CC BY
4
Поэтому, если Б1 ^ = 0 и при этом А^.^ + С^.^ = 0, то условия касания (2.10) формы ю будут выполняться автоматически.
Докажем теперь, что касательная составляющая ^-формы ю с компонентами
Юа я = Ю; : X1' ...Х1р = Ак)1 : Х^^1 ...Х1р - А: : Х^ ...Х1р
а1-ар 11.1р а1 ар К)11..1р а' ар 1'.1р а' ар
конформно киллингова ^-форма на 8П-1. Для этого нетрудно проверить, что согласно (2.9) и (2.10) выполняются следующие равенства:
V сЮЬа2...ар +V ьШСа2...ар = 28сЬ0а2...ар - £ (- 1)а(§еа „0 Ьа2...а„_1а а+1...ар + §Ьа а^..^ а+1...ар )'
а =2
где 9аг...ар = Ак^..^ХкХ1а22...Х1ар , которые и доказывают требуемое.
Список литературы
1. Степанов С.Е. Техника Бохнера для да-мерного компактного многообразия с SL(m, R) - структурой // Алгебра и анализ. 1998. Т.10. №4. С. 192-209.
2. Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Энергоиздат, 1982.
3. Kashiwada T. On conformal killing tensor // Natural Science Report, Ochanomizi University. 1968. Vol.19. № 2. Р. 67-74.
4. Stepanov S.E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field // Journal of Geometry and Physics. 2000. Vol.33, № 3-4. Р.191-209.
5. Yano K. Integral formulas in Riemannian geometry. Marcel Dekker, New York, 1970.
M. Isaev, S.E. Stepanov INSTANCES OF KILLING AND CONFORMAL KILLING FORMS
Expressions of Killing form in the affine space and conformal Killing form in the Euclidean space are found. The instances of such form, given on the hy-persphere globally, are listed.
УДК 514.75
И.Е. Лисицына
(Балтийский военно-морской институт) АФФИННЫЕ НОРМАЛИ ГИПЕРПОЛОСЫ SH
Выясняются аналитические признаки и геометрическая интерпретация: 1) аффинных нормалей, порождаемых сопряженными распределениями А и А*, заданными на базисной поверхности Vm гиперполосы SHm [1]; 2) совпадения построенных аффинных нормалей; 3) совпадения аффинной нормали гиперполосы SHm, порождаемой распределением А, с проективной нормалью Фосса [1].
В данной работе индексы принимают следующие значения:
p, q, s, 1=1,г; a, ь, с, d=r + 1,ш; а, в, у=ш + 1,п- 1; а ,в, у = ш + 1,п; 1, к, 1=1,ш; и, V, w=г + 1,п - 1; I, Ь, К= 1,п.
1. Рассмотрим п-мерное аффинное пространство Ап со структурными уравнениями
Бю1 = юЬ люЬ, БюК = юЬ люК, (1)
отнесенное к подвижному реперу {А,е1}. Инфинитезимальные перемещения такого репера определяются дифференциальными уравнениями
dA = ю 1е1, deI =ю КеК. (2)
Известно [1], что гиперполоса Нш, базисная поверхности которой несет двухкомпонентную сопряженную систему Б(А, А*), определяется уравнениями (без соответствующих замыканий):
юС = 0, юа = 0, юп =0, юра = Л^ ю юС = ЛааЬ юь,
ю р=яр1юю р=^юю а=ю a, юС =1 аю х.
Приведем дифференциальные уравнения функций из (3), которые нам потребуются в дальнейшем [1]:
(4)
Для невырожденных тензоров Лпрч и ЛПЬ введем обратные им тензоры Лр1 и
лаь:
| (5)
Продолжая (4а) и учитывая (1), (3), (4), находим дифференциальные уравнения на функции Лпр11, ЛпаЬ1:
(6)
В силу сопряженности распределений А и А* имеем
Лп = 0 Лп = 0
•^ра ^ар
(7)
Тензор Л1?: имеет строение:
Лп-у
Лп РЯ 0
0 Дп аЬ
и удовлетворяет уравнениям
УЛп=Лпк ® к, ^к = Л^Лпк)1 ® П +ЛПЫ ®^
(8) (9)
Введем в рассмотрение квазитензоры
удовлетворяющие в силу (3) - (10) уравнениям
(11)
2. Прежде всего отметим, что к гиперполосе БИт внутренним образом присоединяется нормаль Бляшке Вп-т = [ А,еа ,Вп ] [2], где
В = е„ + В^ +Ла е а
У8 Вп =п пВп;
(12)
и прямая Бляшке В1 =
А,ВГ
. Нормаль Бляшке Вп-т и прямая Бляшке В1 не
зависят от распределений А и А* на поверхности Ут и определяются лишь самой гиперполосой БИт.
Рассмотрим прямую [А,Ап ], где
А,
е + Ьре + Ьае +Ла е
сп ^ ипср ^ ипса ^ а-
(13)
Учитывая (2), (11), убеждаемся, что бАп =ппАп. Таким образом, прямая А1=[А,Ап ] есть инвариантная прямая, внутренним образом присоединенная к БИт во второй дифференциальной окрестности. Прямую А1 назовем
аффинной прямой Л-распределения. Соответственно плоскость Ап-г =[А,еа,еа,Ап] назовем аффинной нормалью Л-распределения, а
плоскость АП-т =[А,еа,Ап - Л-виртуальной аффинной нормалью гиперполосы БИт. Геометрическую интерпретацию прямой А1 Л-распределения выясняет
Теорема 1. Прямая А 1 является диаметром параболоида [1]
ЛПрдХрхд +Л1аЬхахь + ЬПаРхахв+ 2^хахп + Т0 (хп ) + 21аХахп = 2хп, (14)
в поляритете относительно которого в каждой точке А е¥т ребру Грина Ст-1 [1]:
def def
ха= хп = 0, 1 + хРЯр+ха8а=0, Яр=^Яара, $а=1г$Рр (15)
соответствует нормаль Фосса Фп-т = [Л,еа,Фп], где
Фп =4 +а + КЧ + Брер, вр=1 Л? яр,, Бр = 1 лпьБрь. (16)
Доказательство. Находим центр параболоида
(17)
Из (17) следует, что диаметр параболоида (14) задается уравнениями
хр = -1чЛчПрхП = ЬрхП, ха = -1ЬЛьпахп = ЬПхп, ха = - 1рЬрПахп = Лапхп, (18)
т.е. это прямая, которая в силу (13) совпадает с аффинной прямой А1 Л-распределения.
Теорема 2. Л-виртуальная аффинная нормаль Ап-т(А) гиперполосы БИт совпадает с нормалью Фосса Фп-т(А) тогда и только тогда, когда ребро Грина От-1 (А) является несобственной плоскостью.
Доказательство. С учетом соотношений (15), (16) квазитензоры ЬП и Ь ап представим в виде
ЬП = Лрп4 + БЕ, ЬП = 8ьЛЬпа + ЯП. (19)
Ребро Грина От-1 (А), как следует из (15), является несобственной плоскостью тогда и только тогда, когда
Яр=0, Ба=0. (20)
Имеем
Фп_г(А) = Ап-г(А) о Ап = Фп о (ЯП = Ы, БР = ЬР).
(21)
Условия (21) согласно (19) равносильны условиям (20), что и требовалось доказать.
Следствие. Соотношения (21), в силу строения этих квазитензоров, приводят к еще двум аналитическим эквивалентным признакам совпадения нормалей Ап-т(А) и Фп-т(А):
Я
_дп дЬа с Р _ _ д п дчр-
Яа Дп =_Дп БР Дп
сая'' Лп
(22) (23)
3. Согласно теореме Трэнсона [3] для регулярных гиперполос аффинные нормали всех плоских сечений гиперповерхности УпГ_1 (г+1)-мерными плоскостями, проходящими через плоскость Л(А), лежат в (п-г)-мерной
плоскости Тп_ г (А) =
А,ё а ,ёа,ёп + Тпёр
- нормали Трэнсона А-
распределения. Аналогично, нормалью Трэнсона А*=распределения на гиперполосе БНт является (п-Б)-мерная плоскость
Тп_; (А ) = [А,ёа ,ёр,ёп + ТЧ ] .
Определение. Нормалью Трэнсона гиперполосы БИт назовем (п-т)-плоскость Тп-т(А)=Тп-г(А)пТп-8(А) - плоскость пересечения нормалей Трэнсона распределений А и А*. Прямую Т1 (А) = [ А,Тп ], где
назовем прямой Трэнсона гиперполосы БИт.
Из определения вытекает строение нормали Трэнсона гиперполосы БИт!
Выясним теперь условия совпадения аффинных нормалей гиперполосы БИт.
Теорема 3. Нормаль Трэнсона Т„.т(А) гиперполосы 8Ит совпадает с нормалью Бляшке В„.т(А) тогда и только тогда, когда
(т _ г)ЛХ = (г + 2ЛЛЫр, гЛЪЛпаЪс = (т _ г + 2)лрл
bdp
т
рдс'
Доказательство. В силу соотношений (10) получаем
(24)
Из (25) и следуют соотношения (24).
Теорема 4. Л-виртуальная аффинная нормаль Лп-т = [Л,еа,Лп] гиперполосы БИт совпадает с нормалью Бляшке Вп-т (А) тогда и только тогда, когда выполняются соотношения (24).
Доказательство. В самом деле, с учетом соотношений (10) имеем
(26)
Из (26) и получаем условия (24).
Из теорем 3 и 4 следует
Теорема 5. Если для некоторого распределения Л на гиперполосе SHm справедливо одно из следующих условий: а) нормаль Трэнсона гиперполосы совпадает с нормалью Бляшке; b) Л-виртуальная аффинная нормаль гиперполосы совпадает с нормалью Бляшке; с) Л-виртуальная аффинная нормаль гиперполосы совпадает с нормалью Трэнсона, то справедливы и все три.
Список литературы
1. Лисицына И.Е. Распределения на регулярной гиперполосе аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. №. 30. С. 43 - 49.
2. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос аффинного пространства / Деп. в ВИНИТИ РАН. № 3342-В98. 105 с.
3. Лисицына И.Е. Нормализация Трэнсона гиперполосы Hm аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. №. 29. С. 38 - 40.
E. Lisitsyna
AFFINE NORMALS OF HIPERSTRIP SHm
We find out analytic sings and geometric interpretation of: 1) affine normals, generated by adjoint distribution A and A* on base surface of the hyperstrip SHm; 2) coinsidence of constructed affine normals; 3) coinsidence of affine normal, generated by distribution A, with projective normal of Foss.
УДК 514.76
В.И. Макеев
(Пензенский государственный педагогический университет) ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИИ
