Нормализации гиперполосы Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗНОЕ

УДК 514.75(08)

Ю. И. Попов НОРМАЛИЗАЦИИ ГИПЕРПОЛОСЫ SHm

Доказана теорема существования заданной гиперполосы SHm с An с сопряженной системой (А; А ) плоских элементов: касательные подрассло-ения (т -1)-плоскостей (А-подрасслоение) и прямых (А* -подрасслоение). Построены внутренние пучки нормализаций гиперполосы SHm и ее касательных подрасслоений в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

Mission and proof of existence theorem for hyperband SHm с An which carrier conjugated system (А; А) of planar elements are examined: the tangent subbundle of (А; А*) -planes (А-subbundle) and the tangent subbundle of lines (А* -subbundle). Internal beams of normalizations of hyperband SHm and its tangent subbundles in the second-order differential neighborhood are constructed.

Ключевые слова: оснащение, подрасслоение, регулярная гиперполоса, тензор, квазитензор, коинциндентность.

Key words: equipment, subbundle, regular hyperband, tensor, quasitensors, coincidence.

1. Во всей работе использована следующая схема индексов:

I, J, K = 1, n; a, р, у = m +1, n -1; i, j, k = 1, m; a, p = m+1, n; p, q, r, s, t = 2, m.

2. Оператор дифференцирования V действует по закону VTp,p = dTp,p + Tw rop + T^rok + Трй roq - Tpiproy - TPi’ rok - Tj, rot - Tp,p ю".

ajqn a.qn a.qn у a.qn k a.qn t yjqn a akqn j ajth q a.qn n

1. Задание гиперполосы БНт в и-мерном аффинном пространстве

1. Пусть К = {М, в]} — подвижной репер аффинного пространства Ап. Дифференциальные уравнения его инфинитезимального перемещения

йА = Ю]в] , йввк. (1)

Инвариантные формы ю], ю’К аффинной группы

йю] = ю1 лю[, йю>К = лгаК. (2)

В аффинном пространстве Ап рассмотрим т-мерную гиперполосу

Нт [1], то есть т-параметрическое семейство таких гиперплоскостных

элементов (А, т), что точка А описывает базисную поверхность Ут

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 131 — 141.

131

132

гиперполосы, а каждая гиперплоскость т(А) является касательной гиперплоскостью гиперполосы в соответствующей точке А є Vm .

Пусть Hm оснащена полем (m -1) -мерных касательных плоскостей

def

Л m-1 = Д. Это касательное гиперподрасслоение на базисной поверхности Vm с Hm назовем Д-подрасслоением. Поле плоскостей Д(А) порождает сопряженное ему поле касательных прямых L1 относительно асимптотического пучка тензоров (Ь“} [2] базисной поверхности Vm в Hm.

Известно [2], что необходимое и достаточное условие сопряженности def * -

плоскостей Лт-1(А) = Д(А) и прямых L1(A) = Д*(А) — обращение в нуль b“p :

Ь% = Ь“=0. (3)

Гиперполосу Hm с Ап, несущую сопряженную систему (Д, Д ), назовем кратко гиперполосой SHm.

2. Совместим вершину M репера R с текущей точкой А базисной поверхности Vm с Ат . Векторы (ep} поместим в касательную плоскость

def

Л m-1( А) = Д( А), а вектор e1 выберем параллельным прямой L1( a).

Векторы ( Єа} поместим в характеристику Xn-m-1 (А) гиперполосы SHm, а вектор Єп пусть занимает произвольное положение, образуя с векторами (ep, Єа, e1} репер (А, ej} пространства Ап. Канонизированный таким образом репер назовем репером первого порядка R1. Относительно репера R1 гиперполоса SHm с Ап задается уравнениями

юП =0, ю£=0, ю“ =0, (4)

юр = ь;, юп = Ьпю1, ю“ = ь;чю<, ю“ = ь>\ (5)

га1 = Х1ріа', = ХР1,ю', ю“ = а', ю“ = Хгша'. (6)

Замыкая уравнения (5) —(6) внешним образом с учетом (1) —(6) и применяя лемму Картана [4], получим:

Vb; = Ь"т ю', Vb1n1= Ь’Пц ю', (7)

Vb“ + ь;юп = b;vю', vb“ + ых = ь^ю, (8)

fvxPi + ьп юп = ХР, ю’, VX? + ьп юп = X?, ю’, |vx!і = Xi j ю’, VX“ = ю.

(9)

Замыкание уравнений (4) приводит к соотношениям

Ыпрч] =0; bfp, ] = 0; X“ [pbq]t =0; (10)

Kbn = х^ып. « X1“, = xp 1ьп1ь;. (11)

Рассматриваются регулярные гиперполосы БНт [1], для которых характеристика Хп- т_ 1( А) и касательная гиперплоскость Тт (А) поверхности Ут в каждой точке А с Ут находятся в общем положении:

Х-п-т-1 (А) п Тт (А) = А, [Хп_т-і (А), Тт (А)] = х(А).

В силу этого замечания из соотношений (3) и (10) следует, что система функций Ь: образует невырожденный симметрический тензор первого порядка — главный фундаментальный тензор гиперполосы БНт [1], который распадается на два невырожденных симметричес-

Ьп 0

ь: = рч

\ ч I 0 ьп 11

Тензор первого порядка Ьпщ назовем главным фундаментальным тензором БНт, ассоциированным с Л-подрасслоением, а тензор Ь’П1 — главным фундаментальным тензором БИт, ассоциированным с Л* -подрасслоением.

Для невырожденных тензоров Ьпт и Ь’П1 введем обратные им тензоры ЬП и , компоненты которых удовлетворяют условиям:

ь;ь: = 5;, уьрч = -ь^ьп.ю = ьрю, (12)

ЬпЬП1 = 1, уьп1 = Ь11ші. (13)

Теорема 1. Регулярная гиперполоса БНт с Ап, несущая сопряженную систему Б(Л, Л*), в репере первого порядка задается дифференциальными уравнениями (4)- (9) и соотношениями (10) -(11).

Геометрические объекты

г, ={Ь“, ьЦ,г, ={г1, ь6., ьс. х1, и, х1. , хр.}, г3={г2, ьа-, ьі ..х1.., хр.., х1.., X“..} —

1 *-р<Ч 11 і ' 2 У- 1' щ.' 11. 6. 3 12' р.' 11. р.' Т...' 6.' са. і

фундаментальные объекты 1 — 3-го порядков гиперполосы БНт .

Построенная таким образом последовательность г. с г2 с г3 геометрических объектов называется фундаментальной последовательностью геометрических объектов [5], [6] гиперполосы БНт .

2. Теорема существования гиперполосы БНт

Теорема 2. Гиперполоса БНт аффинного пространства, несущая сопряженную систему Б(Л, Л *), существует и определяется с произволом

(т - 1)(п - т +1) функций п аргументов.

Доказательство. Все уравнения, с учетом (11), входящие в чистое замыкание системы (5) — (6), можно записать в виде

ЛЬп лю1 =0, ЛЬ- лю1 = 0, ЛХ1 ; лю1 = 0, ЛХ1. ліЮ =0,

11 11 11 р (14)

ЛХ“ лю. =0, ЛХ- лю. =0, ЛЬпп лю' =0, ЛЬ“ лю' =0,

где Льп- = Уьп-, ль;1; = УЬС + ь;®: , лх“. = ух-., лхр = ух;. +х; ®п,

133

134

Дхр. = Ухр., Дх1. = УХ1. + Ьпю1, ДЪ" = УЪ" , ДЪа = УЪа + Ьп юа.

аг аг 7 рг рг рг п' р, р,' р, р, р, п

Определим характеры системы (14) [7]:

51 = 2(п - т -1) +1 + (т - 1)(п - т +1) + (т - 1)(п - т),

Б2 = А + (т - 2)(п - т), Б3 = А + (т - 3)(п - т), ...,

ёе£

Бт-1 = А + [т -(т- 1)](п - т), Бт = А =(т - 1)(п -т +1). Вычисляем число Картана системы (14) [4]:

Q = 51 + 2Б2 + 3Б3 + . + тБт = [2(п - т -1) +1] + А + (т - 1)(п - т) +

+2 А + 2(т - 2)(п - т) +... + (т - 1)А + (т - 1)[т - (т - 1)](п - т) +

+ тА = {2(п - т -1) +1} + А^^ + (п - т)т(т - +1}.

Разрешим систему (14) по лемме Картана:

ДЬП = ЪПцЮ1, ДЪ“ = ЪШцЮ1, дх ^ = ха X, дх 1г = х>.,

ДХаг = х^.ю', дх?г = х.>, ДЪ; = Ъ^ю‘, ДЪ“ = ЪЩ*ю.

(15)

Найдем число N линейно независимых функций, стоящих в правых частях системы (15):

N = {2(п - т -1) +1} + Атт + -) + : - т)т(т - 1)(т + -).

2 6

Итак, Q = N. Следовательно, система (14) находится в инволюции [4] [6]. Таким образом, гиперполоса БНт существует и определяется с произволом (т - 1)(п - т +1) функций п аргументов.

3. Пучки аффинных нормалей 1-го рода гиперполосы БНт

1. Тензор Ь: гиперполосы БНт удовлетворяет уравнениям [8]:

уь:=ь:к юк. (16)

Замыкая уравнение (16), с учетом (3) — (8) получим

УЬПк = ЬЩ, ю" + Ци ю1. (17)

Найдем дифференциальные уравнения для функций Ьпрч., Ь-. из уравнений (17), придавая индексам ., ., к значения (р, ц, í, 1).

В результате в силу соотношений (3) — (8) получим:

УЬ; = ЪЛ)" + ь-^цХ-.ю. + ю, уь-11 = ь— + ь;(их;).ю + цшю, ,

(18)

у\ = ь"ь-ю1 + ь"ю,уь" = Ь"Ь"юч + ь".(Ю.

рці РЦ 11 п РЦ1. 11р 1^ рц п 11р.

Введем в рассмотрение функции 1-го порядка

К = - щк= -(ъ; ъ1 + ъ;ъ;) (19)

т т

и функции второго порядка

1 1

К =-----ЦгЪЩЪ^П, АР = -ЪПХ^, а; =-------------ЪПЪПпК, (20)

т + 2 } * И т -1 *

1 1

Т1 = - - Ъ 11Ъ1иЪ 11, т; =-- ъ^ъг . (21)

3 т +1 ’

Дифференцируя (19) — (21), с учетом (9), (10), (16) — (18) получаем:

ух; +< = х; ю-, ув; +< = Кп] ^, уа; +< = а;, ^, (22)

уА +< = а1, ю- , ут1 +< = Тт ю-, ут; +< = т; ю-.

Таким образом, из уравнений (22) следует, что совокупности функций (19) — (21) суть квазитензоры гиперполосы БНт .

Отметим, что квазитензоры [Бгп, X;} в дифференциальной окрестности 2-го порядка задают нормаль Бляшке Вп-т (А) = [А, е;, Вп ] [8], где Вп = еп + В1пе, +х: е;. Нормаль Бляшке для гиперплоскостных распределений и гиперповерхностей аффинного пространства Ап была впервые введена Э. Д. Алшибая [12], а для гиперполосных распределений и гиперполос аффинного пространства — в работах [8], [10].

Прямую В: =[А, Вп ] назовем прямой Бляшке гиперполосы БНт . Тогда нормаль Бляшке Вп-т (А) = [А, Вп, Хп-т_:(А)] в каждой А е Ут натянута на

характеристику Хп-т-1 (А) гиперполосы и прямую Вг =[А, Вп ] Бляшке.

2. Согласно теореме Тренсона [3] для регулярных гиперполос: аффинные нормали всех плоских сечений У^ т-мерными плоскостями, проходящими через плоскость Д( А), лежат в (п - т +1) -плоскости

Тп-т+1( А) = [ А, еа, ег, еп + ТПпег ], (23)

ёе£

то есть в нормали Тренсона плоскости Д( А) = Л т-1 (А) (нормаль Тренсона элемента Д -распределения). Аналогично, нормалью Тренсона элемента Д -подрасслоения (прямой Ь1 (А)) является гиперплоскость

Т„-г (А) = [А, е„, еа, еп + т; е]. (24)

В (23) и (24) квазитензоры {Т^} и {Т;} определены формулами (21).

Определение 1. Нормалью Тренсона в каждой точке А е Ут гиперполосы БИт назовем (п - т) -плоскость Тп-т (А) = Тп-т+х (А)п Тп-х( А) —

плоскость пересечения нормалей Тренсона плоскостей Л(А) и Ь(А)

соответственно (плоскостей Д(А) и Д (А) соответственно).

Опред&тение 2. Прямую % (А) = [Д %] где Тп = еп + т;ер + +х;е;,

назовем прямой Тренсона гиперполосы БНт .

135

136

Нормаль Тренсона для произвольного Д-распределения на регулярной гиперполосе Нт е Ап была введена И. Е. Лисицыной [3]. Нормализация Тренсона для касательно г-оснащенных Нт (А) рассмотрена в [9]. Нормаль Тренсона 1-го рода БНт в каждой А е Ут имеет вид Ып_т (А) = [А, еа ,Тп ].

3. Рассмотрим прямую [А, Ап ], где Ап = еп + Агпер + АПе 1 + Xапеа.

Учитывая (1), (22), получаем дАп = пппАп. Итак, прямая А1 = [а, Ап ] есть инвариантная прямая, внутренним образом присоединенная к БНт во второй дифференциальной окрестности. Аг назовем аффинной

прямой Д-подрасслоения (или Д -подрасслоения) в точке А.

Соответственно плоскость Ап_т+х =[А, е1, еа, Ап ] назовем аффинной нормалью Д-подрасслоения в точке А, а плоскость Ап_т =[А, еа, Ап ] — аффинной Д-виртуальной нормалью гиперполосы БНт .

Из формул (20), (21) находим соотношения:

1 11

вп =-2 ьЦьпк1 Ь1 =----- ь^ьц Ь1----- ъп?ъ;ч ъ: =

т + 2 1 т + 2 т + 2 "

3 т1 ,т _ 1 д1 _ д1 3 Л1 , 3 Т-1

Т +------------ А: = А:----------------- А1 +--------- ТП =

т + 2 т + 2 т + 2 т + 2

= АП + —{ті - АП) = ТП + іт+.і (АП - ТЩ) (25)

ш+ 2 ш+ 2

1 111 т +1

ВР = —— ъ^ъПр = —— ъПХъТ —— ъБХЬТ =—!— ап +^± тп =

п т+2 п ,ы п т+2 п 11? п т+2 п ^ п т+2 п т+2 п

= ТП + т- (ап - Тпр) = АП + Ш+1 (ТР - АП ) (26)

т+ 2 т+2

Из (25), (26) следует, что компоненты [Б'п} = {ВП, ВП} — линейные комбинации компонент {Ап} и {ТП‘}. В результате получаем предложения.

*

Теорема 3. Аффинные нормали 1-го рода прямой Ь(А) = Д*(А) в каждой точке А є Ут базисной поверхности гиперполосы БИт образуют однопараметрический пучок гиперплоскостей, определяемый пучком квазитензоров

К(є) = АП + е(Т1 - АП), (27)

3

причем нормаль Бляшке ВП-1 (А) высекается из пучка (27) при є =-.

т+2

Теорема 4. Нормали 1-го рода МП-т+1( А) плоскости Д(А) в каждой А є Ут образуют однопараметрический пучок, определяемый пучком квазитензоров

К (У) = Т + у(АПР - ТП), (28)

1

причем нормаль Бляшке ВП-т+1( А) плоскости Д(А) соответствует у =-.

т + 2

Как следствие из теорем 3 и 4 вытекает

Теорема 5. Нормали 1-го рода Бляшке Вп-т (А), Тренсона Тп-т (А) и аффинная Д-виртуальная нормаль Ап-т (А) гиперполосы БНт в каждой А є Ут принадлежат одному однопараметрическому пучку, определяемому пучком

К (л)= Т +л(АП - ТП). (29)

Если нормаль Тренсона Тп-т (А) и аффинная Д-виртуальная нормаль Ап-т (А) гиперполосы БНт в А є Ут совпадают, то, как следует из (25) и (26), нормаль Тренсона Тп-т (А) совпадает с нормалью Бляшке Вп-т (А), то есть все 3 нормали совпадают. Действительно, из (25) и (26):

((ТП1 = А1; Т = АР)«(Т = В1; ВП = АП)) ^ (Т = А = В1; Т = А = В) ^Т = Вп = АП.

Аналогично можно показать, что при совпадении любых 2 нормалей БНт из указанных 3 в данной точке А є Ут є БНт все 3 совпадают.

Определение 3. БНт назовем коинциндентной [11], если пучок ее нормалей (29) в каждой ее точке А є Ут вырождается в одну нормаль.

В результате приходим к следующему утверждению.

Теорема 6. Гиперполоса БНт коинциндентна тогда и только тогда, когда любые две ее нормали из трех АП_т (А), ВП-т (А), ТП-т (А) совпадают.

4. Введем соответствие между нормалями 1-го и 2-го рода гиперполосы БНт [8] по формулам:

Vі = К VП + Ъг , Vу і = V*Ю , (30)

где Ър = ЪП1рЪП1, Ъ = 3ЪПцЪП1, ъі ={Ър;Ъ}, УЪг = ЪПЮП + Ъ,ю'.

Поле V і, как следует из (30) и условий инвариантности объектов [8], задает поле (т -1) плоскостей Кт-1 — поле нормалей 2-го рода БНт .

Уравнения (30) распишем на две группы (і = р; 1) уравнений, ассоциированных соответственно с Д-, Д* -подрасслоениями:

ур = Ъ"пуП + Ър, Vур = ур,Ю, (31)

у 1 = ЪпуП + Ъ1, 1 = у 1,Юі. (32)

Разрешив уравнения (30) относительно V П, получим:

V П = V ЪП - ЪЪП = V ЪП - ЪП. (33)

Таким образом, при помощи (30), (33) мы устанавливаем биекцию между нормалями 1-го и 2-го рода БНт . Это соответствие — обобщение для гиперполос БНт аффинного пространства соответствия Бомпьяни — Пантази [12]. Биекция (30) индуцирует соответственно биекции (31), (32) между нормалями 1-го и 2-го рода Д-, Д* -подрасслоений.

Аналогично, с помощью величин {В;-}, где

137

В, = Ъ" ЛЪЩ, В = Ъп Ъч‘, УВ-. = Ъ^Ю1, УВ = Ъ" Ю5 + В .Юі,

1 рц 1 П ' р ЭЦр П ' 1 11 П ' р ре П Vі

138

устанавливаем еще одно соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода гиперполосы БНт :

ц = К < + в, , Уц, = V ,к 0 / (34)

которое в свою очередь порождает биекции между нормалями 1-го и 2-го рода соответственно Д-, Д -подрасслоений следующего вида:

ц 1 = ьп V П + В уц 1 = ц 1, (йг, (35)

ц р = ь; V П + Бр, Уц р = ц „ О. (36)

Пучку нормалей 1-го рода Ы'п (л) (29) гиперполосы БНт в

дифференциальной окрестности 2-го порядка соответствуют два пучка нормалей 2-го рода, определяемых бисекциями (31), (36):

Ф, (л) = КК (л)+в,, у, (л) = ьпк (л)+ь,.

Каждый из пучков (3), (4) в силу соответственно биекций (31), (36) и (32), (35) задает пучки нормалей 2-го рода Д-, Д -подрасслоений:

Фр (г)=ш (у)+вр, Ур (у)=ьп№п (у)+Ьр, Ф^в)=ьпкП(8)+% Уі(в)=ьпХ(ї)+ьг

В результате справедлива

Теорема 7. В дифференциальной окрестности 2-го порядка БИт порождает

2 пучка ее внутренних нормализаций (К (л); Ф, (л)), (К (л); У, (л)) в смысле Нор-

дена-Чакмазяна [8] — [10] и по 2 пучка (К(у); Фр(у)), (К(у); Ур(у)) и (К(в); ф1(в)),

(К (в); у1(в)) внутренних нормализаций соответственно Д-, Д* -подрасслоений.

4. Нормализация Фосса — Грина гиперполосы БНт

1. Определение 4. Точка М, принадлежащая плоскости Д(А), называется фокальной точкой плоскости Д(А), соответствующей направлению

*

Д (А) = Ц(А), если она не выходит из Д(А) при инфинитезимальном смещении точки А в направлении ЦА). Направление ЦА) называют фокальным направлением, соответствующим фокальной точке М.

Зададим произвольную точку М плоскости Д(А): М = А + хрер. Если М фокальна, то йМ єД(А) и ор =0, так как направление смещения принадлежит ЦА): йМ_0=(йхр + х^)ер + (со1 + хрХр1ю1)е1. Отсюда (в силу определения)

ю1(51 + хр ^р1) = 0; х 1= ха = хп =0. (37)

Итак, координаты фокальной точки М должны удовлетворять уравнениям (37), выражающим существование нетривиального решения системы (37). Множество всех фокальных точек называется фокальной поверхностью. Уравнения фокальной поверхности плоскости Д(А) в локальном репере:

1 + хрХ1р1 =0; х1 = ха = хп = 0, (38)

а фокальное направление, соответствующее точке М = А + хрер, определяется системой (37). Таким образом, все фокальные точки плоскости Д(а0 ) принадлежат (т - 2) -мерной плоскости (38).

Аналогично получаем, что координаты фокальной точки прямой Ц(А0) (элементов Д -подрасслоения) при смещении точки А0 вдоль кривых, принадлежащих Д-подрасслоению, удовлетворяют уравнению

ае^|5р + х = 0; х1 = ха = хп = 0. (39)

Фокальное направление, соответствующее точке М = А0 + хрер прямой Ц( А0), определяется системой уравнений

ор + х % О =0; х 1= ха = хп =0. (40)

2. Найдем линейную поляру А0 [5] относительно поверхности (38):

1 + хрвр =0; х 1= ха = хп =0, (41)

def

Ор = 1гр1, УОр = Ор, О. (42)

Следуя работе [5], найдем аналогично полюс Є0 точки А0 относительно фокальных точек прямой Ц( А0) (40):

О0): 1 + х 1О1 = 0; х1 = ха = хп = 0, (43)

def 1

О1=------1 Хр1р, УО1= О1, ^,. (44)

т-1

При обращения {Ор} и {О1} в нуль плоскость От-2 (41) и точка О0 (43) становятся несобственн^іми элементами соответственно Д(А0) и ц(а0 ).

3. Рассмотрим плоскость, проходящую через (т - 2) -плоскость От-2 (А0) и точку Є0, определяемую в локальном репере уравнениями

От-1 (А0): 1 + х 1О1 + хрОр =0; ха = хп =0. (45)

Согласно [14], [15] плоскость От-1 (А0) будем называть ребром Грина сопряженной системы Б(Д, Д ). Ребро Грина От-1(А0) — это нормаль 2-го рода в точке А0 гиперполосы БНт . Таким образом, доказана

Теорема 8. Поле нормалей 2-го рода гиперполосы БНт — это поле ребер Грина, заданное системой уравнений (42), (44), внутренним образом

определено в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

4. Введем в рассмотрение прямую Ф1 =[А0, Фи ], внутренним

образом присоединенную к гиперполосе БНт в дифференциальной окрестности 2-го порядка, которую зададим вектором

139

140

Ф п = + К1Єа +Ф пе1 + Ф Рпер ,

1

Ф1 =—— Ь^Х1 , УФ1 +Ю1 = Ф1®,

п т _ 1п ПЧ' ' (46)

Ф П = ЫХ, УФ П +®п = Фп ®'.

Прямую Ф1 назовем прямой Фосса [13], ассоциированной с двухкомпонентной сопряженной системой 5(Д; Д ).

Определение 5. Плоскость Фп_т = [А0, Фг; Хп_т_1 А)], натянутую на прямую Фосса Ф1 и характеристику Хп_т_х(А0), назовем нормалью Фосса 1-го рода гиперполосы БНт , порожденной сопряженной системой 5(Д, Д ).

В результате имеет место

Теорема 9. В дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренним образом присоединяется нормализация (Ф; Є) в смысле Нордена - Чакмазяна гиперполосы БНт, полем нормалей 1-го рода которой является поле нормалей Фосса (46), а полем номалей 2-го рода - поле ребер Грина (42), (44).

Найдем поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик [7] БНт

ЬпИхпХ + Ьп11х1х1 + 2Апхпхп + 2А1х1хп + Ьархахр + Т0 (х" )2 + 21ахах" _ 2хп =0, (47)

относительно которых в каждой А0 поверхности Ут ребро Ст_1 (А0) и нормаль Фп_т (А0) 1-го рода БНт полярно сопряжены. В силу сопряженности Фп_т и От_1 относительно поля гиперквадрик (47) найдем

Ап = _Сп _ ь; Фп, А1= _ Ь^Фп. (48)

Учитывая охваты (48) в формуле (47), получаем предложение.

Теорема 10. В дифференциальной окрестности 3-го порядка, внутренним образом присоединяется к БНт поле соприкасающихся гиперквадрик

Ьп^хгхч + Ь^х1 х1 _ 2(Сп + Ь;ФИ )хпхп _ 2(^ + Ь1\Фп. )х1 хп +

+1архахр + Т0(хп)2 + 2іххп _2хп = 0,

относительно которых поля нормалей Фосса и ребер Грина полярно сопряжены.

Список литературы

1. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / / Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. 1950. Вып. 8. С. 197 — 272.

2. Акивис М. А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 7—31.

3. Лисицына И. Е. Нормализация Тренсона гиперполосы Нт аффинного пространства // Диф. геометрия многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып. 29. С. 38—40.

4. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л., 1948.

5. Столяров А. В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. высших учебных заведений. Математика. 1975. №10. С. 97 — 99.

6. Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лапшева // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 7-70.

7. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм : учебное пособие / Калинингр. ун-т. Калининград, 1978. Ч. 1. 1980. Ч. 2.

8. Попов Ю. И. Регулярные гиперполосы аффинного пространства : учебное пособие. Калининград, 2011.

9. Попов Ю. И. Нормализация Тренсона гиперполосы Hm(X) // Диф. геометрия многообр. фигур. Калининград, 2007. Вып. 38. С. 117-122.

10. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов гиперполосного распределения аффинного пространства / Калинингр. ун-т, 1988. Деп. в ВИНИТИ, 1988. 6 807-887 Деп.

11. Mihailescu T. Geometric differential projective. Bcuresti Aicd RPR, 1958.

12. Алшибая Э. Д. Геометрия распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве : учебное пособие. Тбилиси, 1999.

13. Акивис М. А. О нормалях Фосса поверхности, несущей сеть сопряженных линий // Мат. сборник. 1962. Т. 58, № 2. С. 695 — 706.

14. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

15. Юрьева С. Н. Нормализация Фосса — Грина гиперполосы HM(Л) // Диф. геометрия многообр. фигур. Калининград, 2005. Вып. 36. С. 160 — 165.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта.

E-mail: matsievsky@newmail. ru.

Author

141

Dr Juriy Popov — assistant professor, I. Kant Baltic Federal University. E-mail: matsievsky@newmail. ru.