Об одной возможной модели начальной стадии возникновения ламинарно - турбулентного перехода Текст научной статьи по специальности «Физика»

Физико-математическое моделирование

УДК 532

ОБ ОДНОЙ ВОЗМОЖНОЙ МОДЕЛИ НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЛАМИНАРНО - ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА

В.Н. Колодежнов

Рассматривается реологическая модель жидкости, которая учитывает фактор поперечной вязкости. На основе такой модели предложены условия возникновения ламинарно - турбулентного перехода

Ключевые слова: реологическая модель, поперечная вязкость, ламинарно - турбулентный переход

Введение. При рассмотрении возникновения турбулентности с позиций гидродинамической неустойчивости, как правило, предполагается, что в рассматриваемой области течения уже существуют некоторые возмущения поля скорости [1-3]. В дальнейшем анализ такого “возмущенного” течения сводится к выявлению условий, при которых амплитуда изначально уже существующих возмущений поля скорости неограниченно возрастает. Последнее обстоятельство и интерпретируется, как явление возникновения турбулентности. При этом вопрос о природе “возникновения” начального фона возмущений, как правило, не обсуждается.

В данной работе предпринимается попытка предложить механизм возникновения перехода ламинарной формы течения в турбулентную на основе гипотезы о том, что поведение жидкости на различных интервалах изменения второго инварианта тензора скоростей деформаций является с точки зрения реологии существенно различным. В частности речь идет о возможности проявления фактора поперечной вязкости при превышении модулем второго инварианта тензора скоростей деформаций некоторого критического порогового значения.

Заметим, что различное поведение в зависимости от диапазона изменения второго инварианта тензора скоростей деформаций (или в частном случае скорости сдвига) демонстрируют самые различные вязкие среды.

Такое поведение моделируется, как правило, в рамках описания динамической вязкости различными функциями на различных интервалах изменения второго инварианта тензора скоростей деформаций (или, опять же, в частном случае скорости сдвига) [4-8]. В данной работе такой подход предлагается распространить на реологическую модель Рейнера - Рив-линна.

Колодежнов Владимир Николаевич - ВГУИТ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 255-55-57

Реологическая модель. Рассмотрим реологическую модель вязкой несжимаемой жидкости вида

3

Ту = -Р' Зу + 2' М' £у + 4' Л(12 ) ' ^ ' ек) ; (1)

l

£а = ~' у 2

(

dVj_

Эх ,

V J

dv

\

+

Эх,

к=1

i, j = 1, 2,3;

I2 =ell' e22 +e22 e33 +e33 'ell -el2 -e23 -e3l;

h(12) =-

2h;

|ho; V 2 >1

12^ > 0 - const; ц - const.

Здесь приняты следующие обозначения: Tj , €jj - компоненты тензоров напряжений и

скоростей деформаций, соответственно; P -давление; Sj - символ Кронекера; ц - динамическая вязкость жидкости; Vj - проекции скорости на направления координатных осей декартовой системы отсчета; Xj - координаты;

h(12) - поперечная вязкость жидкости, представляющая собой кусочно-постоянную функцию второго инварианта тензора скоростей деформаций I 2 ; I2h - критическое значение

второго инварианта тензора скоростей деформаций.

Согласно предложенной реологической модели (1), в той части области течения, где выполняется условие 12 < 12^ , рассматриваемая сплошная среда ведет себя, как традиционная ньютоновская жидкость. Там же, где выполняется обратное условие \l21 > 12г/, сплошная среда проявляет свойства жидкости Рейне -ра-Ривлина [4].

Постановка задачи. Предположим, что в некоторый, условно принимаемый в качестве начального, момент времени в рассматриваемой области сформировалось плоское течение, поле скоростей и распределение давления в ко-

тором в точности удовлетворяют уравнениям Навье - Стокса. Сформулируем следующий вопрос. Как, начиная с начального момента времени, может в дальнейшем в малой окрестности некоторой точки развиваться такое распределение скорости и давления, при условии, что в самой этой точке и ее малой окрестности выполняется неравенство |12 > ^2^ ? Последнее

условие при постановке такого вопроса означает, что, начиная с начального момента времени, в соответствии с реологической моделью (1) оказывается задействованным фактор поперечной вязкости.

Введем декартову систему координат, расположив ее начало в рассматриваемой точке. При этом ось 0x1 сориентируем по касательной к линии тока, а ось 0x2 - соответственно, по нормали к ней.

Будем предполагать, что в малой окрестности рассматриваемой точки (начала координат) в начальный момент времени поле скоростей V (Х1, Х2) в первом приближении можно считать одномерным, а давление р(Х1, Х2) -опять же в первом приближении (по аналогии с одномерными течениями вязкой ньютоновской жидкости) считать зависящим лишь от продольной координаты:

при t = 0; V = и (Х2); У2 = 0; р = Р( Х1), (2)

где и(Х2), Р(Х1) - заданные функции, удовлетворяющие уравнениям Навье-Стокса для ньютоновской жидкости и условию неразрывности.

Будем считать, что для такой пространственной области и на малом временном интервале (непосредственно следующем за начальным моментом времени) распределения скоростей и давления допустимо представить в виде суммы начальных распределений этих величин и их малых приращений

V! (t, Х1, Х2) = и (Х2) + «1 ^, Х1, Х2);

^(^ Х1, Х2) = и 2 (t, Х1, Х2); (3)

^ р (, Х1, Х2) = Р( Х2) + Po(t, Х1, Х2).

Переход к безразмерной форме представления основных уравнений будем проводить с учетом соотношений

и' = и; Р' = Р; р0= Ро; t, = —;

иБ рБ рБ tS

* ’ «} * Х1 *

V ,■ = —; «,■= —; х ,■ = —; ти = — ; (4)

иS

/, } = 1, 2,3;

иS

и

tS

иS = и (0); tS = PS = р• US, где Us , Ls , ts , ts , Ps - некоторые характерные значения скорости, расстояния, времени, напряжения и давления, соответственно; Р - плотность жидкости.

Здесь в (4) и далее верхним штрихом обозначены безразмерные величины.

В качестве линейного масштаба и масштаба для времени примем следующие значения

Ls =

т К dU ' d 2и Л -1

р^ 2 22 "ё

(5)

tS

К =

US

!!• К р• ^

\grad (Т)

Х2 = 0; 2

dU

( 2 Л-1

d 2и

dx2

dx2

Х2 = 0;

<N1 5 >/-12) Х2 = 0;

р^ и dU ' d 2и ' -1 ; Т =Р • US

2 "ё 22 2 Х2 = 0;

где К - безразмерный комплекс; Т - плотность кинетической энергии.

По смыслу безразмерный комплекс К представляет собой локальное число Рейнольдса, хотя и введенное в рассмотрение нетрадиционным образом [9]. Другие, также нетрадиционные варианты введения локального числа Рейнольдса, подобные безразмерному комплексу К , описаны в [10] со ссылкой на [11, 12], а также приводятся в работах [13, 14].

Принимая во внимание (1), (2) и ограничиваясь лишь линейными членами по отношению к малым безразмерным приращениям скоростей и давления в (3), приходим к следующему виду записанных в безразмерной форме уравнений динамики жидкости и условия неразрывности потока в малой окрестности рассматриваемой точки

Эи1 гт, Эи1 , dU

— + и • — + и2 • — = ■

Э'

ЭХ1

эр0 +1.

Эх1 К

Г 7)2 * д2 * Л Э и1 +Э и

+ 2 • К

0

dx2

Г ^2

?\2 / ~\2 /

Э и1 Э и2

ЭХ1

Л

2

ЭХ22

+

Эи2 т . Эи2

—2+и —2

Эt, Эх1

ЭХ1ЭХ2

Эр0

+ ■

Эх2

Эх12

э2 * э2 *

Э и2 Э и2

(6)

Эх12 Эх*

-+-

2

+

+ 2 • K

О

dU'

dx2

Г 7,2

2

Э U2

+

Э 2 Л

Э Ui

9x18x2 Эx

2

+

+ 2 • K

О

dU' d2U' d2U' Г Эщ

• +

dx22

Эu^ ЛІ

I ; (7)

ЭxЗ 0x1

Bui ЭuЗ

■ + —2 = 0.

(S)

Эх{ Эх2

В уравнениях (6) и (7) К 0 представляет собой еще один безразмерный комплекс, характеризующий влияние поперечной вязкости и определяемый следующим образом [15]

2

Ko =-

h

p-l2s

л

p

d2U

dx22

dU

dx2

ч-l

х2 = 0;

В частном случае, когда К0 = 0 (поперечной вязкостью допустимо пренебречь либо она не проявляется в силу выполнения условия І21 < 12г/) уравнения (6) - (8) после традиционной процедуры исключения Ро и перехода к функции тока преобразуются к уравнению Орра - Зоммерфельда.

Модель “генерирования” поперечных составляющих скорости. Рассмотрим некоторые характерные особенности в развитии поля скоростей на “стартовом” интервале, непосредственно следующим за начальным моментом времени.

Разложим безразмерные приращения скоростей и давления в малой окрестности рассматриваемой точки (начала координат) в ряд по степеням координат и представим их в виде

¥ ¥

Uk(t',xi,x2) = V V к = 1, 2;

УУ wk ,n,m n=0m=0

(0 - xin - x2m

(З)

¥¥

(10)

P0(t,, x1, Х2) = £ £ Чп, т (0 • Х1

п=0т=0

где м>'к^п т ^') , ч'п т ^') - неизвестные пока

функции времени, удовлетворяющие начальным условиям:

при / = 0; м!'кпт = 0; чП,т = 0; (11)

к = 1, 2 ; п, т = 0,1,2,....

Представим также функцию и * ( х2) разложением в ряд по степеням поперечной координаты в окрестности рассматриваемой точки

u ' (x2) = УК

т=0

^ Xm m2

(12)

где U'm - известные коэффициенты разложения.

Проведем подстановку (9), (10), (12) в систему уравнений (6) - (8). Выполняя тогда соответствующие операции и приравнивая коэффициенты при одних и тех же степенях координат в левой и правой частях соотношений (6) - (8), приходим к системе уравнений относительно функций wk, n, m (О и Чп, m (0 .

Однако получаемая при этом система уравнений не будет замкнутой. Ее замыкание следует проводить с привлечением соответствующих граничных условий. Что же касается существа этих граничных условий, то особо отметим, что в рассматриваемой задаче о развитии течения в малой окрестности некоторой точки (начала координат) их постановка является не простой и здесь не обсуждается.

В качестве примера приведем наиболее простой вид этой незамкнутой системы в случае, когда после соответствующих преобразований в (6), (7) допустимо ограничиться лишь по одному уравнению, построенному на основе коэффициентов при нулевой степени координат

^1,0,0 , ,

——— + U0 • W1,1,0 + U1 • w2,0,0 --Ч 1,0 + dt

+ 2 • K0 • U1 • (w1,1,1 + 2 • w2,2,0 )+;

+~ -(wl,2,0 + wl,0,2 ); K

(1З)

^2,0,0 +Tf , = , + 2 ( , + , )+

- + Uo - w2,l,0 = -q 0,1 + ~- (w2,2,0 + w2,0,2 j+

K

+ 2• К0 •{2• и1 • и2 + и1 •(2• ^1,0,2 + ^2,1д) +

+ 2 • и2 • (^1,0,1 + ^2,1,0)}; (14)

4.1.0 + 4,0,1 = 0; (15)

2 • 4,2,0 + 4,1,1 = 0; (16)

4.1.1 + 2 • 4,0,2 = °. (17)

Заметим, что здесь соотношения (15) -(17) следуют из уравнения неразрывности (8).

Перейдем в полученной системе к пределу при / ® 0 . Тогда, принимая во внимание (11), приходим к следующим выражениям для начальных значений производных по времени от искомых функций, определяющих с учетом (9) распределения скоростей на “стартовом” интервале времени dw1

l,n,m

t' = 0;

= 0;

dw'2

2,n,m

dt' t' = 0;

n, m = 0,1,2,....;

1°;

\Qn

n = 1,2,3,...; n = 0;

(1S)

2

/

т+1

йт = 2 • К0 • £к • (т+3 - к) • (т+2 - к) • ик • и^к;

к=1

Будем полагать, что не все значения 0т равняются нулю. Например, для часто встречающегося параболического профиля из (12) получаем

й0 = 4• К0 и •и2 Ф 0; & = 8• К0 и'22 Ф 0;

йт ° 0; т = 2,3,....

Таким образом, если хотя бы отдельные йт не равняются нулю, то производная по времени от поперечной составляющей скорости в начальный момент времени в окрестности изучаемой точки не будет тождественно равняться нулю. Это означает, что при выполнении условия |/2 > 12ц на “стартовом” временном интервале, непосредственно следующем за начальным моментом времени, в окрестности рассматриваемой точки будут “генерироваться” поперечные составляющие скорости, которые до этого здесь отсутствовали.

Если же начальное распределение скорости таково, что выполняется условие

12 < 12ц и, соответственно, К0 = 0, то из (18)

следует, что в начальный момент времени все производные обращаются в ноль и в такой ситуации не следует ожидать появления поперечной составляющей скорости.

В том случае, когда начальный профиль описывается линейной функцией ( и2 = 0 ) все йт = 0 и вопрос о “генерировании” поперечных составляющих скорости в рамках рассматриваемого приближения остается открытым.

Условие неограниченного возрастания поперечных составляющих скорости.

Рассмотрим теперь вопрос о дальнейшем эволюционировании возникающих приращений (и в первую очередь поперечных) скорости.

Предположим, что в (9) и (10) временная зависимость коэффициентов разложения описывается одной и той же функцией w') так,

что их можно представить в виде.

/ __________

wk, п, т

({') =«*, п, т • (Ї'); (19)

?'п,т (0 = Уп, т • w'(t'), (20)

где п т , Уп т - неизвестные пока числовые коэффициенты.

В соответствии с максимальными порядками производных от соответствующих функций по соответствующим координатам для системы уравнений (6) - (8) формально следует

поставить десять граничных условий. Такие условия должны включать четыре условия для и1 по координатам Х1 и Х2 , а также еще четыре условия для и2, также по координатам х1 и х2 . И наконец, следует поставить два граничных условия для р0 , опять же по координатам х1 и х2.

Предположим, что нам удалось сформулировать и поставить эти граничные условия.

Рассмотрим частный случай, когда при описании поля скоростей и давления в окрестности рассматриваемой точки допустимо ограничиться системой уравнений (13) - (17).

Тогда с учетом (9), (19) первые восемь граничных условий и соотношения (15) - (17) по совокупности будут образовывать систему из 11 линейных алгебраических уравнений относительно 12 коэффициентов а к п т ;

к = 1, 2 ; п, т = 0,1,2 . Это означает, что 11 коэффициентов можно выразить через какой-то один коэффициент, например, коэффициент

а2, 0, 0 в виде

ак,п,т = а2, 0, 0 • @к, п, т , (21)

где Ьк п т - известные числовые коэффициенты.

Совершенно аналогично последние два граничных условия для приращения давления должны образовывать систему двух линейных уравнений относительно трех коэффициентов 70,0,71,0 и 70,1. Это означает, что любые два

из них могу быть выражены через оставшийся третий коэффициент, например

71,0 = 70,0 • £1,0; 70,1 = 70,0 • £0,ъ (22)

где £,0 , £0,1 - известные числовые коэффициенты.

Подставляя теперь (19), (20) с учетом (21), (22) в уравнения (13), (14) и исключая из них члены содержащие неизвестный коэффициент 70,0 , приходим к дифференциальному уравнению относительно неизвестной функции w2,0,0 ^) = а2,0,0 • w/(t') следующего вида:

. ^2,0,0 *

^1-----~Г,— + ^2 • w2, 0, 0 = ^3;

(23)

0,0 •

Х1, 0

А2 = $2,1,0 и0 -~Г— \и{ - — • А,2,0 +Ь1,0,2) +

Х1,0 I К + А1,1,0 • и0 - 2 • К0 • и1 • (Аи + 2 • $2,2,0 )}-

1

-4• К0 и2 • ($1,0,1 +$2,1,0 )-ТГ ($2,2,0 +$2,0,2)'

К

2 • К0 • и1 • (2 • $1,0,2 + $2,1,1) ;

А3 = 4• К0 •и1 •и2.

(24)

3 = 4 •К0 и1 и 2 . (25)

Решение (23) с учетом начального условия

при / = 0; w2,0,0 = 0; имеет вид

w2 0 o(t') = ^(1-ехр-1 /}); 1 = А2. (26)

А2 А1

Поведение функции (26) в окрестности начального момента времени (начиная с момента t/ = 0) существенно зависит от знака параметра 1. Если исходные характеристики течения в окрестности рассматриваемой точки (начала координат) таковы, что1<0 , то “генерируемые” приращения скоростей в продольном и поперечном направлениях (по отношению к направлению начального вектора скорости в рассматриваемой точке) будут неограниченно возрастать (по модулю). Если же будет выполняться условие 1 >0, то возникающие приращения скоростей, увеличиваясь по модулю, будут, тем не менее, оставаться ограниченными даже в пределе при ^ ® ¥ .

В некотором смысле, случай 1<0 можно интерпретировать, как начало ламинарнотурбулентного перехода. Случай же 1 >0 может означать лишь корректировку начального поля скорости, обусловленную проявлением фактора поперечной вязкости.

Тогда, соотношение 1 =0, предлагается рассматривать как некоторое “разграничительное” между этими случаями условие, накладываемое с учетом (24), (25) на исходные параметры системы. Значение же параметра К , удовлетворяющее такому условию, будем принимать в качестве критического значения К.

Гi'crit •

Напомним, что по своему смыслу параметр К представляет собой число Рейнольдса, для построения которого в качестве линейного размера нетрадиционно принималась величина (5). Тогда, учитывая все известные экспериментальные и теоретические результаты, относящиеся к возникновению турбулентности, можно полагать, что при выполнении неравенства

К >К сиН

должны складываться условия для ламинарнотурбулентного перехода.

Заметим, что выше речь шла лишь о принципиальной схеме рассуждений и преобразований, поскольку, вообще говоря, точно поставить граничные условия и, следовательно, определить затем конкретные значения коэффициентов $к, п, т ,а также £1,0 и £0,1 для

рассматриваемой задачи представляется затруднительным. Поэтому, придя к выводу о существовании критического значения Ксги , не будем здесь приводить выражения для определения его значения, формально вытекающего из (24). Вместе с тем отметим, что в рамках рассматриваемого приближения, как это следует из (24), значение Ксги должно зависеть, кроме всего прочего, не только от особенностей распределения скорости в окрестности рассматриваемой точки, но и от безразмерного комплекса К0 , учитывающего влияние поперечной вязкости.

Не смотря на только что сделанное замечание и принимая во внимание достаточно большое число упрощающих допущений, в первом приближении будем считать Ксги величиной постоянной, определяемой свойствами рассматриваемой жидкости. В этой связи определять это значение предлагается на основе экспериментальных данных.

Условия начала перехода. Из проведенного выше анализа вытекают два следующих условия начала перехода в данной точке области течения

12 > 12г/ ; (27)

\grad (Т )|

grad (2 т •д/-12 )

> К,

crit

(28)

Х2 = 0;

Первое условие здесь указывает на то, что в рассматриваемой точке изучаемой области течения начиная с некоторого, условно принимаемого в качестве начального, момента времени начинают появляться (ранее отсутствовавшие) поперечные составляющие скорости.

Выполнение же второго условия означает, что эти поперечные составляющие скорости начинают неограниченно возрастать.

По совокупности все эти обстоятельства можно, по-видимому, интерпретировать, как возникновение в окрестности рассматриваемой точки перехода ламинарной формы течения в турбулентную.

Говоря об условиях (27), (28) следует подчеркнуть, что они составлены исключительно из инвариантных величин и в такой

форме могут быть использованы в любой системе координат.

При этом отметим, что обсуждаемый в данной работе возможный механизм возникновения турбулентности может рассматриваться как самостоятельно, так и в увязке с традиционным подходом к моделированию перехода с позиций теории гидродинамической неустойчивости.

Литература

1. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. -Новосибирск.: Наука, 1977. - 367 с.

2. Маслоу С.А. Неустойчивости и переход в сдвиговых течениях. - В кн.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. - М.: Мир, 1984. С. 218 - 270.

3. Жигулев В.Н., Тумин А.М. Возникновение турбулентности. Динамическая теория возбуждения и развития неустойчивостей в пограничных слоях. - Новосибирск.: Наука, 1987. - 197 с.

4. Литвинов, В.Г. Движение нелинейновязкой жидкости . - М.: Наука. 1982. - 376 с.

5. Овчинников, П. Ф. Виброреология. -Киев: Наукова думка, 1983. - 272 с.

6. Анистратенко В.А., Кошевая В.Н., Валовой Б.Н. Исследование реологических свойств фильтрационного осадка как объекта. // Известия ВУЗов. Пищевая технология, 1992, №1. - С. 54-57.

7. Колодежнов, В.Н. Исследование течений вязких жидкостей с пределом применимости ньютоновской модели. В кн.: Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. УрО РАН, 2001. С. 346.

8. Galindo-Rosales F.J., Rubio-Hernandez F.J., Sevilla A., Ewoldt R.H. How Dr. Malcom M. . Cross would may have tackled the development of “An apparent viscosity function for shear thickening fluids” . // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. Vol. 166, 2011, p. 1421-1424.

9. Колодежнов В.Н. Об одном безразмерном комплексе для моделирования течений вязкой неньютоновской жидкости. // Современные проблемы механики и прикладной математики. Сб. трудов международной школы -семинара. В 2-х ч. Ч. 1. - Воронеж; ВГУ. 2005.

С.166 - 168.

10. Артюшков Л.С. Динамика неньютоновских жидкостей. - Ленинград: Ленинградский кораблестроительный институт, 1979. -228 с.

11. Ryan N.W., JohnsonM.M. Transition from Laminar to Turbulent Flow in Pipes. // AIChE Journal. 1959. Vol. 5. No 4, P. 433 - 435.

12. Hanks R.W. The Laminar-Turbulent Transition for Flow in Pipes, Concentric Annuli and Parallel Plates. // AIChE Journal. 1963. Vol. 9. No 1, P. 45 - 48.

13. Джаугаштин К.Е. О критическом режиме струйных течений. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа.1990. № 3. С. 11 -15.

14. Dou Hua-Shu. Mechanism of flow instability and transition to turbulence. // International Journal of Non-Linear Mechanics. Vol. 4, No 4, 2006. P. 512 - 517.

15. Колодежнов В.Н. Безразмерные комплексы и критерии подобия ; Справочник. -Воронеж; ВШУ, 2011. - 580 с.

Воронежский государственный университет инженерных технологий

ABOUT ONE POSSIBLE MODEL OF AN INITIAL STAGE OF BEGINNING OF LAMINAR - TURBULENT TRANSITION

V. N. Kolodezhnov

The rheological model of a liquid, which takes into account the factor of the transverse viscosity is considered. On the basis of the model proposed conditions of laminar - turbulent transition

Key words: rheological model, transverse viscosity, laminar - turbulent transition