Конвективный теплоперенос при течении в плоском канале неньютоновской жидкости с пределом применимости степенного закона вязкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532

КОНВЕКТИВНЫЙ теплоперенос при течении в плоском канале

НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ С ПРЕДЕЛОМ ПРИМЕНИМОСТИ СТЕПЕННОГО ЗАКОНА ВЯЗКОСТИ

В.Н. Колодежнов

В статье рассматривается задача о течении в цилиндрическом канале неньютоновской жидкости. Реологическая модель жидкости предполагает предел применимости степенной зависимости вязкости от второго инварианта тензора скоростей деформаций. С учетом диссипации механической энергии найдено аналитическое решение и получены выражения для распределения скорости и температуры жидкости в канале

Ключевые слова: вязкость жидкости, скорость сдвига, температура

В основе гидродинамики лежит классическая реологическая модель так называемой ньютоновской жидкости. Для такой жидкости характерна линейная связь между компонентами тензоров напряжений и скоростей деформаций. Жидкости же, для которых эта связь носит нелинейный характер, относят к разряду неньютоновских [1-3]. При этом коэффициенты таких реологических моделей представляются функциями инвариантов тензора скоростей деформаций. Как правило, существует достаточно четкое разграничение по принадлежности той или иной реальной вязкой жидкости либо к разряду ньютоновской, либо - неньютоновской жидкости. Вместе с тем известны примеры вязких жидкостей [4-5], для которых реологическая зависимость демонстрирует различное поведение на тех или иных интервалах изменения инвариантов тензора скоростей деформаций. Естественно, что здесь в принципе не исключаются и интервалы как нелинейной, так и линейной зависимости между компонентами тензоров напряжений и скоростей деформаций, характерной, в частности, для ньютоновских жидкостей.

Рассмотрим реологическую модель, соответствующую степенному закону зависимости вязкости жидкости от второго инварианта ^ тензора скоростей деформаций. Однако будем считать, что такая модель имеет ограничение по своей применимости в области изменения второго инварианта тензора скоростей деформаций, суть которого сводится к следующему. Если второй инвариант ^ по модулю не превышает некоторого порогового значения /2 сги > 0 , то вязкость жидкости подчиняется традиционному степенному закону. Если же модуль второго инварианта превышает пороговое значение, связь между касательным напряжением и скоростью сдвига для простых сдвиговых течений принимает линейный вид.

Предполагая дополнительно, что эти зависимости должны “сшиваться” при 12 = 12 сгц непрерывно

Колодежнов Владимир Николаевич - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 55-55-57, E-mail: vgta305@vandex.ru

- дифференцируемым образом приходим к следующей реологической модели

^21 - /2

2, crit ’

т- =\ 4 ’

1 I Т(2)' I/ |> Т ■

Iх j ; |Т2| ^ Т2.crit;

i, j = 1,2,3;

(1)

т(,1) = 2й • K •U-

{РТ~2 )*"•

f = 2 и • K •(- Т 2,crit ) •

В j ;

Т

2,crit

12 = 811 ’822 +е22 ’833 +833 ’811 - ^2 -^3 -^Ъ где Т ц , s ц - компоненты тензоров напряжений и

скоростей деформаций, соответственно; К, п - реологические константы.

В данном случае параметр 12,сги может рассматриваться как еще одна реологическая константа (в дополнение к п и К ) модели (1).

Рассмотрим одномерное установившееся течение неньютоновской жидкости, подчиняющейся модели (1), в плоском канале ширины 2 • к и длины Ь. Для такой задачи в декартовой системе координат, оси которой сориентированы традиционным образом, уравнения динамики жидкости, условие неразрывности, а также уравнение конвективного тепло-переноса с учетом эффекта диссипации механической энергии записываются следующим образом дтХ

дР'

ду'

ху = G Р ду' 2 дх'

G • Ре • u'm дТ д2Т'

дх'

= 0

ди'

дх'

= 0;

(2)

ди'

2

--------=-----------т + Еи • Ec • Ре • т'ху-----------------------------; (3)

дх' д..'2 х ду'

ду''

у' = У-h

Р' = Р - Р^

, X

х = L

и = ■

Us

Ро - PL

Т' =

Т - Т

S1

TS 2 - TS1

Us

т

т' =—ху_

ху р р Р0 - Р

L

G =

2 • h

L

Ре = р-c •h • Us Еи = Р0-FL ■

puS

р^c • h • Us

Ре = ---------------S ; Ec = ■

U2

c • (TS 2 - TS1)

В

Т

2

и

и

m

где х ^, у - продольная и поперечная координаты, соответственно; и , ит , Р , тХу, Т - скорость, средняя скорость, давление, касательное напряжение и температура жидкости в канале, соответственно; иs , Т81, Т$2 - характерные принимаемые в качестве масштабных значения скорости и температур, соответственно; Р0, Р^ - давления жидкости на входе в канал и выходе из него, соответственно; р, с , X -плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности жидкости, соответственно; О , Ре , Еи , Ес - геометрический безразмерный параметр и критерии подобия Пекле, Эйлера и Эккерта, соответственно.

В уравнениях (2), (3) и далее верхним штрихом отмечаются безразмерные величины.

Для течения такого рода лишь одна компонента тензора скоростей деформаций отлична от нуля, что позволяет представить второй инвариант в форме

т = -s2 = -_L.

J2 ~ xy ~

dy

(4)

С учетом (4) из (1) приходим к следующему выражению для безразмерной формы записи касательного напряжения

f T' (1)* xy

xy = * s ^ ( xy T

' (1) = 4

xy La

' (2) = 4 "

xy La

0 <-

< 1; > 1;

(5)

La = Re- -Eu =

n + (n -1)-------------

Po - P

2n-2 - K

^n-2 2, crit) 2

Re =

4 • h-p-Us

's ’

^ = 2”-1 • К•((^)Г; Us = 2• к ,

где Ьа , Яе - критерии подобия Лагранжа и Рейнольдса, соответственно; иs . - характерное, принимаемое в качестве масштабного, значение динамической вязкости. Здесь же приводится вариант выбора масштабного значения скорости иs для рассматриваемой задачи.

При записи уравнения (3) предполагали, что молекулярной составляющей теплопереноса вдоль продольной оси канала допустимо пренебречь по сравнению с конвективной составляющей. Кроме того, полагали, что учет конвективной составляющей теп-лопереноса возможно определять по средней скорости ит жидкости в канале.

Особенность реологической модели рассматриваемой жидкости, заложенная в (5), предполагает, что область течения должна быть разбита на две зоны. В первой зоне течение должно осуществляться в соответствии со степенным законом вязкости для неньютоновской жидкости. Во второй же зоне связь между касательным напряжением и скоростью сдвига должна подчиняться линейному закону подобно тому, как это имеет место при течении ньютоновской жидкости. Предположим априори, что поверхности раздела этих зон в канале представляют собой плоскости с уравнениями

ки

у' = ±кИ; кИ =~к ■ (6)

Здесь 2 • кц - неизвестная пока ширина первой

зоны неньютоновского течения рассматриваемой жидкости.

Приведенное рассуждение означает, что решения как гидродинамической, так и тепловой частей исходной задачи следует искать отдельно по этим зонам в виде

,( . Иу '); Т ,( , ГТ'(у '); (7)

и (у ) = | , Т (у ) = 1Т , ( . (7)

К(у ); 1Тг(у ),

“сшивая” эти решения, например, непрерывно - дифференцируемым образом на общей границе зон (6). Здесь и далее нижний цифровой индекс относит соответствующие характеристики к зоне течения с тем же номером.

Предполагая решение симметричным относительно продольной оси Ох ', запишем граничные условия задачи

ОТ{

У ' = 0; -----= 0:

dy'

y' =h'; u1 =u2;

= 0;

du1 du 2

= -1:

,; dr; = dT2;

П = T2

y = 1; u 2 = 0; T2 = TW ;

x' = 0; P' = 1; T = T0 (y');

x' = 1; P' = 0;

T! = TW - TS1 .

TW -

TS 2 - TS

T0(y ') =

S1

T0(y) - TS1

TS 2 - TS1

где Tw = const - температура стенки канала; T (y)

- заданное распределение температуры жидкости на входе в канал.

С учетом представленных выше граничных условий можно показать, что из (2), (5) распределения скорости в поперечном сечении канала, а также величина средней скорости и половина ширины зоны ньютоновского течения определяются с учетом соотношений

1 n+1

n L,\-1 ,--- n -1 1

u1(y ) =-т—“ттч^/п-y n +------------1-----— +

(n +1)

n

2 - n - h'..

M-

n

+ (1-n) - ;

2 - n - (n +1) ;

u2 (y ') — • (1 - y ')+—Ц-т • (i - У '2);

n 2 - n - h,,

M-

(1 - n) - h;2 (n - 1)

+-

■+■

i

6 • п • (1 + 2 • п) 2 • п 3 • п • кЦ

к'и=—^. и О • Ьа

При этом заметим, что определение средней скорости жидкости в канале проводили из выражения

ки 1

и'т = |и1 (у') • ^у' + |и2(у') • dy' .

0 кЦ

Решение (3) для температуры в форме (7) с учетом граничных условий задачи имеет вид

Тт (Ху') = /т (у о +

+ Zск -cos(єк -уО-exP

к—О

( 2 Л

є к •x

; m — 1, 2 ; (В)

Bi — TW +

б - n | 2 - h.'.2

M2

+

(n -1) (n -1) - h;

h;

(1 + 2 - n)

+

+ -

B2 —

(2-n -n-1) ^h,2\

2 - (1 + 2 - n) - (1 + З - n) ’ ; I

(n -1) - A2- h; б - n - (1 + 2 - n)

i

б - n | 2 - h'„

- +

(n -1) (n -1) - h;

h;

(1 + 2 - n)

Коэффициенты разложения в (В) искали из граничного условия для температуры жидкости на входе в канал. С учетом свойства ортогональности базисных функций для частного случая, когда T (y) = T — const, эти коэффициенты определяются следующим образом

Ck

4 - T0 - (-1)k

п-(1 + 2 - k)

- 2 - J fi(y') - cos^к - y ') - dy’ -

8к = — •(1 + 2 • к);

где 8 к - корни характеристического уравнения 008(8к ) = 0 .

В (8) нижние цифровые индексы т относят соответствующие распределения температуры к неньютоновской (т = 1) зоне течения и зоне ( т = 2 ), где реализуется линейная зависимость между компонентами тензоров напряжений и скоростей деформаций.

В выражении (8), определяющем распределение температуры в канале, для краткости записи приняты следующие функции и безразмерные параметры

2 1+3-п 1+п

• (ки) п + в;

fi( У) — -

A2 - n

(1 + 2 - n) - (1 + З - n)

(У)

f2( у ') —-— -

n

З

(n -1) - y " + У

4

\

б - h;

12 - h

2

A — G - Pe - u'm

A2 —

+ B2 - y' + B3;

4 - Eu - Ec - Pe

La

- 2 - J f2(У ') - cos(єk • У ') -

h'

Таким образом, принимая во внимание все сделанные выше допущения, получено аналитическое решение задачи о течении и диссипативном разогреве в плоском канале неньютоновской жидкости, реологическая модель (1) которой характеризуется ограниченной областью применимости степенного закона вязкости.

Литература

1. Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости. - М.: Мир, 1964. - 216 с.

2. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. - М.: Химия, 1977. - 439 с.

3. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978. - 311 с.

4. Nakamura T., Ueki M. The high temperature torsional deformation of a 0.06 % C mild steel. // Trans. Iron Steel Inst. Jap. 1975, V.15, № 4. p. 185 - 193.

5. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. - М. Наука, 1982. 352 с.

1

2

2

1

2

Воронежская государственная технологическая академия

CONVECTIVE HEAT TRANSFER FOR FLOW IN A PLANE CHANEL OF NONNEWT ONIAN FLUID WITH A LIMIT APPLICABILITY OF THE POWER LAW OF

VISCOSITY

V.N. Kolodezhnov

In article the problem of flow in a cylindrical channel of non-newtonian fluid is considered. Rheological model of fluid assumes the applicability limit of the power dependence of viscosity on the second invariant of tensor of strain rates. Taking into account the dissipation of mechanical energy an analytical solution and obtaining expressions for the distribution of velocity and temperature of the fluid in the channel was found

Keywords: velocity of the shift, viscosity to liquids, temperature