Методика определения констант одной реологической модели вязкости для жидкости, демонстрирующей эффект "отвердевания" Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.6

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНСТАНТ ОДНОЙ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЯЗКОСТИ ДЛЯ ЖИДКОСТИ, ДЕМОНСТРИРУЮЩЕЙ ЭФФЕКТ "ОТВЕРДЕВАНИЯ"

В.Н. Колодежнов, А.В. Колтаков, С.С. Капранчиков

Рассматривается методика определения констант одной реологической модели вязкости для жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта “отвердевания”. Приводятся примеры по использованию предложенного алгоритма

Ключевые слова: определение констант реологической модели, эффект “отвердевания”

Введение. Реологическое поведение целого ряда суспензий при определенных размерах и концентрации мелкодисперсных частиц носит аномальных характер. Это заключается в том, что их динамическая вязкость т (/) на одном интервале изменения скорости сдвига / уменьшается, а на другом - возрастает [1 - 5].

При этом, приближение скорости сдвига к некоторому критическому значению приводит к неограниченному возрастанию крутизны кривой течения, определяющей для одномерных течений зависимость касательного напряжения г от / . Поскольку крутизна

ё \г\ ё \т(у) • И

* 0') =

(1)

кривой течения характеризует вязкие свойства жидкости, ее неограниченное возрастание можно интерпретировать, как проявление эффекта «отвердевания».

Известные экспериментальные данные указывают на то, что жидкости такого рода демонстрируют немонотонное поведение функции т (/ )[1 - 5]. В этой связи предлагается на различных диапазонах изменения / , использовать различные функциональные зависимости динамической вязкости от скорости сдвига. В соответствии с этими диапазонами изменения / , область течения следует разбивать на две зоны, в каждой из которых вязкость будет описываться своей функцией, отражающей особенности ее изменения.

Не смотря, на достаточно широкий круг работ, в которых изучается проявление эффекта “отвердевания”, как правило, они носят экспериментальный характер и в них не предлагают

Колодежнов Владимир Николаевич - ВГУИТ, д-р техн. наук, профессор, (473) 255-55-57

Колтаков Александр Викторович - ВГУИТ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8 (473) 255-55-57

Капранчиков Сергей Сергеевич - ВГУИТ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8 (473) 255-55-57

математической модели реологического поведения.

Модель реологического поведения.

С учетом вышесказанного рассмотрим следующую реологическую модель суспензии мелкодисперсных частиц, демонстрирующую проявление эффекта “отвердевания” [6]

И [ пУ); И < !сти 1; т(/) = 1 И • £|-I< •

[П2(и); и ста 1< И < • ста 2;

) = г 1 • ' п 1-1;

' А J т 2(') = ы 1

( (

1 + В 1 -

1 ^

отіі 2

(2)

(3)

(4)

А = К1 •(/ отіі

1)«1

% отії 2

В =Л1± - 1;

А

п 2 =-

п 1 • К 1 •■('отїІ 2 'отіі 1) • ('отіі 1)

-1

(г стИ 2 К 1 • (/ стИ 1) )

0 < п 1 < 1; 0 < п 2 < 1; (5)

где п 1 (/) , П2(/) - зависимости динамической

вязкости жидкости от скорости сдвига на ин-

тервалах 0 < И < • стИ 1 или • стИ 1 < • | < • стИ 2 ,

соответственно; / сг$ 1 - значение скорости сдвига на границе раздела зон течения; /сгц 2 -

критическое значение скорости сдвига, при котором кривизна кривой течения неограниченно возрастает и жидкость демонстрирует проявление эффекта “отвердевания”; К1 - коэффициент консистенции; п 1 - индекс течения, г стЦ 2 - значение касательного напряжения, достигаемого при • | = • стй 2 .

Такая модель позволяет описывать основные свойства жидкостей рассматриваемого рода.

Действительно, на интервале изменения скорости сдвига 0 < |/| < / сгц 1 динамическая

вязкость, монотонно снижаясь, подчиняется степенному закону для неньютоновской псев-

отіі 2

отіі 1

допластической жидкости Оствальда - де -Вилля. На втором интервале gcrit 1 < |g| < gcrit 2

по мере увеличения |g| динамическая вязкость

продолжает снижаться, но после прохождения точки своего минимума начинает достаточно интенсивно возрастать. При этом для крутизны кривой течения (1) выполняется условие

lim {(g )} = ¥ . (6)

\f ®g crit 2

Отличительной особенностью модели (2) - (4) является то, что, не смотря на выполнение условия (6), касательное напряжение при |g| = gcrit 2 принимает некоторое конечное значение t crit 2, а динамическая вязкость - значение m crit 2 = m 2(g crit 2) .

Здесь же отметим, что выбор вида функций m 1 (g) и m 2(g) обеспечивает в точке |g|=gcrit 1 “сшивание” не только их значений,

но и значений их производных.

Другой вариант модели реологического поведения жидкости с подобными свойствами представлен в[7].

Алгоритм определения параметров реологической модели. Для практического использования предложенной модели, кроме ее качественного соответствия экспериментальным данным, естественно требуется знание конкретных значений констант этой модели

K 1, n 1, g crit 1 , g crit 2 , t crit 2 , (7)

с целью адекватного описания реологического поведения рассматриваемой жидкости.

В этой связи возникает задача по определению параметров (7) модели (2) - (4) на основе известного набора экспериментальных данных зависимости ее динамической вязкости от скорости сдвига.

Однако, прямое применение традиционных подходов встречает некоторые сложности. Возникающие проблемы обусловлены тем, что в разряд искомых параметров входят константы gcrit 1 и gcrit 2 , определяющие собой не только

область, на которой задается функция m (g), но и границу деления этой области на зоны реализации первой m 1 (g) и второй m 2(g) ветвей зависимости динамической вязкости от скорости сдвига.

В связи с этим, предлагается следующий алгоритм определения констант (7) реологической модели (2) - (4), отдельные фрагменты которого были ранее реализованы в [8].

1О. Задаемся массивом пар экспериментальных данных {g); mi}, i = 1, 2, ...,imax . Здесь и

далее для краткости записи скорости сдвига знак модуля опускается и предполагается, что все экспериментальные данные удовлетворяют условию И > 0 .

2О. Определяем номер I т^ пары экспериментальных данных с наименьшим значением динамической вязкости

= min

i =1,...,i m.

M

3 . Правая граница g crit 1 области определения степенного закона вязкости (3) не известна заранее. Однако, поскольку априори должно выполняться условие

g crit 1 < Г1 min ,

последовательно назначаем предполагаемую границу раздела между областями определения функций (3) и (4) в точке g j для всех

j = 3, 4,...,imin . (8)

Из условия минимума следующей функции невязки

2

Fi(a

(j) а (і )) =

1

) = S i =1

,(1) + a (1)

1

+ a 2 ' ■ lngi - lnmi

для каждого значения номера | из диапазона (8) проводим определение коэффициентов ар)

и а

(1)

с помощью которых находим массивы

параметров

Кр) = ехр11)}; п}1) = а1 +1; г'^и 1 = ИI . (9)

Здесь и далее верхним индексом в круглой скобке указан номер той точки из набора экспериментальных данных, где предварительно назначается граница раздела между областями определения функций (3) и (4) .

Значение I = 3 в (8) принимается, как минимально допустимое количество пар И ; ¡1\ } экспериментальных данных, привлекаемых для определения параметров степенной зависимости (3).

Для всех найденных значений п1( ) проводится проверка выполнения первого условия (5). В случае его невыполнения для какого либо номера , соответствующая тройка параметров (9) “отбраковывается” и далее не принимается в расчет.

4О. С учетом выполнения условия (6), график функции т2(/) в точке / =/стц 2 должен иметь вертикальную касательную. Это означает, что обратная функция / (^2) в этой же точке должна иметь экстремум типа максимума и здесь должны выполняться условия

g (m crit 2) = g crit 2 ;

d g

d m2

= 0 .

Используя информацию о таком поведении функции / (^2) , аппроксимируем к последних (из их совокупности в количестве Iтах ) экспериментальных точек И; ¡ц } параболой вида

і (m2) =b 2 ■ m2 + bi ■ m2 +b o.

(10)

При этом построение аппроксимирующих парабол проведем для всевозможных вариантов

выбора числа к = 3,4,...,(i

max ‘min

+1) исполь-

зуемых экспериментальных точек. Значение к = 3 принимается в смысле минимально допустимого количества экспериментальных точек, которые возможно аппроксимировать квадратичной зависимостью.

Для каждого конкретного значения к в первом приближении координаты вершины аппроксимирующей параболы будем принимать в

качестве значений параметров 2 и 2.

Здесь и далее верхний индекс в круглых скобках указывает на количество последних (в общей их совокупности) экспериментальных точек, задействованных при построении параболы типа (10).

Коэффициенты в (10) для каждого к определяем с привлечением совокупности экспериментальных данных И ; ¡ц} из условия минимума следующей функции невязки

? 2 (ь 0к), ь (к), ь 2к)) =

(к) 2

■ mf +b(к) ■ m, +b0к)-g]

после чего в качестве возможных вариантов для двух последних параметров реологической модели (2) - (4) принимаем их значения из массивов

іС

•^) = b2)■ (m{i.)9)2 + bf)■ m(i■? 2 + b0k);

crit 2 2 v “ crit 2' 1 “ crit 2 0 ’

(11)

(k ) =„(k ) .g (k )

crit 2

= m

где

crit 2 g crit 2

U(k ) = ■

“ crit 2

bf)

2 ■b2)

5 О. На этом этапе выполнения алгоритма оказываются определенными две группы (9) и (11) вариантов, вообще говоря, независимых между собой параметров. При этом каждому набору трех параметров из (9) может быть по-

ставлен в соответствие любой набор двух других параметров из (11).

Для каждого сочетания таких вариантов определяем среднюю относительную погрешность по всей совокупности экспериментальных данных

E

(j, к) = ,

1

і

S

i =1

1

і і

-mi

+ S

i=і +1

•(і) .(і)

■1 ,В1 ,

і(к )о

' crit 2 ’

(к) •

Tcrit 2, gi

m,

; (12)

і = 3, 4,...,im

k = 3,4,...,(imax ■ min +1) .

6О. Выбор наилучшего сочетания вариантов найденных параметров проводим исходя из условия минимума средней относительности погрешности (12). Определив тогда значения

и к.

min {E (і,к) }= E (і min , к min )

> к min )

min , для которых

^( 1, k ) }= Е (1 п

j , k

с учетом (9) и (11) в качестве первого приближения задачи определения параметров реологической модели (2) - (4) принимаем следующие значения

K (1 min ) • n (1 min ) • g (j min ) • g (k min ) • t (k min ) (13)

1 ’1 ’ ' crit 1 ’ ! crit 2 ’ crit 2 ■ '

7О. В принципе, найденные на предыдущем шаге алгоритма значения (13) параметров реологической модели могут быть приняты в качестве окончательных значений. Однако, принимая во внимание (9), можно видеть, что

параметр g1фактически, совпадает с одним из экспериментальных значений gi для

скорости сдвига. В этой связи следует провести уточнение найденных значений.

Не останавливаясь подробно на этой части алгоритма, укажем лишь на необходимость проведения процедуры уточнения полученных результатов посредством аппроксимации дискретного набора относительных погрешностей

Е(1, k) в окрестности найденного наилучшего

значения Е k min) функцией, которая заве-

домо имеет экстремум типа минимума.

Проведение численных экспериментов. С целью проверки работоспособности предложенного выше алгоритма были проведены численные эксперименты, имитирующие определение параметров некоторой реологической модели гипотетической жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта “отвердевания”.

+

А

max

2

1 =■ max -к +1

t

Для примера, в качестве базовых были приняты следующие значения реологических

параметров модели: K j =6 Па с 1; n 1 =0,7; g crit 1 =20 с ; g crit 2 =90 с ; t crit 2 =300 Па-

Вид зависимости, построенной с учетом (2) - (4) для этих базовых числовых значений основных параметров модели, представлен сплошной линией на рис. 1. На этом же рисунке показана имитация экспериментальных данных, которые были получены для набора соответствующих значений gi скорости сдвига по формуле

mi = m (gi ) + '(2 'xi — j) ; i = j, 2, ...,imax ,

где Dm - максимальное абсолютное отклонение экспериментальных данных для динамической вязкости от расчетных значений; ■£i - случайная величина с равномерным распределением на отрезке [0; 1].

экспериментальные данные из [1] были получены следующие значения основных параметров: К 1=0,408 Пах 1; п 1=0,624; / стк 1 =49,251 с-1; /стй 2=439,484с-1; г 2=161,987 Па.

Для сравнения на рис. 2 представлены расчетная кривая зависимости динамической вязкости от скорости сдвига, построенная на основе найденных параметров, и соответствующие экспериментальные данные из [1]. Анализ этого рисунка указывает на то, что модель (2) - (4) с параметрами, найденными на основе предложенного выше алгоритма, вполне удовлетворительно, качественно и количественно, описывает реологическое поведение тестируемой жидкости. Средняя относительная погрешность для представленных здесь результатов составляет 16,1%.

1

ig(m(g)),

0,1

0,01

1 і

10

100

1000

Рис. 1. Теоретическая кривая зависимости вязкости от скорости сдвига и точки, имитирующие экспериментальные данные

С применением программы для ЭВМ, реализующей представленный выше алгоритм, после обработки этих “псевдоэксперименталь-ных” данных были получены следующие значения параметров (13) реологической модели:

K і =6,235 Пах

1

g crit 2

=90,01 с-

; n 1 =0,682; gcrit 1 =18 с-1; t crit 2 =299,506 Па. По сово-

купности полученных значений их средняя относительная погрешность по отношению к заложенным в численный эксперимент базовым значениям параметров составляет 2,4%.

Используя реальные экспериментальные данные из [1] для суспензии на основе 3-(триметоксисилил)пропил метакрилата с объемной долей мелкодисперсных частиц кремнезема, равной 0.45, была предпринята попытка описать поведение этой жидкости в рамках реологической модели (2) - (4). Совершенно аналогично вышеизложенному, обрабатывая

Рис. 2. Экспериментальные данные из [1] и расчетная кривая для зависимости динамической вязкости от скорости сдвига. Жидкость - суспензия на основе 3-(триметоксисилил)пропил метакрилата с объемной долей мелкодисперсных частиц кремнезема, равной 0,45

Заключение. Предложенный алгоритм может быть использован для определения параметров реологической модели жидкостей, демонстрирующих проявление эффекта “отвердевания”.

Особенностью предлагаемого алгоритма является то, что часть искомых параметров функции, представляющей собой зависимость динамической вязкости от скорости сдвига, задают собой не только область ее определения, но и границу деления этой области на зоны реализации первой и второй ветвей с различным характером поведения этой функции.

Проведена апробация алгоритма, как в ходе решения тестовой задачи с имитацией экспериментальных данных, так и на примере обработки экспериментальных данных для реальной жидкости с помощью реологической модели (2) - (4) рассматриваемого типа.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 12-08-00629.

Литература

1. Jae-Hyun So, Seung-Man Yong, Jae Chun Hyun. Microstructure evolution and rheological responses of hard suspensions // Chemical Engineering Science. 2001. Vol. 56. p. 2967 - 2977.

2. Young S. Lee, Norman J. Wagner. Dynamic properties of shear thickening colloidal suspensions // Rheological Acta, № 42(3), 2003. - p. 199-208.

3. E. D. Wetzel, Y. S. Lee, R. G. Egres Jr., K. M. Kirkwood, J. E. Kirkwood, N. J. Wagner. The Effect of Rheological Parameters on the Ballistic Properties of Shear Thickening Fluid (STF)-Kevlar Composites // Proceedings of the 8th International Conference on Numerical Methods in Industrial Forming Processes, Columbus, OH, June 13-17, 2004.

4. Young Sil Lee, Norman J. Wagner. Rheological Properties and Small - Angle Neutron Scattering of Shear Thickening, Nanoparticle Dispersion at High Shear Rates // Ind. Eng. Chem. Res., 2006, Vol. 45, № 21, p. 7015 - 7024.

5. Wisnewski A. Nanotechnology for increase of body

protection capability. - URL

:http://www.witu.mil.pl/www/biuletyn/zeszyty/20080107p/7.p df . Дата обращения: 31.08.2012.

6. Колодежнов В.Н. Моделирование течения неньютоновских жидкостей, демонстрирующих проявление эффекта “отвердевания”. - В кн: Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сборник трудов Международной конференции, В 2 ч. Ч. 1. -Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. С. 193 - 195.

7. Колодежнов В. Н. Течение в плоском канале дилатантной жидкости с эффектом “отвердевания” // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17. Вып. 3. С. 422.

8. Колодежнов В. Н., Колтаков А. В., Веретенников

A. С. Программа для обработки экспериментальных данных по определению параметров реологической модели жидкости смешенного типа с пределом применимости ньютоновской модели // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2012617783. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 28 августа 2012 г.

9. Колодежнов В.Н. Математическое моделирование течения в цилиндрическом канале жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта “отвердевания”/

B. Н. Колодежнов // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. Т. 9. № 2. С.118-122.

Воронежский государственный университет инженерных технологий

METHOD DETERMINING THE CONSTANTS OF A RHEOLOGICAL MODEL OF VISCOSITY OF THE FLUID, DEMONSTRATING THE EFFECT OF "SOLIDIFICATION"

V. N. Kolodezhnov, A.V. Koltakov, S.S. Kapranchikov

We consider a method for determining the constants of a rheological model of viscosity of the fluid, which demonstrates the effect of “solidification”. Examples are given on the use of the proposed algorithm

Key words: finding the constants of rheological model, effect of “solidification”