Эффект Коттона-Мутона при резонансном взаимодействии предельно коротких импульсов с многоуровневыми средами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 152, кн. 2

Физико-математические пауки

2010

УДК 537.632.2

ЭФФЕКТ КОТТОНА - МУТОНА ПРИ РЕЗОНАНСНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ПРЕДЕЛЬНО КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ С МНОГОУРОВНЕВЫМИ СРЕДАМИ

А.Н. Бугай, А.Ю. Пархоменко

Аннотация

Рассмотрен аналог эффекта Коттопа Мутона для предельно коротких импульсов. В предположении, что спектр импульса перекрывает все характерные частоты квантовых переходов, получена система нелинейных волновых уравнений для импульса, распространяющегося перпендикулярно направлению магнитного поля. Показано наличие нелинейных режимов прозрачности и солитопоподобпой динамики.

Ключевые слова: эффект Коттопа Мутона, предельно короткий импульс.

Введение

В последние годы заметной тенденцией в развитии систем оптической обработки информации стало создание и поиск сред, позволяющих эффективно управлять свойствами проходящего через них света. Не в последнюю очередь это связано с бурным развитием технологии, позволяющей создавать искусственные среды [1] с наперед заданными свойствами (фотонные кристаллы, наноструктуры, оптически левые среды и т. п.).

Другой важной тенденцией является стремление увеличить быстродействие и пропускную способность за счет уменьшения длительности оптического импульса. К настоящему времени все активнее становится использование так называемых предельно коротких импульсов (ПКИ) [2]. которые содержат всего несколько колебаний электромагнитного поля (вплоть до одного).

Одним из традиционных способов модификации излучения при прохождении его через среду является учет взаимодействия с постоянным внешним электрическим или магнитным полем [3]. Таким образом, возникает вопрос о реализации аналогичных явлений для ПКИ. Так. в работе [4] исследовался аналог нелинейного эффекта Фарадея.

В настоящей работе исследуется самосогласованная динамика ПКИ в магни-тоактивных средах при сильном перекрытии спектром импульса всех квантовых переходов в геометрии Фохта (распространяющихся перпендикулярно внешнему магнитному полю), то есть речь идет об исследовании эффекта Коттопа Мутона для ПКИ.

1. Модельные уравнения

Условие перекрытия спектром ПКИ квантовых уровней может быть выражено соотношением [5. 6]:

3Тр < 1, (1)

где ш^к - частота разрешенного перехода между уровнями ^ и к, тр характерная длительность ПКИ. Пусть электромагнитный импульс распространяется вдоль

оси г под углом ф = п/2 к направлению внешнего магнитного поля И. В этом случае справедливы правила отбора ДМ = Мк — М=0, ±1, где Мк^) - проекция суммарного углового момента атома в О'-м) состоянии на направление И.

Эволюция состояния среды описывается уравнениями для элементов матрицы плотности р:

дрэк , г

г и^Рзк + 7

дt

К

]к

(2)

Для матричных элементов гамильтониана электро-дипольного взаимодействия у импульса с полем согласно [6] будем иметь:

У3к = -В3к (1 - \AMjk]) Ее - I АМ^\Ео,

где Е0 - обыкновенная компонента электрического поля ПКИ (параллельна осп х), Ее - необыкновенная компонента (параллельна осп у), П3к — дипольные моменты для п-переходов, - дипольные моменты для а-переходов. При нормальном распространении к оптической осп продольная компонента поля Ег отсутствует [7].

Рассмотрим частный случай двухуровневой среды в слабом магнитном поле, которое вызывает расщепление уровней, малое по сравнению с частотой перехода ш. При этом предполагаем удаленность остальных квантовых уровней, не вовлеченных во взаимодействие с ПКИ.

Двухуровневое приближение справедливо для описания поляризационного отклика молекул газов, в то время как для жидкостей и твердых тел необходимо пользоваться, как минимум, трехуровневой моделью [8]. В этой связи имеет смысл рассмотрение резонансного взаимодействия ПКИ с двухуровневыми примесными центрами. В данном случае с учетом малой длительности ПКИ на роль примесных центров лучше всего подходят искусственные наноструктуры типа квантовых ям, точек и т. п. [9].

Характерные частоты низших квантовых уровней, образованных туннельными переходами в полупроводниковых гетероструктурах. имеют следующий порядок: шо - 1013 „-1

1013 с 1 [9] (терагерцовый диапазон), в то время как частоты вышележащих

переходов находятся уже в области оптических частот. Тогда при длительностях

ПКИ

10

В данных условиях матрица переходов у будет иметь вид:

У =

0 0

—ПЕе

(1Е0

V~72

0 0

(1Е0 -ЯЕя

—ПЕе —

(1Е0

"72 0

0

с}Ео\ у/2 —ПЕе

0 0

(3)

Здесь П = П13 = П23 и ! = ¿14 = ¿24 •

Систему уравнений для элементов матрицы плотности будем решать методом последовательных приближений по малым динамическим параметрам ш3ктр. Тогда в пулевом приближении получим:

этр)

сЪ

У0), У

Матрица V5 коммутирует со своим интегралом по времени. В этом случае решение системы уравнений можно записать в виде [10]:

р<°>(*) = 0р(0)0+, и = ехр Ц у Щ') сЫ> | . (4)

\ «0

Здесь /5(0) - начальная матрица плотности среды, имеющая диагональный вид. Соответствующие населенности уровней перед подачей на среду ПКИ равны Wl, W2, W3, W4; ¿0 - время начала воздействия ПКИ па атом. Далее, подставляя (4) в (2), ограничимся решением (2) в первом приближении р(1)(£).

Для исследования самосогласованной динамики импульсов и среды дополним систему уравнений (2) уравнениями Максвелла для компонент электрического поля импульса:

д2Е0,е п2 д2Е0,е 4я д2Р0,е дг2 с2 сИ2 с2 сИ2 ' ^

где Р0 и Ре обыкновенная и необыкновенная компоненты поляризации, которые определяются выражениями [6, 7]:

Р(114)+p41I)++, Pe = DN [Р^+Р311)+Р21+рЩ. (6)

_<м

п - показатель преломления прозрачной среды, N - концентрация примесных резонансных центров.

В силу вещественности матрицы (3) для компонент поляризации будут справедливы соотношения [4]:

^ = г^2сШ (иир<$ + и;23^) , ^ = гБМ (и;13р?3> + и;24^) . (7)

Здесь о>1з = ш + Дш1/2 —ДШ2/2, ш>14 = ш+ Дш1/2+Дш2/2, ш23 = ш — Дш1/2 — Дш2/2, Ш24 = ш — ДШ1/2 + Дш2/2, трц Дш1 и Дш2 характеризуют величины расщепления нижнего н верхнего уровня соответственно. Подставим (7) в волновое уравнение

(5). Пусть d?N/hш < 1, тогда соответствующее уравнение можно редуцировать, используя приближение однонаправленного распространения [11], к следующим нелинейным уравнениям:

дгдт

Здесь

д2в

"'К + а0,е{Ро,е + COS0eiO)sÍI10Oie = 0. (8)

t t \i 2d í 2D f

T = t - nz/c, eo = / Eo dt', ве = 1т- Ee dt'

_ 2nd2NW1tü _ 2nD2NW1u> _ Au>i + Au>2 _ A^i - Au>2

ao Г , СУ-е Г , Po ~ j Pe Г •

non non 2¡m 2¡m

В отсутствие магнитного поля различие между компонентами Eo и Ee стирается и (8) переходит в известное уравнение синус-Гордона [11]. Скорость ПКИ в уравнении (8) можно найти, воспользовавшись методом аналитического продолжения дисперсионных параметров на комплексную плоскость [12]:

— = -+<*„,е(1 +/Зо,е)т;. (9)

Vo,e С p

-20 0 20 40 60 -20 0 20 40 60

Рис. 1. Эволюция 2п-имиульса СИП в условиях взаимодействия обыкновенной и необыкновенной волн

Из (9) следует, что

Пе - По = \ае(1 + ße) - а0(1 + ßo)\rp. (Ю)

В отсутствие магнитного поля (d ^ D, A^ij2 ^ 0) выражение (10) обращается в нуль. Таким образом, можно говорить об аналоге эффекта Коттона Мутона [3] для предельно коротких импульсов.

Ввиду большого сходства (8) с уравнением синус-Гордона проведем исследование распространения ПКИ в резонансных режимах прозрачности.

2. Результаты численного моделирования

Дальнейшее исследование проведем с помощью численного моделирования нелинейных уравнений (8). В качестве начального профиля на входе в среду для каждой из импульсных компонент возьмем решение типа 2п-импульса уравнения синус-Гордона.

Результаты вычислений приведены на рис. 1 3. Амплитуды полей здесь заданы в величинах Е^"1*1 = h/(\/2с1тр) и Е^Р1^ = h/(2Dtp) для обыкновенной и необыкновенной компонент соответственно. Временная шкала нормировалась на длительность импульса тр, а пространственная задавалась в единицах характерной длины дисперсионного расплывания Zd = hej(2ird2Nu>qtp) . Для определенности полагаем также D = а/2d, Aiv\ = 0.15wo, Alvo = О.ОБс^о-

Когда временные профили импульсных компонент не перекрываются, динамика каждой компоненты не отличается от описываемой уравнением синус-Гордона. Если же имеется перекрывание профилей, то распространение обеих составляющих может происходить в связанном режиме, сопровождаясь биениями, как это показано на рис. 1.

40 30 20 10 0

-40 -20 0 20 40 60 80 (-г/с

40 30 20 10 0

-40 -20 0 20 40 60 80 (-г/с

2

н

I

3

I

--40 -20

О 20 40 60 И®

а 1

--40 -20

О 20 40 60 \-zjz'.

Рис. 2. Квазиупругое столкновение двухкомпонентных волн типа 2п-импульсов СИП

Такие связанные состояния типа двухкомпонентных «дышащих» 2п-импульсов демонстрируют квазисолитонное поведение. Хотя их распространение и происходит с сохранением формы, столкновения их являются неупругими, то есть имеет место потеря энергии на излучение. В случае, когда суммарная временная площадь сигнала хотя бы одной из компонент не равна нулю, столкновение происходит в целом с сохранением формы импульсов, то есть является квазиупругим (рис. 2). Если же суммарная временная площадь сигналов обеих компонент равна нулю, то столкновение является неупругим (рис. 3), а двухкомпонентные 2п-импульсы преобразуются в 0п-импульсы (бризеры) с заметным уходом энергии в излучение.

Приведем оценки характерных параметров среды и импульса. Пусть ^0/2п — — 1 ТГц, тр — 10 фс, а дипольные моменты переходов ¿, В — 10-17 СГСЭ [13], тогда при интепсивпостях импульса порядка 1 ^ 10 ГВт/см2 временные площади сигналов ва, — 2п. Взяв концентрацию примесных центров N — 1019 см-3,

что примерно соответствует уровню допирования — 1%, получим характерные длины дисперсионного расплывания Zd — 0.1 мм. Расщепления Д^1,2 — 0.1о>о достигаются при магнитных полях Н — 105 Э. Тогда для относительной разности линейных показателей преломления получим (п0 — пе)/п — 10-2. Данная величина примерно на порядок превосходит типичные величины классического эффекта Коттона Мутона [3] для указанных значений напряженности магнитного поля.

Заключение

В настоящей работе рассмотрены особенности взаимодействия предельно коротких импульсов с двухуровневой средой, помещенной в постоянное магнитное поле. В предположении, что спектр импульса перекрывает все характерные частоты

£о

-20 0 20 40 64 SO 100 t-i/c

z=0

t-2/c

2

L

2

L

Рис. 3. Процесс неупругого столкновения двухкомпонентных волн типа 2п-импульсов СИП. Формирование двухкомпонентных 0п-импульсов (бризеров)

квантовых переходов, получена система нелинейных волновых уравнений для импульса. распространяющегося перпендикулярно направлению магнитного поля. Показано, что в первоначально изотропной среде возникает двойное лучепреломление. то есть речь идет об аналоге эффекта Коттона Мутона для ПКИ. Роль оптической оси здесь выполняет направление магнитного поля. Анализ нелинейных уравнений с помощью численного моделирования выявил наличие нелинейных режимов прозрачности.

Двухкомпонентные аналоги 2п-импульсов уравнения синус-Гордона демонстрируют наличие солитоноподобного поведения. В принципе, такие свойства ПКИ в среде с индуцированной магнитным полем анизотропией могут представлять интерес для систем оптической обработки и передачи информации.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект Л*1' 09-02-00503а) и Фонда «Династия».

Summary

A.N. Bugay, A. Yu. Parkhumenku. The Cotton Mout.on Effect under Resonant. Interaction between Extremely Short. Pulses and Multilevel Media.

The article deals with an analog of the Cotton Mout.on effect, for extremely short, pulses. Under the assumption that, the pulse spectrum overlaps all quantum transition frequencies, the system of nonlinear wave equations describing the pulse propagation in the direction perpendicular to the external magnetic field is derived. The nonlinear transparency regimes and the solit.on-like dynamics are demonstrated.

Key words: Cotton Mout.on effect., extremely short, pulse.

Литература

1. Unlu М., Ozbay Е., Goldberg В.В., van Hulst N.F. Introduction to the Issue on Nauophot.ouics // IEEE J. Selected Topics in Quant. Elect.r. 2006. V. 12. No 6. P. 1069 1071.

2. Brabec Т., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics // Rev. Mod. Pliys. 2000. V. 72, No 2. P. 545 591.

3. Бимс Дои:.В. Двойное лучепреломление в электрическом и магнитном поле // Усп. физ. паук. 1933. Т. 13, № 2. С. 209 252.

4. Пархоменко А.Ю., Сазонов С.В. Магнитное вращение плоскости поляризации предельно коротких импульсов в равновесных и неравновесных средах // Квант. Электрон. 1999. Т. 27, № 2. С. 139 144.

5. Беленое Э.М., Назаршп А.В., Ущаповский В.А. Динамика распространения и взаимодействия сгустков электромагнитного поля в двухуровневых средах // ЖЭТФ. 1991. Т. 100, № 3. С. 762 775.

6. Сазонов С.В., Соболевский А, Ф. О нелинейном распространении предельно коротких импульсов в оптически одноосных средах // ЖЭТФ. 2003. Т. 123, Л' 6. С. 1160 1178.

7. Сазонов С.В. Эффекты резонансной прозрачности в анизотропной среде с постоянным дипольпым моментом // ЖЭТФ. 2003. Т. 124, № 4. С. 803 819.

8. Козлов С.А. О классической теории дисперсии высокоиптепсивпого света // Оптика и спектроскопия. 1995. Т. 79, № 2. С. 290 292.

9. Демгшювскмй В.Я., Вугальте.р Г.А. Физика квантовых пизкоразмерпых структур. М.: Логос, 2000. 248 с.

10. Jlanno-Данилевский И.А. Применение матричных функций к теории лилейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1957. 456 с.

11. Додд Р., Эйлбек Дои:., Гиббон Дои:., Моррис X. Солитопы и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

12. Сазонов С.В. О предельно коротких и квазимопохроматических электромагнитных солитопах в двухкомпопептпой среде // ЖЭТФ. 2001. Т. 119, Л' 3. С. 419 433.

13. Zhang W., Cuvuruv А.О., Bryant G.W. Semiconductor-Metal Nanoparticle Molecules: Hybrid Excit.ons and the Nonlinear Fano Effect // Pliys. Rev. Lett. 2006. V. 97. P. 146804-1 146804-4.

Поступила в редакцию 26.01.10

Вугай Александр Николаевич кандидат физико-математических паук, научный сотрудник Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна. Е-шаП: Ьидау_ aleksandrQmail.ru

Пархоменко Александр Юрьевич кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна. Е-шаП: parkhoiiienkoQjinr.ru