CC BY
4
5. Долгарев А.И. Поверхности одулярного пространства на нильпотентной группе Ли // Междунар. шк.-семин. по геометрии и анализу, посв. 90-летию Н.В.Ефимова: Тез. докл. Ростов н/Д., 2000. С. 32-33.
6. Долгарев А.И. Одули и одулярные пространства на группах Ли // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Материалы шк.-конф., посвящ. 130-летию со дня рожд. Д.Ф. Егорова. Казань, 1999. С.82-83.
7. Скотт П. Геометрии на трёхмерных многообразиях. М.: Мир, 1986. 168 с.
8. Левичев А.В. Однородная хроногеометрия. I. Новосибирск: НГУ, 1991. 52 с.
9. Левичев А.В. Некоторые методы исследования приченной структуры однородных лоренцевых многообразий. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1986. 40 с. Препринт № 20.
10. Долгарев А.И. Дифференцирование одулярных функций // 1нтегральш перетво-рення та ix застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. Кшв: 1н-т математики НАН Украши, 1995. №. 10. С. 57-79.
A.I. Dolgarew NON-DIFFERENTIABLE ODULE
The presence of exterior operation on an odule (generalization of the module) allows determine derivation of odular functions, as generalization of derivation of vectorial functions. A differential odular (nonlinear) geometry with tangents by map in an odule occurs. It turns out that, not for any odule odular functions differentiable. The example of such odule is given in this paper.
УДК 514.75
Н.А. Елисеева
(Калининградский государственный университет)
КАСАТЕЛЬНО ОСНАЩЕННЫЕ ГИПЕРПОЛОСЫ HM АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА AN
Исследуются касательно г- оснащенные гиперполосы Нт еЛп[1]. Поле оснащающих плоскостей Л г (Л -расслоение) порождает сопряженное поле (т-г)- мерных Ь-
плоскостей (Ь- расслоение) относительно асимптотического пучка тензоров базисной поверхности Ут гиперполосы Нт. Показано, что в дифференциальной окрестности 2-го порядка к гиперполосе Нт внутренним образом присоединяются пучки нормалей Бляшке 1-го рода соответственно для Л -,Ь-,Т -расслоений (Т- расслоениие - расслоение касательных плоскостей базисной поверхности Ут ). Установлены две биекции Бомпьяни-Пантази между нормалями 1 -го и 2-го рода гиперполосы Нт в дифференциальной окрестности 2-го порядка. Введены внутренние аффинные связности у, у 1, у 2
гиперполосы Нт и Л -,Ь-расслоений и нормальная характеристическая центроаффин-ная связность в х-расслоении характеристик %п-т-1. Найдены компоненты тензоров кривизны этих связностей. Рассматриваются аффинные связности, индуцируемые полем нормалей Бляшке. Выяснены признаки эквиаффинности внутренних аффинных связностей Г 1,Г2, х^, порождаемых полями А-,Ь-,х-расслоений.
Используется следующая система индексов:
I, J, K = 1,n ; i, j, k,...=1,m; p, q, r,...1,r ; a, b, c,...=r + 1,m;
a, в, y = m + 1,n- 1; ф = {a,n}; T={p, a, a}.
Отнесем n-мерное аффинное пространство An к подвижному реперу R={ M, е i}, инфинитезимальные перемещения которого задаются дифференциальными уравнениями:
dM = ш1 е1, d е1 = ш K ек.
Инвариантные формы шI, ш K аффинной группы удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства
dшI =шL лшL, dшK =шL лшK.
Репер R выбираем следующим образом: вершину М репера R совмещаем с текущей точкой А поверхности Vm, векторы е p помещаем в касательную
r- плоскость А=А(Л), векторы еа - в (m-r)- плоскость L=L(A), векторы еa -в характеристику X=Xn-m-1(A), а вектор е n занимает произвольное положение, образуя с векторамиет репер {Л, ет, еn } пространства An, который назовем репером 1-го порядка R1. В выбранном репере R1 гиперполоса HmcAn задается уравнениями(соответствующие замыкания не выписываются):
ш n = 0, ша = 0, ша = 0, ш p = apq ш q, ш n = a^ ш b, ша = a aq ш q,
ш а= aabш b, ш p=APiш i, ш p=^^'aî ^^i, ш а=iaiш i, ша =1 aiш i,
где a[pq] = 0, a[% = 0, 1 a[ia^k = 0 (ap>b = anq = 0),
aф T q — ЛС aф = 0
apqL[ab] p[aab]c _ 0.
В дифференциальной окрестности 1-го порядка внутренним образом присоединяются к гиперполосе Нт поля квазитензоров
Vtа +ша = t ашi
У ^ TUJn lniUJ '
ассоциированные соответственно с A-,L- расслоениями. В дифференци-
альной окрестности 2-го порядка внутренним образом построены квазитензоры:
1 1
1Р =--арча\ аЬа ■ Та = — ааЬап каф
1п "п "аса п ' п "п "раЪ"п ;
т - г 4 г
+ а =__ааЪ„п
1п - , о п ^Ип >
т - г + 2
ассоциированные соответственно с Л-,Ь-, Т - расслоениями.
2. Определение. (п-т)- плоскость Бп-т=[Л,Б, х] (Ъп-т = [А, Ъ, х]), натянутую на прямую Бляшке Б (Ъ) и характеристику х гиперполосы Нт назовем первой (второй) аффинной нормалью Бляшке Бп-т (Ъп-т) 1-го рода гиперполосы Нт, где
Б = Тр^р + тп^а + Т^еа + еп, Ъ = 1р^р + ^ёа +1 аеа + еп.
Определение. (п-г)- плоскость Кп-г=[Бп-т, Ь], натянутую на нормаль Бляшке Бп-т и на плоскость Ь, назовем первой аффинной нормалью Бляшке 1-го рода Л- плоскости.
Определение. (п-г) -плоскость кп-г=[Ъп-т,Ь], натянутую на нормаль Бляшке Ъп-т и на плоскость Ь, назовем второй аффинной нормалью Бляшке 1-го рода Л-плоскости.
Аналогично определяются первая и вторая нормали Бляшке 1-го рода ^^п-т+г = [Ъп-т, Л] и ^^п-т+г = [Бп-т, Л] для Ь- плоскости. Найденные нормали Бляшке 1-го рода позволяют построить пучки нормалей Бляшке 1-го рода соответственно Л-,Ь- расслоений:
Фп_г(е) = Кп_г + е(кп_г - Кп_г), (1)
^п-т+г(^) = ^п-т+г + ^(wп-т+г - ^п-т+г), (2)
определяемые соответственно пучками квазитензоров 2-го порядка
1п = Тп +е(1п - Тр), (3)
1п = Т п +5(1ап - Т п). (4)
Построен пучок нормалей Бляшке 1-го рода гиперполосы Нт
т(П) = Бп-т + П(Ъп-т - Бп-m), (5)
который задается пучком квазитензоров 2-го порядка:
1п( П) = Т п + п(1п - Т п). (6)
Теорема 1. Пучки нормалей Бляшке 1-го рода (1), (2), (5) соответственно А-,Ь-,Т-расслоений внутренним образом присоединены в дифференциальной окрестности 2-го порядка гиперполосы Нт.
3. Найдены два соответствия Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода А-,Ь-расслоений:
Мр = аРчVП + V умр = Мр1 юрр = аПчуП + Тр, урр =рр1 ю
Ма = аПЬ уП + ^ УМа =Ма1ю 1; Ра = аПЬуП + Та. УРа = Ра1ю 1;
и два соответствия Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода гиперполосы Нт:
М 1 = а1куп +11, ум 1 =М 1кюк; (7)
р, = аПк Vк + Т1, УР1 =Р1кю к. (8)
Из теоремы 1 в силу (7), (8) следует
Теорема 2. Пучок нормалей Бляшке 1-го рода IП (6) порождает в дифференциальной окрестности 2-го порядка по два пучка нормалей 2-го рода гиперполосы Нт, определяемых биекциями:
р( е) = а11кп( е) + Ти (9)
Уг(8) = аПк1кп(д) + (10)
Каждый из пучков (9), (10) порождает соответствующие пучки нормалей Бляшке 2-го рода для А-,Ь-расслоений:
Рр(е) = (е) + Тр,Ур(8) = аПрд1Ш(8) + <Ра(е) = арь1ьп (е) + Та, ¥а(8) = а^ (8) + ха. Следствием теорем 1 и 2 является
Теорема 3. Пучки нормалей Бляшке 1-го рода (3), (4), (6) в дифференциальной окрестности 2-го порядка в силу соответствий Бомпьяни-Пантази (7), (8) порождают по два пучка внутренних двойственных нор-мализаций в смысле Нордена-Чакмазяна для Т-,А-,Ь-расслоений, ассоциированных с гиперполосой НтсАп.
4. Оснащение гиперполосы Нт полями объектов {ур}, {уП }, {у'п}, {у^} определяет аффинную связность в А-,Ь-,Т- расслоениях и в х-расслоении. Формами аффинных связностей являются: ю1 =ю1, ю1 =ю ^-у1^ ю п,
Юр =юр -ур1ю1, юр =юр-ур1ю1, юЬ =юЬ-уЬ1ю1, юр=юр-ур1ю1. При этом формы ю1, ю1 задают аффинную связность у в Т-расслоении касательных плоскостей. Эту связность назовем внутренней аффинной связностью
гиперполосы Hm [2], соответственно, формы со1, сор и со1, cob определяют
внутренние аффинные связности у! и у2 в A-,L- расслоениях. Формы ш1, шр
задают аффинную связность п1 в х-расслоении, которую будем называть нормальной характеристической центроаффинной связностью [2]. Внешние дифференциалы форм со1, сор, cob представимы в виде:
dco1; = cok лш[ + RJklшk л шl, dcoP = со! лшР + R^c1 лшJ,
J J К JKi q q s qi)
Где R1jkl = -VПVîiaj[kaf]f + a|ka0cl] - Vîi[kaf]j(a^b = aaq = 0),
6 а с а а п „п + „ а 1а - ^ а „п + тр да - .,атр „п
^М] _ у^паЬ[1а]]^аЬ[11 а]] п[1а]]Ъ ЬЪ[1 р]] пЬЬ[1а]]р
- компоненты тензоров кривизны связностей у,у 1,у2.
Компоненты объекта связности у имеют следующее строение:
У]к = О У [)к] = у1па[п]к] =
А^агог^4^ у р[ = Vп„П[ , У Ы = , у рч[] = у ¡^ = °. Но так как апЪ = °, то окончательно получаем
Ура^ =У[Ьс] = ° У ра = ° У Ър = °.
Внешний дифференциал форм со а = юа^а ®п - ®а представим в виде: dюа=юpлюа + 6 )1 л с], где Я ^ = а к[]1р1] - компоненты тензора кривизны связности п1.
1 .
5. Формы ю 1 = ю1 - тп юп задают внутреннюю аффинную связность Г1,
2 1
индуцируемую полем нормалей Бляшке Бп-т, а формы ю] =ю] - ^юп -
внутреннюю аффинную связность Г2, индуцируемую полем нормалей Бляш-
ке Ъп-т. Имеем
1 1 1
¿1 к 1 . т-> 1 к 1 т-> 1 _ т^кп „п г-р1 п . „а 11
ю] = ю] л юк + Я]к1ю л ю , Я]к1 = -1 п 1 па][каЩ - 1 п[ка1]] + а][к1а1] ■
2 2 2.
d ю1 =ю] лю*£ + г|'к1юк лю1, г]к1 =- 1п11пап[ка1]Г - 1п[каЦ] + а^1].
Величины Rikl,rJikl - компоненты тензоров кривизн связностей Г i ,Г 2. Формы Юр являются формами внутренней связности х1, индуцируемой полем
характеристик xn-m-i •
Исследуем признаки эквиаффинности связностей Г i ,Г 2. Находим тензоры Риччи этих связностей:
Rjk = Riki = TjTk - ТiТПаПк - ТПкаи + Т^ + aOklOci - a^ •
Операция альтернирования приводит к следующему результату:
R = Ti an — аa li = S — aа li [Jk] _ n[J"k]i di[J1 ak] _ [Jk] di[J1 ak]-
А^отитао r[jk] = tjl[jak]i - ajj1 ak] = P№] - ayOk] •
Согласно [3] эквиаффинная связность характеризуется симметрией тензора Риччи, что приводит к условиям
S[kl] = a jfk1 Oil]' (il)
P[kl] = a jfk1 Oi]. (i2)
Таким образом, приходим к признаку эквиаффинности внутренних аффинных связностей Г i ,Г 2.
Теорема 4. Для того, чтобы внутренняя аффинная связность Г1(Г2) гиперполосы Hm, индуцируемая полем нормалей Бляшке Bn-m(bn-m), была эк-виаффинна необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (11)((12)).
В х -расслоении внутренняя связность плоская, если
(13)
Условие (13) эквивалентно любому из условий
ауОц = 0, (14)
V] = Ти[Па1]1 = ^[П1], (15)
Г[П1] = *п[Па1]1 = Р[П1]. (16)
Теорема 5. Внутренняя аффинная связность X, индуцируемая полем характеристик Хп-т-^1, плоская тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий (14), (15), (16).
Теорема 6. Для того, чтобы на гиперполосе Hm одновременно связности Г1 ,Г2 были эквиаффинными, а связность X плоской, необходимо и достаточно выполнение условий (14)-(16).
Список литературы
1. Попов Ю.И. Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос. Калининград, 1992.
2. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос. Калининград, 1983.
3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
A. Eliseeva
TANGENT EQUIPPED HYPERSTRIPS Hm IN THE AFFINE SPACE An
Tangent equipped hyperstrips in the affine space are investigated. Fields of equipping planes generates adjoint field of planes aboute asimptotic bunch of tensors for the hyperstrip. Bunches of Blaschke's normals of the 1-st kind are adjoined in the interior manner. Two biectios Bompiani - Pantasi are determined between normals of the 1-st and 2-nd kind. Interior affine connections of hyperstrip and normal characteristical center-affine connection are introduced. These connection curvature tensors are found. The sings of connection equiaffinety are cleared up.
УДК 514.75
О.М. Жовтенко
(Калининградский государственный университет)
ИНДУЦИРОВАННЫЕ ГРУППОВЫЕ СВЯЗНОСТИ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В проективном пространстве рассмотрено семейство плоскостей, причем размерности семейства и плоскости произвольны. С помощью способа Лаптева задана групповая связность в расслоении, ассоциированном с семейством. Групповая связность содержит проективную связность. Показано, что в случае неголономности пространства параметров объект кривизны проективной связности является тензором лишь в совокупности с объектом проективной связности и фундаментальным объектом 1-го порядка семейства. Произведено оснащение Бортолотти семейства плоскостей и доказано, что оно индуцирует 2 типа групповой связности в ассоциированном расслоении. Найдены условия совпадения этих типов.
