CC BY
45
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 150, кн. 2
Физико-математические пауки
2008
УДК 530.182^535.2
ОБ ОПТИЧЕСКИХ СОЛИТОНАХ РАЗЛИЧНЫХ ДЛИТЕЛЬНОСТЕЙ
C.B. Сазонов
Аннотация
Представлен краткий обзор теории резонансных и перезоиапспых оптических солито-пов от папо- до фемтосекупдпых длительностей.
Ключевые слова: резонанс Захарова Вешш. терагерцовое излучение, фемтосе-купдпый импульс, одноосный кристалл, оптическая пуля, оптический вихрь.
Введение
Оптический солитон (от английского "solitary") представляет собой уединенный лазерный импульс определенной длительности (от нано- до фемтосекунд). обладающий несущей частотой видимого диапазона и способный распространяться в нелинейной диспергирующей среде без изменения своей формы на большие расстояния. Важным представляется также и то обстоятельство, что солитоны обладают свойством упругого взаимодействия друг с другом, то есть после столкновения солитоны восстанавливают свою первоначальную форму. Здесь следует подчеркнуть, что все это происходит в нелинейной среде, поэтому принцип суперпозиции. как он понимается в линейных средах, несправедлив. Солитоны именно взаимодействуют между собой, вначале деформируясь, а затем восстанавливая свои исходные параметры. Данное свойство является важным признаком того, что нелинейные волновые уравнения или системы, порождающие солитоны. обладают свойством полной интегрируемости, то есть для них в общем случае может быть решена соответствующая граничная задача или задача Коши. С прикладной же точки зрения на солитоны возлагаются большие надежды в целях их широкого использования в системах оптической связи. С укорочением длительности солитона может увеличиваться пропускная способность соответствующих информационных систем. Поэтому вопрос, отраженный в названии настоящей работы, представляется важным как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения.
1. Нано- и пнкосекундные солитоны самоиндуцированной прозрачности
Первый оптический солитон наблюдался в экспериментах Мак-Колла и Хана, открывших эффект самоиндуцированной прозрачности (СИП) [1]. Данное явление состоит в следующем: если на резонансную поглощающую среду подать импульс, интенсивность которого превышает некоторое пороговое значение, то импульс сам для себя просветляет среду таким образом, что распространяется в ней без затухания и без изменения своей формы. Передним фронтом мощный импульс переводит атомы среды из основного состояния в возбужденное, а задним индуцированным образом возвращает их в основное состояние. Таким образом, по мере распространения импульс отдает энергию резонансной среде, а затем возвращает ее обратно.
Такой обмен энергией требует времени, а потому приводит к резкому замедлению распространения импульса: скорость распространения может быть на два-четыре порядка меньше скорости света с в вакууме. Среда здесь является резонансной, то есть частота шо квантового перехода между какими-либо двумя выделенными энергетическими уровнями равна несущей частоте ш импульса. В этом случае атомы можно рассматривать как двухуровневые, отбросив все квантовые уровни, кроме обозначенных двух. Динамику двухуровневого атома в поле резонансного оптического импульса можно уподобить маятнику. Основное состояние атома при этом соответствует положению маятника «вертикально вниз», а возбужденное положению «вертикально вверх». Процессу полного обмена энергией между импульсом и атомом соответствует полный оборот маятника вокруг точки подвеса па угол 2п Поэтому солитоп СИП пазывают еще 2п-импульсом. Длительность импульса тр должна быть короче времен необратимой релаксации, характерных для рассматриваемого квантового перехода. В противном случае явление СИП наблюдать невозможно. В экспериментах Мак-Колла и Хана длительности импульсов лежали в иаиосекуидиом диапазоне. Явление СИП наблюдалось также и для пико-секундных лазерных импульсов, но замедление в скорости распространения здесь уже было но столь явным, как в случае наносекундных длительностей.
Математически явление СИП описывается системой волновых и материальных уравнений Максвелла Блоха:
8П 1 ЗП
дх с от д Н д;
дШ г
т 2У '
Здесь П = 2<е/Н - комплексная частота Раби импульса, < - дипольный момент рассматриваемого квантового перехода, Й - постоянная Планка, е - комплексная огибающая электрического поля Е импульса, связанная с последним соотношением
Е = е ехр[г(ш; — кх)] + к.с(2)
аббревиатура «к.с.» обозначает комплексное сопряжение, к - волновое число, Н -комплексная огибающая нестационарного атомного дипольного момента, индуцируемого полем импульса, Ш - разность населенностей между возбужденным и основным уровнями атома (инверсия), Д = шо — ш - отстройка поля импульса от резонанса с квантовым переходом, в ~ коэффициент, пропорциональный концентрации резонансных атомов.
При выводе системы (1) из исходных уравнений Максвелла и квантовомохани-чоских уравнений для матрицы плотности использовалось приближение медленно меняющихся огибающих (ММО):
<ф|. (3)
Согласно условиям (3) огибающая поля слабо меняется на периоде несущих оптических колебаний, то есть является достаточно четко выраженной. Действительно, частота оптических колебаний ш ~ 1015с-1. Для наносекундных длительностей число колебаний, содержащихся в импульсе, тштр ~ 106, а для пикосекундных -~ 103. Эти оценки подтверждают выполнение условий (3).
де де
- < ш|е|, дх
т
Использование (3) позволило в волновом уравнении Максвелла
д2Е 1 д2Е 4п д2Р
(4)
дх2 с2 дЬ2 с2 дt2 '
Р
ми производными от огибающей импульса и редуцировать таким образом данное уравнение к первому порядку относительно пространственной и временной производных.
Система Максвелла Блоха (1) является полностью интегрируемой и поэтому обладает решениями в виде солитонов, упруго взаимодействующих между собой.
В случае точного резонанса (Д = 0), как легко видеть из (1), частота Раби становится вещественной, а нестационарный дипольный момент мнимым. Тогда из системы (1) в предположении, что до импульсного воздействия (при Ь = —то) все атомы находились в основном состоянии (W(Ь = —то) = —1), следует уравнение синус-Гордона
д20
т
где в = § ', т = £ — х/с.
Солитонное решение данного уравнения в лабораторной системе координат имеет вид
2 , (Ь —х/у\ п = — босЬ -— , (6)
ТР 1 _ 1
V с
+ вт2. (7)
Легко видеть, что полная «площадь» солитопа А = / 0,сИ' = 2п. Это еще одна
причина, по которой солитоп СИП называется 2п-импульсом.
Из (6), (7) видно, что амплитуда и скорость солитопа СИП возрастают с укорочением его длительности.
2. Нано- и пикосекундные нерезонансные солитоны огибающей
Пусть в изотропной среде распространяется мощный оптический импульс, несущая частота ш которого далека от спектральных линий резонансного поглощения данной среды. В таких условиях нелинейность обусловлена тем, что мощный импульс в месте своего нахождения изменяет показатель преломления среды. Таким образом, общий показатель преломления пвеп среды начинает зависеть от интенсивности I ~ |е|2 [2]:
%еп = пш + П2|е|2, (8)
где пш - линейный показатель преломления на частоте ш, П2 — нелинейный показатель преломления.
В таком случае импульсы, абсолютная длительность тр которых лежит в достаточно широком интервале от единиц наносекунд до сотен фемтосекунд, хорошо описывается нелинейным уравнением Шредннгера (НУШ) [2]
.де к2 д2е |2 ^ = + (9)
Здесь т = Ь — Vg - линейная групповая скорость световой волны на частоте
ш, к2 - параметр дисперсии групповой скор ости (ДГС), в = шп2/с - коэффициент кубической (керровской) нелинейности.
Положительные значения П2 соответствуют фокусирующей нелинейности среды. Действительно, при П2 > 0 значение и&еп возрастает с увеличением интенсивности импульса. В центре поперечного сечения данного импульса интенсивность I ~ |е|2 максимальна. Из (8) следует, что здесь также максимально значение пвеп. Согласно принципу Ферма волновые нормали должны загибаться в сторону увеличения и&еп, то есть к центру оптического импульса, что соответствует явлению самофокусировки.
Аналогичные рассуждения приводят к выводу о дофокусирующом характере нелинейности при П2 < 0.
Уравнение НУШ принадлежит к классу полностью интегрируемых и обладает солитонным решением в виде уединенного бегущего вдоль оси ж со скоростью год импульса:
Отсюда видно, что при фокусирующей нелинейности (в > 0) солитонное решение существует в спектральной области аномальной ДГС (к2 < 0). В случае же фокусирующей нелинейности спектр солитона принадлежит области нормальной к2 > 0 ниям теории солитонов.
Здесь следует отметить еще одно важное обстоятельство. Из (10) видно, что амплитуда солитона НУШ растет с укорочением его длительности, а вот скорость распространения никак не связана ни с амплитудой, ни со скоростью. Это одна из причин, по которой норозонансныо оптические солитоны могут найти применения в длинных оптоволоконных линиях передачи информации [2]. Действительно, поскольку скорость всех солитонов на одной и той же несущей частоте одинакова, то в какой последовательности они будут запущены в оптоволоконную линию, в такой же н подойдут к ее концу, то есть в линии не произойдет искажения передаваемой по ней информации.
Одной нз тенденций развития лазерной физики является создание световых импульсов все более коротких длительностей. Выше речь шла о нано- и пикосо-кундных солитонах, для которых можно было ввести понятие огибающей и использовать свойство ее медленного изменения на оптическом периоде. В настоящее время можно говорить уже об импульсах длительностью в единицы фомтосокунд, содержащих внутри себя порядка одного или всего нескольких оптических периодов. В отечественной литературе оптические сигналы, содержащие порядка одного периода колебаний, получили название предельно коротких импульсов (ПКИ) [3], а в англоязычной литературе - few-cycle pulses (FSP) [4]. В этих условиях штр ~ 1, поэтому уже невозможно ввести понятие огибающей, а следовательно, не имеет никакого смысла говорить об условиях (3). Можно еще сказать так, что в силу малой длительности импульса ширина его спектра сопоставима с его же центральной частотой, которая перестает иметь смысл несущей. Таким образом, для фемтосекунд-ных импульсов перестает выполняться приближение ММО. Количество перешло в качество. Здесь для аналитического описания импульсной динамики требуется использование каких-либо других приближений или предположений.
Отдавая дань истории, отметим работу [5], где был предложен альтернативный подход описания явления СИП, не использующий приближение ММО. Вместо условий (3) было использовано приближение среды малой концентрации N
(Ю)
3. Фемтосекундные солитоны длительностью в несколько периодов оптических колебаний
резонансных атомов, которая входит в правую часть уравнения (4). так как Р = 2dN И,е К. Количественно условие малой концентрации записывается в виде 4пд?К/(Ншо)2 ^ 1. Если правая часть в (4) мала, то свойства среды незначительно изменяются полем оптического импульса. Другими словами, нелинейные неоднородности среды, которые создает импульс, относительно малы. А раз так, то можно пренебречь эффектом отражения поля от им же создаваемых неоднородностей. Это позволяет приближенно, в соответствии с (3), исключить из (4) отраженную волну, что соответствует редукции данного уравнения от второго порядка относительно производных к первому. Это и было проделано в [5]. Данная процедура соответствует приближению однонаправленного распространения (ОНР). Важно заметить, что при ОНР импульс может содержать практически любое количество оптических колебаний: от одного до миллиона. Система, найденная в [5] и получившая название редуцированной системы Максвелла Блоха (РМБ), имеет вид:
дП 1 дП 1Т „
— Н---— = —Мню,
дх с дЬ
дБ
— =гтБ+'Ш¥, (И)
дЬ
дW
— = -ПЪпБ. дЬ
Здесь П = 2dE/K, динамический параметр Б имеет смысл комплексного нестационарного дипольного момента, коэффициент В пропорционален концентрации рассматриваемых двухуровневых атомов.
Формально система (11)схожа с (1). Принципиальное же различие здесь заклю-
е
дипольного момента К, а сами поле Е и дппольный момент Б.
Система (11), как и (1), принадлежит к классу полностью интегрируемых. В числе прочих она обладает решением типа бризера, схематически показанного на рис. 1, слева. Это двухпараметрическое решение, где в качестве свободных параметров можно взять центральную частоту ш его спектра и длительность тр. «Центр масс» бризера распространяется с постоянной групповой скоростью, но при этом его профиль в сопутствующей системе отсчета испытывает периодические пульсации. Данные пульсации обусловлены тем, что, помимо групповой скорости V, бризер обладает фазовой ^скоростью. При этом vph = V, как и должно быть в диспергирующей среде. Бризер, в отличие от солитона огибающей, может содержать произвольное число колебаний. Если штр ^ 1, бризерное решение системы (11) переходит в рассмотренный выше солитон огибающей СИП.
Таким образом, солитон огибающей СИП в условиях малой концентрации резонансных атомов есть частный случай бризерного решения системы РМБ.
В работах [6, 7] вместо приближения малой концентрации резонансных атомов было предложено использовать приближение спектрального перекрытия (СП): (ш0тр)2 ^ 1. Смысл данного приближения состоит в том, что спектральная ширина импульса 5ш ~ 1/тр > ш0, то есть спектр импульса перекрывает частоту рассматриваемого квантового перехода, а потому возбуждение атомов может быть достаточно сильным.
В [6, 7] показано, что при условии СП динамика импульса подчиняется уравнению синус-ГЬрдона вида (5). Но теперь усеченная площадь импульса определяется
Рис. 1. Характерный профиль электрического поля Е, соответствующий бризерному решению системы (11) в сопутствующей системе координат (слева), который при штр ^ 1 переходит в солитоп огибающей системы (1). (2) (справа)
по огибающей его поля, а самим электрическим полем:
т т
в = J Ш,т' = (2d/h) J EdT'.
Уравнение синус-Гордона также обладает бризорным решением типа, изображенного на рис. 1, которое в пределе большого числа осцилляций переходит в солитоп огибающей самоиндуцированной прозрачности.
Выше в настоящем разделе мы рассмотрели случаи резонансных фомтосокунд-ных солитонов. Под резонансом здесь следует понимать то, что в спектре импульса содержатся Фурье-компоненты, резонансные по отношению к возбуждаемым квантовым переходам. Возникает естественный вопрос «как описывать фомтосокунд-ныо солитоны, которые нерезонансно взаимодействуют со средой?» Какое уравнение здесь может стать аналогом НУШ вида (9)? Впервые попытка ответа па данный вопрос была предпринята в [6, 7]. В качестве модели была вновь рассмотрена система двухуровневых атомов. Однако теперь использовалось приближение оптической прозрачности (ОП), противоположное СП: (ш0тр)2 ^ 1. В этих условиях, как показано в [6, 7], динамика поля импульса описывается модифицированным уравнением Кортовога де Вриза (МКдВ):
дЕ о dE пд3Е
---аЬ~---Р-гг-з
дх дт дт3
0,
(12)
где, как и прежде, т = t — x/c, а и в ~ постоянные, определяемые параметрами среды.
Используя представление (2), можно показать, что в пределе большого числа импульсных осцилляций, то есть при штр ^ 1, уравнение (12) переходит в НУШ вида (9). Таким образом, уравнение (12) обобщает (9) на случай, когда импульс содержит произвольное число осцилляций.
Оказывается, что и уравнение (12) обладает бризорным решением типа, изображенного на рис. 1. Данное решение хорошо описывает few-cycle pulse, а в пределе большого числа осцилляций оно переходит в солитоп огибающей НУШ вида (10).
Двухуровневая модель, однако, здесь неудовлетворительна по двум основным причинам. Во-первых, спектр фемтосекундного импульса может быть достаточно широк для того, чтобы во взаимодействие с полем вовлекались другие квантовые переходы, отличные от рассматриваемого. Во-вторых, из данной модели однозначно следует, что n2 < 0 [7]. В то же время для твердых диэлектриков в областях их
оптической прозрачности п2 > 0 [8], что соответствует фокусирующему характеру нелинейности.
В работе [3] были предложены полуфеноменологические материальные уравнения. соответствующие фокусирующей нелинейности. При этом учитывался как электронный отклик среды, так и ионный. Для электронных переходов шо ~ 10 с-1, а для ионных колебательных мод шо ~ 1013с-1. Тогда при длительности импульса тр ~ 10 фс для электронно-оптических переходов имеем приближение ОП, а для ионных мод приближение СП. В этих условиях динамика фомтосо-кундного импульса в изотропном диэлектрике подчиняется уравнению вида:
Отметим, что все коэффициенты в (13) положительны. При этом условие а > 0 соответствует фокусирующей нелинейности (сравните знаки нелинейных членов в (13) и в (12)). Третье слагаемое в левой части (13) соответствует дисперсии электронного отклика, а последнее дисперсии ионного. При этом электронный отклик дает положительный вклад в дисперсию групповой скорости, а ионный отрицательный. Если в (13) пренебречь ионной дисперсией, то придем к уравнению МКдВ, но с разными знаками при нелинейности и дисперсии. В таких условиях данное уравнение не обладает локализованными солитонными и бризорными решениями. С физической точки зрения это означает, что при фокусирующей нелинейности солитоны могут образовываться только в области аномальной ДГС (см. выше). Если в качестве диэлектрика взять кварцевое стекло, то аномальная ДГС соответствует ближнему инфракрасному диапазону [3]. В пределе сильной аномальной ДГС в (13) можно отбросить электронную дисперсию (то есть положить формально в = 0). Тогда (13) переходит в уравнение Шефера-Уэйна [9], вновь принадлежащее к классу полностью интегрируемых [10]. Понятно, что солитоны и бризоры данного уравнения упруго взаимодействуют между собой.
В [3] было численно получено бризороподобноо решение полного уравнения (13) в виде импульса, содержащего порядка полутора оптических колебаний (типа, изображенного слева на рис. 1). В работе [11] приближенно найдено соответствующее аналитическое решение. В обеих работах подчеркивается, что для существования такого решения принципиальна роль ионного отклика (интегрального слагаемого в (13)). В квазимонохроматическом же пределе (штр ^ 1) групповая скорость такого импульса, как и в случае солитонов НУШ, перестает зависеть от длительности импульса. Нетрудно показать, что в квазимонохроматическом пределе уравнение (13) переходит в НУШ вида (9).
Далее совершенно естественной представляется попытка обобщения уравнения (13) на оптические кристаллы (анизотропные среды). В [12] предложена теория распространения фомтосокундных оптических импульсов в одноосных кристаллах. Так как в таких кристаллах оптический импульс имеет обыкновенную Е0 и необыкновенную Ее компоненты, то его поле следует рассматривать как векторное. Поэтому вместо одного уравнения получается система двух уравнений, которая здесь не приводится. В отличие от (13), данная система содержит, кроме кубической, квадратичную нелинейность, как и должно быть в анизотропных средах. Отметим одно явление, теоретически предсказанное в [13] и наблюдавшееся экспериментально в работе [14]. Пусть на вход одноосного кристалла подается ква-зимонохроматичоский импульс с определенной несущей частотой, поляризованный в плоскости обыкновенной волны. При условии, что групповая скорость обыкновенной волны па несущей частоте импульса равна фазовой скорости необыкновенной
т
(13)
на нулевой частоте, за счет квадратичной нелинейности первая способна породить необыкновенный импульс без несущей частоты, испытывая на нем последующее рассеяние. Можно говорить как бы о саморассеянии. В результате данного саморассеяния несущая частота импульса обыкновенной волны испытывает сдвиг в красную область, пропорциональный ее же входной интенсивности [13]. В экспериментальной работе [14] порождаемый импульс без несущей частоты трактовался как широкополосный сигнал терагерцового диапазона.
Заключение
Проведенный выше беглый экскурс в оптическую солитонную тематику удивительным образом обнаружил, что очень многие процессы распространения импульсов различных длительностей в различных средах описываются полностью интегрируемыми уравнениями или их системами. На самом деле «в жизни», как это обычно бывает, все значительно сложнее и запутаннее, чем «на бумаге». Мы здесь намеренно рассмотрели лишь одномерные случаи, когда параметры импульса зависят только от одной пространственной переменной x. В реальных же ситуациях поперечные размеры импульсов конечны и составляют обычно порядка миллиметра. Теоретические модели, в которых учитывается поперечная динамика оптических импульсов, значительно сложнее и не так красивы, как одномерные полностью интегрируемые модели [15]. Однако все не так плохо, если заметить, что продольные размеры рассмотренных выше солитонов значительно меньше соответствующих поперечных размеров. В этих случаях поперечную динамику можно учесть приближенно (например, с помощью вариационного подхода [16]), отталкиваясь от красивых н имеющих глубокий физический смысл одномерных солитонных решений. Здесь, пожалуй, нелишне удивиться тому, сколь различные физические ситуации для распространения оптических импульсов от нано- до фемтосекундиых длительностей описываются столь же различными, но все же полностью интегрируемыми уравнениями.
Summary
S. V. Sazunuv. Он t.lie Optical Solit.ons of Different. Durations.
A short review of theory of the resonant, and lion-resonant, optical solit.ons with liano- to femtosecond durations is presented.
Key words: Zakliarov Benney resonance, terahertz radiation, femtosecond pulse, uniaxial crystal, optical built., optical vortex.
Литература
1. McCall S.L., Hahn E.L. Self-induced transparency by pulsed coherent, light. // Pliys. Rev. Lett. 1967. V. 18, No 2. P. 908 911.
2. Агравал Г. Нелипейпая волоконная оптика. М.: Мир. 1996. 323 с.
3. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах // ЖЭТФ. 1997. Т. Ill, .V» 2. С. 404 418.
4. Brabec Т., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of non-linear optics // Rev. Mod. Pliys. 2000. V. 72, No 2. P. 545 591.
5. Caudrey P.J., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Bullough R.K. Exact, mult.i-solit.oii solution of inhomogeneously broadened self-induced transparency equations // J. Pliys. A. 1973. V. 6. P. L53 L56.
6. Беленое Э.М., Наза/ркин A.B. О некоторых решениях уравнений нелинейной оптики без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз // Письма в ЖЭТФ.
1990. Т. 51, .Ys 5. С. 252 255.
7. Беленое Э.М., Назаршп A.B., Ущаповский В.А. Динамика распространения и взаимодействия сгустков электромагнитного поля в двухуровневых средах // ЖЭТФ.
1991. Т. 100, Л» 3(9). С. 762 775.
8. Азаренков А.Н., Альтшуле.р Г.Б., Белашенков Н.Р., Козлов С.А. Нелинейность показателя преломления лазерных твердотельных диэлектрических сред // Квант, электрон. 1993. Т. 20, Л» 8. С. 733 757.
9. Schafer Т., Wynne С.Е. Propagation of ultra-sliort. optical pulses in cubic non-linear media // Pliysica D. 2004. V. 196. P. 90 105.
10. Sakovich S. Yu. On int.egrabilit.y of one t.liird-order non-linear evolution equation // Pliys. Lett. A. 2003. V. 314, No 3. P. 232 238.
11. Сазонов C.B., Халяпин В.А. О квазисолитошюм распространении импульсов длительностью в несколько периодов оптических колебаний в изотропных диэлектриках // Опт. и спектр. 2003. Т. 95, № 3. С. 452 457.
12. Сазонов C.B., Соболевский А.Ф. О нелинейном распространении предельно коротких импульсов в оптически одноосных средах//ЖЭТФ. 2003. Т. 123, Л'6. С. 1160 1178.
13. Сазонов C.B., Соболевский А.Ф. Непрерывное стоксово саморассеяпие оптического импульса в одноосном кристалле при условиях резонанса Захарова Бешш // Квапт. электрон. 2005. Т. 35, № 11. С. 1019 1026.
14. Степанов А.Г., Мельников A.A., Комшпец B.C., Чекалин C.B. Модификация спектра фемтосекупдпого лазерного импульса при высокоэффективной генерации те-рагерцового излучения методом оптического выпрямления // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 85, Л» 5. С. 279 282.
15. Киашарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитопы. М.: Физматлит, 2005. 480 с.
16. Видау A.N., Sazonov S.V. Hole-vortex solit.ons // Pliys. Rev. E. 2006. V. 74, No 6. P. 066608-1 066608-8.
Поступила в редакцию 18.02.08
Сазонов Сергей Владимирович доктор физико-математических паук, ведущий паучпый сотрудник Российского научного центра «Курчатовский институт», г. Москва. E-mail: sazonov.sergeyQgmail.com
