CC BY
35
ФИЗИКА
УДК 538.958
В. В. Карпунин, В. А. Маргулис
РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В КВАНТОВОМ КАНАЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПРОФИЛЕМ
Аннотация. Проведено теоретическое исследование поглощения электромагнитного излучения электронами квантового канала, находящимися в поперечном квантующем магнитном поле. Рассмотрен дополнительный вклад в коэффициент поглощения, обусловленный переворачивающим спин-взаимодействием электронов с оптическими фононами. Установлен резонансный характер поглощения, найдены форма и положение резонансного пика.
Ключевые слова: коэффициент поглощения, электрон-фононные переходы с переворотом спина, квантовый канал.
Abstract. The absorption of electromagnetic radiation by electrons of a quantum channel in a transverse quantized magnetic field is investigated. The additional contribution in the absorption coefficient stipulated spin flip transitions is considered. The form and position resonance peaks are found.
Keywords: absorption coefficient, electron-phonon transitions with spin flip, quantum channel.
Введение
Спин-циклотрон-фононный резонанс в полупроводниках был предсказан в работе [1]. Согласно теории явления, разработанного в [1], поглощение фотона электронами сопровождается переворачивающим спин-взаимодействием электронов с оптическими фононами. Коэффициент поглощения в [1] вычислен во втором порядке теории возмущений по электрон-фотонному и электрон-фононному взаимодействиям. Рассмотрен невырожденный электронный газ. Показано, что резонансное поглощение должно наблюдаться, когда электроны взаимодействуют только с поперечными оптическими фононами. В качестве оператора электрон-фононного взаимодействия использован оператор, ответственный за электронные переходы с переворотом спина, полученный в [2].
Как показано в [3], в полупроводниках с сильной спин-орбитальной связью взаимодействие 3D-электронного газа со звуковыми квантами и поперечными оптическими фононами приводит к спин-магнитофононному резонансу. В работе [3] расчет коэффициента поглощения проведен во втором порядке теории возмущений. Рассмотрен случай невырожденного электронного газа. Получено аналитическое выражение коэффициента поглощения. Установлена форма резонансных кривых, резонансные частоты.
Теоретическое исследование гибридно-примесных резонансов в анизотропных квантовых точках проведено в [4]. Получено выражение коэффици-
ента поглощения, найдены резонансные частоты, форма резонансных кривых, а также исследована зависимость интенсивности пика от квантового числа конечного состояния.
В работе [5] экспериментально исследован циклотронный резонанс (ЦР) электронов в гетероструктуре HgTe/CdHgTe(013) с квантовой ямой шириной 15 нм. Обнаружено большое расщепление линии ЦР, оно обусловлено как спиновым расщеплением, так и непараболичностью закона дисперсии.
Циклотронный резонанс двумерных электронов в квантовых ямах 1п8Ь/Л11п8Ь исследован в [6]. Показано, что сильное расщепление линии ЦР наблюдалось даже в слабых магнитных полях. Это обусловлено спин-орби-тальным взаимодействием.
В работе [7] теоретически исследован спин-гибридно-фононный резонанс в квантовом канале, где в качестве удерживающего потенциала выбран 8 -потенциал. Получены аналитические выражения коэффициента поглощения, установлены резонансные частоты, проанализирована зависимость коэффициента поглощения от частоты электромагнитного излучения и магнитного поля.
Целью настоящей работы является исследование спин-гибридно-фононного резонанса в квантовом канале с прямоугольным потенциальным профилем. Расчет коэффициента поглощения проведен во втором порядке теории возмущений по электрон-фононному и электрон-фотонному взаимодействиям. Рассматривается невырожденный электронный газ. Общее выражение коэффициента поглощения в этом случае имеет вид [7]
где { - волновой вектор фотона; - частота оптического фонона; ю - час-
тота фотона; /о(Ea) - функция распределения Больцмана; є(ю) - вещественная часть диэлектрической проницаемости; V - нормировочный объем; N - число фотонов в начальном состоянии; ^ - оператор возмущения.
Матричный элемент оператора возмущения для перехода 5 = 1 ^ s' = — 1 (5 - спиновый индекс) имеет вид
Постановка задачи
/о (Еа) |(Р, — I^ а, 0)|2 8(Еа — Ер + ^ + йю),
(1)
ар
Оператор электрон-фотонного взаимодействия при направлении поляризации по оси у имеет вид
Нк = -
іє% \2nhNf Э
т
ею V Эу
Оператор электрон-фононного взаимодействия, ответственный за переходы с переворотом спина, получен в [2]:
Ні =
Я
1
2 NM юЛ
V ч. )
О
V [Ь +х е]
[Ь-х е]
О
х
х ^ ехр(іяг)6ч | р + Є А + 1 + ехр(-іцг)Ь+ Г р + Є А -
(2)
где я - волновой вектор фонона; й - константа взаимодействия; Н± = Iх ± ііу ; Iх, Iу - орты, направленные по осям х и у; Ь+, Ь^ - операторы
рождения и уничтожения фононов соответственно; М - приведенная масса элементарной ячейки; е - единичный вектор поляризации оптического фонона, векторный потенциал однородного и постоянного магнитного поля А = (-Ну, О, О).
Невозмущенный электрон-фотонными и электрон-фононными взаимодействиями гамильтониан электронов в квантовом канале
Н =
_±_ Гр - і а 1 + т-Ю22у2 + и(г) +1 Цо°Н; 2т V с ) 2 2
(3)
где Юо - частота потенциала конфайнмента, электронный g -фактор; т -эффективная электронная масса; о - вектор, компонентами которого являются матрицы Паули; - магнетон Бора.
В качестве удерживающего электроны потенциала и (г) здесь выбрана прямоугольная потенциальная яма. Электронный спектр гамильтониана (3) для случая прямоугольной потенциальной ямы ширины а запишется в виде
-ПРхЯ
2 2
= Ш(п +1/2) + Рх*Ю(1 + Е + sg ц0 Н/2, 2т П2
(4)
2 2 2
где рх - импульс электрона вдоль канала; Q = ю0 + юс - гибридная частота; п = 0, 1, 2, ..., Е - энергия электрона, находящегося в прямоугольной яме.
Далее рассматривается основное состояние в прямоугольной потенциальной яме.
Волновые функции электронов гамильтониана Н имеют вид
V = V
ПРх$ »Рх
V = V
пРх -5 пРх
(5)
где V
прх
ехр(ірхх / Й)Хп
Г у-уо 1
аН
2 . (кг — 81ИI —
а V а
*
здесь аН = л/Й/ т П; Ьх - длина канала; %п функции.
г у-уо 1
аН
осцилляторные
Коэффициент поглощения
Выражение матричного элемента оператора возмущения, соответствующее поглощению фотона и эмиссии фонона с переворотом спина для перехода 5 = 1 ^ / = -1, имеет вид
{п , рх , -1, -ґ|^ Рх ,1,0) =
2 NM ю. Й
4 )
іеЙ 2к^у
т аН' ею^"
(N0 +1)1/2 рх
х
В ехр(-Щ)4пЯп' п-1І - В2 ехр(-іф^л/п+Т^п' п+11 + В2 ~Кп' п1 -
р
Й(П - ю)
+Ал/2ехр(-іф)Яп' пІ - іМ\ІЙт*Т(еу - іех) ехр(-іф)Дп>
+ ехр(2іф)х Й(П + ю)
х
Дп
В1 ехр(-2іф) п ,п I + В1 ехр(-іф)4пДп> п-1І - В2 ехр(-іф)л/п + 1Дп, п+уІ + Р
+Ал/2 ехр(-іф)Яп' пІ - іМ\[йг,
т Т(еу - іех )ехр(-іф)Дп
5| , |, (6)
где
+^ / , N
д, = Г х*, Гу-уо1
ІКп ,п I Ап
„ V аН
ехр(-і<?уу)х п
Г у-уо 1
аН
, Т =
2>/2кл/й а 2\[т*
I = ехр(-іу) 8Іп(у)
У (у2 -к2)
1 іка . . . . .
М =-------- ----— ехр(-іу) 8іп(у), у = дга /2 ;
А = іе2
ю
2 1
Рх - Р^-Г П2
+ е
аН
2 (к2-У2)
П
81П ф-і-------008 ф
юс
Пд2
(еу - іех);
В1 = 1в^у[йт~--^= j, В2 = 1в2у1 Нт |^\/й + -^= j .
Учитывая, что гибридный импульс пренебрежимо мал по сравнению с тепловым импульсом [9], можно положить дх = 0, рх = 0 в фигурной скобке формулы (6) и в переменной р. Рассмотрим основные переходы, которые происходят из состояния с п = 0 . Проведя простые, но громоздкие вычисления, можно записать парциальный коэффициент поглощения соответствующий эмиссии фонона и переходу 5 = 1 ^ s' = — 1
Я
г+ (0, п)
= (N0 + 1)Ео(0,п') ^ехР(^0Н/Т
ююі/2 оЬ( gЦo Н / 2Т)
ч
-ЙП
х єхрі ІТ" І єхр
г+к +^
ЙАю„ _____ч_
2Т
V )
^0
Й
Аю
2Т
V )
(7)
*0( х)
функция Макдональда; Г( =
У У *
й пее Vm
8скл/кТ ею0 NM ю?/2Й5/2а
^0 шд
Аю+ = ю - ю+ + gPoН - расстройка резонанса; Ро = е /2т(С, ю+ = п'П + ю„.
Здесь ст(0, п') имеет вид
а(0, п') = П Г Г
----Ц-{еЖ'ДІ?2 - ^¿У 10/,?0/,01? +
(П-ю)21 Р
+2егЬ2^^/Пбп',1°/,0112 + еуЬ2 2°2',0112 -2еУЬ2^бу,0^ + егр2Пб)2',0112 -
- 2дгТе2уРО20І1М1 + ^Р^оі- + Т2еу0п2,оМ12} +
(П2 -ю2)
х
хI-еуЬ1Ь2 °п',0°п',1112 - егЬ2!б)2',1112 - 2егЬ2р>/П°п' ,0°п',1 ^ +
+еуЬ1Ь2—УОпг',0112 + еуЬУ _°п',0°п',1і]2 + е1Ь2'1ПОп',0^ - ^ -
р2 р
-еур2П0у,о1\2 + 2дгТе2уРд2>0І\М\ -яУуР^Іо112 -Т^^(М?2} +
+--------у |еУЬ121Т оУ,0112 + 2еУЬ1Ь2 - °п',1°п',0112 + 2еУЬ1^ЄпУ,0112 +
(П + ю)2 [ р2 Р
+е
уЬуЄу,іІі2 + 2еуЬурл/ПЄп',і0п',01\2 + еур2П0пУ,01\2 - УЧгТеуРЄУ,0І?М?
+^р 2еу,01\2 + Т ЦоІМ}
й уй р,
(8)
где
/ І п! ' ' ->
0/ і\п -п І'*- п -п Тп -пг^ 2
п' ,п = (-1) лН;р
V п !
і'-п [р2]ехр(-р2 / 2), Ь- = |л/П-
юс
л/п
Ьу = + ^Пт), І- = ехр(іу)І, М? = і 1 ехр(іу)М, Р = VЙ /2т . (9)
Учитывая тот факт, что мы рассматриваем взаимодействие электронов с поперечными оптическими фононами, интегралы по у в формуле (8) легко вычисляются [8].
Коэффициент поглощения, соответствующий эмиссии фонона для перехода 5 = -1 = 1 получается из формулы (7) с заменой ехр(-gЦo Н /2Т)
на ехр(gЦоН / 2Т), Аю+ = ю - ю+ - gPoН , форм-фактор а(0, п') имеет тот же
вид (8), но с параметрами Ь? и Ьу :
(10)
Коэффициент поглощения, соответствующий переходу 5 = 1 ^ / = — 1 и абсорбции фонона, имеет вид
г- (0, п')
= N0У о(0,п')*Ь(ЙП/2Г)п3'2 ехр(-gtÍ0HПТ) х .................1/2 оИ( g|l()H/2Т)
юю
, ЙП , хехр| - 2Т І ехр
Г ЙАю„^ ______ч_
2Т
V )
Ко
Аю-
2Т
(1?)
где
а(0, п') = П Г Г
1
(П - ю)у
еЖдІ?2 - 2еуЬу2 10п',?0п',01?2 -р
-2еУЬ2^л/П°п ',1°п ',0іУ + еуЬ2^У вп',0Іу + 2е'уЬ2^П0п' ,0іУ + е1р2'ПОп',01\
+ 2дгТе2уР0‘у,оІ?М? + дУуР20у,оІ?2 + Т2е2еу,оМ?2 \ + 2
(П2 -ю2)
х|-еуЬ1Ь2 _°п -°п ,0112 - еУЬ^0У\1112 + 2еуЬ2р>/П°п',1°п',0112 +
[ р
+еуЬ1Ь2 ~уОу,0112 + еуЬ2 _От,1°п' ,0112 - е2Ь2'1ПОп',0112 + eУb^^/ПQnУ,0112 -р2 р
- еур2поу,01-У - 2дгТе2уР0у0І?М? - ¿еууР20у,о 1-У - Т^О^оМ? | +
—юу 1 еУ “У °і2',0іУ + еУ 1? 2 °п',1°п',0112 - 2е^Ь1^ПОп,,0 І\
(П + ю)2 I 2 р2
+е
Що2'-1- - 2еУЬ2^^П°п',1°п',0іУ + е2р'^ПОп',0іУ
+ 2qzTe1yPQn¡'S) + q2ze2yP ^ Iу + T 2e2yQ2n'M
dYdр, (12)
здесь II = 8ш(у)
(у2-^2)
M1 =-
1
-8Іи(у); ¿1, ¿2 имеют вид
2 (я2-У2)
(9); Дю- = ю - ю- + ^РоН .
Как видно из (12), интегралы по у имеют тот же вид, что и в случае эмиссии фонона (8). Коэффициент поглощения для перехода 5 = —1 ^5Г = 1 с абсорбцией фонона получается из формулы (11) с учетом замены
Дю-=ю — ю-— ^РоН , ехр(-^^оН /2Т) на ехр(g^оН /2Т), а(0, п) также
имеет вид (12), Ь и ¿2 имеют вид (10). Так как Ко(х) имеет логарифмическую сингулярность при х ^ о, то резонансное поглощение возникает, когда расстройка резонанса равна нулю.
На рис. 1 представлен график зависимости коэффициента поглощения от частоты электромагнитного излучения. Показаны асимметричные резонансные кривые, у которых правое крыло более пологое, чем левое. Справа от резонансных точек при ЙДю>> Т поглощение имеет корневую зависимость от расстройки резонанса, переходя при ЙДю << Т в логарифмическую сингулярность; слева от точек резонанса при ЙДю << Т сингулярность также логарифмическая, но при ЙДю >> Т на корневую зависимость накладывается экспоненциальное убывание. Этим и объясняется асимметричный вид резонансных кривых.
ю, х1013 с-1
Рис. 1. Зависимость коэффициента поглощения от частоты излучения. Показаны два эмиссионных пика, левый пик соответствует переходу 5 = -1 ^/ = 1, правый -
5 = 1 ^ 5' = -1, п = 0, п= 3, ю0 = П-Ш13^1, ю„ = 9-Ш13^1, Т = 100 К, g = 10
На рис. 2 показана зависимость коэффициента поглощения от магнитного поля. Отметим, что здесь уже левое крыло более пологое, чем правое. Это обусловлено наличием гиперболического синуса и косинуса в (7), которые зависят от магнитного поля.
юс / ю
Рис. 2. Зависимость коэффициента поглощения от магнитного поля. Показаны два эмиссионных пика, левый пик соответствует переходу 5 = -1 ^ / = 1, правый -
5 = 1 ^ / = -1, п = 0, п = 3, ю = 60-1013 с-1, ю0 = 11 1013 с-1, юд = 9 -1013 с-1, Т =100К, g = 10
Заключение
В работе теоретически исследовался вклад в коэффициент поглощения электромагнитного излучения в квантовом канале с прямоугольным потенциальным профилем. Канал расположен в постоянном, однородном и поперечном магнитном поле. Рассмотрен невырожденный квазиодномерный электронный газ. Расчет проведен методом теории возмущений и в приближении эффективной массы. Получено выражение коэффициента поглощения, найдены резонансные частоты и форма резонансной кривой. Установлено, что при взаимодействии электронов с поперечными оптическими фононами должно быть резонансное поглощение электромагнитного излучения электронами квантового канала. Отметим также, что резонансы должны наблюдаться на мультигибридных частотах и резонансные электронные переходы происходят между уровнями с разными п, п .
Из формул (7), (11), а также графиков видно, что пики спин-гибридно-фононного резонанса в квантовом канале с прямоугольным потенциальным профилем окаймляют соответствующие пики гибридно-фононного резонанса в квантовом канале с прямоугольным потенциальным профилем [9]. Причем резонансные кривые (рис. 1, 2) имеют тот же асимметричный вид (обусловленный поведением функции Макдональда вблизи точки резонанса), что и в случае резонансных электронных переходов, происходящих без переворота электронного спина [9]. Полуширина резонансной кривой имеет порядок = Й / х , где х - время релаксации электронов на рассеивателях.
Список литературы
1. Матулис, А. Ю. Спин-циклотронно-фононный резонанс в полупроводниках /
A. Ю Матулис // Физика твердого тела. - 1967. - Т. 9. - С. 2238-2241.
2. Павлов, С. Т. Переворачивающее спин-взаимодействие электронов с оптическими фононами в полупроводниках / С. Т. Павлов, Ю. А. Фирсов // Физика твердого тела. - 1965. - Т. 7. - С. 2634-2647.
3. Маргулис, В. А. Спин-магнетофононный резонанс в поглощении звука в полупроводниках / В. А. Маргулис // Физика твердого тела. - 1981. - Т. 23. -С. 897-899.
4. Margulis, V. A. Hybrid-impurity resonances in anisotropic quantum dots / V. A. Margulis, A. V. Shorokhov // Physica E. - 2009. - Vol. 41. - P. 485-488.
5. Спирин, К. Е. Спиновое расщепление в гетероструктурах HgTe/CdHgTe (013) с квантовыми ямами / К. Е. Спирин, А. В. Иконников, А. А. Ластовкин, В. И. Гавриленко, С. А. Дворецкий, Н. Н. Михайлов // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2010. - Т. 92. - С. 65-68.
6. Васильев, Ю. Б. Циклотронный резонанс в гетероструктурах с квантовыми ямами InSb/AlInSb / Ю. Б. Васильев, F. Gouider, G. Nachtwei, P. D. Buckle // Физика и техника полупроводников. - 2010. - Т. 44. - С. 1559-1562.
7. Карпунин, В. В. Спин-гибридно-фононные резонансы в квантовом канале /
B. В. Карпунин, В. А. Маргулис // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 3. - С. 82-90.
8. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, И. О. Маричев. - М. : Наука, 1981. - 800 с.
9. Карпунин, В. В. Гибридно-фононные резонансы в квантовом канале / В. В. Карпунин, В. А. Маргулис // Физика и техника полупроводников. - 2008. -Т. 42. - С. 711-717.
Карпунин Виталий Владимирович Karpunin Vitaly Vladimirovich
старший преподаватель, кафедра физики Senior lecturer, sub-department
и методики обучения физике,
Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевьева (г. Саранск)
E-mail: karpuninvv@mail.ru
Маргулис Виктор Александрович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (г. Саранск)
E-mail: theorphysics@mrsu.ru
УДК 538.958 Карпунин, В. В.
Резонансное поглощение электромагнитного излучения в квантовом канале с прямоугольным потенциальным профилем / В. В. Карпунин, В. А. Маргулис // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4 (16). - С. 111-119.
of physics and physics teaching methods, Mordovia State Pedagogical University named after M. E. Evsevyev (Saransk)
Margulis Victor Alexandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of theoretical physics,
Mordovia State University named after N. P. Ogarev (Saransk)
