CC BY
42
УДК 622.4/.6
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ ВОЗДУХА В ГОРНЫХ ВЫРАБОТКАХ БОЛЬШОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Н.М. Качурин, И.И. Мохначук, М.Ю. Лискова, С.Д. Бутылева
Представлено математическое описание движения воздуха в горных выработках большого поперечного сечения. Рассмотрены варианты представления воздуха в виде идеальной жидкости, а также даны описания ламинарного и турбулентного течения воздуха с учетом его вязкости. Обоснованы математические модели одномерного нестационарного движения воздуха в горной выработке, получены приближенные аналитические решения одномерных уравнений движения.
Ключевые слова: воздух, скорость, горная выработка, уравнение движения, математическая модель, идеальная жидкость, ламинарный режим, турбулентный режим.
Аэродинамика выработок большого поперечного сечения основывается на теоретических положениях механики жидкостей и газов. При этом воздух можно рассматривать в качестве несжимаемой жидкости. Основная теорема динамики жидкости утверждает, что индивидуальная производная от главного вектора количеств движения объема жидкости равна главному вектору объемных и поверхностных сил, приложенных к частицам, расположенным в рассматриваемом объеме и на ограничивающей его поверхности. То есть, если считать воздух несжимаемым, а это допущение справедливо для горных выработок и вентиляционных воздуховодов, то можно записать [1 - 3]
где К - главный вектор количества движения рассматриваемого объема жидкости; Боб и Бпов - главные векторы объемных и поверхностных сил.
Рассматривая произвольный объем воздуха О в вентиляционном потоке, ограниченный с внешней стороны поверхностью S, уравнение изменения количества движения (1) перепишем в следующем виде:
где рУ - вектор массовой скорости потока воздуха; - главный вектор массовых сил, действующих на воздух; Ту - тензор напряжений в объеме воздуха О; Б - поверхность, ограничивающая объем воздуха О;
(1)
т
V
^ x x
хх ху хг
x ^ x
^ ух^ уу ^ уг
x x ^
^ гх ^ гу^ гг
(3)
Рассмотрим производную по времени в соотношении (2).
£Я.ИМЯ%V >ю),
(О)
(О)
(О)
(О)
л
но V—(pdQ) = Л. V — = 0 по условию сохранения массы, тогда в об-
(О) ^ (О) ^
щей форме соотношение (2) примет вид
Я|Р^ЙП = Я|РГ»£1П + #Т^ • (4)
(О) и1 (О) (в)
Реологические закономерности для различных видов жидкостей, моделирующих свойства воздуха в горных выработках и трубопроводах, позволяют задать в явном виде тензор Ту, определив вид компонент матрицы (3). Тогда, используя закон сохранения количества движения (4), можно получить уравнение движения для конкретной физической модели воздуха. В реальных условиях возможные следующие варианты: воздух рассматривается как идеальная жидкость; изучается ламинарный режим течения вязкого воздуха; моделируется поток вязкого воздуха при турбулентном режиме течения.
Если воздух представить в виде идеальной жидкости, то тензор напряжений можно записать следующим образом:
V Р =-ре8, (5)
где Рп={аххауу^}; Стхх= ^уу= а77 = - р; р - давление воздуха;
Г0 при i ф 1,
в,=1 р . 1 (1,] = 1,2,3). (6)
] [1 при i = ],
Ламинарное течение вязкой воздуха характеризуют законом Ньютона, который в обобщенной форме записывается следующим образом:
5Х:
(7)
где xij - тензор касательных напряжений; ц - динамическая вязкость воздуха; V - компоненты главного вектора скорости V; xi - пространственные координаты (i = 1,2,3; XI = х; х2 = у; х3 = 7).
Следовательно, рассматривая воздух в качестве ньютоновской жидкости, тензор напряжений ламинарного течения вязкого воздуха можно записать следующим образом:
Т = -(РЕ» + XI). (8)
Второе слагаемое реологической закономерности (8) для однородной и изотропной среды можно записать в виде
т1 = Ц
ди ди ди
дх ду д2
ду ду ду
дх ду д2
дт дт дт
дх ду
(9)
Рассмотрим касательные напряжения в плоскости перпендикулярной оси 0х тх, тогда с учетом допущения об однородности и изотропии исследуемой воздушной среды можно записать
Ц
''ди. ди . ди —1 + — ] +— к дх ду д2
(1 + ] + к) = ц grad и.
Рассуждая аналогично, для других плоскостей получим, ху = ц grad у; т2 = ц grad w. Таким образом, второе слагаемое реологической закономерности (8) окончательно примет следующий вид:
= И grad(и/ + У/ + wу )= И grad V . (10)
Рассматривая турбулентное течение вязкого воздуха, тензор напряжений записывают с учетом касательных напряжений, обусловленных турбулентными пульсациями,
Т/ =-№/ + т/ + Тту , (11)
где ттij - тензор касательных напряжений, обусловленных турбулентными пульсациями.
Третье слагаемое реологической закономерности (11) для однородной и изотропной турбулентности можно записать в виде:
< и*и* > < и*у* > < >
Тту Р
< У*и* > < У*У* > < v*w* >
< тш > < т*у* > < ^^ >
(12)
где и*, V*, w* - компоненты скорости турбулентных пульсаций.
Если воздух в вентиляционном потоке уподобляется идеальной жидкости, то уравнение (4) примет
вид: Шр== ШРГ»ЙП - Ш^ )ёО •
(О) и1 (О) (О)
откуда следует уравнение движения Л. Эйлера,
ёУ
= К.
1ё1у(р8;] ). Р '
(13)
В проекциях на оси координат в проекциях на оси координат уравнение (13) можно записать следующим образом:
т
х
5и <5ц 5и 5и 1 5р
— + и-+ V— + w— = X----,
5t 5х 5у 5z р 5х
^ ^ ^ ^ ^ 1 5р
— + и— + v— + w— = Y----,
5 5х 5у 5z р 5у
^ 5w 5w 5w + и--+ v--+ w■
Z -1 5Р.
(14)
вид
5t 5х 5у 5z р 5z
В случае ламинарного течения вязкого воздуха уравнение (4) имеет
dV
Шр +^(-р^)да
(О)
(О)
(15)
откуда следует уравнение движения Навье-Стокса
d V 1
— = Рм - - div(ps1J) + vdiv[grad(Vij)] . dt р j j
В проекциях на оси координат уравнение (15) можно записать следующим образом:
5и <5ц 5ц 5и ^ 1 5р
--+ и--+ v--+ w— = X---- + vAu,
5 5х 5у 5z р 5х
(16)
^ ^ ^ 5р
--+ и--+ v--+ w— = У---- + vAv,
5 5х 5у 5z р 5у
5w 5w 5w ^ 1 5р
--+ и--+ v--+ w— = Ъ---- + vAw,
5 5х 5у 5z р 5z
где А- трехмерный оператор Лапласа.
Для турбулентного течения вязкой жидкости уравнение (4) примет
вид
(О) ^ (О)
откуда следует уравнение движения О. Рейнольдса
^ = Ем -^(р^) + vdiv[grad(Vj)]- ^(т^) . (17) dt р j j р j
В проекциях на оси координат уравнение (17) можно записать в ви-
Щр^<0 = Щ№ + ^(-р^ + !у + т^О ,
де
>
Эи Эй Эи Эи ^ 1 Эр . 1 — + и— + V— + w — = X---^ + + — х
Э Эх Эу & р Эх
х
р
Э Э Э
—(-р < и*и* >) н--(-р < и^* >) н--(-р < и^* >)
Эх Эу Э7
Эv Эv Эv Эу ^ 1 Эр . 1
— + и— + V— + w— = У---- + vAv н —х
Эt Эх Эу Э7 р Эу
х
р
Э Э Э
— (-р < v*u* >) + — (-р < v*v* >) + — (-р < v*w* >) Эх Эу Э7
Эw Эw Эw Э^ ^ 1 Эр . 1
--н и--н v--н w-= Ъ---— + vAw + — х
Эt Эх Эу Э7 р Э7 р
х
Э Э Э
— (-р < w*u* >) н--(-р < w*v* >) н--(-р < w*w* >)
Эх Эу Э7
(18)
С практической точки зрения интерес представляет одномерное течение. То есть систему уравнений (18) можно свести к следующему уравнению:
Эи Эи 1 Эр Эи1 Э ,
--н и— =---- + V—т- н---(-р < и*и* >).
Э Эх р Эх Эх2 р Эх
Градиент давления можно записать следующим образом:
— = Э(Р-Ра) = » =„ П ^ Пи2,
Эх Эх Эх Б 8
(19)
(20)
где ра - атмосферное давление; h - депрессия выработки; а - коэффициен-таэродинамического сопротивления трения; П - периметр поперечного сечения выработки; S - площадь поперечного сечения выработки; Q - объем воздуха, протекающего по выработке в единицу времени.
Л. Прандтль предложил следующую зависимость [4]:
30ул
и = 2,5^1п
1 + ■
(21)
где к - абсолютная шероховатость стенок выработки.
Тогда полагая, что допустимо приближенное равенство v*«u*«<u*> получим [5]
0,16/[1п(1+30у)]-2ау
2
< и* >«
^и
(22)
Используя формулу (23), можно вычислить производную в соотношении, которая войдет в уравнения движения
Э , X Э , 2 ч
-(-р < и*и* >) =-(-р < и* >) :
Эх Эх
н
0,161 [1п(1 + 30у)]-2 Эу
Эи2 Эх
(23)
где Н - высота выработки.
Тогда можно записать следующие промежуточные результаты:
1 au2 1 au
2
2u at
p
2 ax
H
0,16 J
an 2 a
-u2 + v—
pS ax
v2u ax у
0
au2
at
+ u
1+
ln
H
1 +
30y
-2
ay
au2 ax
0,i6 j
r
ln
30y
1 +
v k у
-2 ~ \
ay >
au2
ax
2vu— ax
2 Л
v2u ax j
2аПи 2 u2
pS
(24)
Решение нелинейного уравнения (24) возможно только численными методами. Для приближенного аналитического решения этого уравнения выполним линеаризация, приняв и &иср, где иср - усредненная скорость движения воздуха по выработке. Введем следующие обозначения:
s = u
ср
f H
1+< 0,16 J
v 0
А =
ln 2аПи
'1+30Ул k
у.
-2 \
dy >
У
ср
pS
(25)
(26)
Тогда линейное уравнение нестационарного одномерного поля скорости в выработке можно представить следующим образом: - турбулентное течение вязкого воздуха
.2 л..2
au2 au2 -+ sat
ax
22 au
ax2
ламинарное течение вязкого воздуха
.2 л..2
au2 au2
-+ ucp-
at ср ax
v-
22 au
ax2
Au2,
Au2,
(27)
(28)
сти
воздух в вентиляционном потоке уподобляется идеальной жидко-
(29)
au2 au2 , 2 --+ u^-= -Au .
at ср ax
Следовательно, уравнения(27) - (29) позволят прогнозировать продольный профиль скорости воздуха на любом удалении от исходной точки, в которой располагается начало отсчета, и для различных реологических моделей воздушного потока.
Начальные и граничные условия имеют следующий вид:
u(x,0) = u0 = const,
u(x,t) = u = const,
limx^ u(x,t) . (30)
Решения уравнений(27) - (29) с учетом условий (30) получены в следующем виде:
- турбулентное течение вязкого воздуха
f \ u 2 f \ uL 2 f
= exp(-At) + exp(rox) < 0,5 exp(-aP)erfc
V u0 J V u0 J _ V
+exp(ab)erfc
0,5| + Vbt
+
0,5exp(-ab) | erfc
0,5.
a
(t -х)
Vb(t - х)
+
x
0,5.
a
(t -х)
x exp(-^x)dx + 0,5exp(ab)J erfc
0
2 2 X , s Л s
где a = —; b = — + A; ю = —; v 4v 2v
- ламинарное течение вязкого воздуха
>(t -х)
exp(-^t)dx
, (31)
г \2 u
V uo J
= exp(-At) +
exp(ro:x)
0,5
exp(-ab:)erfc
+exp(ab)erfc
0,5^ -Vb?
0,5^ + Vbt + 0,5exp(-abi)Jerfc 0,^^-^a-A/b1(t -х)
с \ u
V u0 J
xexp^A^^ + 0,5exp(ab:)Jerfc 0,5 /—a--+y]b:(t -х)
0 _ V(t - х)
(t -х)
exp(-At^
+
x
(32)
где b1
сти
2
+ A ; ю-^ •
4v 2v
воздух в вентиляционном потоке уподобляется идеальной жидко-
f \2 u
V u0 J
= exp(-At) +
r \ u
V u0 J
exp
'-A Л -x
V ucp J
exp
-A
exp
Л
x
'-A Л -x
V ucp J
Or
x
t--
V ucp J
V ucp J
Or
f \ x
t--
V ucp J
(33)
где о
с \ x
t--
V u°p J
- единичная функция Хевисайда;
0
t
t -
x
u
cp у
0,t <
x
u
cp
1,t >
x
u
cp
То есть для малых периодов времени зависимость (33) имеет вид
ехр(-№) . (34)
Г
u
V u0 у
А для достаточно больших периодов времени можно записать
f \2 u
V u0 У
г \
u
V u0 У
exp
A
x
V ucp У
(35)
Частным случаем является линейное уравнение стационарного одномерного поля скорости в выработке, которое можно записать следующим образом:
турбулентное течение вязкого воздуха
¿V ёи2 «2л
г—--Аи = 0 , (36)
v-
dx
2
dx
ламинарное течение вязкого воздуха
d2u2 du2
v-
dx
--u -
2 ucp dx
-Au2 = 0
(37)
воздух в вентиляционном потоке уподобляется идеальной жидкости
2
(38)
du2 2
u™-= Au
^p
dx
При этом граничные условия имеют вид
u(x,t) = u1 = const,
limx^ u(x,t) . (39)
Решения уравнений(36) - (38) с учетом условий (39) получены в следующем виде:
турбулентное течение вязкого воздуха
u2 = ц2 exp
ламинарное течение вязкого воздуха
(40)
u2 = u2 exp
u
cp
u
cp
+
A
2v V 4v2 v
V У
x
(41)
воздух в вентиляционном потоке уподобляется идеальной жидкости
u
u2 exp
X
x
u
cp
(42)
Таким образом, получено математическое описание движения воздуха в горных выработках большого поперечного сечения. Рассмотрены варианты представления воздуха в виде идеальной жидкости, а также даны описания ламинарного и турбулентного течения воздуха с учетом его вязкости. Обоснованы математические модели одномерного нестационарного движения воздуха в горной выработке, получены приближенные аналитические решения одномерных уравнений движения. Зависимости (31) - (35) и (40) - (41) представляют практический интерес для решения задач реверсирования вентиляторов главного проветривания, т.к. позволяют оценить время реверсирования вентиляционных струй в рудниках [5]. При этом следует отметить, что выбор варианта представления воздуха в виде идеальной жидкости, в виде ламинарного или же в форме турбулентного течения воздуха с учетом его вязкости должен быть физически обоснованным.
Список литературы
1. Качурин А.Н., Коновалов О.В., Качурин А.Н. Аэрологическое обоснование и математические модели вентиляции тоннелей при их строительстве // Безопасность жизнедеятельности. 2010. № 5. С. 6-12.
2. Качурин А.Н., Ковалев Р.А., Коновалов О.В. Математические модели аэрогазодинамики тоннелей при их строительстве // Изв. ТулГУ. Естественные науки Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С. 246-255.
3. Качурин А.Н., Постникова М.Ю., Власов Д.В. Релаксация давления воздуха в вентиляционной сети рудника при реверсировании вентилятора главного проветривания // Изв. ТулГУ. Науки о Земле.Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С. 69-72.
4. Ушаков К.З. Аэромеханика вентиляционных потоков в горных выработках. М.: Недра, 1975. 153 с.
5. Качурин А.Н., Постникова М.Ю., Власов Д.В. Аэрогазодинамические процессы в вентиляционных сетях рудников, обусловленные диффузией газовых примесей // Изв. ТулГУ. Науки о Земле. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С. 72-82.
Качурин Николай Михайлович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, ecology@tsu.tula.ru, Россия. Тула, Тульский государственный университет,
Мохначук Иван Иванович, канд. экон. наук председатель Российского Независимого Профсоюза Работников угольной промышленности , ecology@tsu. tula.ru, Россия, Москва,
Лискова Мария Юрьевна, канд. техн. наук, ст. преподаватель, mary.18.02@mail.ru, Россия, Пермь, Пермский национальный исследовательский политехнический университет (ПНИПУ),
Бутылёва Софья Дмитриевна, администратор проектов, Россия, Пермь, ООО «ЗУМК- Инжиниринг»
THEORETICAL SUBSTANTIATING MOVING AIR DEPENDENCES IN MINING WORKINGS OF LARGE CROSS-SECTION
N.M. Kachurin, I.I. Mochnachuk, M.U. Liskova, S.D. Butyleva
Mathematical description of moving air in mining workings of large cross-section was given. Variants of physical models at ideal liquid form, viscous liquid laminar motion and viscous liquid turbulent flow were considered. Mathematical models one-dimensional non-stationary motion of air in mining working were substantiated and approximate analytical solutions of one-dimensional equations of motion were given.
Key words: air, velocity, mining working, equation of motion, mathematical model, ideal liquid, laminar-flow conditions, turbulent conditions.
Kachurin Nikolay Mikhaylovich, doctor of technical sciences, professor, the head of a chair, ecology@tsu.tula.ru,Russia, Tula, Tula State University
Mochnachuk Ivan Ivanovich, candidate of econ. sciences, , chairman of Russian Independent Union of mining workers, ecology@tsu.tula.ru, Russia, Moscow,
Лискова Мария Юрьевна, candidate of technical sciences, senior lecturer , mary.18.02@mail.ru,Russia, Perm, Perm National Research Polytechnic Institute,
Butyleva Sofia Dmitrievna, project manager, Russia, Perm, LLC "Zumk-Engineering"
