Длинно-коротковолновые оптические пули и вихри Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 149, кн. 1

Физико-математические пауки

2007

УДК 535.2^535.36

ДЛИННО-КОРОТКОВОЛНОВЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПУЛИ И ВИХРИ

А.Н. Бугай, C.B. Сазонов

Аннотация

Исследована поперечная структура двухкомпопептпых уединенных воли, состоящих из квазимоиохроматического и предельно короткого (видеоимпульса) оптических импульсов. которые распространяются в связанном состоянии в одноосном кристалле. В области положительной дисперсии групповой скорости даппые объекты имеют вид поперечных дефектов поля типа «темных» вихрей и «дырок», соответственно, для квазимоиохроматического и предельно короткого импульсов. При противоположном знаке коэффициента дисперсии это полностью локализованные структуры типа «светлых» вихрей и оптических «пуль», которые благодаря наличию собственной нелинейности вцдео-компопепты устойчивы по отношению коллапсу.

Введение

Наибольшее внимание при исследованиях распространения лазерных импульсов в различных средах, как правило, привлекают солитониые и солитоноподобные режимы. В последние годы интерес в исследованиях таких нелинейных локализованных волновых объектов смещается в сторону изучения трехмерных образований. В нелинейной оптике достаточно хорошо исследованы такие объекты, как оптические пули, вихревые солитоны (вортекс-солитоиы). нелинейные Х-волны и ДР- fi]-

Еще одной важной тенденцией в развитии современной техники является получение импульсов все более короткой длительности, вплоть до нескольких периодов колебаний. Предельным случаем таких образований является предельно короткий импульс (ПКИ) в половину периода колебания, представляющий собой единственный горб н не имеющий несущей частоты.

В работе [2] был предложен механизм генерации видеоимпульса в полупериод колебания в среде с одноосной оптической анизотропией. Обыкновенная компонента импульса (квазимонохроматический импульс) при распространении порождает видеоимпульс необыкновенной компоненты (ПКИ). Данный процесс имеет некоторую аналогию с явлением вынужденного комбинационного саморассеяния. При этом обыкновенная компонента, рассеиваясь на необыкновенной, испытывает сдвиг Q несущей частоты в красную область, пропорциональный ее входной интенсивности. Необходимым условием эффективного протекания такого процесса является реализация условия длинно-коротковолнового резонанса Захарова Бенни, состоящего в том, что групповая скорость vg обыкновенной компоненты равна фазовой скорости vph необыкновенной составляющей.

Таким образом, при указанных условиях в данной среде возможно формирование двухкомпонентных солитоноподобных образований, состоящих из импульса огибающей с ярко выраженной несущей частотой и предельно короткого импульса без несущей частоты. Необходимо отметить, что поперечная структура таких объектов исследована недостаточно детально. При этом важно учесть специфику

упомянутых объектов. Для квазимонохроматических импульсов (КМИ) характерной величиной, описывающей влияние эффектов дифракции, является отношение ~ А/Б, где Л - длина волны, Б - характерный поперечный размер. В случае же видеоимпульса длину волны следует заменить на характерный продольный размер импульса ~ стр, где с - скорость света, тр - временная длительность импульса.

Исследованию поперечной структуры данных образований и посвящена настоящая работа.

1. Система нелинейных волновых уравнений и вариационный подход

Описанный выше процесс нелинейного распространения лазерного импульса в одноосном кристалле вдоль оси г, перпендикулярной оптической осп, подчиняется следующей системе уравнений [2]:

■ д£к2д2£ с

~2~дт2 ~аи> ^ = ~2пй; (1)

™ + £Ш>+ЬЕ>) = ±.А±}ЕЛт, (2)

где £ — комплексная огибающая обыкновенной компоненты поля, ш - ее входная несущая частота, п - линейный показатель преломления среды на частоте ш, к2 = ду—1/дш - коэффициент дисперсии групповой скорости (ДГС), Е - поле необыкновенной компоненты, т = 4 — г/гид - «локальное» время, а и Ь - постоянные, описывающие нелинейное взаимодействие между обеими компонентами, Д^ -поперечный лапласиан.

Данная система уравнений является обобщением интегрируемой системы длинно-коротковолнового резонанса, известной в физике плазмы [3]. Наше обобщение включает в себя учет собственной нелинейности необыкновенной компоненты Ь = 0, а также учет поперечных эффектов (дифракции) в правой части (1), (2).

Поперечную структуру можно исследовать с помощью метода усредненного лагранжиана [4, 5]. Пробные решения выберем исходя из одномерных аналогов. При этом влияние собственной квадратичной нелинейности ПКИ-компоненты мало [2], и ее вклад будем учитывать разложением по малому параметру е = 8Ь/(3ашПт2) ~ ~ ЬЕ2/(а|£|2) С 1. Таким образом, имеем

С = £ттР9 весЬ 1] + ^£т2<92 - Ут2в2 весЬ2т?^ ехр [-г (Пт + Ф)],

(3)

Е = -Етт;в2 весЬ2?? 1 + -гт;в2 - —ьт2в2 весЬ2?? , (4)

8 р 16

где 1] = 6>(т + А;2Ш), £т = \к2\у/й/{атрУ/ш), Епг = к2/(ашт2): в = 0(г) и Ф = Ф(г) неизвестные функции координат, которые имеют смысл обратной длительности солитона и эйконала КМИ-компоненты. В одномерном случае во = т—1 и Фо = = 0.5к2(П2 — т—2)г.

Данные пробные решения подставляются в соответствующую (1), (2) плотность лагранжиана, после чего производится ее усреднение по «продольной» переменной т. Уравнения Лагранжа — Эйлера для в и Ф, полученные исходя из усредненного лагранжиана, примут вид

+ —Ч±(рЧ±Ф) = 0, (5)

дг пш

2 тми2

, (6)

где

р=0 + ^£т2в3, щ = 3 (тг2 + 12 + ^ (тг2 - 6))

-1/2

7=9г/ЧТ5+2+2П

Данные уравнения квазигидродинамического типа можно исследовать с помощью формализма, развитого в [4, 5], однако удобнее преобразовать их к одному уравнению для комплексной функции

ф = у/рехр [г(0.5к2П2г - $)]• Соответствующее уравнение имеет вид 1

(7)

^ ф

8 Ф) =

2 пи^2

- 7етр2|ф|3фД±|ф|- 27£тр2|ф|2ф(У±|ф|)2

. (8)

Таким образом, можно описывать эволюцию исходного импульса, пользуясь результатами, аналогичными таковым в теории квазимонохроматичсских пространственных пучков.

2. Стационарные решения и оценка их устойчивости

Стационарные (сохраняющие форму при распространении) решения уравнения (8) в цилиндрических координатах (г, у, г) имеют вид

ф = т—1 ехр[г(цг + ту)], (9)

где т = 0, ±1, ±2,... - топологический заряд (завихренность).

Подставляя (9) в (8), можно получить следующее уравнение для функции и (г):

/ ггА\ (сРи 1 <Ш\ тт,(¿и\2 V2 тт

+ (и - и5 + еи9) =0, (10)

где С = г/Я8, Яs = етр(и^ети^ |)-1/2 , V = ^|т|, ц = qs = ^^т2.

Связь полученных зависимостей с исходными пробными функциями дается соотношениями

0 = г^и2(г) (Н)

Ф=^(П2-г-3)г + ту. (12)

Типы решений уравнения (10) зависят от знака ДГС.

В области нормальной ДГС (&2 > 0) возможны только решения с ненулевой асимптотикой на бесконечности (см. рис. 1, а). Они соответствуют поперечным топологическим дефектам на фоне квазиодномерного импульса, имеющим вид «темных» вихрей в случае КМИ-компоненты и «дырок» в случае ПКИ-компоиеиты (см. рис. 2, а).

2 4 6

б) а)

Рис. 1. Решения уравнения (10) в случаях к2 > 0 (а), к2 < 0 при V = 0 (б) и V = 1 (в)

б)

а)

Рис. 2. Распределение поля в случаях: дефектов (в), оптических пуль (б) и светлых вихрей (<0

В области аномальной ДГС (к2 < 0) возможны локализованные решения типа «оптических пуль» при т = 0 (рис. 1, б), а также «светлых» вихрей при т = 0 (рис. 1. в). Соответствующие распределения поля в пространстве изображены на рис. 2 б, в. В последнем случае солитон имеет вид тора или «пончика», а фаза квазимонохроматической составляющей описывает спираль.

Устойчивость данных структур в области аномальной ДГС можно также проанализировать с помощью вариационного метода, примененного уже к уравнению (8). При этом пробное решение выбирается в виде

Ф

-1/2Л( г)/(г/Д(г)) ехр [г(д(г) + а(г)г2 + ту)],

(13)

где функция / (г/Я) аппроксимирует завис имость и (г), а парамет ры Л, Д, а, д имеют смысл амплитуды, радиуса, чирпа и добавки к волновому вектору. Ан-зац (13) подставляется в соответствующую (8) плотность лагранжиана, после чего производится усреднение по поперечным координатам г, у, и находятся уравнения Лагранжа Эйлера для неизвестных параметров.

Из проведенных рассуждений следует, что определяющим для описания эволюции пробных параметров является изменение радиуса, подчиняющееся уравнению

с!2 Д _ Ш

.2 7-2 т „2 Ы (1___, ,

Д2 2Д4 ЗД6 4Д8

П = 2^—

(14)

(15)

Рис. 3. Потенциал (15) при различных значениях е

Оставшиеся параметры определяются соотношениями

А{") = А°Ж7У (16)

а = (17)

3(1 -Т-Ч\а\&( 2 5/31 4- 2,32 4- - 9/33 ^ ГШ

--л — (18)

Здесь в1 = 2^Л0Д0/ЬД2, в2 = вз = 4^Д«/^; Л(0) = Л0

и Д(0) = До — начальные значения амплитуды и поперечного радиуса, Jl — J6 —

/

Уравнение (14) эквивалентно уравнению движения ньютоновской частицы единичной массы во внешнем поле с потенциалом П(Д) (см. рис. 3). Это обстоятельство позволяет упростить качественный анализ. Решение является устойчивым, если Д и, как следствие, остальные параметры испытывают небольшие колебания вблизи равновесного значения. Это соответствует режиму самоканалирования. Как нетрудно заметить, возможность осуществления такого режима соответствует наличию минимума в потенциале (15).

Расчеты на основе аналитического и численного анализа (14) показывают, что па устойчивость влияет главным образом наличие собственной нелинейности ПКИ-компоненты. В ее отсутствие (Ъ = 0) локализованные решения неустойчивы и испытывают самофокусировку при превышении критической мощности. Если же Ъ = 0

нение шло в режиме самоканалирования, существует ограничение на параметр е. Так, для «оптических пуль» область устойчивости имеет вид 0.063 < е < 0.137, а для первой азимутальной моды - 0.085 < е < 0.137.

Поясним физический смысл полученных соотношений. Поскольку

_%Ъ[Ет\2 861Р

3а

где 10 и 1е интенсивности обыкновенной и необыкновенной составляющих импульса, то очевидно, что приведенные выше условия являются пороговым ограничением на отношение интенсивностей компонент импульса. Таким образом, можно переписать условие устойчивости в виде

3а 1е 3а

< Т0 < 8Ь£тах' ( 9)

Аналогичные расчеты можно провести и в случае решений в области положительной ДГС. Из них следует, что данные структуры являются, по-видимому, топологически устойчивыми, поскольку в этом случае поперечный радиус но зави-г

Заключение

В настоящей работе исследована поперечная структура двухкомпоиентных со-литонов, состоящих из связанного состояния квазимонохроматичсского и видеоимпульсов. В случае положительной ДГС возможно существование поперечных дефектов поля в виде «томных» вихрей и «дырок» па фойе квазиодномерного импульса. При противоположном знаке ДГС это полностью локализованные структуры типа «светлых» вихрей и оптических «пуль».

Как показывает вариационный подход, дефекты в области положительной ДГС являются топологически устойчивыми. Двухкомпоиеитиыо пули и вихри могут сформироваться благодаря подавлению коллапса за счет собственной нелинейности ПКИ-комионенты. Том не менее, они устойчивы лишь в фиксированном интервале отношений интенсивностей составляющих импульса.

В связи с ограниченностью аналитических методов вопрос о формировании описанных структур может быть исследован только с помощью численного моделирования, что представляет собой отдельную задачу.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Л*1' 05-02-16422) и фонда некоммерческих программ «Династия».

Summary

A.N. Видау, S.V. Sazunuv. Long-sliort-wave optical bullets and vortices.

The transverse structure of two-component, solitary waves propagating in uniaxial crystal is investigated. Such wave consist of quasimonochromatic and ultimately short pulses (video pulses). They have the structure of transverse field defects in form of "dark" vortices and "holes" under condition of positive group velocity dispersion. In the opposite case they have structure of fully localized "bright" vortices and optical bullets, which are stable with respect to collapse due to influence of nonlinearit.y of video pulse.

Литература

1. Кгшгиарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитопы. От волоконных световодов к фотонным кристаллам. М.: Физматлит, 2005. 648 с.

2. Сазонов С.В., Соболевский А. Ф. О нелинейном распространении предельно коротких импульсов в оптически одноосных средах // ЖЭТФ. 2003. Т. 123, Л' 6. С. 1160 1179.

3. Yajima N.. Oikawa М. Formation and interaction of sonic-langmuir solit.ons // Progr. Theor. Phys. 1976. V. 56, No. 6. P. 1719 1739.

4. Anderson D. Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fiber // Pliys. Rev. A. 1983. V. 27, No 6. P. 3135 3145 .

5. Сазонов С.В. О влиянии дифракции па распространение солитопов // ЖЭТФ. 2004. Т. 125, 6. С. 1409 1422.

Поступила в редакцию 12.01.07

Сазонов Сергей Владимирович доктор физико-математических паук, главный специалист лаборатории нелинейной оптики РНЦ «Курчатовский институт», г. Москва. E-mail: sazonov.sergeyegmail.com

Вугай Александр Николаевич аспирант Российского государственного университета им. Иммануила Канта, г. Калининград. E-mail: bugay_ aleksandremail.ru