ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ГИПЕРПОЛОСЕ SHM. Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

И.Е. Волкова

(Балтийский военно-морской институт)

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ГИПЕРПОЛОСЕ SHm

Введены в рассмотрение цилиндрические распределения А на базисной поверхности гиперполосы SHm [1]. Приведены аналитические признаки цилиндрических распределений А и А*. Доказано, что нормаль Фосса [2] сопряженной системы S(A, А*) цилиндрического типа совпадает с ее А-вир-туальной аффинной нормалью [2].

В работе используется следующая схема индексов:

p, q, t = 1, r ; a, b, c = r +1, m ; i = 1, m; a = m + 1,n-1; J, K, L = 1, n.

1. Рассмотрим n-мерное аффинное пространство Ап со структурными уравнениями

DaJ = aL, Da} = aLAa},

отнесенное к подвижному реперу {Л, г3 }. Инфинитезимальные перемещения этого репера определяются дифференциальными уравнениями

dA = aJeJ, deJ = a}eK. (1)

Известно [1], что гиперполоса SHm, базисная поверхность которой несет двухкомпонентную сопряженную систему S^, А*), определяется уравнениями (без соответствующих замыканий):

— П г a _ а „п _ Г, a _ na i a _ к a q n _ дп q

coa= U, a = U, a = U, m = R a , an = Anna , a„ = Anna ,

a p pí p pq p pq ^^

n \n b a ка b p o p i a jai p i p i

an = Aaba , aa = Aaba , К = Spia , aa = loia , ap = l da .

Определение. Распределение А на гиперполосе SHm назовем цилиндрическим, если при смещении вдоль любой его интегральной кривой плоскость сопряженного ему распределения А* смещается параллельно себе.

В силу формул (1), (2) имеем

dep

= + ЯЬраыаёь; (3)

тР =0

Ма !та =0 = трвр + • (4)

Из формулы (4) следует, что А-распределение является цилиндрическим распределением тогда и только тогда, когда тензор } обращается в нуль:

- 0. (5)

И.Е. Волкова

Аналогично в силу формулы (3) Д*-распределение является цилиндрическим тогда и только тогда, когда

&ра - 0. (6)

Как показано в работе [3], распределение Д* (&шД*>1) является коническим тогда и только тогда, когда

= Ка - = 0. (7)

Таким образом, всякое цилиндрическое распределение Д* можно рассматривать как коническое, для которого, как это следует из (7), тензор [Яр} [2] обращается в нуль:

М 1

Кр =~ Щ>а = 0

Аналогично получаем, что всякое цилиндрическое распределение Д можно рассматривать как коническое, для которого тензор {8а} [2] обращается в нуль:

ав/1 ^ = =

Следовательно, все свойства конических распределений [3] распространяются и на цилиндрические. В силу этого имеет место

Теорема 1. Всякое цилиндрическое распределение голономно. Вдоль любой его интегральной поверхности плоскости сопряженного распределения описывают цилиндры.

2. Цилиндрические распределения существуют на любой гиперполосе 8Ит с Ап. Для доказательства этого утверждения достаточно предъявить пример. Рассечем базисную поверхность Ут с $Ит семейством параллельных (8+1)-мерных плоскостей П(¿* = т — г) Каждая из них пересекает поверх-ностьУш по некоторой 8-поверхности У8. Касательные 8-плоскости Т8 таких поверхностей образуют голономное Д*-распределение. Так как при смещении вдоль любой интегральной кривой сопряженного ему распределения Д плоскость распределения Д* не выходит из касательной плоскости Тт базисной поверхности Ут с $Ит и при этом параллельна П5+1(А), то плоскость Д* смещается параллельно себе. Таким образом, Д - цилиндрическое распределение, которое в силу теоремы 1 голономно.

Определение. Сопряженную систему 8(Д,Д*) на ^ с БИт назовем системой цилиндрического типа, если каждое из распределений Д и Д* является цилиндрическим.

Так как всякое цилиндрическое распределение голономно, то сопряженная система цилиндрического типа - это двухкомпонентная голономная сопряженная система.

Теорема 2. Нормаль Фосса Фп-т сопряженной системы Я(Л, Л*) цилиндрического типа совпадает с Л-виртуальной аффинной нормалью Ап-т гиперполосы 8Нт-

Пусть сопряженная система 8(Л,Л*) на базисной поверхности Ут гиперполосы - цилиндрического типа, т.е. выполняются условия (5); (6). Л-виртуальная аффинная нормаль Ап-т = [л, еа, Ап ] гиперполосы 8ИШ [2] натянута на характеристику [А,ва] и прямую [л,Ап], где

Ап = 4 + Ьрер + Ъапеа + А^, (8)

а нормаль Фосса Ф п_т (А) = [л, ёа, Ф п ], где

Ф п = ё + ^ + +Капва. (9)

В силу конечных соотношений [1]

\п -_\п ор _ дп пе кп —_\п ПС _ кп ^д

К дгЪ = К др°Ы К еЪ^дг, К аЪр = К ае^рЪ К рд°аЪ

и с учетом (5); (6) получим

LbcRqt ■ 'caq 'qtS ca

Согласно (10) имеем [2]:

Кп ——Кп RC \п —_\п Qt пга

qtb — bcRqt ■ caq — qtSca • (10)

(11)

11 1 def

К — -1 —1 К'КЯЛП —1 — К;

r г r

1 1,1 def АР — _ 1 Аса An А9Р - 1 Аса An С^ Д9Р — 1 Лса bn — 7Vn '' сайг n — 7Vn yvqtSca ' n — 'n Sca — Sn ■

s s s

Из соотношений (11), (8), (9) следует, что An — Фп Фn-M = An-m

Список литературы

1. Лисицына И.Е. Распределение на регулярной гиперполосе аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. №30. С.43 - 49.

2. Лисицына И.Е. Аффинные нормали гиперполосы SHm // Там же, 2001. №32. С. 57 - 61.

3. Волкова И.Е. Плоские и конические распределения на гиперполосе SHm // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2001. С. 5 - 8.

I. Volkova

CYLINDRICAL DISTRIBUTIONS ON THE HYPERSTRIP SHm

Cylindrical distribution A are introduced on the basic surface of the hyperstrip SHm. Analytical signs of cylindrical distribution A and A* are given. It is proved, that Foss' normal for the conjugate system S(A, A*) of cylindrical type coincidences with its A-virtual affine normal.