Методика нахождения параметров реологической модели жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта “отвердевания”, на основе анализа расходно-перепадной характеристики канала Текст научной статьи по специальности «Физика»

Информационные технологии, моделирование и управление

УДК 519.6

Профессор В.Н. Колодежнов, аспирант А.С. Веретенников

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра теоретической механики, тел. 8 (473) 255-55-57

Методика нахождения параметров реологической модели жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта "отвердевания", на основе анализа расходно-перепадной характеристики канала

Рассматривается методика определения параметров реологической модели жидкости, которая демонстрирует эффект "отвердевания". Приводится пример использования предложенного алгоритма.

We consider a method for determining the parameters of a rheological model of the fluid, which demonstrates the effect of "solidification". Example on the use of the proposed algorithm is given.

Ключевые слова: определение параметров реологической модели, эффект "отвердевания".

Большое количество экспериментальных данных свидетельствуют о том, что многие суспензии на основе мелкодисперсных частиц проявляют аномальное реологическое поведение [1-5], сущность которого заключается в следующем. В зависимости от диапазона изменения величины скорости сдвига кривые течения для таких сплошных сред демонстрируют два участка с различным характером изменения эффективной вязкости. На первом участке вязкость снижается до некоторого минимального значения, а на втором - возрастает. При этом приближение скорости сдвига к некоторому максимальному по модулю значению приводит к резкому увеличению крутизны кривой течения, что может быть интерпретировано как проявление эффекта "отвердевания".

В [6] была предложена реологическая модель суспензий мелкодисперсных частиц, демонстрирующих проявление эффекта "отвердевания". Однако прямое использование этой модели встречает определенные трудности, связанные с отсутствием методики нахождения ее констант на основе обработки экспериментальных данных.

© Колодежнов В.Н., Веретенников A.C., 2013

Далее рассмотрены особенности зависимости объемного расхода от перепада давления, прикладываемого к цилиндрическому каналу. Для жидкости с реологической моделью [6], которая демонстрирует проявление эффек-та "отвердевания", в [7] решена задача о ее течении в цилиндрическом канале и получены выражения для определения объемного расхода в зависимости от прикладываемого к каналу перепада давления. В частности показано, что для различных наборов исходных параметров и диапазонов изменения перепада давления в канале могут быть реализованы три схемы течения, для каждой из которых объемный расход подчиняется вполне конкретной закономерности. Иначе говоря, влияние перепада давления Ар на объемный расход жидкости ( структурно можно представить в виде [7] с тремя участками различного вида функциональной зависимости:

Qi(Ap); 0 <Ap <Apcnt j; 02(Ap); ^pcnti <Ap <^pcnt2; (1)

Q3 (Ap); Ap >Apmt 2;

б: =

Я' К • П1 'Уап, 1 1 + 3 • п1

Ьа -(1 + Б)-О

(2)

02 К3-Гапа'С + С2 -Сз -С4 -С5 + С6);(3)

03 = ^ К3 • усп,2 • (С7 + • С8 - К^ • С9); (4)

С =-

1 - К

.

С = п1 'Уап, 1 • .

2 Гаги 2 '(1 + 3 • П1 )'

Сз =

С 4 =

Б ■ • п2 '{У ап, 2 " УапЛ )

УаП,2 '(1 + П2 )

К1 +(С10 )"

' п2 ' V сп, 2 Уеп,1 )'(С10 ) п

2 • Б3 • Я1 • п2 -(¡г.

У:, 2 'С1 + П2 )'(1 + 3 • п2 )

1+2-п 2

С = (1±Б):(С1оГ^^.

5 Б-(1 + 2 • п2) ;

Сб =

1 + п2 -(3 + Б)

Б-(1 + 2 • п2 )-(1 + 3 • п2)

С _ ^2 1 . С _ П1 ' ^ап, 1

3

С9=■

Б ■ П2 \УаЛ 2 ~Уап,1 )

Уап, 2 '(1 + 3 • П1 )'

УаШ2 '(1 + П2 ) (

X

V

1 + 2 • Б • п 2-[1 + П2-(Б + 3)] ^

(1 + 2 • п2 )-(1 + 3 • п2)

С10 = 1 + - •

10 Б

(

1

\

1 -

V КМ1 ,

т-) ап, 2 л

Б =--1;

А = К1 -у^; О =

2 • К Ь

Ьа =

2 • Ар

п1 • К1 •^'Сп«1 •(^'сй 2 ~Уап, 1 ).

1

^ап, 2 К1 ' У а:И 1

Г

КМ1 -

2 • к • ь 1 К -Ар

КМ2 -■

2 • Ь -тсп( К -Ар

где Ар - перепад давления на длине канала; Яц1, Яц 2 - радиус цилиндрических границ

раздела между первой и второй, а также второй и третьей зонами течения, соответственно, Ьа - критерий подобия Лагранжа, О- безразмерный геометрический параметр, Я- радиус канала, Ь- длина канала, п1 - индекс течения, К1 - коэффициент консистенции, уат1, 1 - значение скорости сдвига на границе раздела зон течения, уат1, 2 - критическое значение скорости сдвига, при котором крутизна кривой те-

чения неограниченно возрастает и жидкость демонстрирует проявление эффекта "отвердевания", таЛ 2 - значение касательного напряжения, при \у\ = УаЛ 2 , Ар спи , АраП, 2 - значения перепада давления на границах раздела первого - второго, а также второго - третьего

участков, соответственно; А, Б, С1 - С1( промежуточные параметры.

В [7] было показано, что:

п -

4 • к-у^

Ар,

атИ 1

Ар,

4-г

атИ 2

О ' * атИ 2 о

Зависимость (1) с учетом (2) - (4) не является монотонной. Особенность этой зависимости заключается в том, что в точке Арати 2

эта функция достигает своего максимального значения етах = б(Дра„,2).

Еще одной ее особенностью является степенной характер функций (2) и (4). На первом и третьем участках обсуждаемая зависимость имеет вид:

01(Др) = А -Ар' 03 (Ар) =

Ар

А =■

л-К5 ■ п1 1 + 3 • п1

К

2 • К1 • Ь

(5)

(6)

(7)

(

А = *■Ь.К3-уСп 1

1 -(Б +1)3

3

С9 С*

где А1, А3 - промежуточные параметры, представляемые с учетом (2), (4) через основные (геометрические и реологические) параметры рассматриваемой системы.

В логарифмических координатах:

У = ¡8 б , X = Ар, (8)

зависимости (5), (6) принимают вид линейных функций:

(9) (10)

Здесь:

а0 = ¡Б А ; а1 = —; а2 = ^ А,. (11) п1

Что же касается второго участка с диапазоном изменения давления

У = а0 + а1 • X У = а - 3 • X .

¿Фаги 1 ^ Ар < Ара

то зависимость б(Ар)

для Ар < АрсМ2 является существенно нели-нейной, в том числе и в логарифмических координатах. Однако, как показывают численные эксперименты с моделью, в окрестности гра-

8

3

3

п

сП, 2

п2 =

ницы раздела второго и третьего участков, непосредственно на втором участке поведение функции Q2 (Ар) в первом приближении является практически линейным. Это означает, что в окрестности точки Арсгй 2 зависимость Q2 (Ар) на втором участке в логарифмических координатах допустимо аппроксимировать линейной зависимостью вида:

У = а3 + а4 • X . (12)

Алгоритм определения параметров реологической модели представлен далее. Реологическая модель жидкости, демонстрирующей проявление эффекта "отвердевания", включает пять параметров:

К1 , п1, Усги 1 , УсгИ 2 , ТсгИ 2 .

Их определение предлагается проводить в соответствии со следующим алгоритмом.

1. Формируем массив экспериментальных данных {Арг;Qi}, г = 1,2,...,Nmax в порядке возрастания Api. Здесь Ытах - общее число используемых пар экспериментальных данных.

2. Для определения Арсги 2 в первом

приближении выполняем следующие действия. Выдвигаем гипотезу о том, что в первом приближении точке Арсгг{ 2 соответствует экспериментальное значение перепада давления Ар, с номером i = у . При этом в качестве у последовательно выбираем любые номера из интервала

У = 4,5,...,Nтах - 3. (13) Для экспериментальных точек с номерами i < у зависимость Q(Ap) даже в логарифмических координатах (8) должна оставаться нелинейной. В первом приближении будем аппроксимировать ее кривой второго порядка

У = а5 + а6 • X + а7 • X2, (14) Определение констант а5, а6, а7 предлагается проводить из условия минимума следующей функции невязки:

^(а5у), а6у), а7у)) =

Ца

= У(а5у) + а6у) • Х,. +а7у) • Хг2 - Уг

)2. (15)

Начало отсчета для у в (13) обусловлено тем, что для определения параметров полинома (14) предлагается принимать минимум четыре точки.

В (15) верхний индекс в круглых скобках указывает на то, что константы аппроксима-

ции определяются для данного значения номера у, определяющего в рамках предварительной гипотезы положение точки Арсгй 2 = Ару .

Полагая, что для всех г > у совокупность экспериментальных данных в логарифмических координатах описывается линейной

функцией (10), для определения а<21) введем вторую функцию невязки:

N /

/ тах /

^(а2у)) = Е (а

(у)

- 3 • X - У

г

Последнее значение для у в (13) обусловлено тем, что для определения параметра линейной зависимости (10) предлагается принимать минимум четыре точки.

Для каждой гипотезы, касающейся выбора номера у , вычисляем среднюю относительную погрешность для всей совокупности экспериментальных данных:

£( у ) =

1 ■р

N тах

N тах + Е г=у+\ а2( )

7( у)

-а6у) • X,

-а7у) • X/

-1

- 3 • X,.

--1

Обрабатывая полученный массив значений е(у), определяем номер такого варианта у = q, которому соответствует минимум средней относительной погрешности. Принимаем этот номер в качестве первого приближения для определения границы раздела Арсгг(2 = Apq второго и третьего участков общей зависимости Q(Ap).

3. Переходим к определению уточненного значения Арсгй2. Как было отмечено выше, в окрестности точки Арсгй2 поведение обсуждаемой зависимости на втором участке в лога -рифмических координатах допустимо аппроксимировать зависимостью (12).

Учитывая явно криволинейный характер зависимости Q(Ap) на втором участке, аппроксимируем экспериментальные данные в логарифмических координатах полиномом, например, четвертого порядка:

У = Р(X) = £ ат+8 ■ Xт .

т = 0

Определение параметров этого полинома:

а8, а,

9 :

40 :

12

(16)

(17)

будем проводить из условия минимума следующей функции невязки:

а

9 ,

^з(а8,а9,аю,аи,а12,) = Е(а8 + а9 • ^ +

г=1

+ аю • X,2 + ап • X,3 + а12 • X,4 - ¥, )2. С учетом найденных коэффициентов (17) определяем параметры зависимости (12), представляющей собой, по сути, уравнение касательной, проведенной к графику функции (16) на границе раздела второго и третьего участков общей зависимости (1), по формулам:

• а5 = Е(Хд) - аб • Х9 .

с1Х

X=Х„

Уточненное значение координаты Хсг,( 2 = ^ {Арсп,г 2) границы раздела второго и

третьего участков зависимости (1) определяем через точку пересечения графиков функций (10) и (12) по формуле:

а - а?

X.

-3

Тогда уточненное значение Арсп,г 2, а также первый параметр реологической модели

находим по формулам:

АРс

= 10"

Я -АРс

ь спг 2

2 • Ь

4. Определяем значение перепада давления Арсп,г1 на границе раздела первого и второго участков общей зависимости (1).

Выдвигаем предварительную гипотезу о том, что граница раздела между первым и вторым участками располагается в некоторой точке Ар, с номером , = к, т. е. предварительно принимаем, что Арк = Арсг,( 1. При этом в

качестве к последовательно выбираем любые номера из интервала:

к = 4,5,..., 9 - 3.

Определение параметров а0, а1 проводим из условия минимума очередной функции невязки:

^),а[к)) = £ (а0к) + а(к) • X, - Г, )2 .

С учетом соотношений (7) и (11) опреде-

лим п}к) и К}к) по формулам:

<к)

п[к) =■

;(к) '

К( к) =

Я

2 • Ь

10а°' -(1 + 3 • п1) л-Я3 -п,

Из соотношения:

2 •АрсП{ 1

Ьасп г 1 _ "

2-Арк 4 •Ь ■ К1 -г! 1

Я-г.

получаем выражение для определения в рамках выдвигаемой гипотезы первого критического значения скорости сдвига:

1

{ Я-Арк ^

\

2 • Ь • К(к)

/

Используя найденные параметры (к^

У спг 1,

определяем ус,г 2 из решения следующего уравнения:

,(к)

К(к) :

(к)

в3 (¿ФсМ 2 )

ЯМ2 - Я

= в,

сп г 2

(18)

Здесь всг,г 2 представляет собой полученное на

основе обработки экспериментальных данных значение объемного расхода жидкости на границе раздела второго и третьего участков зависимости (1), которое с учетом (8), (10) определяется следующим образом:

всп12 = 10с, с = а 2- 3 • Xcnt2. (19)

Что же касается левой части уравнения (18), то она определяется выражением (4).

Решение (19) предлагается проводить численно с привлечением ЭВМ.

На этом этапе в рамках промежуточной гипотезы о возможной границе разделения первого и второго участков общей зависимости (1) в точке Ар = Арк оказался определенным предварительный набор искомых параметров:

^ сп г 2, ^1, п(к), К(к), ^2. (20) Некоторые из этих параметров должны удовлетворять следующим ограничениям, которые изначально закладываются в реологическую модель:

0<^1 <7^2; 0<п2к) < 1; 0<пк < 1. (21) Проверяем с учетом найденных значений (20) выполнение условий (21).

Если хотя бы одно из условий (21) не выполняется, считаем, что предварительно выдвинутая гипотеза о возможной границе раздела первого и второго участков в точке Ар = Арк оказалась несостоятельной.

Принимая во внимание оставшиеся варианты, для которых все условия (21) оказались выполненными, определяем для них

среднюю относительную погрешность е

(к)

е(к) =-

1

9 +1

¡2

в1 (4р)" в,

в,

9

-Е

1=к

в 2(ар,- )-в,

в

а

4

сп г 2

п

1

сп г 2

сп г 2

Обрабатываем полученный массив значений -1 и находим номер такого варианта к = s, которому соответствует минимум средней относительной погрешности. Принимаем этот номер в качестве первого приближения для определения (по совокупности экспериментальных данных Арк) границы раздела

первого и второго участков Арсгг( 1 = Ар6, общей зависимости Q(Ap).

5. Проводим уточнение для найденного значения Дрсги 1 = Др5. Для этого аппроксимируем экспериментальные данные на втором участке полиномом вида:

У = Е ап

■ хп

(22)

п = 0

Коэффициенты этого полинома определяем из условия минимума следующей функции невязки:

5) = £ (а

13

■°14 • х + °15 •х; - у

)2.

С учетом найденных коэффициентов аппроксимирующего полинома потребуем сшивания производных для функций (9) и (22) на границе раздела первого и второго участков при Хсггг1 = Арсгг( 1). Из этого условия приходим к линейному уравнению для определения уточненного значения Хсггг1:

= а14 + 2 • а15 • Хс,ц 1 ,

Щ

Из этого уравнения уже находим уточненное значение:

Ар,

сгШ 1

= 10е

Ь =-

1 - п

(*)

2 • щ(

(*)

а

6. Определяем скорректированное значение первого критического значения скорости сдвига:

Уагг 1 _

( Я-Ьрс

\ О)

V 2 • Ь • К( 5) ,

7. По найденному значению ] = 5 окончательно, в добавление к уже определенному выше тсггг2, принимаем в качестве искомых параметров реологической модели значения

п1 = Щ( ) , К1 = К1 ) , Усп( 1 = УоК 1 , УсгИ 2 = УоК 2 .

Предложенный выше алгоритм был реализован в специально разработанной программе для ЭВМ.

По предложенному алгоритму для гипотетической жидкости с реологической моделью [6] были проведены численные эксперименты. Для этого в качестве базовых были приняты следующие значения реологических параметров модели: п1 = 0,6, К1 = 1,8 Па'с, усп, 1 = 200 с"1, усп, 2 = 250 с"1, тсп,2 = 180 Па.

Для заданного набора Арг соответствующие им экспериментальные значения объемного расхода "генерировались" с использованием следующей зависимости:

Qexp = ^ + Ь0са1с ш ^2 . £ _ , (23)

где Qгexp - "псевдоэкспериментальные" значения объемного расхода; I - номер экспериментальной точки; ^ - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0; 1];

а са1с

- закладываемое в численныи эксперимент, абсолютное отклонение экспериментальных данных от расчетных значений; Q'¡alc -вычисляемые с учетом (1) - (4) "теоретические значения" объемного расхода. Полученные с помощью (23) значения "псевдоэкспериментальных" данных и теоретическая кривая для указанного выше набора точных значений параметров реологической модели представлены на рисунке 1.

Q(Ap)

0,00003

0,00002

0,00001

6 \ V

\ \0

0 5000 10000 15000 20000 ^р

Рисунок 1 - Теоретическая кривая зависимости объемного расхода Q жидкости через канал от перепада давления Ар и "псевдоэкспериментальные" точки, полученные при ДQ с"1с = 0,05 • Q ссЛс.

После обработки этих "псевдоэкспериментальных" данных с помощью ЭВМ были получены следующие значения реологических параметров К1 =1,806 Пас; п1=0,6; усгг( 1

=98,931 с1; усп, 2=227,38 с1; тсп,2 =184,445 Па.

По совокупности полученных значений их средняя относительная погрешность по отношению к

г =5

0

заложенным в численный эксперимент базовым значениям параметров составляет 6,8%.

Предложенный алгоритм может быть использован для определения параметров реологической модели жидкостей, демонстрирующих проявление эффекта "отвердевания".

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 12-08-00629

ЛИТЕРАТУРА

1 Jae-Hyun So Microstructure evolution and rheological responses of hard suspensions [Text] / Jae-Hyun So, Seung-Man Yong, Jae Chun Hyun // Chemical engineering science. - 2001. - V. 56. - P. 2967 - 2977.

2 Lee, Y. S. Dynamic properties of shear thickening colloidal suspensions [Text] / Y. S. Lee, N. J. Wagner // Rheological acta. -2003. - № 42(3). - P. 199-208.

3 Wetzel, E. D. The effect of rheological parameters on the ballistic properties of shear thickening fluid (STF)-Kevlar composites [Text] / E. D. Wetzel, Y. S. Lee, R. G. Egres Jr. et al // Proceedings of the 8th international conference on numerical methods in industrial forming processes, Columbus. - 2004.

4 Lee, Y. S. Rheological properties and small - angle neutron scattering of shear thickening, na-noparticle dispersion at high shear rates [Text] / Y. S. Lee, N. J. Wagner. // Ind. eng. chem. res. -2006. - V. 45. - № 21. - P. 7015 - 7024.

5 Wisnewski, A. Nanotechnology for increase of body protection capability [Text] /

A. Wisnewski. - Access mode: http:// www. witu .mil .pl/www/biuletyn/ zeszyty/2008010 7p/7.pdf. - Title screen.

6 Колодежнов, В. H. Математическое моделирование реологического поведения нелинейно-вязких жидкостей, которые демонстрируют проявление эффекта "отвердевания" [Текст] / В. Н. Колод ежнов // Вестник ВГУИТ. - 2012. - № 4. - С. 35-38.

7 Колод ежнов, В. Н. Математическое моделирование течения в цилиндрическом канале жидкости, которая демонстрирует появление эффекта "отвердевания" [Текст] /

B. Н. Колодежнов // Вестник ВГТУ. - 2013. -Т. 9. - № 2. - С. 26 - 30.

REFERENCES

1 Jae-Hyun So Microstructure evolution and rheological responses of hard suspensions [Text] / Jae-Hyun So, Seung-Man Yong, Jae Chun Hyun // Chemical engineering science. - 2001. - V. 56. - P. 2967 - 2977.

2 Lee, Y. S. Dynamic properties of shear thickening colloidal suspensions [Text] / Y. S. Lee, N. J. Wagner // Rheological acta. -2003. - № 42(3). - P. 199-208.

3 Wetzel, E. D. The effect of rheological parameters on the ballistic properties of shear thickening fluid (STF)-Kevlar composites [Text] / E. D. Wetzel, Y. S. Lee, R. G. Egres Jr. et al // Proceedings of the 8th international conference on numerical methods in industrial forming processes, Columbus. - 2004.

4 Lee, Y. S. Rheological properties and small - angle neutron scattering of shear thickening, na-noparticle dispersion at high shear rates [Text] / Y. S. Lee, N. J. Wagner. // Ind. eng. chem. res. -2006. - V. 45. - № 21. - P. 7015 - 7024.

5 Wisnewski, A. Nanotechnology for increase of body protection capability [Text] / A. Wisnewski. - Access mode: http:// www.witu.mil.pl/www/biuletyn/zeszyty/2008010 7p/7.pdf. - Title screen.

6 Kolodezhnov, V. N. Mathematical modeling of the rheological behavior of nonlinear-viscous liquids, which show a manifestation of the effect of "solidification" [Text] / V. N. Kolodezhnov // Bulletin of VSUET. - 2012. - № 4. - P. 35-38.

7 Kolodezhnov, V. N. Mathematical modeling of fluid in a cylindrical channel, which shows the appearance of the effect of "solidification" [Text] / V. N. Kolodezhnov // Bulletin of VSTU. -2013. - T. 9. - № 2. - P. 26 - 30.