Математическое моделирование реологического поведения нелинейно-вязких жидкостей, которые демонстрируют проявление эффекта “отвердевания” Текст научной статьи по специальности «Физика»

Информационные технологии, моделирование и управление

УДК 532

Профессор В.Н. Колодежнов

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра теоретической механики, тел. (473)255-55-57

Математическое моделирование реологического поведения нелинейно-вязких жидкостей, которые демонстрируют проявление эффекта "отвердевания"

Рассматривается реологическая модель жидкости, которая учитывает эффект "отвердевания".

The rheological models of a liquid, which takes into account the effect of "solidification" is considered.

Ключевые слова: реологическая модель, эффект "отвердевания".

Известно достаточно много реологических моделей вязких жидкостей [1-4]. Как правило, все эти модели для случаев одномерного течения различаются лишь степенью нелинейности связи между касательным напряжением т и скоростью сдвига у .

Однако целый ряд результатов, полученных разными авторами в последнее время и приведенных, например, в [5 - 10], а также ряде других работ, указывают на то, что некоторые суспензии на основе мелкодисперсных частиц обладают аномальными реологическими свойствами.

Суть таких особенностей реологического поведения заключается в следующем. При определенной концентрации и размерах мелкодисперсных частиц кривая течения, построенная в координатах "скорость сдвига - касательное напряжение", демонстрирует резкое возрастание своей кривизны при приближении модуля скорости сдвига к некоторому критическому (но конечному) значению усгц-. При этом дилатантное поведение жидкости усиливается настолько, что наиболее деформируемые области течения (где скорость сдвига непосредственно приближается к своему критическому значению) начинают вести себя практически подобно твердому телу. Здесь же заметим, что замеряемые значения касательного напряжения в окрестности предполагаемого © Колодежнов В.Н., 2012

критического значения усгц принимают конечные значения, которые, как правило, меньше значений т , получаемых при существенно более низких уровнях скорости сдвига.

Крутизна кривой течения, определяемая в одномерном случае соотношением

Mloc =

d\r(\f\)\

d\y\

характеризует фактически динамическую вязкость жидкости. В частном случае классической ньютоновской жидкости крутизна кривой течения является постоянной величиной, в точности совпадающей с динамической вязкостью. В этом смысле условие

lim

i^Tcnt

(1)

может быть принято в качестве критерия проявления эффекта "отвердевания".

Характеризуя проявление эффекта "отвердевания", заметим, что речь здесь не идет об "отвердевании" в смысле фазового перехода типа кристаллизации. При удалении модуля скорости сдвига от своего критического значения вязкость снижается и сплошная среда вновь приобретает свойство "текучести".

= œ

Фестпик&ТУМШ, № 4, 2012=

Реологическая модель, демонстрирующая проявление эффекта "отвердевания" в случае монотонного возрастания вязкости. Наиболее простой моделью в рамках обсуждаемого эффекта может быть принята следующая модель с монотонно возрастающей для одномерных случаев крутизной кривой течения

Ту = —Р Зу + 2 • м(12) • еу; у = 1,2,3;

= е11 • е22 + е22 • е33 + е33 • е11 — е12 — е23 — е31 ;

М (12 ) =

1 —

2 .щ

\

0 < п < 1;

-\/12,сГУГ Л/1

2, етИ

; (2)

12 * 12,

егг7

где Ту, еу - компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций; Р - давление; Зу -символ Кронекера; м(1 2) - функция второго инварианта 12 тензора скоростей деформаций; т ет^ - эмпирическая константа, которая для одномерного течения представляет собой касательное напряжение, достигаемое при Ц = уеГ11 ; п - эмпирическая константа; 12 ет77 - критическое значение модуля второго инварианта тензора скоростей деформаций, которое для одномерного сдвигового течения удовлетворяет условию

ТетИ = 2 12,етИ ■

Естественно, что параметр 12, етг^ должен рассматриваться как самостоятельная реологическая константа, определяемая для каждой конкретной жидкости на основе обработки соответствующих экспериментальных данных.

Для предложенной модели на интервале изменения модуля скорости сдвига от 0 до Тети крутизна кривой течения монотонно возрастает. При этом на левом конце интервала для |у| — 0 крутизна кривой течения принимает некоторое конечное значение

V® {М1ае(||)}= ■

|| —>0 7ет11

На правом же конце при || — уетц

крутизна кривой течения, удовлетворяя условию (1), асимптотически стремится к бесконечности.

Отметим, что без изменения сути могут быть предложены и другие формы соотношения (2). Один из таких модифицированных вариантов реологической модели рассматривается в [11, 12].

Реологическая модель, демонстрирующая проявление эффекта "отвердевания" в случае немонотонного изменения вязкости. Целый ряд экспериментальных данных указывает на то, что для одномерных течений таких жидкостей зависимость вязкости от скорости сдвига у не является монотонной и на этой зависимости можно выделить два участка [13, 14].

На первом участке вязкость снижается до некоторого минимального значения, а на втором - возрастает. При этом, как уже отмечалось выше, приближение скорости сдвига к некоторому максимальному по модулю значению приводит к резкому увеличению крутизны кривой течения, что может быть интерпретировано как проявление эффекта "отвердевания".

Наличие двух участков для области изменения скорости сдвига с, вообще говоря, принципиально различным характером зависимости вязкости жидкости от скорости сдвига предполагает возможность описывать эту зависимость двумя различными функциями. При этом необходимо обеспечить в некоторой точке |/2 = 12 етм "сшивание" не только для

этих функций, но и их производных.

С учетом сказанного описание реологического поведения жидкостей такого рода предлагается проводить в соответствии со следующей реологической моделью

ту = —р зу+2 -м(1 2) е

и У = 1,2,3;

М( 12 ) =

[ М1(12);

1м2(12); 1

2, етй1

Ы * 1

* Vг\* 1

2, етit 2 '

/М(12) = Кг(2. Щ)п

(3)

(4)

Фестпик&ТУМШ, № 4, 2012=

K • 2"1 -1 • (JW1

щ х

M I2)=-

1+K •

K =-

1 -

icrit 2

■y/12, crit 2 12

Y 2

^ 2,crit 2 -J1.

2, crit 1

; (5)

K • (2 •^W"1

-1;

"2 =

"1 • K1 • 2 n1 • (JhCît2 - V12, crit1 )

(zcrit2 - K1 • (2 ^12, crit1 ) 1 ) • (д/12, crit1 ) 1

0 < л 1 < 1; 0 < л 2 < 1;

12,стИ 2 >12,стИ Ь

где КЪ тсггТ2, 12, сгШ , 12,стН 2, л 1 - эмпирические константы модели.

Естественно, что параметры /2,сгШ и

12,сГг7 2 следует рассматривать как самостоятельные реологические константы, характеризующие поведение конкретной жидкости. Эти константы, как и три другие К1, тсГ112, л 1,

должны определяться на основе обработки соответствующих экспериментальных данных.

Заметим, что для одномерных сдвиговых течений можно полагать

7 =

2-

(6)

Если не учитывать представление показателя степени л 2 через пять основных параметров реологической модели и принимать этот показатель степени л 2 в качестве еще

одной независимой реологической константы, то функция ц/72 ), оставаясь непрерывной, будет иметь "излом" в точке сопряжения 12 = 12, ст-М отдельных ветвей.

Главной особенностью этой модели является то, что для одномерных течений крутизна графика зависимости касательного напряжения т от модуля скорости сдвига \у\

неограниченно возрастает по мере приближения с учетом (6) модуля второго инварианта 121 тензора скоростей деформаций к некото-

рому критическому, но конечному значению I2 crtt2 - Иначе говоря,

lim

K2I ^ I2, crit 2

Последний результат и позволяет интерпретировать поведение рассматриваемой жидкости с точки зрения проявления эффекта "отвердевания". Несмотря на неограниченное возрастание крутизны кривой течения при |l2 ^ 12, crit2, касательное напряжение т принимает в этом случае по модулю некоторое предельное и конечное значение Tcrit2 .

Здесь же заметим, что согласно приведенной выше модели (3) с учетом (4), (5) минимум вязкости достигается на втором участке в некоторой промежуточной точке, принадлежащей отрезку 12,crit 1 ; 12,crit 2 ].

Предложенные выше математические модели носят обобщенный характер и могут быть использованы при описании механического поведения жидкостей, демонстрирующих проявление эффекта "отвердевания" в самых различных системах.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 12-08-00629а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов, Г.В. Реология полимеров [Текст] / Г.В. Виноградов, А.Я. Малкин. - М.: Химия, 1977. - 440 с.

2. Астарита, Дж. Основы гидродинамики неньютоновских жидкостей [Текст] / Дж. Астарита, Дж. Марруччи. - М.: Мир, 1978. - 311 с.

3. Артюшков, Л.С. Динамика неньютоновских жидкостей [Текст] / Л.С. Артюшков -Л., 1979. - 228 с.

4. Литвинов, В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости [Текст] / В.Г. Литвинов. - М.: Наука, 1982. - 376 с.

5. Hoffman R. L. Discontinuous and dilatant viscosity behavior in concentrated suspensions. I. observation of a flow instability. // Transactions of the Society of Rheology. 1972. Vol. 16(1). P. 155-173.

= 00

x

(BecmnwKjBPyMffl, № 4, 2012

6. Bender J., Wagner N. J. Reversible shear thickening in monodisperse and bidisperse colloidal dispersions. // Journal of Rheology. 1996. Vol. 40(5). P. 899-916.

7. Raghavan S. R., Khan S. A. Shear-thickening response of fumed silica suspensions under steady and oscillatory shear, Journal of Colloid and Interface Science. 1997. Vol. 185. P. 5767.

8. Galindo-Rosales F. J., Rubio-Hernandez F. J., Vel'azquez-Navarro J. F. Shear-thickening behavior of Aerosil R816 nanoparticles suspensions in polar organic liquids. // Rheologica Acta. 2009. Vol. 48. P. 699-708.

9. Wagner N., Brady J. F. Shear thickening in colloidal dispersions. // Physics Today. 2009. Vol. 62(10). P. 27-32.

10. Galindo-Rosales F. J., Rubio-Hernandez F. J., Sevilla A., An apparent viscosity function for shear thickening fluids, Journal of Non-Newtonian. // Fluid Mechanics, 2011. Vol. 166 (5-6), P. 321-325.

11. Колодежнов, В.Н. Течение в плоском канале дилатантной жидкости с эффектом "отвердевания" [Текст] / В.Н. Колодежнов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т.17. Вып. 3. -С. 422.

12. Колодежнов, В.Н. Особенности течения в цилиндрическом канале жидкости, реологическая модель которой учитывает эффект "отвердевания" [Текст] / В.Н. Колодеж-нов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Т. 18. Вып. 2. -С. 283 -284.

13. Lee Y.S., Wagner N.J. Rheological Properties and Small - Angle Neutron Scattering of Shear Thickening, Nanoparticle Dispersion at High Shear Rates. // Ind. Eng. Chem. Res.., 2006, Vol. 45, № 21, P. 7015 - 7024.

14. Wisnewski A. Nanotechnology for increase of body protection capability. - URL : http: //www.witu.mil.pl/www/biuletyn/zeszyty/20 080107p/7.pdf . Дата обращения: 31.08.2012.