлен резонансный характер поглощения, исследована форма кривой и условия экспериментального наблюдения. Было отмечено, что для представления полной картины поглощения необходимо также рассмотреть электронные переходы, которые сопровождаются переворотом электронного спина.

В работе [2] была получена часть оператора электрон-фононного взаимодействия, которая обусловливает переходы с переворотом спина. Коэффициент поглощения в 3D электронном газе с использованием этого оператора вычислен в работе [3]. Был исследован спин-циклотрон-фононный резонанс, определена форма и положение резонансного пика. Этот же оператор применялся при рассмотрении спин-магнетофононного резонанса [4]. В низкоразмерных системах также изучались аналогичные эффекты.

Гибридно-фононные резонансы в трехмерной квантовой яме рассмотрены в работе [5], в трехмерной квантовой проволоке - в [6], в квазидвумерном электронном газе в наклонном магнитном поле - в [7], спин-гибридно-фононные резонансы анизотропной квантовой точки с переворотом спина - в [8].

В работе [9] рассмотрен основной вклад в коэффициент поглощения в системе с пониженной размерностью (квантовом канале), когда рассеяние электронов на фононах не приводит к перевороту электронного спина. В этой работе рассматривается вклад в коэффициент поглощения в квантовом канале, обусловленный переворотом электронного спина из-за электрон-фононного взаимодействия.

Коэффициент поглощения, обусловленный поглощением фотона и поглощением (испусканием) фонона, получен в общем виде в [1] и имеет вид

г*“)=2ivTV і1 “ехр (“ T M Ea )Kp' f F “-І2 x

x8(Ea - Ep + hrnq + Йю), (1)

где f - волновой вектор фотона; Юq - частота оптического фонона; ю -частота фотона; f (Ea) - электронная функция распределения; е(ю) - веще-

ственная часть диэлектрической проницаемости; V - нормировочный объем; N - число фотонов в начальном состоянии; F - оператор возмущения.

Матричный элемент оператора возмущения F, возникающий во втором порядке по взаимодействию с фотонами и фононами для перехода с переворотом спина 5 = 1 ^ s' = -1, имеет вид

(п , рх, -1, -ґ|F|n, рх Л0) =

= у (п ^ р'х,-1, -(| Нв\п" , рХ ,-1,0) {п , рХ ,-1| Я¿|n, Рх л) +

пр'Х Епрх ~ Еп"р"х + ЙЮ

+ у (п\рХ,-1|нь\п",рХл)(п,рХ,1,-(\нк\пРх,1,0)

" Е - Е " " - Йт ?

пр Епрх п Рх

где Ні - оператор электрон-фононного взаимодействия; Н^ - оператор электрон-фотонного взаимодействия.

Аналогичный вид имеет матричный элемент для другого перехода

5 = -1 = 1.

Оператор электрон-фононного взаимодействия, переворачивающий спин, получен в [2] и имеет вид

( 1 У/2 ( 0 [Ь Vе]1

ні = у ’

я

2 ЫМ ю„ Й

V Ч. )

0 [Ь- х е]

V [Ь +х е] 0

х

х |ехр(/яг)6ч (р + С а + ^ + ехр(-/яг)й+ ^ р + С а - , (3)

где я - волновой вектор фонона; й - константа взаимодействия;

Н+ = Iх ± Иу ; Iх, Iу - орты, направленные по осям х и у; М - приведенная

масса элементарной ячейки; е - единичный вектор поляризации оптического фонона, векторный потенциал однородного и постоянного магнитного поля А = (-Ну ,0,0).

Постановка задачи

Гамильтониан электрона, находящегося в квантовом канале с параболическим потенциалом конфайнмента в магнитном поле, описывается выражением

н = Лт (р - - а 1 + ^т2^ + и(2) +1 ^°Н , (4)

2т V с ) 2 2

*

где Ю0 - частота потенциала конфайнмента, электронный ^-фактор; т -эффективная электронная масса; о - вектор, компонентами которого являются матрицы Паули; ^ - магнетон Бора. В качестве удерживающего электроны потенциала канала далее выбран 8 -потенциал и(2) = Х8(2), X - кон-

станта связи потенциала. Энергетический спектр электрона в квантовом канале (и его состояния для гамильтониана (4)) имеет вид

2 2

Епрх5 = ЙО(п + 1/2) + рх*ю°2 + Е0 + ^0н/2

2т ОТ

(5)

2 2 2

где рх - импульс электрона вдоль канала; Q = ю0 + юс - гибридная частота; п = 0, 1, 2, 5 - спиновый индекс; Ео - часть энергии электрона, обуслов-

ленная удерживающим потенциалом и(г).

Невозмущенная волновая функция электронов является произведением собственной функции оператора аг и координатной части и имеет вид

V = V

’ прх-5 прх

(6)

где V прх =-Т=ехр(/рхх / Шп у]1х

——— л/л ехр(-^| 21), где ан =\1 Й / т О; Ьх

V аН )

длина канала; уп

У - —0 _ ан

\

- осцилляторные функции, л = Хт / Й .

Матричные элементы электрон-фононного взаимодействия

Матричный элемент, соответствующий эмиссии фонона и переходу 5 = 1 ^ / = —1, будет иметь вид

\1/2

(п', рХ ,-11 нЛп' рХ 1=у<

1

2 ЫМ т Й

)

(N +1)1/2 х

х

АК ' * + Ві I—К 7 "і — Во I------К * " 11

Л“п ,п Н/ 2 п ,п -1 2 у 2 п ,п +1

/

рх - р х й :

4л2

^2 + 4Л

(7)

где введены обозначения +« г *

К " = I у >

Л1п ,п I Ап

+~ / , \

У - —0

V ан )

ехрН<?уУ)х п

( у-У0 1 V ан )

и

рх - р^-г О2

ч/2<

ан

О

81П ф- І------008 ф

Юс

В = Іе2чЙт І лЮ—Ю= 1, В = Іе,\Йт I '•¡О,

Юс

2 чХс аН ®2 / °2+аі!г р =--------2--------

ч

Для перехода 5 = —1 ^5' = 1 матричный элемент имеет вид, аналогичный (7), но

2 1 Юс

рх -рх—т О2

Й ( • х О + Є, —;=-----------------р| 81ПФ + І-008ф

ан

Юс

В1 = ¡в2у Йт J , В2 = /е2\ Йт |^-\/й—J . (9)

Матричный элемент, соответствующий абсорбции фонона и переходу 5 = 1 ^ 5' = — 1, можно получить из (7), заменяя Ыу + 1 ^ Ыу, ц ^ — , и

А = Іе,

2 1 Юс

рх -Рх^Т О2

+ е,

Й

л/2<

ан

О

- 81П Ф + І---008 Ф

Юс

В1 = ¡е2уЙт \>/й—,В2 = Йт . (10)

Для перехода 5 = —1 ^5' = 1 матричный элемент получим из формулы (7), заменяя Ыу + 1 ^ Ыу, ц ^ — , где А, В^, В2 имеют вид

А = -Іе,

Ю

2

рх -рх^г О2

й

О

Л

- е, —р=-р| 8ІПФ + І---------008Ф

42ан V Юс

В1 = Іе2уЙт |\/о+-^Ог) ,Вт = Іе,л/Йт |\/О--^Ог |. (11)

Коэффициент поглощения

Матричный элемент оператора возмущения соответствующий поглощению фотона и эмиссии фонона для перехода 5 = 1 ^ :' = -1 имеет вид

{п \ рХ, -1, -ґ| F|n, рх ,1,0):

1,1/2 (

2 ЫМ Ю„ Й

V ч. )

ІеЙ 2ПЙЫу

т ан

єюV

(N0 +1)1/2 р

( 4л2 1

х 1Т7К—7 Г В1 ехр(-ІФ)л/пЯп' ,п-1 - В2 ехр(-ІФ^л/п + [ Й(О-ю) Г

+ 4л2у

1Кп',п+1 +

х

+В2 1 Кп" ,п + Ал/2ехр(-ІФ)Кп' ,п р

х

х

ехр(2ІФ)

Й(О + ю)

В1 ехр(-2іФ) п ,п + В1 ехр(-ІФ^л/йКга* п_1 - Вт ехр(-і'Ф)л/п + 1Яп' п+1 + Р

+АТ2ехр(-/Ф)Кп',п ]}х8 (Рх л Рх ,-Чх \,

(12)

где А,В1,Вт определяются по формулам (8). Здесь проведено тепловое усреднение и заменено Ыц на функцию Планка N0 . Матричный элемент имеет

я

тот же вид и для перехода 5 = -1 ^ / = 1, но А,В1,В2 определяются по формулам (9). Матричный элемент оператора возмущения, соответствующий абсорбции фонона, можно получить из (12), используя замены +1 ^ ,

Я , для перехода 5 = 1 ^ / = -1, где А, В1, В2 имеют вид (10), а для перехода 5 =—1 = 1 соответственно вид (11).

Используя то обстоятельство, что тепловой импульс (2т Т)1/2 и

* + 1/2 * 1/2 (2т ЙАю^) много меньше гибридного импульса (2т ЙЙ) , можно поло-

жить дх = 0, рх = 0 в фигурной скобке матричного элемента оператора возмущения и в переменной р . Рассмотрим основные переходы из состояния с п = 0 .

На рис. 1 представлены переходы 5 = —1 ^5' = 1. Левый переход соответствует эмиссии фонона, правый - абсорбции. Аналогичные переходы из 5 = 1 ^ 5' = —1 показаны на рис. 2. Далее рассматривается взаимодействие электронов только с поперечными оптическими фононами [3].

Йю„ Ч

Йюі

■' И#, £* = —1

Рис. 1

.....................................\ И*,/ = 1

.....................................' п',8'=~ 1

После довольно громоздких, но простых вычислений запишем парциальный коэффициент поглощения, соответствующий переходу 5 = 1 ^ s' = -1, с эмиссией фонона

1+^ = (Ы0 + 1)а(0,г/)5Ь(Йа^,2 ехР(-^0Н/2Т>х Го 0 шш^ сЬ(«^оН/2Т)

ЙЙ

Х ехр 1 — 2Т 1 ехр

ЙАюЧ _____ч_

2Т

V

к

Аю,

2Т

(13)

где Ко (х) - функция Макдональда; Дш+ = ш - ш+ + ^РоН - расстройка резо-

2 2 * а п .р. Vтт

нанса; Го =-

16с^л/гёТёш0 ЫМ ш1?/2Й5/2 Величины а(0, п ) имеют вид

Є _і_

. Здесь Р0 =----------------, ю = п Й + ю„ .

2т0С

Ч •

т(0,п) = 32л3Й | р4

аН

аН

л 1

+ -

(2р2 — 4а_НЛ2)2 "'/2р (2р2 — 4а_НЛ2)2 2Л 2р2 — 4аНЛ2 16л3

“^0п',1 — 2-2 _ 0-п\0.п,0 + 2b2р^5Qn,1Qn,0 + Ь2^2 ^',0 — 2Ь2'^ЙОп',0 +р2 Й0/,0

р ______________________ р2 ______________________________:_1

(Й — ю)2

(Й2 — ю2)

, —““ — Яп'дбп',0 — -2 й/,1 — 2Ъ2р^ЙQn ,lQn ,0 + -1-2 2"^',0

+-2 _Яп',1Яп',0 + Ь2л^ЙОП2,0 — Ь1'їЙОгі,0 —р2ЙЯП',( р

“2Я«',0 + —1-2Яп,1Яп ,0 + 2Ь1^ЙОП',0

+р----------р--------2-------------

(Й + ю)2

Ь7.0п,1 + 2-2р^/йQn ',1Яп' ,0 + р2ЙЯи,0 (Й + ю)2

(14)

где

(15)

и функции Qn'n имеют вид Qn'n = (-1)п П\ ~!РП ^ п[р2], р = ЧуаН/V2-

V п !

+

Х

Коэффициент поглощения с эмиссией фонона для перехода 5 = -1 = 1 получается из формулы (13) с заменой ехр(-gЦоН /2Т) на

ехр(g^оН/2Т), Дш+ =ш-ш+-gРоН , форм-фактор а(о,п') имеет тот же вид (14), но

(16)

Коэффициент поглощения, соответствующий переходу 5 = 1 ^ 5' = —1, и абсорбции фонона

г~(0,п') = 0 п'}8Ь(ЙЙ/2Т)Й3/2 ехр(—£Ц0Н /2Т) Х

ююУ2 еЬ( £1^0 Н /2Т)

ЙЙ

Х ЄХРІ — 2Т 1ЄХР

^ ЙАю„^ ______ч_

2Т

V I

к

й

Аю

2Т

V I

(17)

где

т(0, п') = 32л3й | р4

аН

аН

л 1

+ -

(2р2 — 4аНЛ2)2 >/2р (2р2 — 4аНЛ2)2 2л 2р2 — 4аНЛ2 1 6л3

-2.0п',1 — 2-2 _Яп',1Яп',0 — 2-2р^/5Qn' ,0 + “2 “2^',0 + 2-2л/5Q^г',0 + р2Йй/,0

р ____________________________ р2 _______________________;_____________

(Й — ю)2

(Й2 —ю2)

—-1-2 _ ,1 й/ ,0 — + 2-2р^/5Qn'дй/,0 + -1-2 2 Йг',0 +

+-2 — Яп' д^' ,0 — b2^5Qn',0 + b1^5Qn',0 — р2Йя2,01 +

“2 Qn2',o + — Qn' ,lQn' ,0 — 2-1^%

р

р

(Й + ю)2

+--і0^,1 — 2Ь2р'1Й<2п ,1Qn',0 + р^ЙОп',0

(Й + ю)2

(18)

-1, -2 имеют вид (15), Аю^ = ю — ю + ^Р0 Н.

Коэффициент поглощения для перехода 5 = —1 ^5' = 1 с абсорбцией фонона получается из формулы (17) с заменой Аю^=ю —ю — ^Р0Н, ехр(—£^0Н /2Т) на ехр(£^Н /2Т); а(0,п ) также имеет вид (18), -1 и -2 имеют вид (16).

+

Х

Графики зависимостей парциальных коэффициентов от частоты излучения и магнитного поля показаны на рис. 3-6.

Г±(0, п ) 60 г0 50

40

30

20

10

32,5 35 37,5 40, 42,5 45, 47,5 50 ю, 10135-1

Рис. 3 Зависимость коэффициента поглощения от частоты излучения. Показаны два эмиссионных пика, левый пик соответствует переходу 5 = -1 = 1,

правый 5 = 1 ^ / = -1; п = о, п = 3; шо = 7-Ю13с-1, шд = 6-Ю13с-1, Т = 1ооК, g = 1о

Г^О.и) Ю Го

8 6 4 2

22 24 26 28 30 32 34 36 ю, 10135-1

Рис. 4 Зависимость коэффициента поглощения от частоты излучения. Показаны два абсорбционных пика, левый пик соответствует переходу

5 = -1 ^ 5 = 1, правый 5 = 1 ^ 5 = -1; п = о, п = 3;

шо = 7 -Ю13с-1, шд = 6-Ю13с-1, Т = 1ооК, g = 1о

Г1 (о, п ) 7о

Го 6о

5о 4о эо 2о 1о

о, 15 о,2 о,25 о,3 ю, Ю1^-1

Рис. 5 Зависимость коэффициента поглощения от магнитного поля. Показаны два эмиссионных пика, левый пик соответствует переходу

5 = -1 ^= 1, правый 5 = 1 ^ 5 = -1; п = о, п = 3;

ш = 5о • 1о13с-1, шо =7 • 1о13с-1, шд =6 • 1о13с-1, Т = 1ооК, g = 1о

Г±(0, n) Го

10

8

6

4

2

0,25 0,3 0,35 0,4

0,45 ю, 10V1

Рис. 6 Зависимость коэффициента поглощения от магнитного поля. Показаны два абсорбционных пика, левый пик соответствует переходу

5 = -1 ^ s' = 1, правый s = 1 ^ s' = -1; n = 0, n = 3;

ю = 50 • 1013c-1, ю0 = 7 • 1013c-1, mq =6 • 1013c-1, T = 100^, g = 10 Заключение

В работе рассмотрен вклад в коэффициент поглощения электромагнитного излучения электронами квантового канала, обусловленный переворачивающим спин-взаимодействием электронов с оптическими фононами. Канал расположен в поперечном квантующем магнитном поле.

Эмиссионные пики спин-гибридно-фононного резонанса, соответствующие переходам с переворотом спина s = -1 ^ s' = 1 и s = 1 ^ s' = -1, будут окаймлять слева и справа соответствующий им эмиссионный пик гиб-ридно-фононного резонанса [8]. Причем эти два пика, соответствующие перевороту спина, будут иметь различные интенсивности. Это следует из проведенного нами расчета. Аналогичная ситуация и с абсорбционными пиками.

Из формул (13), (17), а также графиков можно также сделать вывод, что сингулярность пиков спин-гибридно-фононного резонанса имеет такой же характер, как и у пиков гибридно-фононного резонанса. Пики имеют логарифмическую сингулярность в точке резонанса, которая обусловлена поведением функции Макдональда в окрестности резонанса. Пики спин-гибридно-фононного резонанса имеют асимметричный вид.

Список литературы

1. Басс Ф. Г., Левинсон И. Б. // ЖЭТФ. - 1965. - Т. 49. - С. 914.

2. Павлов С. Т., Фирсов Ю. А. // ФТТ. - 1965. - Т. 7. - С. 2634.

3. Матулис А. Ю. // ФТТ. - 1967. - Т. 9. - С. 2238.

4. Павлов С. Т., Фирсов Ю. А. // ЖЭТФ. - 1965. - Т. 49. - С. 1664.

5. Margulis V. A., Shorokhov A. V. // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 66. -P. 165324.

6. Margulis V. A., Shorokhov A. V. // Phys.Status.Solidi C. - 2004. - Vol. 1. -P. 2642.

7. Маргулис В. А. // ЖЭТФ. - 1997. - Т. 111. - С. 1092.

8. Margulis V. A., Shorokhov A. V. arXiv:0801.0666v1.

9. Карпунин В. В., Маргулис В. А. // ФТП. - 2008. - Т. 42. - С. 711.