Анализ некоторых особенностей развития поля скоростей в случае плоского течения жидкости, реологическая модель которой учитывает поперечную вязкость Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532 Профессор В.Н. Колодежнов

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра теоретической механики, тел. (473) 255-55-57

Анализ некоторых особенностей развития поля скоростей в случае плоского течения жидкости, реологическая модель которой учитывает поперечную вязкость

Рассмотрена реологическая модель жидкости, которая учитывает эффекты поперечной вязкости. Проведен анализ некоторых особенностей развития поля скоростей.

ТИе rheological model of a liquid, which takes into account the effects of the cross - viscosity is considered. The analysis of some peculiarities of the development of the velocity field is carried out.

Ключевые слова: реологическая модель, поперечная вязкость, распределение скорости

В гидродинамике наряду с так называемыми ньютоновскими жидкостями, динамическая вязкость которых является постоянной, рассматриваются также нелинейно-вязкие

неньютоновские жидкости с более сложными реологическими моделями.

При этом нельзя исключать возможность изменения реологической модели поведения жидкости в зависимости от уровня второго инварианта тензора скоростей деформаций или в частном случае скорости сдвига демонстрируют самые разные вязкие среды. В этой связи нередко предполагается, что динамическая вязкость описывается разными функциями на разных интервалах изменения второго инварианта тензора скоростей деформаций или, опять же, в частном случае скорости сдвига [1-9].

В данной работе предлагается реологическая модель подобной структуры (с различным поведением жидкости на различных интервалах изменения второго инварианта тензора скоростей деформаций), но применительно к поперечной вязкости. При этом за основу такой модификации принимается классическая модель Рейнера - Ривлина [6] с постоянным значением поперечной вязкости.

На основе предложенной реологической модели проводится анализ некоторых особенностей развития поля скоростей в окрестности рассматриваемых точек области течения для жидкости, реологическая модель которой

© Колодежнов В.Н., 2012

учитывает проявление эффекта поперечной вязкости при превышении вторым инвариантом тензора скоростей деформаций некоторого порогового критического значения.

Реологическая модель. Введем в рассмотрение реологическую модель вязкой несжимаемой жидкости в соответствии со следующими соотношениями

Т, = ~Щ + 2И^и + 4^(/2)I £гк£к, ; (1)

к=1

(

si] 2

dv■ dv

3X:

V ]

dX:

i, j = 1 2,3;

I2 = S11S22 '

_ 2 _ 2 _ 2 . "S33S11 212 S23 S31 ;

n(12) =

[0; \l2 < l2n;

[n0; I12 > 12n;

I2n> 0 _ const; ц _ const, где T] , Sj - компоненты тензоров напряжений

и скоростей деформаций; P - давление; Sj - символ Кронекера; ц - динамическая вязкость жидкости; Vj - проекции скорости на

направления координатных осей декартовой системы отсчета; Xj - координаты; rj( I2) -

поперечная вязкость жидкости, представленная в виде кусочно-постоянной функции второго инварианта тензора скоростей деформаций I2'; 12ц - некоторое критическое значе-

ние второго инварианта тензора скоростей деформаций.

ВестникВГУИТ, № 1, 2012_

Жидкость с такой реологической моделью в той части области течения, где выполняется условие |/2 < 12п , ведет себя, как традиционная ньютоновская жидкость. В другой же части области течения, где выполняется обратное условие |/21 > 12п, сплошная среда

проявляет свойства жидкости Рейнера - Рив-лина [6].

Постановка задачи. Определяющие уравнения. Пусть в некоторый, условно принимаемый в качестве начального, момент времени в рассматриваемой области сформировалось плоское течение, поле скоростей и распределение давления в котором удовлетворяют уравнениям Навье - Стокса [10] для классической ньютоновской жидкости с постоянным значением динамической вязкости и независимо от конкретного распределения значений второго инварианта тензора скоростей деформаций (в смысле возможного превышения ими уровня 12ц). Рассмотрим вопрос о том, как в

дальнейшем может эволюционировать такое распределение скорости и давления в малой окрестности некоторой точки, начиная с начального момента времени, при условии, что в этой точке и ее малой окрестности выполняется неравенство |/21 > 12ц . Последнее условие

означает, что, начиная с начального момента времени, “включается” в соответствии с реологической моделью фактор поперечной вязкости.

Введем декартову систему координат, расположив ее начало в рассматриваемой точке. При этом ось Охх сориентируем по касательной к линии тока, а ось Ох2 - по нормали к ней.

Если считать, что линии тока являются достаточно “гладкими”, то в малой окрестности рассматриваемой точки (начала координат) в начальный момент времени поле скоростей V (Х1, Х2) в первом приближении можно считать одномерным. Что же касается давления р(Х1, х2), то, опять же, в первом приближении (по аналогии с одномерными течениями вязкой ньютоновской жидкости) можно считать его зависящим лишь от продольной координаты. Иначе говоря, в малой окрестности начала координат должны выполняться условия:

при t = °; V! = и(Х2); У2 = 0; р = Р(х1), (2)

где и (х2), Р(х1) - заданные функции соответствующих координат, которые удовлетворяют уравнениям Навье - Стокса для ньютоновской жидкости и условию неразрывности.

Получим уравнения, описывающие динамику жидкости с реологической моделью (1) в малой окрестности рассматриваемой точки и для малых моментов времени, непосредственно следующих за начальным моментом времени. Будем считать, что для такой пространственной области и на таком временном интервале распределения скоростей и давления допустимо представлять в виде суммы начальных распределений этих величин и их малых приращений

(3)

У1^, хь Х2) = и (Х2) + и^, Х1, Х2);

<У2^, Х1, Х2) = и 2 Х1, Х2);

,р (X х1, х2) = Р(х2) + Ро (t, х1 > х2).

Перейдем к безразмерной форме представления основных уравнений с учетом соотношений

и ' =

и_

и8

Р' =

Р

Рв

р=^; ' '=

Рв

V, =^~; и',- =^~; х) = + ; г' =Л-; (4)

ив

ив

і, ) = 1, 2, 3;

ив = и(0); тв = Рв = Р-ив

где и5 , Ь5, , т5 , рв - характерные и при-

нимаемые в качестве масштабных величины скорости, расстояния, времени, напряжения и давления; р - плотность жидкости.

Здесь в (4) и далее верхним штрихом обозначены безразмерные величины.

Говоря о выборе масштабных величин для расстояния ь3 и времени tS, заметим следующее. В предлагаемой задаче рассматривается лишь начальная стадия течения в малой окрестности рассматриваемой точки (начала координат) и для достаточно малого (“стартового”) интервала времени. Принимая во внимание такую “неопределенность” задания пространственных размеров области течения и характерного времени протекания процесса, можно видеть, что ввести конкретные значения и ^ традиционным образом представляется затруднительным. В этой связи линейный масштаб и масштаб для времени предлагается ввести в рассмотрение следующим образом:

в

г

в

ь5 =

и-к

р - и 8

йи

( й 2и Х-

йх2

йх2

\ил-2

х2 =0;

(8 = =и- к

к =

и8 р-и8

|8гаа(Г )|

йи

йх2

( йи х

йх2 V ил2 У

8гаа(2^^-Т2 )|

Т =

х2 =0;

х2 =0;

где Т - плотность кинетической энергии; К - безразмерный комплекс.

При таком переходе к безразмерным величинам комплекс К [11] представляет собой по смыслу локальное число Рейнольдса, характеризующее местное соотношение факторов энергетики потока и диссипации в нем. Здесь, естественно, предполагается, что в рассматриваемой точке соответствующие производные отличны от нуля.

В представленной задаче этот безразмерный комплекс через начальное распределение скорости потока в окрестности рассматриваемой точки (начала координат) может быть представлен следующим образом:

К =

р-и йи

( й 2и

и

йх2

йх2 У

х2 = 0

Другие варианты также нетрадиционного введения локального числа Рейнольдса, подобные безразмерному комплексу к , описаны в [12] со ссылкой на [13,14], а также приводятся в работах [15,16].

С учетом (1), (2) после перехода к безразмерным величинам уравнения динамики жидкости и условие неразрывности потока в малой окрестности рассматриваемой точки принимают вид

д'

т,и

д^

+и—^+и

йи' ср'0

1 (д2и[

\

+2 - К0

йи

йх'2

д 2и\

д 2и[ дх[дх'2 дх1

(5)

2

+и—

сТ х

др'0 1 (д2и2 д2и2

дх2 К

дх12 дх22

+2К0

йи

2

д 2и2

д X

дх[дх'2 дх:

+2К0

йи' й2и'

йх'2 йх'^2

2 У)

й2и ' ( ди[ ди'2 ^

дх'2

дх1 у

ди[

ди'2

дх2

= 0.

(6)

(7)

ЗДесь К 0 безразмерный

представляет собой еще один комплекс, характеризующий влияние поперечной вязкости и определяемый следующим образом [17]:

К0 =

рЬ8

р

й 2и ( йи

йх

2 У

х2 = 0

Следует отметить, что при выводе (5)-(7) принимали во внимание то обстоятельство, что начальные распределения скорости и давления в окрестности рассматриваемой точки тождественно удовлетворяют уравнениям Навье - Стокса с постоянной динамической вязкостью. Естественно, что при окончательной записи (5), (6) ограничивались лишь линейными членами по отношению к малым безразмерным приращениям скоростей и давления в (3).

В частном случае, когда поперечной вязкостью допустимо пренебречь либо она не проявляется в силу выполнения условия 12 < 12п , имеем К0 = 0. В такой ситуации

уравнения (5)-(7) после традиционной процедуры исключения р0 и перехода к функции тока сводятся к уравнению Орра - Зоммер-фельда [18 - 20].

Анализ особенностей развития поля скоростей. Провести решение системы уравнений (5)-(7) для общего случая представляется затруднительным, в том числе и по той причине, что в рассматриваемой задаче о развитии течения в малой окрестности некоторой точки (начала координат) не совсем ясной является постановка граничных условий. Тем не менее можно получить некоторые результаты, касающиеся характерных особенностей в развитии поля скоростей на “стартовом ” периоде, непосредственно следующим за начальным моментом времени.

Поскольку речь идет лишь о некоторой малой окрестности рассматриваемой точки (начала координат), разложим безразмерные приращения скоростей и давления здесь в ряд по степеням координат и представим их в виде

2

2

2

ик^,х1,х2) =11 )х[„х'2т ;

„=0 т=0

к = 1, 2;

(8)

(9)

р0( ', х[, х2)=ц д '„т ^ Кх'2т,

„=0 т=0

где w'k„m ^'), д „ т ^') - безразмерные коэффициенты в разложениях (8), (9), представляющие собой неизвестные функции времени.

Кроме этого разложим функцию и'(х2) в ряд по степеням поперечной координаты в окрестности рассматриваемой точки

ад

и (х2) =1 итхт, (10)

т=0

где ит - известные коэффициенты разложения.

Говоря о разложении типа (10), заметим, что в целом ряде известных профилей скорости (например, параболического профиля скорости для течения Пуазейля и некоторых других) количество слагаемых здесь может быть конечным.

Поскольку предполагается, что имеют место соотношения (2) и, следовательно, вначале с учетом (3) приращения скоростей и давления отсутствуют, то безразмерные коэффициенты в (8), (9) должны удовлетворять начальным условиям:

при t2 =0; ™ к,„,т =0;

к = 1, 2 ; „, т = 0,1,2,....

д 2

= 0;

(11)

Подставим (8)-(10) в систему уравнений (5)-(7). Тогда, выполняя соответствующие операции и приравнивая коэффициенты при одних и тех же степенях координат в левой и правой частях соотношений (5)-(7), приходим к системе уравнений относительно функций

^к,„,т ( ) и д „,т ( ).

Сразу же укажем, что такая система уравнений не будет замкнутой. Ее замыкание следует проводить с привлечением соответствующих граничных условий, о сложности постановки которых уже говорилось выше.

Для примера приведем вид этой незамкнутой системы в случае, когда после соответствующих преобразований в (5), (6) допустимо ограничиться лишь по одному уравнению, построенному на основе коэффициентов при нулевой степени координат йж'0

1,0,0

^+и0м>' + вд,0,0 =-д 1,0 +

2

+К(2,0 + ^1 ,0,2 ) + 20 Ц (,Ц + 2^2,2,0 ) ;

, , +и0 - ^2,1,0 = д 0,1 + К (2,2,0 + ^2,0,2 ) +

* КУ '

+2К0

{ВД + и[ ( 2м1,0,2 + )-

+2и2 (^1,0,1 + ^2,1,0 )} ;

^1,1,0 + ^2,0,1 = 0;

2и^1,2,0 + ^2,Ц = 0 ;

^1 ,',' + 2^2,0,2 = 0 .

Три последних уравнения здесь следуют из уравнения неразрывности (7).

Принимая во внимание (11), перейдем в получаемой системе к пределу при t' ^ 0 . Тогда приходим к следующим выражениям для начальных значений производных по времени от искомых функций, определяющих с учетом (8) распределения скоростей на “стартовом” интервале времени,

й 2

2,„,т

12 = 0;

t 2 = 0;

= 0:

10; „ = 1,2,3,...;

I Qm; „ =0;

(12)

„, т = 0,1,2,....;

бт = 2К01 к(т+3 - к)(т+2 - кК^ .

к=1

Будем полагать, что начальное распределение скорости (10) в окрестности рассматриваемой точки таково, что не все значения бт равняются нулю. Например, для часто встречающегося параболического профиля из (10) получаем

00 = 4К0)и[и'2; а = 8^;

бт = 0; т = 2,3,......

Исключение составляют такие рассматриваемые точки, в окрестности которых начальный профиль описывается линейной функцией.

Таким образом, если для рассматриваемого начального профиля скорости хотя бы отдельные бт не равняются нулю, то производная по времени от поперечной составляющей скорости в начальный момент времени в окрестности изучаемой точки не будет тождественно равняться нулю.

Вестник,ВГУИТ, № 1, 2012^^^^^^

Иначе говоря, при выполнении условия 121 > 12ц на “стартовом” временном интервале, непосредственно следующим за начальным моментом времени, в окрестности рассматриваемой точки будут “генерироваться” поперечные составляющие скорости, которые до этого здесь отсутствовали.

Если же начальное распределение скорости таково, что выполняется условие 12 < 12ц и Ко = 0, то из (12) следует, что в

начальный момент времени все производные обращаются в ноль. Это означает, что в такой ситуации не следует ожидать появления поперечной составляющей скорости.

Такое развитие поля скоростей для жидкости с реологической моделью (1) может интерпретироваться как начало перехода ламинарного режима течения в турбулентный.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлов, Н. В. Упруго-пластические свойства нефтяных битумов [Текст] / Н. В. Михайлов // Коллоидный журнал. - 1955.

- Т. 17. - № 3, - С. 242-246.

2. Гудкова, Т. И. К вопросу о влиянии структурно-механических свойств печатных красок на их поведение в печатном произвост-ве [Текст] / Т. И. Гудкова, Л. А. Козаровицкий, Н. В. Михайлов // Коллоидный. журнал. - 1960, Т. 22. - № 6. - С. 649-657.

3. Ябко, Б. М. Научно обоснованный метод выбора оптимальных составов водных красок [Текст] / Б. М. Ябко, Н.В. Михайлов. -Кишинев, 1962. - С. 17.

4. Nakamura Tadahisa, Ueki Masanori. The high temperature torsional deformation of a 0,06 % C mild steel. - Trans. Iron and steel Inst. Jap.

- 1975. -Т. 15. - № 4. p. 185-193.

5. Кузин, В.Г. Движение нелинейновязкой среды в цилиндрическом канале произвольного сечения [Текст] / В. Г. Кузин // Прикладная механика. - 1979. - Т. XV. - № 7. с. 101-106.

6. Литвинов, В.Г. Движение нелинейновязкой жидкости [Текст] / В.Г. Литвинов. - М.: Наука. 1982. - 376 с.

7. Овчинников, П. Ф. Виброреология [Текст] / П. Ф. Овчинников. - Киев: Наукова думка, 1983. - 272 с.

8. Анистратенко, В. А. Исследование реологических свойств фильтрационного осадка как объекта транспортирования [Текст] / В. А. Анистратенко, В. Н. Кошевая, Б. Н. Ва-

ловой // Известия ВУЗов. Пищевая технология. 1992. - № 1. - С. 54-57.

9. Колодежнов, В.Н. Исследование течений вязких жидкостей с пределом применимости ньютоновской модели. // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. УрО РАН, 2001.С. 346.

10. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л.Г. Лойцянский. - М.: Наука, 1987. - 840 с.

11. Колодежнов, В.Н. Об одном безразмерном комплексе для моделирования течений вязкой неньютоновской жидкости [Текст] // Сб. трудов международной школы-семинара. «Современные проблемы механики и прикладной математики». В 2 ч. Ч. 1. - Воронеж; ВГУ. 2005. - С. 166 - 168.

12. Артюшков, Л.С. Динамика неньютоновских жидкостей [Текст] / Л.С. Артюшков -Л. Ленинградский кораблестроительный институт, 1979. - 228 с.

13. Ryan N.W., JohnsonM.M. Transition from Laminar to Turbulent Flow in Pipes. // AIChE Journal. 1959. Vol. 5. No 4, P. 433 - 435.

14. Hanks R.W. The Laminar-Turbulent Transition for Flow in Pipes, Concentric Annuli and Parallel Plates. // AIChE Journal. 1963. Vol.

9. No 1, P. 45 - 48.

15. Джаугаштин, К.Е. О критическом режиме струйных течений [Текст] / К.Е. Джау-гаштин, // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа - 1990. - № 3. -С. 11 - 15.

16. Dou Hua-Shu. Mechanism of flow instability and transition to turbulence. // International Journal of Non-Linear Mechanics. Vol. 4, No 4, 2006. P. 512 - 517.

17. Колодежнов, В.Н. Безразмерные ком-

плексы и критерии подобия [Текст]: справочник / В.Н. Колодежнов, - Воронеж: ВГПУ,

2011. - 580 с.

18. Линь Цзя-Цзяо, О неустойчивости течений с градиентом скорости [Текст] / Линь Цзя-Цзяо, Бинни Д.Дж. Гидродинамическая неустойчивость. - М.: Мир, 1964. С.9 - 36.

19. Гольдштик, М.А., Гидродинамическая устойчивость и турбулентность [Текст] / М.А. Гольдштик, В.Н. Штерн - Новосибирск: Наука, 1977. - 367 с.

20. Маслоу, С.А. Неустойчивости и переход в сдвиговых течениях [Текст] / - В кн.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. - М.: Мир, 1984. - С. 218 -270.