Математическое моделирование течения в цилиндрическом канале жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта “отвердевания” Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532

Физико-математическое моделирование

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ЖИДКОСТИ, КОТОРАЯ ДЕМОНСТРИРУЕТ ПРОЯВЛЕНИЕ ЭФФЕКТА “ОТВЕРДЕВАНИЯ”

В.Н. Колодежнов

Рассматривается математическое моделирование течения в цилиндрическом канале жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта “отвердевания”

Ключевые слова: реологическая модель, эффект “отвердевания”

Введение. Для отдельных видов суспензий при определенной концентрации и размерах мелкодисперсных частиц кривая течения, построенная в координатах “скорость сдвига у - касательное напряжение t ” демонстрирует резкое возрастание своей кривизны при приближении модуля скорости сдвига к некоторому критическому (но конечному) значению усгц. Следует отметить, что дилатантное поведение суспензий в такой ситуации усиливается настолько, что наиболее деформируемые области течения (где скорость сдвига непосредственно приближается к своему критическому значению) начинают вести себя, практически, подобно твердому телу. В этом смысле условие неограниченного возрастания крутизны кривой течения

Г d \t 1

lim < г > = ¥ ,

Щ ®Ycnt { d\у J

характеризующей вязкие свойства жидкости, может быть принято в качестве критерия проявления эффекта “отвердевания”.

Характеризуя проявление эффекта “отвердевания”, заметим, что речь здесь не идет об “отвердевании” в смысле фазового перехода типа кристаллизации. При удалении модуля скорости сдвига от своего критического значения вязкость снижается и сплошная среда вновь приобретает свойство “текучести”.

При этом, касательное напряжение в окрестности предполагаемого критического значения скорости сдвига принимает конечные значения.

Экспериментальные данные по изучению реологических свойств таких нелинейно-вязких жидкостей приводятся, например, в [1 - 4]. Зависимость вязкости т(у) от скорости сдвига для таких суспензий не является монотонной и имеет два участка.

Колодежнов Владимир Николаевич - ВГУИТ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8(473) 255-55-57

На первом участке вязкость монотонно снижается, а на втором, после прохождения точки минимума, возрастает до некоторого конечного значения при Щ ® усгі1.

Реологическая модель. Для описания механического поведения жидкостей, демонстрирующих проявление эффекта “отвердевания”, предлагается следующая реологическая модель

Ту = — р • 8ц + 2 • т(12) • Єу , і, у = 1,2,3,

2 2 2

12 =Є11 • Є22 + Є22 Є33 +Є33 Єї — Є12 — Є23 — Є31;

ґ

du і du j

—- + —-dx ; dxi

V J 1

i 2);

л

i, j = 1, 2,3;

( j ) _ j ' i' 2" lj 2І £ j2,crit 1;

m 2 (m2 (j2 ); j2, crit 1 £ I-j21 £ j2, crit 2 ;

mi(j 2) _ *1 • (2 )n 1-1;

m2(j2) _

(1)

(2)

A

Г

1 + B • 1 -

V V

■\jj 2, crit 2 д/ j 2

Vj2,crit2 , crit 1

\n 2

(3)

A _ *1 • (2 -7 j 2, crit1 )n 1 ; A

П1 - *1 - 2n1 - (^

,crit2 -Jj 2,crit1 )

П2 _

(4)

(Jcritl - K • (2 ^12,crit1 )ni) • Qh,critl ) ni 0 < n i < 1; 0 < n 2 < 1;

12, crit 2 >12, crit 1,

где tij , £ij - компоненты тензоров напряжений

и скоростей деформаций, соответственно; P -давление; Sÿ - символ Кронекера; и , - проек-

X

ции скорости на направления координатных осей декартовой системы отсчета; Xj - координаты; т(12) - функция второго инварианта 12 тензора скоростей деформаций; 12,сгт - значение модуля второго инварианта тензора скоростей деформаций, которое принимается в качестве границы раздела областей определения функций (4) и (5); 12,спГ 2 - критическое значение модуля второго инварианта тензора скоростей деформаций, при приближении к которому начинает проявляться эффект “отвердевания”; К, п 1, гсгц2 - эмпирические константы.

Применительно к одномерному, установившемуся течению в цилиндрическом канале удобно перейти к формализму представления (2), (3) через скорость сдвига

g =

du

dr

с учетом соотношений

1

trz = 2m(i 2)-£rz = m(g) -g; i2 =-e-z =-т-g'

•2 .

4

gcrit 1

crit1

gcrit 2

crit 2

где и - продольная составляющая скорости жидкости вдоль оси 02, представляющая собой функцию радиальной координаты г ; Утг 1 ,

УсгИ 2 - критические значения скорости сдвига,

соответствующие значениям 12,сгт , 12,сги 2

второго инварианта тензора скоростей деформаций.

Заметим, что эмпирическая константа Тсгц 2 для одномерного течения представляет

собой касательное напряжение, достигаемое при \у = Успг.

В предлагаемой модели показатель степени п 2, определяемый соотношением (4), не

является независимой реологической константой. Однако, не нарушая общности рассуждений, можно п 2 не определять с учетом (4), а

полагать его еще одной независимой реологической константой модели. В такой ситуации кривая течения для одномерных случаев, оставаясь непрерывной, будет иметь “излом” при

УсгИ 1 .

В завершении этого раздела укажем на то, что реологическая модель (1) - (4) является лишь одной из возможных моделей жидкостей, демонстрирующих проявление эффекта “отвердевания”. Пример еще одного варианта модели жидкости с подобными свойствами представлен в [5].

Постановка задачи. Рассмотрим ламинарное, одномерное, установившееся течение в цилиндрическом канале радиуса Я и длины Ь для жидкости с реологической моделью (1) -(3), которая допускает проявление эффекта “отвердевания”.

В соответствии с (1) можно ожидать, что в канале на определенных режимах будет реализовываться три зоны.

В первой зоне течение жидкости будет осуществляться согласно степенному закону (2) для динамической вязкости. Априори можно предположить, что в силу осевой симметрии первая зона течения будет представлять собой цилиндрическую область некоторого радиуса ям.

Во второй зоне динамическая вязкость будет описываться соотношением (3). Геометрически эта зона будет представлять собой цилиндрический слой, непосредственно охватывающий первую зону, с внешним радиусом

Ят2.

И, наконец, третья зона, заполненная “отвердевшей” жидкостью, будет представлять собой цилиндрический слой, располагающийся между внешней границей второй зоны и стенкой канала.

Такая схема течения с одновременной реализацией всех трех зон является наиболее общей. На отдельных же диапазонах изменения перепада давления Ар можно ожидать, как наличие лишь одной первой зоны, так и двух (одновременно, первой и второй) зон течения.

Введем цилиндрическую систему координат, расположив ее начало в центре входного сечения.

Переход к безразмерной форме представления основных уравнений будем проводить с учетом соотношений

/ и /Г /2 / Ту

Г ’ . Г z . Г Т rz . Г Р PL .

; r — ; Z — ; Ту z — ; Р — ;

и s R L Dp Dp

•s

R1m =

я1м

Я

D, R2m g

; R2m = ^ ; g =-

du '

R

., gcrit 1 2 - R

gс rit 1 = “ ; G = j ; La =

gcrit 2 L

gcrit 2 dr

2 - R -Dp 2 - Dp ;

ms ' us Tcrit 2

Tcrit 2

I-------- •

и я = 2 ■Я \12, сгИ 2 _ Я ' УсгИ 2 ; Мя = Т

У сгИ 2

где ия, , - некоторые характерные, прини-

маемые в качестве масштабных, значения скорости и динамической вязкости, соответственно; 2 - координата, отсчитываемая вдоль оси симметрии канала; рЬ - давление в выходном

сечении канала; О - безразмерный геометрический параметр; Ьа - критерий подобия Лагранжа.

В представленных выше соотношениях и далее верхним штрихом обозначены безразмерные величины.

Принимая во внимание структуру (1) зависимости вязкости от скорости сдвига распределение скорости в канале также должно быть представлено в форме

u(r ) =

|u (1)(r );

[u (2)(r); RMi < r < RM2-

r < Rmi ;

Здесь и далее верхний числовой индекс 1 или 2 в круглых скобках относит соответствующие величины к первой или второй зонам течения.

С учетом сделанных выше допущений уравнения динамики рассматриваемой жидкости в каждой из двух зон течения в безразмерной форме имеют вид

Эр'(к) о Э / ^ л ЭР,(^)

2-7fr f r \g(k )) 1 ; = 0; (5)

• r or V ) or

Oz' G • r

Ou (k) // ■, du'(k)

= 0; g(k) = du— < 0; k = 1,2; (6)

oz dr

(1) __

T rz —

La • (1 + B) • (gcrit i)n

•(-g(i) h

,(2) =

2

La • (1 + B)

1 + B •

1 -

f ./(?) ^«2 ' 1+ g(2) 1

1* /

— gcrit 1

(7)

. (8)

Определение поля скоростей с канале.

Как отмечалось выше, возможны три схемы течения. Рассмотрим определение поля скоростей для каждой из этих схем течения в отдельности.

1 О. Пусть исходные параметры системы таковы, что в канале реализуется лишь одна первая зона течения, в которой динамическая вязкость описывается степенным законом (2).

Граничные условия для такой схемы течения имеют вид

Г ' = 0; У(1) = 0;

г' = 1; и (1) = 0 ;

г' = 0; р'(1) = 1 ;

2 = 1 ; р (1) = 0 .

Решая систему уравнений (5) - (7) с учетом этих граничных условий, получаем

1

и<1) ') = « •gcrit1 ^ (G •La (1+B) 1 ^

(«1 + 1) V 8 )

1—(r')

1+«1

«1

. (9)

Полученное распределение скорости в канале в точности соответствует хорошо известному результату, относящемуся к течению нелинейно-вязкой жидкости со степенным законом вязкости [6].

Поскольку модуль скорости сдвига с учетом (9) представляет собой монотонно возрастающую функцию радиальной координаты, такая схема течения будет иметь место до тех пор, пока выполняется условие

|/(1)| £ fcrit 1 .

Последнее неравенство с учетом (9) можно преобразовать к виду

La £ Lacrit 1 , (10)

где Lacrit 1 - некоторое пороговое значение

критерия подобия Лагранжа, определяемое соотношением

8

La

crit 1

О ■ (1 + В)

Применительно к только что рассмотренной схеме течения объемный расход Q жид-

кости через канал должен определяться из соотношения

Q' =_____Q____= 2 Л г' ■ и'(1)(

>2

■ = 2 • j r'• u ( )(r') • dr .

• и5 0

С учетом (9) получаем выражение для определения объемного расхода жидкости через канал для первой схемы течения

1

Усгіі 1 ( О • Ьа (1+В)'

Q =

(3-n1 + 1)

8

«1

2 . При превышении критерием подобия Лагранжа порогового значения Ьасгц 1, в окрестности стенки канала будет формироваться вторая зона течения, в которой динамическая вязкость определяется соотношением (3). В рамках такой (второй) схемы течения в канале одновременно будут реализовываться две зоны с границей раздела в форме цилиндрической поверхности неизвестного пока радиуса ЯМ1 .

Граничные условия для второй схемы течения имеют вид

Г ' = 0; У(1) = 0;

r' = Rm

r =1 ;

z = 0;

и (1) = и (2) ;

g(1) = g(2) =— g

crit 1 :

(2) =

=0;

p'(1) = p'(2) = 1

2

u

(1) (2)

2 = 1; р = р = 0 .

Решая систему уравнений (5) - (8) с учетом этих граничных условий, получаем

КМ1 =

8

Ьа

сгіі 1

О • Ьа • (1 + В)

Ьа

(11)

' (1У) = (1—КД) + °2 • (Р —1) + Р •

1—

1+«1

щ

и (2)(/) = (1—г) + Р1 • -

1+п2

Р —

1+

В

1—

, ^

г

Кд1

.(12)

Здесь для краткости записи приняты обозначения

п1 ■ ЯМ1 ^сгг/ 1 п2 ■В ■ ЯМ1 ■ (1 — УсгИ 1)

°1 =------ТГ-----^-----; °2 =------ '

(1 + п1)

£з =

(1 + П2)

1+п2

1 +1

В

Ґ

1—

Кд1

Такая схема течения будет иметь место до тех пор, пока во второй зоне на границе со стенкой канала скорость сдвига не превышает значения усгі12. В безразмерной форме записи

это условие имеет вид

Щ (1)| < 1. (13)

Принимая во внимание (10), (12), (13), условие реализации второй схемы с двумя зонами течения, которые полностью охватывают весь канал, может быть представлено следующим образом

ЬасгИ 1 < Ьа < ЬасгИ 2 , где Ьасгі12 - второе пороговое значение критерия подобия Лагранжа, определяемое соотношением

8

ЬасгИ 2 = (1 + В) • ЬасгН 1 = Т .

О

Применительно ко второй схеме течения объемный расход жидкости через канал должен определяться из соотношения

1

Кд1

& = 2 • / г' • и

0

1 (г') • ёг' + 2 • | г' • и/(2)(г') • ёг .

Кд1

Отсюда с учетом найденного распределения скорости жидкости находим выражение для объемного расхода через канал в случае реализации второй схемы течения

1 .. „3,. ^КД*1 + П1)

&=—КдД)+-

(1 + 3 • п1)

- + £2 х

:\р3 — яД + 2 •В • КД1 • П2.£4 } .

х р^ Кд1^2' ВКд1

В последнем выражении приняты обо-

значения

Р4 = (1 + В) , • (Р5 — 1) —

В

Р5 =

Рб =

(1 + 2 • П2)

(

1—

(

1—

Кд1

Кд1

(1 + 3 • П2)

1+2^п2

(Рб — 1);

1+3^щ2

3О. При превышении критерием подобия Лагранжа второго порогового значения Ьасгц 2,

в окрестности стенки канала будет формироваться третья зона, заполненная материалом “отвердевшей” жидкости. Иначе говоря, в рамках такой (третьей) схемы течения в канале одновременно будут реализовываться две зоны течения с границей раздела в форме цилиндрической поверхности радиуса ЯМ1 и третья

зона “отвердевшей” жидкости. Граница раздела между второй и третьей зонами опять же будет представлять собой цилиндрическую поверхность неизвестного заранее радиуса ЯМ2.

Граничные условия для третьей схемы течения имеют вид

= 0; у(1) = 0;

= Кд; и'(1) = и/(2); у(1) =у(2) =— у* 1,

=д =0;

/(2) = 0; у(2) =—1;

р '(1) = р'(2) = 1 ;

' 1 • '(1) '(2) п

2 = 1; р '-' = р v ’ = 0.

Решая систему уравнений (5) - (8) с учетом последних граничных условий, получаем 8 ЬасгИ 2

Кд2 = Кд1 • (1 + В) =

О • Ьа

Ьа

,(1)(/) = В • Я'М1 — Р2 + Р • -

и' (2)(г') = (Кд2 — г')—Р2

1+1

В

1—

(

Кд1

1—

Кд1

1+П1

\

п1

1+П2

п2

(14)

(15)

(16)

Естественно, что третья схема течения реализуется при выполнении условия

Ьа > ЬасгЦ 2 .

1

п

2

и

1

п

2

1

п

2

1

п

2

г

г

г

и

Применительно к третьей схеме течения объемный расход Q жидкости через канал должен определяться из соотношения

Rmi

Rm2

& = 2• І г • и'()(г')• ёг' + 2• | г • и'()(г')• ёг .(17) 0 Кд1

Особенности расходной характеристики канала. Не приводя здесь подробного исследования поведения зависимости объемного расхода от критерия подобия Лагранжа на всем диапазоне его изменения, остановимся кратко на анализе расходной характеристики канала лишь для третьей схемы течения.

Подставляя тогда (15), (1 б) в (17), после некоторых преобразований получаем

1 3 3 D • R'l • (1 + «і)

Q = з•(Rm2 -R'ii) + (іm3,i)

2 • n2 • B • R'ji • D2(1 + «2 • (3 + B)) (1 + 2 • «2) • (1 + 3 • «3)

(18)

Поскольку с учетом (11), (12) выполняются предельные соотношения

11т{ЯМ1 }= 0; 1ЦЯМ2 }= 0,

Ьа Ьа®¥

из (18) находим, что для третьей схемы течения

М2' }= 0.

Ьа®¥

Полученный результат предельного перехода означает, что по мере увеличения значений критерия подобия Лагранжа, что эквивалентно возрастанию перепада давления Ар между входным и выходным сечениями канала, будет иметь место проявление эффекта “запирания” канала. Такое поведение, в смысле из-

менения объемного расхода жидкости от перепада давления, вообще говоря, принципиально отличается от поведения большинства нелинейно-вязких жидкостей.

Заключение. Предложенная реологическая модель позволяет описывать аномальное поведение суспензий мелкодисперсных частиц, которое при определенных режимах течения приводит к проявлению эффекта “отвердевания”.

Особенностью расходных характеристик рассматриваемых жидкостей на таких режимах является снижение объемного расхода через канал по мере увеличения перепада давления на его длине.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 12-08-00629.

Литература

1.Jae-Hyun So, Seung-Man Yong, Jae Chun Hyun. Microstructure evolution and rheological responses of hard suspensions. // Chemical Engineering Science. 2001. Vol. 56. P.2967 - 2977.

2.Young Sil Lee, Norman J. Wagner. Dynamic properties of shear thickening colloidal suspensions. // Reol Acta. 2003. Vol. 42. P. 199 - 208

3. Young Sil Lee, Norman J. Wagner. Rheological Properties and Small - Angle Neutron Scattering of Shear Thickening, Nanoparticle Dispersion at High Shear Rates. // Ind. Eng. Chem. Res.., 2006, Vol. 45, № 21, P. 7015 - 7024.

4. Wisnewski A. Nanotechnology for increase of body

protection capability. - URL

:http://www.witu.mil.pl/www/biuletyn/zeszyty/20080107p/7.p df . Дата обращения: 31.08.2012.

5. Колодежнов В.Н. Течение в плоском канале дилатантной жидкости с эффектом “отвердевания”. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т.17. Вып. 3. С. 422.

6. Артюшков Л. С. Динамика неньютоновских жидкостей. - Ленинград: Ленинградский кораблестроительный институт, 1979. - 228 с.

Воронежский государственный университет инженерных технологий

MATHEMATICAL MODELING OF FLOW IN A CYLINDRICAL CHANNEL FLUID, WHICH DEMONSTRATES THE EFFECT OF “SOLIDIFICATION”

V.N. Kolodezhnov

The mathematical modeling jf flow in a cylindrical channel fluid, which demonstrates the effect of “solidification” is considered

Key words: rheological model, effect of “solidification”