CC BY
113
ОБЗОРНАЯ СТАТЬЯ
УДК 535.2
ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В СРЕДАХ ИЗ ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ
С.В. Сазонов
Сазонов Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Национального исследовательского центра «Курчатовский институт», профессор физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и Московского авиационного института. Области научных интересов - нелинейная и когерентная оптика, физическая акустика твердого тела, физика плазмы, физика сложных нелинейных систем. Автор около 200 научных работ в центральных и международных изданиях. Лауреат премии Европейской академии 1996 года за работы в области фемтосекундной нелинейной оптики и пико-секундной акустики. Член докторского диссертационного совета при НИЦ «Курчатовский институт» по специальности «физическая электроника». Постоянный член программных комитетов симпозиума «Фотонное эхо и когерентная спектроскопия», «Чтений по квантовой оптике» и конференции «Фундаментальные проблемы оптики». Научный руководитель восьми кандидатских и консультант одной докторской диссертации.
Представлен вывод нелинейных уравнений, описывающих взаимодействие лазерных импульсов с системой двухуровневых атомов и обладающих решениями в виде оптических солитонов. Рассмотрены ситуации распространения резонансных и квазирезонансных солитонов огибающей, а также солитонов типа предельно коротких импульсов длительностью от нано- до фемтосекунд. Обзор адресуется студентам, аспирантам и научным работникам, специализирующимся в различных областях современной физической науки.
Ключевые слова: оптический солитон, двухуровневый атом, нелинейность, дисперсия, резонанс, квазирезонанс, интегрируемость.
Введение
Оптический солитон (от английского «solitary») представляет собой уединенный лазерный импульс определенной длительности (от нано- до фемтосекунд), обладающий несущей частотой видимого или ближнего инфракрасного диапазона и способный распространяться в нелинейной диспергирующей среде без изменения своей формы на большие расстояния. Важным представляется также и то обстоятельство, что солитоны обладают свойством упругого взаимодействия друг с другом, т.е. после столкновения солитоны восстанавливают свою первоначальную форму. Все это происходит в нелинейной среде, поэтому принцип суперпозиции, как он понимается в линейных средах, несправедлив. В связи с этим свойством на солитоны возлагаются большие надежды для их использования в системах оптической связи. С укорочением длительности солитона растет пропускная способность соответствующих информационных систем.
С математической точки зрения солитон представляет собой решение нелинейного уравнения (или системы уравнений) в частных производных. Рассматриваемое уравнение при этом является интегрируемым, т.е. можно, используя аналитические подходы, найти решение соответствующей задачи Коши или граничной задачи. Свойство упругого взаимодействия солитонов друг с другом обусловлено именно интегрируемостью рассматриваемого уравнения. Помимо нелинейности, для существования солитона должна присутствовать дисперсия. На языке взаимодействия светового поля с атомами это означает наличие временного запаздывания поляризационного отклика среды на полевое воздействие. Взаимная компенсация нелинейного укручения профиля волнового пакета и его дисперсионного расплывания приводит к формированию солитона.
Двухуровневый атом - простейшая квантовая модель, используемая во многих задачах, где рассматривается взаимодействие света с веществом. Особую популярность данная модель приобрела в 60-е годы прошлого столетия, после изобретения лазеров - источников когерентного светового излучения. Если частота света ю близка к частоте ю0 перехода между какими-либо двумя квантовыми уровнями в атоме (случай резонанса), то с хорошей точностью рассмотрением этих двух уровней можно и ограничиться [1].
При взаимодействии двухуровневого атома с коротким световым импульсом в общем случае изменяются населенности квантовых уровней первого, что влияет на его поляризационный отклик. Насе-ленностями уровней определяется запасенная в атоме энергия. Изменение данной энергии должно сопровождаться изменением энергии поля светового импульса, пропорциональной квадрату напряженности его электрического поля E. Таким образом, изменение населенностей квантовых уровней - эффект сугубо нелинейный по напряженности поля импульса.
1
Интуитивно понятно, что чем короче длительность импульса, тем отчетливее должно проявляться запаздывание отклика двухуровневого атома на воздействие данного импульса. Данная временная нелокальная связь между поляризацией Р среды из двухуровневых атомов и Е есть та самая дисперсия, наличие которой наряду с отмеченной выше нелинейностью необходимо для формирования оптического солитона.
Целью настоящей работы является обзор тех физических условий, что порождают различные оптические солитоны в системе двухуровневых атомов. Список литературы, данный в работе, далеко не полон, а основной акцент делается на выводе соответствующих нелинейных волновых уравнений и кратком описании свойств их солитонных решений. Автор надеется, что обзором могут заинтересоваться студенты, знакомые с общим курсом физики, включая атомную физику и электромагнетизм, аспиранты, приступающие к изучению вопросов взаимодействия лазерных импульсов с веществом, а также научные работники, специализирующиеся в других областях. В этой связи вывод системы базовых волновых и материальных уравнений представлен достаточно подробно и в простой форме. Также, по возможности, детально иллюстрируется использование различных приближений, приводящих от базовой системы к уравнениям, порождающим солитонные решения. При этом после вывода таких уравнений не делается их исследование на интегрируемость, а просто констатируется сам факт интегрируемости со ссылками на оригинальные работы или монографии. Дело в том, что вопрос интегрируемости сам по себе достаточно сложен, и вряд ли целесообразно его строгое обсуждение в данном обзоре, преследующем прежде всего цели физического анализа условий справедливости тех или иных приближений, которые приводят к уравнениям, порождающим солитоны. Помимо прочего, обзор содержит анализ различной терминологии, часто употребляющейся в оригинальных научных статьях. Это, на взгляд автора, должно помочь начинающим исследователям ориентироваться в «море» часто отпугивающих новых терминов. Автор также выражает надежду на то, что после прочтения настоящего обзора начинающий исследователь и опытный научный работник - неспециалист в данной области смогут постепенно выйти на уровень, позволяющий читать оригинальные статьи, а также, всерьез заинтересовавшись обозначенной областью, принять участие в ее дальнейшем развитии.
Волновые и материальные уравнения
Для теоретического исследования взаимодействия мощных световых импульсов с веществом обычно используется хорошо зарекомендовавший себя полуклассический подход: электромагнитное поле импульса описывается уравнениями Максвелла, а отклик вещества на воздействие импульса - уравнениями квантовой механики.
Из уравнений Максвелла легко получается волновое уравнение вида [2] п1 д^Е _ 4п д2 Р дг2 _ С2 дг2
где с - скорость света в вакууме, пт - показатель преломления изотропной матрицы, в которую помещены двухуровневые атомы, V2 - оператор Лапласа, / - время.
Теперь необходимо связать вектор Р с полем светового импульса и с характеристиками двухуровневых атомов. Для этого перейдем к выводу материальных уравнений с помощью квантово-механического подхода.
Пусть Н0 - оператор Гамильтона двухуровневого атома, свободного от воздействия светового импульса. Данный оператор описывает кинетическую энергию внешнего (оптического) электрона атома и потенциальную энергию его взаимодействия с атомным остовом, который включает в себя атомное ядро и все внутренние электроны. Понятно, что Н0 зависит от координат г оптического электрона относительно неподвижного атомного остова и производных по данным координатам.
Будем считать, что для этого случая решено стационарное уравнение Шредингера
Нф (г) _8кФк (г), (2)
где к принимает два значения, 1 и 2, ек - значения энергии оптического электрона в стационарных состояниях, фк (г) - соответствующие собственные волновые функции.
В силу эрмитовости Н0 значения ек вещественны, а ф1 и ф2 образуют ортонормированную систему: |ф* (г)ф1(г)^3г _ |ф2(г)ф2(г)^3г _ 1, |ф* (г)ф2(г)^3г _ 0, где интегрирование ведется по объему
атома, определяемому областью локализации волновых функций фк (г).
Пусть теперь на атом воздействует световой импульс. Основное воздействие приходится на электронную оболочку атома, так как она значительно легче атомного ядра. В общем случае на электрон с зарядом —в действуют как электрическое, так и магнитное поле светового импульса. При скоростях электрона, значительно меньших, чем с , основное влияние на оптический электрон оказывает электри-
V2E —т-_--, (1)
2 ^2 „2 ги2 ' ^ >
= ((-а .е) , (3)
ческое поле импульса. Оно сдвигает центр масс внешней электронной оболочки против своего направления, создавая таким образом индуцированный дипольный момент а = -ег . Пусть при отсутствии внешнего поля центр масс отрицательного заряда в атоме находится в точке, характеризуемой радиус-вектором г0. Приложение же внешнего электрического поля Е деформирует электронную оболочку, смещая ее центр масс из г0 в г0 + г, антипараллельно Е. Тогда, работа электрического поля при этом г0 +г
смещении А = -е | Е(г', ^ • аг'. В видимом диапазоне частот характерной несущей частоте импульса г0
ю ~1015 с-1 соответствует длина волны X ~10-4 см, что на четыре порядка превышает характерный размер атома, равный по порядку величины боровскому радиусу ав ~1(Г8 см. В этих условиях можно пренебречь изменением Е на масштабе одного атома, положить Е(г', t) и Е(г0, Г) и вынести данную векторную функцию из-под интеграла. Тогда получим А = а • Е . Известно, что работа внешней силы по перемещению тела равна уменьшению соответствующей потенциальной энергии V . Полагая данную энергию равной нулю при г = 0 , найдем V = -а • Е . Приближение, в котором получено данное выражение для V , называется электродипольным.
Так как поле импульса Е зависит от времени, для описания его взаимодействия с атомом применяем нестационарное уравнение Шредингера ду
"ЗГ
где новая волновая функция у зависит как от координат оптического электрона относительно центра масс атомного остова, так и от времени. Разложим данную функцию по базису собственных функций оператора Я0:
у (г, t) = а ^ )ф1 (г) + а2 ^ )ф2 (г), (4)
где а1 и а2 - амплитуды основного и возбужденного атомных состояний. Подставим (4) в (3):
т {^а Ф1 (г)Ф^ (г)) = (( - й • е) (((г) + а2ф2 (г)) . (5)
Так как оператор Н0 зависит только от координат оптического электрона и соответствующих пространственных производных, а амплитуды а1 и а2 - от времени, то Н0а12ф12 = а12Н/0ф12 = а12е12ф12 (см. (2)). С учетом этого и ортонормированности собственных функций оператора Н0 умножим (5) сначала на фц и проинтегрируем получившееся выражение по объему атома, а затем на ф2 с тем же последующим интегрированием. Тогда получим:
да, г , ч г
— =—(Е1 - ^ )а1 + - ^ а2 , (6)
дt п п
За, г / Т \ г т,
— =~(В2 - J22 ) +Т j12а1. (7) дt п п
Здесь J11 =|а • Е¡ф^2 й3г, J22 = |а • Е|ф2|2 й3г , J12 = |а • Еф1 ф2й3г; очевидно, что интеграл описывает переход между стационарными состояниями 1 и 2, J11 и J22 - динамические сдвиги энергий этих состояний.
Волновые функции в последних интегралах локализованы на масштабе порядка боровского радиуса, а характерный масштаб неоднородности поля Е составляет длину волны. Как было сказано выше, для видимого диапазона ав / X ~ 10 4. Это означает, что на масштабе атома поле Е можно считать однородным и вынести его из выписанных выше интегральных выражений. Тогда
Jn и Е • |а¡ф^2 й3г = -еЕ • | г|ф^2 й3г = Б11 • Е ,
J22 И Е • |а|ф2|2 й3г = -еЕ |г|ф2|2 й3г = Б22 • Е , и Е • |аф1 ф2й3г = -еЕ • |гф1 ф2й3г = а21 • Е .
Если гамильтониан свободного атома Н0 инвариантен относительно пространственной инверсии г —> -г, то порождаемые им стационарные квантовые состояния обладают определенной четностью. При положительной четности ф^ (-г) = ф^ (г), а при отрицательной ф^ (-г) = -ф^ (г). Тогда легко видеть, что интеграл J12 отличен от нуля, если основное и возбужденное состояния обладают различной четно-
стью. Таким образом, в электродипольном приближении под действием светового импульса разрешены квантовые переходы между состояниями противоположных четностей. Тогда очевидно, что
Бп _Б22 _0. Если же инвариантность Н0 относительно операции гг отсутствует (это возможно, например, в случае пространственно несимметричных молекул), стационарные состояния не обладают определенной четностью. В этом случае все три матричных элемента оператора дипольного момента атома Бп, Б22 и ^ отличны от нуля. Тогда система (6), (7) примет вид
да I I
-1 = -т(е1 — в11 •Е )а +Т ¿21 • Еа2, (6а)
д( п п
да. г , ч г *
= "т( — П22 •Е) + -¿2, • (7а)
д( п п
Выразим дипольный момент р рассматриваемого атома через амплитуды основного и возбужденного состояний. Согласно правилам квантовой механики, р _ 3г . Используя разложение (4) и свойст-
II2 I |2 * * *
ал + Б22 а2 + ¿21а1 а2 + ¿21а2а1. Ниже будем считать матричный элемент ¿21 вещественным. В этом случае вектор Е поля импульса всегда остается лежать в одной плоскости, т.е. импульс является плоско поляризованным. Из условия нормировки ё3г _ 1 и свойства ортонормированности стационарных состояний находим Щ2 + |а2|2 _ 1.
Тогда р _ Б + Б, + 2dU , а для вектора поляризации, создаваемого двухуровневыми атомами, будем иметь
Р _пр _п(Б + Б, + 2dU), (8)
где Б _ (Б22 + Б11 )/2, Б _ Б22 — Б11, d _ ¿21, п - концентрация двухуровневых атомов, Ж _ (|а2|2 — |а| )) , и _ (а*а1 + а*а2 )/2 .
Установим физический смысл различных слагаемых, входящих в (8). При отсутствии светового импульса и _ 0 , так как до его воздействия атомы обнаруживаются либо в основном (а2 _ 0), либо в возбужденном (а1 _ 0) состоянии. В суперпозиционное состояние, когда одновременно а12 Ф 0 и определены фазы обеих амплитуд, атом переводится уже полем импульса. Таким образом, первые два слагаемых в скобках (8) дают вклад в дипольный момент атома, которым тот обладает при отсутствии светового импульса в силу того, что из-за асимметрии центры масс положительного и отрицательного зарядов находятся в его разных точках. Последнее слагаемое в скобках (8) есть дипольный момент, индуцированный полем светового сигнала. По этой причине безразмерный динамический параметр и называют индуцированным дипольным моментом атома. Величина Б получила название постоянного диполь-ного момента (ПДМ), а d - дипольного момента перехода.
Представляется естественным перейти от (6а), (7а) к системе уравнений для имеющих ясный физический смысл параметров и и Ж .
Пусть векторы всех атомов Б11, Б22 и d21 направлены вдоль одной оси х, имеющей смысл оси оптической анизотропии. Тогда при отсутствии светового импульса среда является поляризованной вдоль этой оси, образуя одноосный кристалл. Пусть световой импульс распространяется перпендикулярно к этой оси, вдоль которой направлен вектор Е импульса. В этих условиях векторы Б11, Б22, d21 и Е в (6а), (7 а) можно переписать в виде скаляров. Тогда, используя (6а), (7а), легко прийти к замкнутой системе материальных уравнений, описывающих динамику двухуровневого атома в поле светового импульса (предлагается это сделать читателю в качестве упражнения):
^ -^и + А,-, (10)
-2ёЕу. (11)
ы п
Здесь ю0 _(е2 — е1)/ Й - собственная частота рассматриваемого перехода, а также введен новый динамический параметр V _ (а*а1 — а*а2)), пропорциональный скорости центра масс электронной оболочки атома, приобретаемой под действием светового импульса. Из (9)-(11) следует, что при наличии
ПДМ электрическое поле импульса выполняет две функции: вызывает квантовый переход между двумя рассматриваемыми уровнями и динамическим образом сдвигает частоту данного перехода.
Волновое уравнение (1) с учетом (8), соответствующее рассматриваемому случаю, имеет вид
^—4 ^ _ 4 (+^ ) — ^ ^ . (!2)
дг2 с2 дЛ2 с2 дЛ2У ' с2 дЛ
При преобразовании правой части (12) использовались уравнения (9) и (11). Здесь и ниже мы рассматриваем одномерное распространение импульса вдоль оси г , поэтому лапласиан в (1) представляется
как V2 _ д2/ дг 2.
Еще раз следует подчеркнуть, что используемое при выводе системы (9)-(12) приближение элек-тродипольного взаимодействия между световым полем и атомами накладывает ограничения на данную систему. Понятно, что с ее помощью нельзя описывать распространение в двухуровневой среде рентгеновского, а тем более гамма-излучения, так как в этих случаях импульсные поля заметно изменяются на атомных масштабах. В то же время заметим, что область использования системы (9)-(12) достаточно широка. Она способна описывать распространения импульсов, в спектре которых содержатся частоты от терагерцового до ультрафиолетового диапазонов, а их длительность лежит в интервале от нано- до фем-тосекунд.
Система Максвелла-Блоха
В настоящем разделе рассмотрим ситуации, когда в средах из двухуровневых атомов без ПДМ (Б _ 0) формируются квазимонохроматические солитоны. Волна является монохроматической в предельном случае, когда она представлена бесконечной синусоидой. Понятно, что световые импульсы не могут быть монохроматическими, так как их длительность всегда конечна. Если длительность тр импульса такова, что он содержит большое число (N >> 1) световых колебаний, его называют квазимонохроматическим. Обычно для таких импульсов N > 10. Пусть Тр - период оптических колебаний, содержащихся в импульсе. Тогда N ~ т / Тр ~ ют и условие квазимонохроматичности можно записать, введя малый параметр
Ь - (ютр )1 << 1. (13)
При Б _ 0 (9)-(11) удобно записать в комплексной форме, введя динамическую переменную
£ - и _ IV :
— _ гю0£ + /О, , — _-о( — £*), (9а)
дЛ дЛ 2х'
где О _ 2ёЕ / # . Считая здесь и ниже квазимонохроматический импульс одномерным и распространяющимся вдоль оси г , представим его поле в виде
О _ у(г, Л)е'(ю'—кг) + у* (г, Л)е—'(ю'—кг), (14)
где к - волновое число, у(г, Л) - комплексная медленно меняющаяся огибающая (ММО), в том смысле, что ее временной масштаб т значительно превосходит период Тр, а пространственный 1р ~ ст - длину волны X _ 2л / к.
Легко видеть, что введение ММО согласуется с условием квазимонохроматичности (13), которое теперь можно переписать в виде неравенств
ду
дЛ
<< ю
ду
дг
<<
к у . (13а)
Так как |ду / дл| ~ |у| / тр, |ду / дг| ~ |у| / 1р, то отношения левых частей в неравенствах (13а) к их правым частях - порядка . Вообще говоря, каждая последующая производная от огибающей точно так же по абсолютной величине относится к предыдущей производной. Тогда можно приближенно записать
д 2°_^,-„дУ
дЛ2 I дЛ
д2°_Г ду
2-ю ^- — ю2у Iе'(ю'—кг> + к.с., (15)
—2/к^Г — к2у Iе'(ю'—кг) + к.с., (16)
дг2 ^ дЛ
где аббревиатура « к.с.» обозначает комплексное сопряжение от предыдущих выражений в левых частях; в (15) и (16) мы пренебрегли вторыми производными от огибающей по Л и г соответственно.
Обратимся теперь к системе материальных уравнений (9а). При отсутствии поля светового импульса (О _ 0) первое уравнение описывает движение свободного комплексного осциллятора, собствен-
ная частота которого равна ю0. В этом случае имеем S ~exp('ro0t). Очевидно, это соответствует тому,
что дипольный момент возбужденного двухуровневого атома колеблется на частоте его квантового перехода. Последнее слагаемое в правой части (9а) можно рассматривать как внешнюю вынуждающую силу, частота которой равна несущей частоте ю светового импульса. Понятно, что установившиеся колебания осциллятора происходят именно на этой частоте. Поэтому запишем
S (z, t) = R( z, t)e''(mt-fe), (17)
где R( z, t) - комплексная ММО дипольного момента атома. Представляя переменную V в виде
V = = - - (Rei(mt-kz} - R* e-i(mt-fe}) (18)
2i 2V '
и пренебрегая производной от огибающей R , будем иметь
dV = Ю (Re'(™t-kz) + r*e-i(rnt-kz) \ dt 2 ^ >' Подставляя данное выражение, а также (15) и (16) в (12), после приравнивания друг другу в левой и правой частях отдельно слагаемых при e'(mt-fe) и e-' (mt-k -1 получим
5^=-'pR , (19)
dz c dt
4nd2 пю0 где p = - 0
Пспт
При получении (19) мы обратили в ноль коэффициент при свободном члене у (и при у*), что позволило найти дисперсионное уравнение к = юпт / с .
Таким образом, использование приближения ММО позволило волновое уравнение (12) редуцировать от второго порядка к первому относительно производных.
Теперь преобразуем материальные уравнения (9а). Подставляя (14) и (17) в первое уравнение (9а), будем иметь
= ' (со0 - ю)Я +' (у + у V2''(ю'-ь5) Ж .
Здесь слагаемым, содержащим мнимую экспоненту, которая осциллирует на частоте 2ю, можно пренебречь по сравнению с у . Действительно, характерный временной масштаб изменения у соответствует длительности тр импульса, что, в силу (13), значительно больше периода осцилляций мнимой экспоненты, среднее от которой на масштабе тр равно нулю. Содержание настоящего абзаца составляет
суть приближения вращающейся волны, с более подробным изложением которого можно познакомиться, например, в [1]. Тогда с хорошей точностью
дЯ
— = 'АЯ + 'у Ж , (20)
д/
где А = ю0 - ю - частотная отстройка поля от резонансного перехода.
Подставляя теперь (14) и (17) во второе уравнение (9а) и также отбрасывая слагаемые с мнимыми экспонентами, осциллирующими на частоте 2ю, получим
£ = 2 (Я-уЯ*). (21)
Уравнения (19)-(21) хорошо известны и носят название системы Максвелла-Блоха (МБ). Она явила собой первую интегрируемую систему, порождающую решения в виде оптических солитонов [3].
Систему МБ можно переписать через вещественные переменные, используя для поля представление вида у = Qe'ф, Q и ф - вещественные функции, имеющие смысл амплитуды поля и его фазы соответственно. Дипольный момент атома не мгновенно откликается на поле импульса, а обладает некоторым запаздыванием. Поэтому огибающую комплексного дипольного момента запишем в виде Я = (и + 'V)е'ф, где вещественные переменные и и V получили название соответственно синфазной и
квадратурной компонент дипольного момента. Подставляя выписанные здесь представления огибающих поля и дипольного момента в (19)-(21), после отделения действительных и мнимых частей получим
^ + Пт.Ъ = pv, Q |^Ф + Пт.9ф1 = -ри , (22)
дг с д/ I дг с д/)
du Л эф) dv Л 5ф1 dW ^
^7 = "[A"^7lv' л7 = [д"17]м +QW' ^Г = ^• (23)
dt ^ dt) dt ^ dt ) dt
Зависимость фазы ф от времени и координат порождает в общем случае фазовую модуляцию оптического импульса. Так как комплексная огибающая у является медленно меняющейся на протяжении периода колебаний, то Эф / dt << ю . Поэтому фазовой модуляцией поля зачастую (если не рассматривать каких-либо особых ситуаций) можно пренебречь. Тогда второе уравнение (22) можно не рассматривать вообще, а в первых двух уравнениях (23) следует положить Эф / dt = 0 . Интересно отметить, что в таком виде система МБ также оказывается интегрируемой, порождая солитонные решения.
Резонансные и квазирезонансные солитоны в изотропной среде
Уравнение синус-Гордона для огибающей. Рассмотрим случай точного резонанса, когда A = 0. Предположим, что до воздействия импульса на среду разность населенностей атомных состояний определяется значением Wm. Если все атомы находятся в основном состоянии, то Wco = —1/2, а если в инвертированном, то Wm = 1/2 . При этом в обоих случаях U = V = 0 , так как или Щ = 1, |a2| = 0 (первый случай) или Щ = 0 , |a2| = 1 (второй случай). Следовательно, до импульсного воздействия R = и = v = 0, что соответствует отсутствию у атома индуцированного дипольного момента. Учитывая это и полагая в (22), (23) A = Эф / dt = 0, найдем, что и = 0 и при воздействии импульса. Таким образом, при точном резонансе синфазная компонента индуцированного дипольного момента у атома отсутствует. Тогда два последних материальных уравнения (23) примут вид dv / dt = QW , dW / dt = -Qv . Введя комплексную функцию G = W + iv , перепишем их в виде dG / dt = iQG . Относя начальный момент времени к —да и учитывая, что при этом W = Wm , v = 0 , запишем решение G = Wm e'0, где
t
0= J Qdt'. (24)
—да
После отделения в решении для G действительной и мнимой частей найдем W = Wда cos 0, v = W„ sin 0 . (25)
Подставляя второе выражение (25) в первое уравнение (22) и учитывая (24), получим замкнутое нелинейное уравнение
d20 + ^^ = PW„ sin 0.
dzdt c dt2
Введя «локальное» время т = t - nmz / c, перепишем его в виде
д 20
- = -ст sin 0 , (26)
dzdr где CT = —pWm .
Уравнение (26) получило название уравнения синус-Гордона (СГ), относящегося к классу интегрируемых и обладающего солитонными решениями [3].
Продемонстрируем простейший способ нахождения односолитонного решения, который годится для всех остальных уравнений, встречающихся ниже. Будем искать решение в виде уединенной волны, бегущей вдоль оси z со скоростью и. Итак, пусть 0 зависит от t и z как 0 = 0(t — z / и) = 0(т — qz), где
q = 1/ и — nm / c . Тогда d0 / dr = 0 , d0 /dz = —q0 , где точка сверху обозначает производную по переменной r — qz. После этого (26) примет вид обыкновенного дифференциального уравнения
0 = - sin 0.
q
Умножая обе части на 0 , будем иметь после интегрирования
02 - 0 ^
— = — cos 0 + C. 2 q
Постоянную интегрирования C определим, исходя из того, что при t = r = —да (нет пробела) поле импульса со всеми его производными обращается в ноль. Из (24) видно, что 0 = 0 при t = —да. В то же
время 0 = Q также обращается в ноль. Отсюда находим, что C = — / q . Таким образом,
2 . 0 — sin—,
X „ 2
(27)
где х = у/ц / ст - длительность импульса. Разделяя переменные и интегрируя, найдем
Г d х = /ст J sin х \ Л
t--
(t-"z ) =
sin х " "
где х = 0/2.
Вторую переменную интегрирования можно всегда обратить в ноль выбором системы координат.
d х
Учитывая, что Г-= ln
J sin х
tg х = ln 0 tg-
2 4
i = 4arctg
exp
Г* / ^
t - z / и
(28)
Из определения параметра ц и выражения для х получаем связь между скоростью распростране-
ния солитона и его длительностью:
1 Пт + стх2 -=-+ СТХр .
и с
Для огибающей импульса из (28) и (24) легко находим
(29)
Q = — = —sech
dt x „
(* / ^ t - z / и
(30)
Используя (28) и первое выражение (25), имеем для разности населенностей при W„ = -1/2
1 2
W = — + sech2 2
С* / ^
t - z / и
(31)
Из сопоставления (30) и (31) отчетливо виден физический механизм формирования рассматриваемого солитона. В центральной части солитона, соответствующей t = г / и , где его амплитуда Q максимальна, разность населенностей Ж равна +1/ 2, т.е. здесь атомы переведены в инвертированное состояние, а при t = Ж = -1/ 2 . Таким образом, передним фронтом оптический импульс переводит атомы из основного состояния в возбужденное, а задним фронтом индуцированно возвращает их в исходное основное состояние. В результате периодического обмена энергией между световым импульсом и средой формируется оптический солитон огибающей. Понятно, что на такой периодический процесс затрачивается время, поэтому скорость распространения солитона, определяемая согласно (29), оказывается значительно меньшей линейной скорости с / пт. В этом состоит суть эффекта самоиндуцированной прозрачности (СИП), обнаруженного экспериментально еще в работе [4]. В различных экспериментах наблюдались скорости и на два-четыре порядка меньшие скорости света в вакууме [5] для пико- и наносе-кундных импульсов.
Солитон (29), (30) является однопараметрическим, т.е. данное решение характеризуется одним свободным параметром, в качестве которого здесь выбрана длительность х . Свободным выделенный
параметр является в том смысле, что его значение не строго фиксировано параметрами среды, а может изменяться в широких пределах, удовлетворяющим физической корректности выбранной модели.
Из (29) и (30) видно, что с укорочением длительности солитона возрастают его амплитуда и скорость. Это правило является достаточно общим для всех солитонов (одно важное исключение будет приведено ниже). Для его усвоения достаточно запомнить шутливую фразу: «высокий и худой бежит быстрее, чем низенький и толстый».
Солитон СИП часто называют также 2л -импульсом. Причина этого заключается в том, что «площадь» данного солитона, определяемая как А = J Qdt, равна 2л.
Резонансный солитон СИП был первым обнаруженным экспериментально в 1967 году оптическим солитоном [4]. Интересно заметить, что в том же 1967 году вышла знаменитая теоретическая работа [6], в которой был развит систематический метод нахождения аналитических солитонных решений не имеющего в то время к оптике никакого отношения уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ). Данный подход получил название метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) и был впоследствии применен ко многим другим нелинейным уравнениям в частных производных и их системам. Отмеченное совпадение настолько же удивительно, насколько оно является случайным. Обе совершенно независимые друг от друга работы [4] и [6], вышедшие в одном и том же году, явились в результате мощным стимулом разви-
тия теории солитонов вообще, а также экспериментальных и теоретических исследований оптических солитонов.
Односолитонное решение типа (29), (30) было получено в уже отмеченной здесь экспериментально-теоретической работе [4]. Несколько позже выяснилось, что система МБ и уравнение СГ интегрируемы с помощью МОЗР [7]. С помощью так называемых преобразований Бэклунда были построены много-солитонные решения МБ и СГ, анализ которых показал, что 2л -импульсы действительно упруго взаимодействуют между собой, восстанавливая после столкновений свои исходные профили. Таким образом, было показано, что 2л -импульсы СИП являются солитонами в строгом смысле этого слова, а не просто уединенными волнами.
Уравнение Хироты. Рассмотрим теперь случай, когда частотная отстройка оптического импульса от резонанса с ансамблем двухуровневых атомов отлична от нуля. Более конкретно, пусть выполняется неравенство
^ =(ДТр ) << 1, (32)
называемое условием квазирезонанса [8].
Выясним физический смысл условия (32). Спектральная ширина 5ю импульса длительности тр
может быть оценена как 5ю ~1/т . Тогда (32) можно переписать в виде 5ю / Д << 1. Таким образом,
спектральная ширина импульса значительно меньше частотной отстройки от резонанса. В этих условиях, когда в спектре импульса практически отсутствуют фотоны, находящиеся в резонансе с атомным переходом, взаимодействие между импульсом и средой является слабым. В то же время заметим, что в условиях квазирезонанса величина отстройки |Д| << ю . Если, например, ю лежит в видимом диапазоне, то
отстройка может принадлежать терагерцовому диапазону, т.е. быть на три порядка меньше, чем ю .
В случае (32) из системы (19)-(21), как и при точном резонансе, можно исключить материальные переменные, выразив из (20), (21) Я и Ж через огибающую у электрического поля импульса с помощью малого параметра ц2. Для этого перепишем (20) в виде
Я = Ж -1 ^. (20а)
Д Д ы
Так как дЯ / д/ ~ Я / т , то второе слагаемое в правой части (20а) относится по величине к левой части как ~ ц2 << 1. Поэтому можно использовать метод последовательных приближений по второму слагаемому в правой части (20а). В нулевом приближении имеем Я = -у Ж / Д . Подставляя это выражение в упомянутое малое слагаемое, найдем уже в первом приближении Я = --ДЖ д~(уЖ). Поступая так и далее, придем к разложению
Я = -у Ж +4-(уЖ ) + Л ^ (уЖ)--^ ■д3- (уЖ) +..., (33)
Д Д2 д/ ' Д3 д/Д4 д1ъУ '
известному как разложение Криспа [9].
Примем теперь к сведению, что взаимодействие импульса со средой в условиях квазирезонанса является слабым. Поэтому в третьем и четвертом слагаемых правой части (33) пренебрежем изменением разности населенностей, полагая в них Ж = Жю . Тогда, ограничиваясь четырьмя слагаемыми разложения, запишем
Я = -у Ж +——(у Ж) + ^ -. (33а)
Д Д2 д/ ' Д3 д/2 Д4 д/3
Так как разность населенностей квантовых уровней атома в условиях квазирезонанса изменяется незначительно, подставим (33а) в (21), ограничиваясь первыми тремя слагаемыми разложения. Тогда
дЖ Жю Г * ду ду* | /Жю Г * д2у д2у*
2 + у—— 1+—гI у—2—у 2
д/ 2Д2 ^ д/ д/ ) 2Д3 ^ д/2 д/2
Интегрируя данное выражение, получим
Ж = Ж„
, |у|2 + ' Г * ду ду*
1-J—--г! у —^-у—^
2Д2 2Д3 Г д/ д/
После подстановки (34) в (33а) и простых алгебраических преобразований найдем
Я = -Д
Ж Г |у|2 у ... .. , .. ,3 А
, . , у 31 . .2 ду I ду 1 д у I д у у- 12Д^ + 2Д3 у "Ж"~Д~дТ"Д7^
(34)
(35)
Выражение (35) представляет собой разложение комплексной огибающей индуцированного ди-польного момента атома по степеням нелинейности и дисперсии. Первое слагаемое в скобках (35) определяет линейный отклик, а коэффициент перед у пропорционален линейной восприимчивости % среды. Второе слагаемое в этих же скобках определяет локальную нелинейную добавку к отклику - керровскую нелинейность, а коэффициент перед |у|2 у пропорционален нелинейной восприимчивости %(3). Если %(3) > 0, говорят о фокусирующей керровской нелинейности, в противном случае - о дефокусирующей. Как видно, в нашем случае знак %(3) > 0 зависит от знаков и отстройки А. Последние два слагаемых характеризуют разные порядки дисперсии (см. ниже), третье слагаемое соответствует дисперсии нелинейности, а четвертое определяет линейную добавку к групповой скорости, связанную с двухуровневыми атомами.
Подставляя (35) в (19), будем иметь дФ к2 д2Ф ,к3 д3Ф „,^,2 дФ
I-= —-—^ +1
- а|Ф|2 Ф +1Ь |Ф|2-, (36)
дг 2 дт2 6 дг3 11 1 1 дг
где Ф = уехр(р Ж»г/ А), т = t -г/, к2 = -2р/ А3, к3 = -бр/ А4 - параметры дисперсии групповой скорости (ДГС) второго и третьего порядка соответственно, линейная групповая скорость определяется выражением — = ^ - ^^, а = -р Ж /2А3, Ь = -3р Ж / 2А4.
С А
Уравнение (36) известно как уравнение Хироты [10]. Именно при имеющем здесь место условии
к2Ь = к3а (37)
уравнение (36) оказывается интегрируемым и обладает солитонными решениями [11].
Нелинейное уравнение Шредингера. Если в правой части (36) удержать лишь слагаемые порядка ц2, а слагаемые порядка Ц отбросить, т.е. положить приближенно к3 = Ь = 0 , то придем к нелинейному уравнению Шредингера (НУШ) дФ к2 д2Ф 2
' ^Г = ~2тдтг - а1Ф1Ф, (38)
также интегрируемому с помощью МОЗР [3].
В общем случае НУШ описывает распространение оптических солитонов в изотропных нерезонансных диэлектриках, обладающих кубической (керровской) нелинейностью, которая характеризуется вторым слагаемым в правой части (38). Принятая здесь модель двухуровневой среды является лишь иллюстрацией этого факта.
Если к2 а > 0 , что выполняется в нашем случае, НУШ обладает решениями типа «светлых» (спадающих до нуля на бесконечности) солитонов, которые в «лабораторной» системе отсчета имеют вид
1 к
Ф = —Л —ехр
(. к2 г ^
а 12ТТ
V р У
БесИ
(t - г / о„ ^
(39)
Отличительной особенностью солитона (39) является то, что его скорость никак не связана с его амплитудой и длительностью тр, а равна линейной групповой скорости , отвечающей несущей частоте. Это тот самый случай, когда нарушается предложенное в предыдущем разделе правило «высокий и худой бежит быстрее, чем низенький и толстый». Данное обстоятельство позволяет использовать соли-тоны НУШ в волоконных линиях оптической связи. Пусть, например, на вход волокна подается серия из следующих друг за другом различных по длительности и амплитуде солитонов на одной и той же несущей частоте. Пусть в этой последовательности зашифрована некоторая информация. Тогда в такой же последовательности данные солитоны будут приняты на выходе из оптического волокна. Таким образом, информация, зашифрованная на входе, не исказится на выходе. По этой причине солитоны НУШ еще называют фундаментальными солитонами [12]. Разным несущим частотам солитонов НУШ в оптическом волокне могут соответствовать различные каналы оптической связи. Читателям, интересующимся прикладными аспектами, касающимися солитонов НУШ, можно порекомендовать обратиться к обзорным монографиям [12, 13].
Модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза для огибающей. С укорочением длительности оптических импульсов необходимо в (36) учитывать слагаемые в правой части Ц и тем самым отходить от приближения НУШ. Поэтому займемся теперь более детально уравнением Хироты (36). Его правая часть содержит только разложения по степеням малого параметра ц2. Если ее обнулить, то решением уравнения будет произвольная вещественная функция, зависящая от t - г / . Нетривиальная фаза
Ф у решения появляется только в результате появления правой части в (36). Так как все ее слагаемые малы, то ниже пренебрежем зависимостью ф от т. Тогда, полагая Ф = Qe'Ф, после отделения друг от друга действительной и мнимой частей будем иметь из (36)
дQ к3 д3Q и/л2 дQ
— = -—Щ- + bQ2 — , (40)
дг 6 дт дт
,5ф_ к2д^
да " 2 дт2
Уравнение (40) получило название модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза (МКдВ). Оно оказывается интегрируемым с помощью МОЗР и имеет солитонные решения [3, 14]. Найти его од-носолитонное решение не составляет труда, подобно тому, как это было сделано в предыдущем разделе при поиске односолитонного решения уравнения СГ. В результате получим
q^=^f+«Q3. (41)
q = _l plsech
(* / ^ t — z / и
х P
(42)
V. (43)
где зависимость скорости и солитона от его длительности т определяется выражением
1 = ___к
и 6тр
Легко видеть, что после подстановки (42) в (41), последнее уравнение при условии (37) обращается в тождество. Кроме того, из (42) и (41) имеем ф = к2г /2т2 . Так как ф здесь зависит только от г и не
зависит от х, то выражение
^ 1 k3 Ф = —J — exp
х рЬ у
( k2 z ^
v 2хр ,
V р )
sech
Г* / ^
t - z / u
(44)
вкупе с (43) является точным солитонным решением уравнения (36) при условии (37).
Из (43) и (44) легко видеть, что здесь, как и для солитонов уравнения СГ, выполняется правило «высокий и худой бежит быстрее, чем низенький и толстый». Поэтому теперь последовательности солитонов из какой-либо серии, задающей информацию, на входе и выходе оптического волокна могут быть различны. Тем самым посланная на вход информация может быть на выходе принята в искаженном виде. Таким образом, с одной стороны, укорочение длительности приводит к увеличению пропускной способности информационных оптических систем в единицу времени, с другой стороны, это создает проблемы с качеством приема передаваемой информации. В то же время изменение последовательности солитонов на выходе из волокна не должно приводить к искажению каждого солитона в последовательности в силу упругого взаимодействия солитонов между собой. Поэтому поправки на изменения в солитонных последовательностях на выходе из волокна могут быть в принципе учтены, что позволит восстанавливать переданную информацию. Разумеется, здесь возникает еще множество проблем, связанных, например, с затуханием оптических импульсов, обусловленным необратимыми потерями, с поперечной и продольной неоднородностью оптических волокон и т.д. Эти вопросы достаточно ясно обсуждены в монографии [12].
Уравнение Конно-Камеямы-Сануки. В заключение настоящего раздела рассмотрим случай двухкомпонентной среды из двухуровневых атомов, взаимодействующих с полем светового импульса. Причем одна компонента находится в точном резонансе с лазерным импульсом (Д = 0), а для другой выполнено условие квазирезонанса (32). Такая ситуация может возникнуть в газовой смеси изотопов какого-либо химического элемента. Вследствие изотопического сдвига [15] частоты квантовых переходов разных изотопов несколько отличаются друг от друга. Причиной изотопического сдвига для атомов легких элементов является различие масс ядер разных изотопов, а для тяжелых элементов - различие в размерах и в оболочечной структуре ядер. Более подробно данная ситуация в приложении к рассматриваемой здесь оптической задачи обсуждена в работе [16].
Выше, в настоящем разделе, было показано, что в случае точного резонанса R = ive,ф, а динамика квадратурной компоненты v определяется выражениями (25) и (24). При этом фазовая модуляция отсутствует. Тогда, как легко видеть, наличие резонансной изотопической компоненты приводит к тому, что к правой части (40) добавляется слагаемое -ст sin 6, а уравнение (41) остается без изменений. Учитывая, что Q = 96 / 5х, будем иметь вместо (40) в рассматриваемом случае
д26 . ^ (96 Y 926 k3 946
-= —ст sin 6 + b I — I —- +——-
dzdx V дх) дх2 6 дх4
Здесь коэффициенты ст , b и k3 определяются, как и выше. Только в ст под n следует понимать концентрацию резонансных атомов, а в b и k3 - квазирезонансных.
= —ст sin 6 + b I — I— +——Г. (45)
Уравнение (45) носит имя Конно-Камеямы-Сануки (ККС) и является интегрируемым, если к3/ b = 4 [17, 18]. Именно такое соотношение выполняется в нашем случае (см. выражения для коэффициентов уравнения (36) сразу после него). Получить солитонное решение уравнения ККС можно, если, как и в случае солитона СГ, искать его в виде бегущей волны и использовать анзатц вида (27). Тогда
1 Q 2 0 0 1 ____ 2 3
0=— cos—0 = — cos—sin— = — sin 0. Аналогично легко показать, что 0 =—- sin 0 +--- sin20 . Под-
2 х2 2 2 х2 х4р 2xp
ставляя данные выражения и (27) в (45), убедимся в том, что при условии к3/ b = 4 слагаемые в правой части, содержащие sin 20, взаимно уничтожатся, а приравнивание в левой и правой части коэффициентов при sin 0 даст выражение для скорости солитона уравнения ККС:
- = — + 4-А-. (46)
u og 6X2
При этом 0 и Q определяются выражениями (28) и (30) соответственно.
Из (28), (25), а также из (30) и (34) легко получить законы изменения разности населенностей двухуровневых атомов при прохождении через среду солитона ККС. Легко видеть, что для резонансных переходов при W = -1/ 2 имеем выражение (31), а для квазирезонансных - выражение
W = -1 + 2
' 1 ^
Дх, J
sech
С* / ^
t - z / и
х р
(47)
Из (47) и из (32) видно, что квазирезонансные атомы, в отличие от резонансных, испытывают незначительное возбуждение. Выражение же (46) показывает, что для солитона уравнения ККС выполняется введенное выше правило «высокий и худой бежит быстрее, чем низенький и толстый».
Оговоримся, что данное решение является простейшим, однопараметрическим, решением уравнения (45). В силу его интегрируемости при условии к3/ b = 4 оно обладает и значительно более сложными (например, многосолитонными) решениями [17].
Редуцированные системы типа Максвелла-Блоха
Система (9)-(12) является неинтегрируемой. Дальнейшее применение к ней в приближения ММО выявило интегрируемые варианты в изотропном случае, когда D = 0 .
Одной из основных тенденций развития лазерной физики является создание в лабораторных условиях световых импульсов все более коротких длительностей. В настоящее время можно говорить о фем-то- и даже аттосекундной оптике. Импульс длительностью порядка 1 фс может содержать один или несколько периодов световых колебаний. По сложившейся к настоящему времени терминологии такие сигналы называют предельно короткими импульсами (ПКИ). В англоязычной литературе закрепился термин «few cycle pulses» [19]. В этом случае параметр ( (см. (13)) перестает быть малым, и его значение становится порядка единицы. Понятно, что в таких условиях уже нельзя говорить об огибающей импульса. Здесь необходимо искать другие методы и подходы. Строго говоря, в такой ситуации стоит поставить под сомнение также и модель двухуровневой среды. Действительно, спектральная ширина импульса 5ю ~1/ х , а так как в рассматриваемом случае юх ~1, то 5ю ~ ю . Таким образом, спектральная ширина импульса становится порядка ю, имеющей теперь смысл не несущей частоты, а центральной частоты импульсного спектра. В двух предыдущих разделах использовалась модель двухуровневых атомов из-за того, что несущая частота импульса ю «ю0. Теперь же выходит, что 5ю ~ ю0, и поэтому с большой вероятностью спектром импульса должны захватываться и вовлекаться в динамику и другие, кроме рассматриваемого одного, квантовые переходы. С другой стороны, иногда встречаются ситуации достаточной удаленности по частотной шкале этих других квантовых переходов по отношению к рассматриваемому, и модель двухуровневых атомов остается справедливой. Кроме того, данная модель является достаточно привлекательной с методической точки зрения своей относительной простотой и в то же время своей неисчерпаемостью.
В 1973 году, задолго до создания ПКИ в лабораторных условиях, авторами работы [20] был предложен альтернативный к ММО подход для описания явления СИП. Для этого использовалось приближение среды малой концентрации двухуровневых атомов, которое в нашем случае формально можно представить в виде
8^d2 n . ..„.
(3 = ^-<< 1. (48)
Йю0
Взяв типичные значения d ~ eaB , ю0 ~1015 с-1, будем иметь из (48), что n << 1023 см-3.
Правая часть (12) пропорциональна параметру ц3, а потому ее можно считать малой. В такой ситуации к рассматриваемым волновым уравнениям можно применить метод однонаправленного распространения (ОР), суть которого раскрывается ниже. Если правую часть (12) положить равной нулю, то имеем известное решение, состоящее из суперпозиции двух волн, бегущих соответственно вдоль и против оси г со скоростью с / пт. В приближении (48) малой концентрации атомов рассеиваемая назад, против оси г , часть поля импульса Е(г, t) пренебрежимо мала. Поэтому можно считать, что импульс распространяется лишь вдоль оси г , т.е. при нулевой правой части имеем решение Е = Е^-птг/с). Принятое допущение позволяет понизить порядок волнового уравнения (12). Для учета правой части (12) введем «локальное» время т и «медленную» координату ^ , используя соотношения т = t - птг / с, ^ = ц3 г. При отличной от нуля правой части в (12) будем считать, что Е = Е (т, . Тогда 9 9т 9 ^ 9^ 9 пт 9 ^ 9 9 9т 9 ^ 9^ 9 9
9г 9г 9т 9г 9^ с 9т 9^, дt дt 9т дt 9^ 9т
Соответствующие вторые производные получим, возводя в квадрат правые части данных выражений. Пренебрегая малым слагаемым, пропорциональным , запишем
92 пт 92 „ пт 92 92 92
-й—--2 ц.
2 2 ^ 2 г".
9z2 с2 9т2 3 с 9т9С ' 9t2 9т2 '
В результате (12) запишем в виде
92E 4яйПю„ 9V
ц3-=--— •
9^9г спт 9г
Учитывая, что на бесконечности переменные V и E со всеми своими производными обращаются в нуль, после интегрирования по т будем иметь
9E 4яйПюп ц3 — =-V •
9С спт
Теперь осуществим обратный переход к исходным независимым переменным. Для этого выразим их через новые переменные С и т: z = С / ц3, t = т + птС /(ц3с) • Тогда
9 9z 9 + 9t 9 1 Г 9 + пт 9
9С 9С 9z 9С 9t ц3 ^9z с 9t и последнее уравнение примет вид
9E+9E= 4лйпюо V (49)
9z с 9t спт
Процедура редукции уравнения (12) к виду (49) здесь приведена подробно, чтобы было ясно, что данная редукция не имеет ни малейшего намека на то, сколько колебаний светового поля может содержаться в импульсе. Их может быть как сколь угодно много, так и сколь угодно мало в физических рамках справедливости уравнений (9)—(12). Этим приближение ОР выгодно отличается от приближения ММО, приводящего к системе МБ. С другой стороны, из проведенной выше процедуры редукции волнового уравнения (12) от второго порядка к первому следует, что скорость оптического импульса незначительно отличается от линейной скорости с / пт. Поэтому в приближении ОР невозможно описать присущее СИП замедление скорости распространения импульса в сотни и тысячи раз.
Система (9)—(11), (49) при D =0 носит название редуцированной системы Максвелла-Блоха (РМБ). Как показано в [20], данная система является интегрируемой, обладая решениями в виде упруго взаимодействующих между собой солитонов. На интегрируемость системы РМБ указывает, в частности, ее формальное сходство с системой МБ (22), (23) при 9ф / 9t = 0 . Кроме того, данная система (как и многие другие интегрируемые уравнения и системы) обладает так называемым бризерным решением (англ. «breather» - «дышать»). Такое решение отличается от рассмотренных выше солитонных решений типа бегущих волн тем, что профиль бризера в сопутствующей системе отсчета постоянно деформируется, периодически повторяя свою форму. Бризерное решение РМБ имеет вид (подробности см. в [21])
1 ( t - z / Vg \
■! arctg —
d 9t
^ 9 I
E = 2--<! arctg
-sech
sin (co(t - z / vph))
(50)
где нелинейные групповая у^ и фазовая урЬ скорости определяются соответственно выражениями
1 n„
- + 2 ах 2,-^--, (51)
vg c I7™2_,.2\ 2 , ll ,Л „^J2
(CD02 +Ю2 )xp + 1
1 nm
[(-Ю2 ) +1] + 4ю2 xp (co02-ю2) - 1
, = _i + 2ахр —--^-, (52)
vph c [((-»2 ) +1] + 4ю2 xp
а а определена сразу после уравнения (26).
Данное решение является двухпараметрическим, так как содержит два свободных параметра, в качестве которых взяты длительность xp бризера и центральная частота ю его спектра. Благодаря разности между групповой и фазовой скоростями профиль бризера не является стационарным.
Как видно из (50), площадь данного бризера A = (2d / h) J Edt = 0. В этой связи такой бризер
иногда называют 0л -импульсом, и его можно рассматривать как связанное состояние солитонов с E > 0 и антисолитонов с E < 0 . Такая интерпретация возникает вследствие того, что система РМБ инвариантна относительно инверсионных замен вида E ^ -E, U ^ -U, V ^ -V , W ^ W . Разность населенностей здесь не меняет знака из-за того, что является энергетической характеристикой вещества, а потому может изменяться квадратом поля.
Если юхр ~ 1, решение (50)-(52) описывает распространение ПКИ. Если же юхр >> 1, оно переходит в солитон огибающей системы МБ. Тогда в (50) арктангенс можно заменить его аргументом и учесть производную по времени только от косинуса. При близости ю к ю0 из (50)-(52) имеем в этом случае
Г t - Z / Vg ^ / ,
cos (ю (t - z / vph ))
E = 2—— sech
dxP I xp , 2
1 Пт_ +_ aXp 1
vg c 1 +(x ) Vph
1+(Дхр)
При нулевой отстройке (Д = 0) выражение для групповой скорости переходит в соответствующее выражение (29) для солитона уравнения СГ.
Опять-таки оговоримся, чтобы не возникало ложной иллюзии, что бризерное решение РМБ содержит в себе как частный случай солитон огибающей системы МБ и уравнения СГ. Связано это с тем, что групповая скорость бризера РМБ, в отличие от солитонов МБ И СГ, не может сильно отличаться от линейной скорости с / пт. В то же время бризерное решение РМБ описывает распространение как квазимонохроматических импульсов, так и ПКИ. В этом заключается важное преимущество системы РМБ.
В работе [22] было показано, что система (9)-(11), (49) является интегрируемой и при Б Ф 0 . В таком виде данная система получила название «РМБ с ПДМ». Соответствующие солитонные решения достаточно громоздки, поэтому мы не можем их здесь обсуждать. Отметим только одну важную деталь: система РМБ с ПДМ обладает решением в виде бризера с отличной от нуля площадью. Этот результат представляется нетривиальным, так система РМБ с ПДМ не инвариантна относительно приведенных выше инверсионных замен из-за нарушения симметрии за счет выделенного направления ПДМ. Поэтому антисолитон здесь не получается из солитона простой заменой Е ^ -Е. Отсюда получается ненулевая площадь бризера как связанного солитон-антисолитонного состояния. Решение типа ненулевого бризера было найдено численно в работе [23]. Соответствующее аналитическое решение получено в [24]. Его получение и детальный анализ выходят за рамки настоящего обзора.
Приближение оптической прозрачности
Модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза для поля импульса. В работах [25, 26] было предложено приближение к описанию нелинейного распространения ПКИ, отличающееся от приближения малой концентрации двухуровневых атомов, рассмотренного в предыдущем разделе. Формально его можно записать в виде
М*4 = (оХр )2 << 1. (53)
Физический смысл этого неравенства раскрывается просто, если, как и выше, учесть, что спектральная ширина импульса 5ю ~1/ х . Отсюда и из (53) имеем (5ю / ю0 )2 << 1. Если центральная частота ю спектра импульса отстоит далеко от ю0, то столь же далек от резонанса будет и весь спектр импульса. Поэтому условие (53) соответствует оптической прозрачности (ОП) среды, и можно далее использовать соответствующее приближение. В таких условиях взаимодействие импульса со средой является относительно слабым. В условии (53) есть нечто общее с условием квазирезонанса (32). Подчеркнем, однако,
Пт
что здесь, в отличие от (32), речь идет о ПКИ, для которых в принципе неприменимо понятие огибающей и несущей частоты.
Обычно условию (53) удовлетворяют электронно-оптические переходы, для которых га0 ~1015 -1016с-1. Тогда длительность импульса т ~1(Г14с ~ 10 фс.
Рассмотрим вначале изотропный случай, когда Б = 0 . Тогда из (9)-(11) легко исключить переменную V :
дЖ О дП
^ + ю2П = -га0 ОЖ
д/2 0 0
д/
га0 д/
(54)
где, как и выше, О = 2ёЕ / Й .
В первом уравнении, в случае слабых полей, когда можно пренебречь изменением разности насе-ленностей Ж квантовых уровней, легко узнается классическая модель Лоренца, используемая в курсе оптики для описания дисперсии света. В нашем же случае взаимодействие света с веществом хоть и относительно слабо, но не настолько, чтобы вовсе пренебречь изменением Ж .
Для удобства использования условия (53) перепишем первое уравнение (54) в виде
О
П =--Ж -
1 д2П
ю0 д/
Согласно (53), второе слагаемое здесь в правой части значительно меньше первого. Поэтому, как и в случае квазирезонанса, здесь можно применить метод последовательных приближений относительно второго слагаемого. Учитывая слабое изменение Ж , будем иметь во втором порядке
П = -Я Ж+Ж
д 2о
га0
ю0 д/2
(55)
->0 ^0
Чтобы найти зависимость Ж от поля импульса, подставим (55) во второе уравнение (54), ограни-
дЖ О дО
чиваясь в (55) лишь первым слагаемым в правой части с заменой Ж ^ Жт . Тогда-= -Жю —2--. Инд/ га^ д/
тегрируя данное уравнение с учетом того, что Ж = Жю при О = 0 , получим
Ж = Ж„
1-
О
2
2га
0 /
Подставляя (56) в (55), придем к выражению
П = -Ж„
О О3
ю„ 2ю3
1 д2О|
ю0 д/2
(56)
(57)
Здесь первое слагаемое в скобках правой части соответствует линейному по полю вкладу в ди-польный момент, характеризуя удельную поляризуемость атома, второе слагаемое описывает нелинейную кубическую добавку к дипольному моменту, а последнее слагаемое определяет временную нелокальность (дисперсию) атомного отклика относительно поля.
Из (57) и (9) при Б = 0 находим
О3 1 д2 о|
га0
V = Жи! д/
га0
0
2га0
ю0 д/2
(58)
После подстановки (58) в (12) будем иметь
д2 О
п02 д2О
16%с1 2пЖ„ д:
д/2
Йс2
д/2
2 ' О3
2га3
1 д 2О|
га0 д/2
(59)
где введен безынерционный показатель преломления п0 = (
16%с12пЖ„
Йга0
Правая часть (59) содержит малые (порядка ц4) слагаемые, соответствующие нелинейности и дисперсии, обсужденные после выражения (57). Поэтому здесь уместно использовать приближение ОР, введя «локальное время» т = / -п0г / с и «медленную» координату ^ = ц4г . Проводя далее процедуру, аналогичную использованной в предыдущем разделе, придем из (59) к уравнению МКдВ
д3О
дО 3 О 2 дО „ „ 0
---gО--g—- = 0 .
дг 2 дт дт
(60)
где g = ■
8М2 пЖ„
Йсп0 га0
Выше мы уже встречались с уравнением МКдВ (см. (40)). Однако эти два уравнения имеют принципиальное физическое отличие друг от друга. Уравнение (40) записано для огибающей поля импульса, а (60) - для самого электрического поля. Солитонное решение уравнения (60) без труда можно записать, используя (42), (43) и введя соответствующие переобозначения.
Уравнение (60) с одинаковым успехом описывает распространение как квазимонохроматических сигналов, так и ПКИ. Оба этих случая охватываются бризерным решением вида (50), где групповая и фазовая скорости определяются соответственно выражениями [27]
-I = ^(3—2-х-), ± = П + ё(со2-3т?) .
V Г V с
Vg С УрЬ С
(61)
Предлагаем читателю провести анализ данного решения, подобно тому, как это было сделано при анализе (50)-(52). Так как приближение ОП предполагает удаленность спектра импульса от резонансной частоты —0, то взаимодействие со средой является нерезонансным. При условии ют >> 1 из бризерного
решения получаем солитон огибающей с несущей частотой — << —0. Очевидно, огибающая в обозначенных условиях должна описываться с помощью НУШ вида (38) и соответствовать решению (39). При этом, как следует из (61), групповая скорость V солитона огибающей равна линейной групповой скоро-
сти, определяемой соотношением 1/ vg = п0 / с + 3g—2. Можно предложить читателю в качестве упражнения получить приближенно из (60), используя представление (14) для поля и приближение ММО, уравнение (38). Оговоримся сразу, что такая процедура проведена в работе [28].
Уравнение Кортевега-де Вриза. Теперь для исключения материальных переменных из системы (9)-(11) используем приближение ОП в анизотропном случае, когда Б Ф 0 . Введя, как и выше, переменную £ = и + ¡V, получим вместо (9а):
9/ ^ " 2ё ) ' дt
Если считать анизотропию сильной, когда Б >> ё , можно вовсе пренебречь изменением Е и считать, что основной вклад в нелинейность вносит ПДМ атома. Полагая в то же время, что БЕ / Й = БО / 2ё << — 0, перепишем первое уравнение (9б) приближенно в виде
Е = ^ - £ •). д/ 2 у '
(9б)
О
£ = -Е -
, Б О 1 +--
2ё —
Л
0 )
_±_—
—0
Используя далее метод последовательных приближений по последнему слагаемому в правой части, придем к разложению
О
£ = -ж„ — —0
, Б О 1 +--
2ё —0
+ Е 9 —0 9/
О
, Б О 1 +--
2ё —0
Е 92О . Е 93О
—0 9Г
—0 9/3
Выделяя отсюда мнимую часть, найдем
V =
Ez.IL
—0 9/
О
1+Б О
2ё —0
Е 93О
—04 9/3
Подстановка данного выражения в правую часть (12) и использование после этого приближения ОР приводит для поля импульса к уравнению КдВ:
9'° " (62)
9О ^9О
--+ дО--^
92 9х
9х3
• = 0.
где д =-
8пБёпЖ
_со
Йс—0
, а переменные х и g определены так же, как и в (60).
Как было сказано выше, данное уравнение знаменито тем, что именно оно в 1967 году явилось прародителем МОЗР - мощной процедуры, позволяющей находить решения задач Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [6]. Уравнение КдВ впервые появилось в гидродинамике еще в 1895 году [29]. Там оно описывало распространение нелинейных поверхностных волн на мелкой воде. Затем оно было выведено в акустике, теории упругости, физике плазмы [3], других областях.
Солитонное решение уравнения (62) имеет вид
О = -^иесИ2
дх2р
/ - 2 / О
2т р
(63)
где скорость о определяется соотношением
1 = ^ _ А.
и с тр '
Взяв явные выражения для g и q, найдем из (63), что максимальное значение Ет электрического поля импульса удовлетворяет равенству БЕт /(Йго0) = 3/(го0г )2 ~ ц4 << 1, как это и предполагалось выше, при выводе (63).
Для оптики объект, описываемый (63), является достаточно экзотичным, представляя собой электромагнитную «полуволну» или однополярный электромагнитный всплеск на нулевом фоне. Это говорит о том, что спектр данного сигнала имеет максимум на нулевой частоте. Поэтому вопрос о том, может ли в оптике реализоваться такой объект, остается дискуссионным. Отметим, с другой стороны, что уравнение (63), кроме солитонного, обладает так называемым автомодельным решением (подробности см. в [3, 14]). Такое решение описывает фазомодулированный сигнал, спектр которого представляет собой суперконтинуум. В таком спектре невозможно выделить центральную частоту, и он является достаточно широким. Отметим, что задачи исследования и генерации спектральных суперконтинуумов оптического диапазона на сегодня в высокой степени актуальны [30].
Система Ядзимы-Ойкавы. Перейдем к рассмотрению оптического способа генерации терагерцо-вого излучения, основываясь на модели среды двухуровневых атомов. На языке теории нелинейных волн такой процесс называется длинно-коротковолновым взаимодействием. Заметим, что в настоящее время тематика, связанная с генерацией терагерцового излучения, весьма актуальна. Это излучение используется в спектроскопии, системах безопасности, восстановления изображений и т.д.
Итак, пусть поле состоит из оптической (коротковолновой) и генерируемой терагерцовой (длинноволновой) компонент. При этом оптическая компонента обладает несущей частотой, а терагерцовая представляет собой ПКИ. Тогда запишем
О = ОТ + ув'_к) + у*в_'(_к), (64)
где ОТ = 2ёЕТ / Й, ЕТ - электрическое поле терагерцовой компоненты.
Огибающая у оптической составляющей подчиняется уравнению (19) и находится в квазирезонансе с атомной подсистемой. Для терагерцовой компоненты будем считать справедливым уравнение (49), которое можно здесь переписать в виде
9°^ + ^9°^ = _. ^_^V. (49а)
да с дt ЙспТ у '
Здесь введен терагерцовый показатель преломления пТ матрицы, в которую помещены двухуровневые атомы.
Для описания динамики среды будем использовать систему (9б) в сделанном выше предположении о практической неизменности Ж . В соответствии с двухкомпонентным характером поля комплексный дипольный момент £ атомов также будем считать двухкомпонентным:
£ = БТ + Яв'_к) , (65)
где £т
- его терагерцовая (длинноволновая) часть.
Подставляя (65) в первое уравнение (9б) и приближенно расцепляя его оптическую и терагерцо-вую части, в предположении, что Ж = Ж- , найдем
дЯ =' [Л_Б от ) я _' Б у£т + 'Ж-у, (66)
Т. = '| ю0 _^тОТ |£Т _у*Я + /Ж-ОТ . (67)
д£т ■ ( Б £ .Б —— = /1 го0--ОТ |£Т _/ —
дt V 0 2й Т) Т 2й
Применяя к (66) разложение по параметру ц2 (см. (32)), а к (67) - по параметру ц4 при условии
БЕ / Й = БО /2й << го0,|Л| , получим
у Б ОТу / ду 1 д2у Л + 2й Л2 Л2 дt Л3 дt:
„ „7 |2 Л
И/И 2
£ _ £ * = 2/
Я = _ЖЯР+—^_"гЧ1 |, (68)
- I ■ ~ ' ' 2 '2 а* л3 я*2 1 4 7
Ж 9 ОТ Б О2 Б|'
дt
Т- + — ^г +-
2ё го,) 2ёго0Л)
Ж д 2/—-—
го0 дt
Ч+БЫ!Л
го0 2йго0Л
V 0 0 )
(69)
Здесь пренебрегли вторым слагаемым в скобках (69) в силу того, что величина отстройки Л значительно (на два-три порядка) меньше собственной частоты го0.
Подставим (68) и (69) соответственно в (19) и (49а), считая выполненным условие
о„ = О
рН '
(70)
где og - групповая скорость оптического импульса, определенная сразу после (36), орН - фазовая ско рость терагерцовой компоненты, определяемая выражением
-'рН
(
8пё2 йЕ,
Й—0пт
Л
Тогда придем к системе Ядзимы-Ойкавы (ЯО):
. 9у _ к2 92у
92
9От
= -Ъ,
2 9х2
9
92
где х = / -2 / о„
+ Ъ1От у.
9х
2~кёБп—Е,
ъ1 =
ЙсД2
Ъ2 =-
4пёБпЖ
со
Йс—0 Д
(71)
(72)
а выражение для параметра к2 ДГС записано сра-
зу после (36).
Система ЯО оказалась интегрируемой с помощью МОЗР [31]. Заметим, что для вывода данной системы из (9)-(12) потребовалось использование всех приближений, применявшихся выше для вывода других интегрируемых уравнений. Для оптической составляющей были использованы приближения ММО (20а) и квазирезонанса (32), а для терагерцовой компоненты - приближения ОР и ОП. Если бы к последней не было применено приближение ОР, то вместо (72) мы бы имели уравнение не первого, а второго порядка относительно производных. В таком виде найденная система носит название уравнений Захарова [32], не интегрируемых с помощью МОЗР.
Солитонное решение системы (71), (72) имеет вид
у =
От = -
ехр <1
-е
2 -ех
^есИ
Г* / ^
/ - 2 / О
Ъ.тр
-БесИ
/ - 2 / О
где скорость о распространения двухкомпонентного солитона определяется выражением 1 1
— =--к2 е .
о О„
(73)
(74)
(75)
Солитонное решение (73)-(75) является двухпараметрическим. В качестве свободных параметров здесь выступают длительность х солитона и коэффициент е, характеризующий сдвиг несущей частоты
оптического импульса. Так как Ъ1Ъ2 > 0, то из (73) вытекает, что е > 0. Сопоставляя (73) с (64), легко видеть, что е определяет сдвиг частоты в красную область. Таким образом, несущая частота оптического импульса после формирования оптико-терагерцового солитона уменьшается. Это можно интерпретировать как распад оптического фотона в нелинейной среде на другой оптический и терагерцовый фотоны. В результате смещения частоты из-за ДГС изменяется скорость оптического импульса (см. (75)). Из (73) видно, что величина е пропорциональна квадрату амплитуды или интенсивности оптического импульса. Данный сдвиг частоты, а также его увеличение с ростом входной интенсивности оптического импульса были зарегистрированы экспериментально [33].
Из (72) следует, что если на вход в среду послать оптический сигнал, то он способен породить терагерцовый импульс. Очень важным для эффективности такой генерации представляется выполнение условия (70). Данное условие обеспечивает генерацию терагерцового излучения при его синхронном распространении с оптическим импульсом. Отклонение от него значительно снижает эффективность генерации. В теории нелинейных волн условие (70) часто называют резонансом Захарова-Бенни или условием резонанса длинных и коротких волн [20].
Таким образом, рассмотренный пример показывает, как теория солитонов способна служить решению практически важных задач, связанных, например, с генерацией терагерцового излучения.
Приближение спектрального перекрытия
В настоящем разделе для вывода солитонных уравнений для ПКИ будет использовано приближение спектрального перекрытия (СП), противоположное приближению ОП [25, 26]:
М"5 — 0Хр )2 << 1.
(76)
к
2
Данное условие может выполняться для колебательных и туннельных квантовых переходов, где
ю0 ~1012 с"1. Тогда тp ~10"13с .
Уравнение синус-Гордона для поля импульса. Рассмотрим сначала изотропный случай D = 0 и вернемся к системе (54). Пренебрегая, согласно (76), вторым слагаемым в левой части первого уравнения и возвращаясь к переменной V = "Ю013^ / dt, перепишем (54) в виде
dV dW
— = fiW, -= "fiV. (54а)
dt dt
Похожая с математической точки зрения система решалась выше при выводе уравнения СГ для огибающей квазимонохроматического импульса. Решение (54а) имеет вид
W = W„ cos 0, V = W„ sin 0 , (77)
где 0 = f" fidt'.
Подставляя второе выражение (77) в (12), придем после интегрирования по времени к уравнению
СГ
d2 0 o nm_ d_0
dz2 c2 dt
2 2 ^2 = a sin 0, (78)
16:rcd пю0 где a =----^ W„ .
hcnm
Заметим, что здесь не требуется переходить далее к приближению ОР. К каноническому виду (26) уравнение (78) может быть приведено переходом к «конусным» переменным | = z + (c / nm )t, т = t - nmz / c. С другой стороны, как легко видеть, правая часть (78) пропорциональна малому параметру ц5. Поэтому, переходя в (78) к приближению ОР, приведем его к виду
д 20
-= -a2sin 0, (78а)
dzdr
где a2 = ca / 2nm .
Помимо солитонного, уравнение (78а) обладает еще и бризерным решением вида (50), где групповая и фазовая скорости определяются соответственно выражениями [20]
- = nm + ^_, ± = . (79)
vg c ю +Tp vph c ra +Xp
Как и бризеры МБ, МКдВ, бризер уравнения СГ (78а) при ютр >> 1 переходит в солитон огибающей НУШ, для которого несущая частота теперь уже ю >> ю0. Так как в этих условиях взаимодействие
импульса со средой относительно слабо, можно положить sin0 «0-03 /6 . Остальная часть процедуры перехода от (78а) к НУШ детально описана в работе [28].
Уравнение Шефера-Уэйна. Предположим теперь, что среда состоит из двухуровневых атомов двух сортов. Первый сорт атомов с дипольным моментом перехода d1 и концентрацией n1 удовлетворяет условию ОП (53), а второй сорт с дипольным моментом перехода d2 и концентрацией n2 - условию СП (76). Тогда, как легко видеть, комбинация (60) и (78а) приводит к уравнению
3 77 fc í U т \
dE „ . dE d3 E h
— = 3g1 E — + g—3---a2 sin
dz dx dx 2d1
^ f Edx' h
v h
(80)
где g1 = 2ё2g / Й2, в выражении для g , определенном после (60), следует совершить замены ё ^ ё1,
п ^ п1, а в выражении для а2 (см. (78а)) - замены ё ^ ё2, п ^ п2.
Легко видеть, что при ё1 = ё2 уравнение (80) переходит в интегрируемый вариант уравнения ККС
(45), но уже не для огибающей, а для самого электрического поля импульса [34, 35]. Однако такое ограничение представляется весьма искусственным, так как накладывает жесткие ограничения на параметры атомной среды. Поэтому имеет смысл рассмотреть (80) в некоторых приближениях.
Введем динамический параметр О2 = 2ё2Е / Й и положим, что (О2 / го)2 << 1, где го - некоторая
характерная частота импульсного спектра. Тогда синус в (80) можно заменить его аргументом. В этом случае имеем уравнение
дЕ = 3^Е2 ^^ 1 Её г', (81)
дz дг дг _
где Ъ2 = (ё2 / )а2. Это уравнение было получено в [36] при использовании модели среды, не сводящейся к двухуровневым атомам. По этой причине в [36] g1 < 0, а g > 0, т.е. нелинейность и дисперсия, создаваемые электронно-оптическими квантовыми переходами, имеют, в отличие от рассмотренного здесь случая, разные знаки.
Пусть теперь характерная частота — импульсного спектра удовлетворяет условию —4 << — 4, где —с =(Ъ2 /3g)14 - характерная частота, разделяющая спектральные области положительной (—>—с) и отрицательной (—<—с) ДГС [36]. Тогда в (81) можно пренебречь вторым слагаемым в правой части, и после дифференцирования по х придем к уравнению Шефера-Уэйна [37]
!Ы-(Е'НЕ. <82>
Данное уравнение хорошо описывает распространение в прозрачных диэлектриках ПКИ, спектр которого принадлежит ближнему инфракрасному диапазону.
Как показано в [38], уравнение (82) интегрируемо с помощью МОЗР и имеет решения бризерного типа. Получение и анализ решений (82) весьма нетривиальны, а интересующиеся читатели могут познакомиться с соответствующим материалом по оригинальным работам [37-39].
Любопытно заметить, что в рамках принятой здесь модели нелинейность в (82) создается атомами первого сорта, а дисперсия - атомами второго сорта. Полагая начальное состояние атомов первого сорта инвертированным, получим отрицательное значение g1, как это имеет место в твердых диэлектриках, где кубическая (керровская) нелинейность имеет в области прозрачности фокусирующий характер. Заметим, правда, что отрицательной при этом в нашем случае становится и линейная восприимчивость. В этом, кстати, состоит один из принципиальных недостатков попытки описать нелинейную восприимчивость, основываясь на модели двухуровневых атомов. Заметим, что в работе [40] предложена эмпирическая модель, адекватно описывающая нелинейный отклик прозрачной среды в широком диапазоне частот.
Заключение
Рассмотренные выше различные примеры указывают на обилие солитонных уравнений и систем, порождаемых средой из двухуровневых атомов, взаимодействующих с оптическим полем. При этом рассмотренными системами не исчерпывается список интегрируемых моделей. В особенности это касается обобщений на ситуации, когда электрическое поле имеет векторный характер, разбиваясь на обыкновенную и необыкновенную составляющие в системе двухуровневых атомов, обладающих ПДМ. В этих ситуациях среди интегрируемых моделей можно выделить системы типа «векторной РМБ с ПДМ», «МБ - РМБ с ПДМ», а также модифицированное уравнение СГ. Познакомиться с выводом этих уравнений и их солитонными решениями читатель сможет, прочитав, например, оригинальные работы [41-44]. Для понимания соответствующего материала достаточно овладеть математическим аппаратом и разобраться в физических приближениях, представленных в настоящем обзоре.
Проведенный выше беглый экскурс в оптическую солитонную тематику удивительным образом обнаружил, что очень многие процессы распространения импульсов различных длительностей в двухуровневой среде описываются интегрируемыми уравнениями или их системами. На самом деле «в жизни», как это обычно бывает, все значительно сложнее и запутаннее, чем «на бумаге». Мы здесь намеренно рассмотрели лишь одномерные случаи, когда параметры импульса зависят только от одной пространственной переменной 2 . В реальных же ситуациях поперечные размеры импульсов конечны и составляют обычно порядка миллиметра. Теоретические модели, в которых учитывается поперечная динамика оптических импульсов, значительно сложнее и не так красивы, как одномерные интегрируемые модели. Однако все не так плохо, если заметить, что продольные размеры рассмотренных выше солитонов значительно меньше соответствующих поперечных размеров. В этих случаях поперечную динамику можно учесть приближенно, отталкиваясь от красивых и имеющих глубокий физический смысл одномерных солитонных решений. Здесь, пожалуй, нелишне удивиться тому, как столь различные физические ситуации для распространения оптических импульсов в системе двухуровневых атомов от нано- до фемтосе-кундных длительностей описываются столь же различными, но все же интегрируемыми уравнениями. Может быть, это случайно? Вряд ли. Скорее, здесь присутствует глубокий смысл. Попытка раскрыть его в более широком смысле, чем в настоящем обзоре, содержится в очень глубокой по физико-математическому содержанию работе [45], которую следовало бы порекомендовать заинтересовавшемуся читателю. Современные обзоры по оптическим солитонам различных временных длительностей, включая ПКИ, содержатся в работах [46, 47].
Есть веские основания полагать, что простая модель двухуровневого атома еще не исчерпала себя в дальнейшей способности порождать новые интегрируемые системы, обладающие решениями в виде оптических солитонов.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 13 - 02 -
00199а).
Литература
1. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. - М.: Мир, 1978. - 224 с.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. - М.: Наука, 1983. - 688 с.
3. Лэм Дж. Введение в теорию солитонов. - М.: Мир, 1983. - 294 с.
4. McCall S.L. and Hahn E.L. Self-induced transparency by pulsed coherent light // Phys. Rev. Lett. - 1967. -V. 18. - P. 908-911.
5. Альперин М.М., Клубис Я.Д., Хижняк А.И. Введение в физику двухуровневых систем. - Киев: Наук. думка, 1987. - 220 с.
6. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., and Miura R.M. Method for solving the Korteweg - de Vries equation // Phys. Rev. Lett. - 1967. - V. 19. - P. 1095-1097.
7. Lamb G.L. Analytical descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium // Rev. Mod. Phys. - 1971. - V. 43. - P. 99-124.
8. Башаров А.М., Маймистов А.И. О распространении электромагнитных импульсов в условиях квазирезонанса // Опт. и спектр. - 2000. - Т. 88. - № 3. - С. 428-434.
9. Crisp M.D. Adiabatic-following approximation // Phys. Rev. A. - 1973. - V. 8. - P. 2128-2135.
10. Hirota R. Exact envelope-soliton solutions of a nonlinear wave equation // J. Math. Phys. - 1973. - V. 14. -P. 805-809.
11. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. - М.: Сов. радио, 1977. - 368 с.
12. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. - М.: Мир, 1996. - 304 с.
13. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. - М.: Физматлит, 2005.- 645 с.
14. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. - М.: Наука, 1980. - 320 с.
15. Стриганов А.Р., Донцов Ю.П. Изотопический эффект в атомных спектрах // УФН. - 1955. - Т. 55. -№ 3 - С. 315-390.
16. Сазонов С.В. Самоиндуцированная прозрачность в гетерогенной смеси изотопов // Квант. электрон. - 2007. - Т. 37. - № 1. - С. 29-35.
17. Konno K., Kameyama W., Sanuki H.J. Effect of weak dislocation dislocation potential on nonlinear wave propagation in anharmonic crystal // Phys. Soc. Jpn. - 1974. - V. 37. - P. 171-176.
18. Kosevich A.M. and Kovalev A.S. The supersonic motion of a crowdion. The one-dimensional model with nonlinear interaction between the nearest neighbours // Solid. State Commun. - 1973 - V. 12. - № 8. -P. 763-765.
19. Brabec T. and Krausz F. Intense few-cycle laser fields: frontiers of nonlinear optics // Rev. Mod. Phys. -2000. - V. 72. - P. 545-591.
20. Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Caudrey P.J., and Bullough R.K. Solitons of nonlinear optics. I. A more accurate description of the 2n pulse in self-indused transparency // J. Phys. A. - 1973. - V. 6. - P. 1337-1347.
21. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. - М.: Мир, 1988. - 696 с.
22. Agrotis M., Ercolani N.M., Glasgow, and Moloney J.V. Complete integrability of the reduced Maxwell -Bloch equations with permanent dipole // Physica D. - 2000. - V. 138. - № 1, 2. - P. 134-162.
23. Елютин С.О. Динамика предельно коротких импульсов в штарковской среде // ЖЭТФ. - 2005. -Т. 128. - № 1 (7). - С. 17-29.
24. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Импульсная прозрачность анизотропных сред со штарковским расщеплением уровней // Квант. электрон. - 2005. - Т. 35. - № 8. - С. 701-704.
25. Беленов Э.М., Назаркин А.В. О некоторых решениях уравнений нелинейной оптики без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз // Письма в ЖЭТФ. - 1990. - Т. 51. - № 5. - С. 252-255.
26. Беленов Э.М., Назаркин А.В., Ущаповский В. А. Динамика распространения и взаимодействия сгустков электромагнитного поля в двухуровневых средах // ЖЭТФ. - 1991. - Т. 100. - № 3 (9). -С. 762-775.
27. Косевич А.М., Ковалев А.С. Введение в нелинейную физическую механику. - Киев: Наук. думка, 1989. - 304 с.
28. Сазонов С.В. Сверхсветовые электромагнитные солитоны в неравновесных средах // УФН. - 2001. -Т. 171. - № 6. - С. 663-677.
29. Korteweg D.J. and de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. - 1895. - V. 39. - № 5. - P. 422-443.
30. Козлов С. А., Самарцев В.В. Оптика фемтосекундных лазеров. - СПб: ИТМО, 2007. - 218 с.
31. Yajima N. and Oikawa M. Formation and interaction of sonic - Langmuir solitons - Inverse scattering method // Prog. Theor. Phys. - 1976. - V. 56. - № 6. - P. 1719-1739.
32. Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. - 1972. - Т. 62. - № 5. - С. 1745-1759.
33. Степанов А.Г., Мельников А.А., Компанец В.О., Чекалин С.В. Модификация спектра фемтосекунд-ного лазерного импульса при высокоэффективной генерации терагерцового излучения методом оптического выпрямления // Письма в ЖЭТФ. - 2007. - Т. 85. - № 5. - С. 279-282.
34. Сазонов С.В. О предельно коротких и квазимонохроматических электромагнитных солитонах в двухкомпонентной среде // ЖЭТФ. - 2001. - Т. 119. - № 3. - С. 419-433.
35. Leblond H., Sazonov S.V., Mel'nikov I.V., Mihalache D., and Sanchez F. Few-cycle nonlinear optics of multicomponent media // Phys. Rev. A. - 2006. - V. 74. - № 6. - P. 063815-1-063815-8.
36. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько периодов колебаний светового поля в диэлектрических средах // ЖЭТФ. - 1997. - Т. 111. - № 2. -С. 404-418.
37. Schafer T. and Wayne C.E. Propagation of ultra-short optical pulses in cubic nonlinear media // Physica D. - 2004. - V. 196. - P. 90-105.
38. Sakovich A. and Sakovich S. Solitary wave solutions of the short pulse equation // J. Phys. A. - 2006. -V. 39. - P. L361-L367.
39. Matsuno Yo. A novel multi-component generalization of the short pulse equation and its multisoliton solutions // J. Math. Phys. - 2011. - V. 52. - P. 123702-1-123702-22.
40. Козлов С.А. О классической теории дисперсии высокоинтенсивного света // Опт. и спектр. - 1995. -Т. 79. - № 2. - С. 290-292.
41. Сазонов С.В. Эффекты резонансной прозрачности в анизотропной среде с постоянным дипольным моментом // ЖЭТФ. - 2003. - Т. 124. - № 4 (10). - С. 803-819.
42. Заболотский А.А. Динамика продольно-поперечной акустической волны в кристалле с парамагнитными примесями // Письма в ЖЭТФ. - 2002. - Т. 76. - № 10. - С. 709-713.
43. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Режимы резонансной прозрачности в условиях синхронизма длинных и коротких волн // ЖЭТФ. - 2005. - Т. 127. - № 2. - С. 289-307.
44. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Новый класс предельно коротких электромагнитных солитонов // Письма в ЖЭТФ. - 2006. - Т. 83. - № 11. - С. 573-578.
45. Калоджеро Ф. Почему некоторые системы уравнений с частными производными одновременно широко применимы и интегрируемы? // В кн. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. - Киев: Наук. думка, 1990. - С. 65-116.
46. Маймистов А.И. Солитоны в нелинейной оптике // Квант. электрон. - 2010. - Т. 40. - № 9. -С. 756-781.
47. Leblond H. and Mihalache D. Models of few optical cycle solitons beyond the slowly varying envelope approximation // Phys. Reports. - 2013. - V. 523. - P. 61-126.
Сазонов Сергей Владимирович - Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт», доктор
физ.-мат. наук, профессор, ведущий научный сотрудник; МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор; sazonov.sergey@gmail.com
