КАСАТЕЛЬНО ОСНАЩЕННЫЕ ГИПЕРПОЛОСЫ НN-2 АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА АN Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Н.А. Е л и с е е в а

(Калининградский государственный университет) КАСАТЕЛЬНО ОСНАЩЕННЫЕ ГИПЕРПОЛОСЫ Нп.

1-2

АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА А,

п

Изучаются гиперполосы Нп-2<^Ап, оснащенные полем т-мерных касательных плоскостей Л. Поле Л-плоскостей порождает сопряженное ему поле касательных (п-т-2)-мерных плоскостей Ь относительно асимптотического пучка тензоров базисной поверхности Уп-2 гиперполосы Нп-2. Гиперполосу Нп-2, несущую сопряженную систему (Л,Ь) касательно оснащающих плоскостей, обозначим БНп-2 . Приведено задание гиперполосы в репере 1-го порядка. В дифференциальной окрестности 2-го порядка построены инвариантные пучки нормалей 1-го рода в смысле Нордена [1] для Л-,Ь-,Т-распределений, где Т-распределение - это распределение касательных плоскостей базисной поверхности Уп-2 гиперполосы Нп-2. Введены соответствия Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Л-,Ь-,Т-распределений. С помощью указанных биекций в дифференциальной окрестности 2-го порядка найдены по два пучка внутренних нормализаций в смысле Нордена для Л-,Ь-,Т-распределений, ассоциированных с гиперполосой БНп-2.

Используем обозначения работы [2] и следующую систему индексов:

1Д,К = 1,п ; p,q,r = 1,m; a,b,c = т + 1,п - 2 ; ^ ^ = 1,п - 2 ; а = п - 1,п.

1. Рассмотрим п-мерное аффинное пространство Ап, отнесенное к подвижному реперу Я={М,е1}, инфинитезимальные перемещения которого имеют вид :

ёМ = ю 1е1, = ю КеК.

Инвариантные формы ю1, юК аффинной группы удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства:

ёю1 = юК люК, ёюк = ю]г люК.

Известно [3], что необходимым и достаточным условием сопряженности плоскостей Л(А) и Ь(А) является обращение в нуль тензора а рра, т.е. а рра =0.

Совместим вершину М репера Я с текущей точкой А базисной поверхности Уп-2 , причем векторы { е } поместим в касательную т-плоскость Л(А), а векторы { еа}- в (п-т-2)-плоскость Ь(А). Вектор еп-1 направим параллельно характеристике Х1, а вектор еп пусть занимает произвольное положение, образуя с векторами ер, еа, еп-1 репер {А, е:} пространства Ап, который назовем репером

1-го порядка R1. В выбранном репере R1 гиперполоса SНn_2 задается уравнениями (соответствующие замыкания не выписываются):

ш п = 0, ш п_ = 0, ш = 0, ш ^ = а^ш ш п = а^ш ь, ш р = Лар1 ш\ ® П_1 = ар_1ш а, ш П_1 = аПь1® Ь, ш Р = ш1, ш П_1 = аП_1,1 ш1, ш П_1 = 1П_1,1 ® 1,

где а"аЬ] = 0,аГря] = 0,1к_1[1аП]к = 0,аряЦаЬ] _ Лр[ааЬ]с = 0,ааЬЛМ _ Ца[ра^ = 0

Геометрические объекты Г1={ ард, аПЬ, а^1, аП_1},

г _(г яп „п „п_1 яп_1 да тр |а 1р \ у _ /у да т р 1а 1р \

1 2 = I1 1, аря1, ааЬ1, аря1 ,ааЫ ,Лр1, Ца1, Ап_1,1, Ап_1,1 1 3 = I1 2, Лр , Ап_1,и }

являются фундаментальными объектами [4] 2-го и 3-го порядка гиперполосы

2. Плоскость Нп-т(А), удовлетворяющую условиям

Нм^А^А), Нп-т(А)зХ1(АХ Nn-m(A)nЛ(A)=A,

назовем нормалью 1-го рода для плоскости Л(А).Соответственно, плоскость Нт+2(А), удовлетворяющую условиям

Нт+2(А)^(А), Нт+2(А)зХ1(АХ Nm+2(A)nL(A)=A,

назовем нормалью 1-го рода для плоскости L(A). Аналогично, нормалью 1-го рода плоскости ТП-2(А) назовем плоскость N такую, что

Н2(А)зх1(А), Н2(А)пТп-2(А)=А. Поля нормалей 1-го рода в смысле Нордена Л-^-,Т-распределений задаются соответственно уравнениями

Ухр +ш р = хр ш1, Ухп +ш п = хЩ1 ш1, Ухп +ш п = х^ш J. (1)

Последовательно строим функции

* = 1 а п „ Ьа у* = „ п ш я + * ш я .

п _ Ш _ 2Р

*а = аЛааЬС, У* а = ааСш п + *асш С; (2)

п _ Ш

*1 = ОрЛЬ = апш п + ) J.

С помощью функций (2) соответственно получаем квазитензоры *р = _ ар%, У*р +ш п = *р1 ш1;

*п = _ апЬ*ь, У*п +ш п = ш1; (3)

I1 = Цр *а} У*1 + ш1 = ^ шJ Аналогично находим , удовлетворяющие уравнениям (1), функции

Тпр = апаТд, Тпа = апЬТь, Т = {Тпр,Тпа}, (4)

где

Тр =-Г апарад8, Та =-араааШр, Т1 = {Тр,Та}. (5)

ш + 2 Ш

30

Н.А. Елисеева

Теорема 1. Инвариантные поля нормалей 1-го рода в смысле Нордена соответственно для Л-,Ь-,Т-распределений внутренним образом присоединяются к гиперполосе $>Нп.2 в ее дифференциальной окрестности 2-го порядка.

Найденные нормали 1-го рода (3), (4) Л-,Ь-,Т-распределений позволяют построить пучки нормалей 1-го рода этих распределений:

Кр(б) = 1р + вПр, КП(е) = 1П +8Пп, КП(е) = 1П + вПП, (6)

где

ПП = Тпр - 1р, УПП = ППю1;

пп = та - 1П, УПП = Пп1 ю1;

п1 = Т1 -11 УП1 = П1 юJ

п п 1п> п)^ •

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренним образом присоединяются инвариантные пучки нормалей 1-го рода (6) соответственно Л-,Ь-,Т-распределений, ассоциированных с гиперполосой 8Нп-2.

3. Введем биекции между нормалями 1-го и 2-го рода Л-,Ь-,Т-распределе-ний, определяемых соотношениями

ц 1 = ап ^п + ^ уц 1 = ц 1кю к; (7)

ц р = уп + tp, уц р = ц р1ю 1; (8)

Ца = апЬ Vп + 1а , УЦа = Ца1ю 1. (9)

Биекции (7)-(9) являются обобщением на случай гиперполос известного соответствия Бомпьяни - Пантази [5], [6]. Аналогично с помощью величин (5) устанавливаем еще одно соответствие Бомпьяни - Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Л-,Ь-,Т-распределений:

V1 = Vк + ^ V р = ^ V 2 + Т^ V а = апс V п + Та. (10)

Пучки нормалей 1-го рода (6) в силу биекций (7)-(10) порождают в дифференциальной окрестности 2-го порядка по два пучка нормалей 2-го рода для Л-,Ь-,Т-распределений:

ц 1(8) = аЦК) (в) +11, V 1(2) = аЦК) (8) + Т^

Ц р (в) = апчКп(в) + 1р, V р (в) = а^Кп(в) + Тр,

Ц а (8) = апсКп(8) + ^а , V а(8) = апсКп(8) + Та .

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренним инвариантным образом построены по два пучка двойственных нормализаций в смысле Нордена Л-,Ь-,Т-распределений, ассоциированных с гиперполосой 8Нп-2.

Библиографический список

1. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

2. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос. Калининград, 1983. 82 с.

3. Акивис М.А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.7-31.

4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т.2. С.275-382.

5. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений геометрических элементов в аффинном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т.5. С.169-193.

6. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Там же. 1971. Т.3. С.49-94.

N.A. E l i s e e v a TANGENT EQUIPPED HYPERSTRIPS Hn-2 OF AFFINE SPACE An

Hyperstrips Hn-2 ^An , equipped by the field of m-dimensional tangent planes Л, are investigated. The field of Л-planes generates conjugate to itself field of tangent (n-m-2)-dimensional planes about asymptotical bunch of tensors for base surface Vn-2 of the hiperstrip Hn-2 . We designate SHn-2 the hyperstrip Hn-2, with conjugate system (Л,Ь) of the tangent equipping planes. In differential neighbourhood of the 2-nd order invariant bunches of Norden normals of the 1-st kind are construct for Л-,Ь-Д-distributions where T-distribution is distribution of tangent planes to the base surface Vn-2 of the hyperstrip Hn-2. Bompiani-Pantazi correspondences the 1-st and 2-nd kind normals of Л-,Ь-Д- distributions are introduced. In twos bunchs of inner normalizations in Norden sense for Л-,Ь-Д- distributions are found by means of indicated bijec-tion in the differential neighbourhood of the 2-nd order.

УДК 514.75.

О.М. Ж о в т е н к о (Калининградский государственный университет) РОЛЬ ОСНАЩЕНИЯ БОРТОЛОТТИ КОНГРУЭНЦИИ ПЛОСКОСТЕЙ

В проективном пространстве исследуется групповая связность в расслоении, ассоциированном с конгруэнцией плоскостей. Показано, что объект кривизны этой связности является псевдотензором. Произведено оснащение Бортолотти конгруэнции, состоящие в задании поля дополнительных плоскостей. Введено понятие ковариантного дифференциала и ковариантных производных оснащающего квазитензора относительно групповой связности. Ковариантные производные компонент оснащающего квазитензора образуют псевдотензор. Доказано, что оснащение Бортолотти индуцирует два типа групповой связности в ассоциированном расслоении.