CC BY
5
Теорема 4. Л-виртуалъная аффинная нормаль Ап__т = [А,еа,Ап] гиперполосы 8Ит совпадает с нормалью Бляшке Вп-т (А) тогда и только тогда, когда выполняются соотношения (24).
Доказательство. В самом деле, с учетом соотношений (10) имеем
(26)
Из (26) и получаем условия (24).
Из теорем 3 и 4 следует
Теорема 5. Если для некоторого распределения Л на гиперполосе 8Ит справедливо одно из следующих условий: а) нормаль Трэнсона гиперполосы совпадает с нормалью Бляшке; Ь) Л-виртуальная аффинная нормаль гиперполосы совпадает с нормалью Бляшке; с) Л-виртуальная аффинная нормаль гиперполосы совпадает с нормалью Трэнсона, то справедливы и все три.
Список литературы
1. Лисицына И.Е. Распределения на регулярной гиперполосе аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. №. 30. С. 43 - 49.
2. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос аффинного пространства / Деп. в ВИНИТИ РАН. № 3342-В98. 105 с.
3. Лисицына И.Е. Нормализация Трэнсона гиперполосы Нт аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. №. 29. С. 38 - 40.
E. Lisitsyna
AFFINE NORMALS OF HIPERSTRIP SHm
We find out analytic sings and geometric interpretation of: 1) affine normals, generated by adjoint distribution A and A* on base surface of the hyperstrip SHm; 2) coinsidence of constructed affine normals; 3) coinsidence of affine normal, generated by distribution A, with projective normal of Foss.
УДК 514.76
В.И. Макеев
(Пензенский государственный педагогический университет) ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИИ
ОБЩИХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ ВЕКТОРНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ С ОТНОСИТЕЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ
Изучаются инфинитезимальные относительные изометрии веса н в общих метрических пространствах векторных элементов g*n,y определенного типа. Установлены структуры всех кручений и кривизн обобщенной аффинной связности для g*n,y с максимальной группой изометрий.
Пусть М - гладкое п-мерное многообразие, Т(М)- его касательное расслоение.
Определение. Общим метрическим пространством векторных элементов с относительной метрикой называется пара g*n,y=(M, g*(x,y)), уеТх(М), хеМ, где g*(x,y)- невырожденное симметрическое М-тензорное поле типа (0,2), компоненты которого относительны веса н и однородны фиксированной степени к по слоевым координатам.
Обозначим через Н инфинитезимальную связность на Т(М), через I-почти комплексную структуру на Т(М). Обобщенной аффинной связностью Л называется линейная связность V на Т(М), для которой Ух1=0 и УхУ^У(У-вертикальное распределение), где V х - ковариантная производная для линейной связности, X - векторное поле на Т(М). Предполагается, что Л относительна, т.е. метрическая (Ag*(x,y)=0, А - ковариантный дифференциал для Л) при 2+п^^0 и рекуррентная (Ag*(x,y)=ц g*(x,y)) с 1-формой рекуррентности ц=ц(х,у) при 2+nw=0. Будем рассматривать регулярные пространства g*n,y, т.е. пространства, допускающие относительную связность Л.
Пусть Б,Т и S1 - М-тензорные поля смещения, Ъ - кручение и V -кручение для Н и Л. Относительной изометрией веса н, короче н-изометрией, в g*n,y с наперед заданными Б, Т, Б1 и 1-формой у=у(х,у) называется дифференцируемое преобразование в М, естественное продолжение которого в Т(М) сохраняет g*(x,y), Б, Т, Б1 при 2+пн^0 и g*(x,y), Б, Т, Б1, V при 2+пн=0.
При работе с относительными величинами возникают известные [1] трудности. Поэтому считаем, что компоненты g*ap метрики g*(x,y) выражаются формулой
g* аР (х,у) = Фк/2 gW/2 gap (х,у), (1)
где Ф=gар уаур, g=det ||gар||, а gар суть (0)-однородные (абсолютные) компоненты положительно определенной метрики g(x,y) общего метрического пространства gn,y=(M, g(x,y)); а,Р,... = 1,...,п. В gn,y метрическая относи-
тельно обобщенная аффинная связность удовлетворяет условиям однородности и симметричности.
Пусть = У^р*, Б((Ь) = , где - компоненты I в адаптирован-
ном к И базисе, V- ковариантная производная относительно римановой связности; ^ ]=1,...,2п; р*=п+1,..., 2п. Заметим, что при = = 0 почти эрмитово многообразие пространства §п,у является почти семикелеровым, т.е. почти эрмитовым, в котором У!' = 0.
Инфинитезимальную w-изометрию, отвечающую инфинитезимальному конформному преобразованию, для которого ЬБ^) = 0 (соотв. Ь^ = 0)
назовем инфинитезимальной (у^-изометрией (соотв. (ИМ-изометрией). Поскольку
= 2(п -1)ц -р, а = -2(п - 1)Х рц,
где ц -р = дц / дур, X р= д / Эхр - Г^ (х, у)д / дуа (Г^ - компоненты И), то учитывая (1), можно получить следующую теорему, где для краткости записи вынесены соотношения:
Ь Б=0, Ь Т=0, Ь Б1 =0 (2)
где Ь - производная Ли вдоль полного лифта векторного поля £ на М.
Теорема 1. В регулярном пространстве g*n,y типа (1) векторное поле £ на Мпри 2+k+nw *0 определяет инфинитезимальную w-изометрию, а при 2+k+nw =0 - инфинитезимальную (у^-изометрию (соотв. (И^- изомет-рию), если и только если выполняются условия:
а) Lg(x,y)=0, (2), 2+nw*0, 2+k+nw *0; (3)
б) Lg(x,y) =0, (2), Ьу= 0, 2+nw = 0, ]с*0; (4)
в) Lg(x,y)=2 цg(x,y), ц/.р = 0, (2), 2+k+nw =0 (5а) (Ьф,у)=2цф,у), Хц= 0, (2), 2+k+nw =0), (5б)
где ц= ц^у) - скалярная функция.
Если условия интегрируемости системы уравнений (3) (соотв. (4), (5а или 5б)) выполняются тождественно, то §*пу допускает группу w-изометрий Ог максимальной размерности г=п(п+1)/2 (соотв. г=п(п+1)/2; г=(п+1)(п+2)/2, п>3). Предполагая это, из соотношений интегрируемости можно установить определенные структуры всех М-тензорных полей кручений Т, Б1, С, Я1, Р1 и кривизн Я2, Р2, Б2 связности Л в каждом из трех случаев. При этом считаем, что Л параллельная в случаях (3) и (4), т.е.
Л(Ь)Я2=0, ЛТ=0, Л Б1=0,
где А(Ь) (^)-ковариантная производная для Л. Получается, в частности,
¡с ь а ц и Ьр ц
следующий результат, где Rрaцр, Ьрацр, Трац и Брац - компоненты R2, Ь2,Т и
Ь1 соответственно.
Случай (3):
Ярацр=0, (Ярацр=8* аст Яр'цр), (6)
Ярацр=ФВ(В* рц Б* ар - Б* Рр Б* ац), (7)
где В - некоторая (^0) постоянная, а
Ф=ф*-к/2+к+™ в*-./2+к+П. (ф*=§* ар уаур, ||ё* ав ||);
Ярацр= Б* ацП рр- Б*арП рц +Б*ррП ац-Б*рцП ар, (8)
Пвц =Ф-(- 2 °ё*рц + ф*^* р У* цХ
где у*р = Б*рстуст и для постоянных О, Р случай 0=0, отсутствует;
Ьрацр= А (ЬрцИар-ЬррИац) (Ьрц=Б* рц- ф у* р у* ц , А=С0Ш^. (9)
Теорема 2. Пусть регулярное пространство g*ny типа (1) обладает при 2+nw¿0, 2+k+nw ^0 группой w-изометрий Gn(n+l)/2 и связность Л параллельная. Тогда T=0, Б1=0, а компоненты кривизн Я2, 82 можно выразить формулами (6)-(9).
Пространство Б*п,у, для которого R =0 (Я аналогично (7), (8)) назовем пространством постоянной нулевой кривизны (ненулевой кривизны, субпроективным многообразием Кагана [2]). Таким образом, при условиях теоремы 2 пространство Б*пу так называемой непостоянной кривизны является субпроективным многообразием Кагана основного случая.
Случай (4):
Т=0 (п>3, а2+(Ь+п) 2*0; а,Ь=сош!), (10)
Трац = 5ар Тц - 5ац Тр (п>4, а=0, Ь+п=0) (11)
(Тц = (п-гуфуц, уц = 8 ц ^ 5ь5 2=const),
Ь1=0 (п>3, а2+522+(Ь+п) 2*0), (12)
Ь рац = 5ар Ь ц - 5ац Ь р (п>4, а=0, Ь+п=0, 52=0) (13)
ц =Пфуц, '=С0Ш^
Б
Ьрацр= ф* (ЬрцЬар-ЬррЬац) (£=С0Ш^. (14)
Теорема 3. Если регулярное пространство g*n,y типа (1) при 2+nw=0 и k^0 допускает группу w-изометрий Gn(n+1/2 и связность Л параллельная, то
оно является постоянной нулевой или ненулевой кривизны, а компоненты 1 2
Т, Б и Б можно выразить формулами (10)-(14). Случай (5а, 5б):
£
(п- Ъф
S р ц - 5 в S ц - 5 ц S р (S ц —--- yj; (15)
(n — 1)2 — t2
Spa^p - вида (9), но A -—(———2—. (16)
Теорема 4. Если регулярное пространство g*n,y типа (1) при 2+k+nw=0 допускает группу (у^-изометрий (или (h)w-изометрий) G(n+i)(n+2)/2 , n>3, то T=0, R1=0, P1=0, R2=0, P2=0, а S1 и S2 обладают компонентами вида (15),(16).
Список литературы
1. Thomas T.Y. The differential invariants of generalized spaces. Cambridge, 1934. 243 p.
2. Кручкович Г.И. О пространствах В.Ф.Кагана // Каган В.Ф. Субпроективные пространства. М. Физматгиз, 1961. С. 163-195.
V.I. Makeev
INFINITESIMAL ISOMETRICS OF GENERAL METRIC SPACES OF VECTOR ELEMENTS WITH THE RELATIVE METRIC
We study infinitesimal relative isometrics of weight w in general metric paces of the vector elements g*n,y of the certain type. The structure of the all torsion's and curvatures of the generalized affine connection for g*ny with maximum group of the isometrics has been established.
УДК 514.7
Т.Ю. Максакова
(Балтийский военно-морской институт)
ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ВЫРОЖДЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ
Рассматриваются двойственные нормальные связности на центрированной тангенциально вырожденной гиперполосе CHm проективного пространства Pn. Показано, что
