ПЛОСКОСТИ НОРДЕНА - ТИМОФЕЕВА РЕГУЛЯРНОЙ КАСАТЕЛЬНО R-ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. № 5 (52). С. 18—20.

3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г. и др. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.

4. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

O. Belova

THE CURVATURE TENSOR OF CONNECTION IN THE FIBERING OVER GRASSMAN-LIKE MANIFOLD OF CENTRED PLANES

Four basic ways and one generalizing way of continuations of the equations for Grassman-like manifold of centred planes are considered. The structure equations for the forms of group connection in the principal fibering assotiated with Grassman-like manifold are found. The expressions for the curvature object of a group connection by the components of the connection object, fundamental object of 1st order and phaffian derivatives of the components of this objects are obtained. It is shown, that in every basic case the curvature object of connection is a tensor. It contains 2 elementary and 2 simple subtensors. Using a generalizing way we have a tensor in the differential equations for the components of curvature object. This tensor is called virtual as it vanishes in the basic cases.

УДК 514.75

С. Ю. Волкова

(Балтийский военно-морской институт им. Ф. Ф. Ушакова, г. Калининград)

ПЛОСКОСТИ НОРДЕНА — ТИМОФЕЕВА РЕГУЛЯРНОЙ КАСАТЕЛЬНО г-ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Дано задание гиперполосы Hm(r) в репере 1-го порядка и доказана теорема существования. Рассмотрены однопараметрические пучки ТЛ-виртуальных нормалей

28

С. Ю. Волкова

1-го и 2-го рода в дифференциальных окрестностях третьего порядка. Показано, что инвариантное поле ТЛ-вир-туальных нормалей 1-го рода индуцирует (порождает) инвариантное поле плоскостей Нордена — Тимофеева — поле нормалей 2-го рода гиперполосы Нт(г).

Схема использования индексов такова:

I, J, К = 1, п; I,3, К = 0, п; р, д, £ = 1, г; а, Ь, с = г +1, т;

г, к = 1, т; а, (, у = т+1, п-1; А = г + 1, п;

5 = т - г; г = {а, р}; а = {а, п} .

1. Символ 5 обозначает дифференцирование по вторичным параметрам, а значения форм С03 при фиксированных главных параметрах обозначаются через ж" . При операции дифференцирования используется оператор:

УН" = йН" + Н^ с3 - И"3 а>3.

2. [Л, Ь] — плоскость, натянутая на плоскости Л и Ь.

§ 1. Задание касательно г-оснащенной регулярной гиперполосы Нт(Г) в репере 1-го порядка

Рассмотрим регулярную гиперполосу Нт, базисная поверхность Ут которой оснащена полем касательных г-мерных плоскостей Л, т. е. Л(А) с Тт(А).

Регулярную гиперполосу Нт, оснащенную полем касательных плоскостей Л, назовем касательно г-оснащенной гиперполосой и обозначим символом Нт(г).

Присоединим к гиперполосе Нт^г) точечный репер {А } следующим образом: точку А0 совместим с точкой А еУт,

29

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

точки {Ар | возьмем в плоскости л(А0), точки {Аа} поместим в касательную плоскость Тт базисной поверхности

Ут с Нт(г) , а точки {Аа} — в хаРактеРистикУ Хп_т_1(А0) гиперполосы Нт(г), точку Ап выбираем произвольно, но так, чтобы она с остальными точками образовывала репер {AJ },

л _ п т. е. Ап <£х .

Выбранный репер {А^} является точечным репером 1-го порядка. В этом репере базисная поверхность Ут гиперполосы Нт(г) задается уравнениями:

с п0=0, соа= 0 . (1.1)

Так как {Аа }с Хп_т_1, то

с п= 0. (1.2)

При фиксации точки А0 плоскости Л(А0) и Хп_т_1(А) неподвижны. Следовательно, имеем

я-0=0, яр = 0, яр = 0, < = 0, я'а=0.

Примем формы {с '0 } = {с а0,ю р } за базисные формы гиперполосы Нт(г) и запишем разложения остальных главных форм по этим базисным формам:

С =лпс, с =лас, с =лу, с =лаРсс. (1.3) Замыкая уравнения (1.1), (1.2), с учетом (1.3), получаем:

Лш = о = 0 лка[Лп]]к = 0.

Аналогично, замыкая уравнения (1.3), с учетом (1.1), (1.2), приходим к уравнениям

улп +лп]с =лпС, ул* +лпсп = ЛС, ула +л>00= л фС, (1.5)

улр+лас+лрс =лаРск.

30

С. Ю. Волкова

Из (1.5) следует, что совокупность величин {Л— образует невырожденный симметрический тензор 1-го порядка. Тензор {Лп-} назовем главным фундаментальным тензором гиперполосы Нт(г). Рассмотрим обратный ему тензор {Л-, компоненты которого подчинены условиям

ЛпЛпк=5к, УЛп-Лп>0=ЛС . (1.6)

Тензор { Л п } симметричен по индексам г,-, как это следует из (1.6). Таким образом, в репере Я1 гиперполоса Нт(г) задается уравнениями (1.1)—(1.3), (1.5) и соотношениями (1.4).

Геометрические объекты Г2 = {Л п, Л—, Л— Л Р- } , Гъ =

= {Г2, Лпк, ЛЛаф} являются фундаментальными объектами соответственно 2-го и 3-го порядков гиперполосы Нт(г). Имеет место теорема существования гиперполосы Нт(г) [1]: Теорема 1. Касательно г-оснащенная гиперполоса Нт(г) с Рп существует и определяется с произволом

гя+(2п-2т-1) функций т аргументов.

§ 2. ТЛ-виртуальные нормали 1-го и 2-го рода оснащенных Л-плоскостей

Определение. 5-мерная плоскость Ь(Ао) с Тт(Ао), удовлетворяющая условиям Ь(Ао)пЛ(Ао) = Ао, [Ь(А),Л(А)] = Тт(А)> А е Ь(А), называется ТЛ-виртуальной нормалью 1-го рода данной Л-плоскости. Плоскость Ыг-\(А)) сЛ(Ао), не проходящая через точку Ао, называется ТЛ-виртуальной нормалью второго рода Л-плоскости.

31

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

ТЛ-виртуальную нормаль 1-го рода Ь(Ад) (¿-плоскость) зададим точкой Ад и точками Та = А^ + урАр, т. е.

¿(Ад) = [Ад, Та]. Поле ¿-плоскостей в репере Я1 определяется системой дифференциальных уравнений

У7 Р , Р р к

Каждая нормаль Мт_ц(Ао) второго рода гиперполосы Нт(г) [2] порождает ТЛ-виртуальную нормаль 2-го рода

Нг _1(Ао) = ^т_1(Ао) о Л(Ао) = N ] = [Ар +у°рА о] и ТЛ-виртуальную нормаль 2-го рода

^х_1(Ао) = ^т_1(Ао) О ¿(Ао) = [Ма ] = [Аа +У,Ар+ А о] , где

- о 0 о р ^ -о , р 0 о -о к

Плоскости N_1(Ао) и ^_1(Ао) задаются соответственно следующими конечными уравнениями:

I А Л х = о,

N_1(Ао):\Х,о =. о ^_1(Ао):\

\х — ур х = о;

о о г р. х _Уг х = о,

х р _у0рр ха = ° а п х = о.

В общем случае при т _ г < Г (г^ 1) из компонент объекта {Лрд } может быть построен относительный инвариант З^о

[3], а затем обращенный тензор Лрр4 = ^^3 для тензора

дЛрд

Ла

Лрд , где

ЛГЛЧр= г3Ь - Лрд■ а^= (т _г)$1 0 ард = 1(ЛЬрд+ЛЬдр).

32

С. Ю. Волкова

Следуя работе [4], рассмотрим биекцию между Тл-вирту-

альными нормалями 1 -го и 2-го рода, определяемую по формуле:

*

у? =_(Л ^¿а^Т?, (2.1)

*

где Т? — обратный тензор для тензора Т? = л ?дл ^.

Пучок нормалей 2-го рода (Е, Ж) гиперполосы Нт(г) [2] индуцирует пучок Тл-виртуальных нормалей второго рода (/У):

у?(Г) = Ж? + г(^0 _ Ж?) . (2.2)

Относительно репера Я\ уравнения его (г~2)-мерной вершины Сг _2 имеют вид

а <л I <л 0 ,-^0 р л 0 ТТг0 р х = 0, х = 0, х _Е?ху = 0, х _Жрху = 0.

Тл-виртуальным нормалям второго рода Ег _1{ Е ?} и

Жг _1{Ж ?}, порождающим этот пучок (/У) (2.2), в биекции

(2.1) соответствуют Тл-виртуальные нормали 1-го рода Е и Ж3, определяемые квазитензорами:

Е : Ер? =_(Л^5ЬаЕ>*Т?, Ж : Жа? =_(ЛЪЧа+3ЬаЖ>*Т? .

Таким образом, в каждой точке А? е¥т плоскости Ея (А ?) и (А о) задают однопараметрический пучок Тл-виртуальных нормалей 1 -го рода:

Ф?(а) = Е? + а(Е1? _Ж?), (2.3)

где а абсолютный инвариант.

Величины Ер? _ Жр? = Ф? являются компонентами тензора третьего порядка.

33

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Кроме того, отметим, что в каждой Тл-виртуальной нормали 1 -го рода пучок нормалей 2-го рода гиперполосы индуцирует пучок Тл-виртуальных нормалей второго рода, (8-2)-мерная ось которого определяется уравнениями:

I ха = 0, х0 _ Е? (у)ха = 0, (2 4)

К _У?ха = 0, [Е0(у)_Ж0(У)]ха = 0, ( . )

где ¥а0(у) = ¥00 + КУР, &°0(у) = Жа0 + Жуа .

В результате приходим к следующей теореме.

Теорема 2. В дифференциальной окрестности третьего порядка пучок нормалей второго рода гиперполосы Нт(г) порождает однопараметрические пучки (2.2), (2.3) Тл-вирту-альных нормалей 1-го и 2-го рода, соответствующих друг другу в биекции (2.1), а в каждой Тл-виртуальной нормали 1-го рода — однопараметрический пучок Тл-виртуальных нормалей второго рода с осью (2.4).

§ 3. Фокальные образы, ассоциированные с гиперполосой Нт(г). Плоскость Нордена — Тимофеева

Поле нормалей первого рода .п_т и поле касательно оснащающих л-плоскостей определяют на базисной поверхности Ут гиперполосы Нт(г) поле (п_^)-плоскостей

= [.п_т, л] (поле .-плоскостей, s=m-r). Относительно локального репера В\(.) уравнения, определяющие плоскость

.(А?) поля .-плоскостей, имеют вид ха = 0 .

Пусть квазитензор {у?} задает произвольную инвариантную Тл-виртуальную нормаль 1-го рода у5 (у5 -плоскость). При смещении точки А0 вдоль кривых

а г, ? ? а п

с? = 0, с _ур со = 0,

34

С. Ю. Волкова

принадлежащих полю у5 -плоскостей, координаты точек фокального многообразия ^-плоскости удовлетворяют уравнениям:

I а ¡-\ г\

\х = 0, р = 0,

{[Зьах° + (ЛарЬ + Лару ) хр + +Л%уё )ха + Ль +Лапруьр ) хп ]рЬ = 0.

(3.1)

Так как рР не все равны нулю, то из (3.1) следует:

!Х" = \ „ (3.2)

[Л* Ц^х0 + (ЛарЬ +ЛарУ )хр + (Л"аЬ + Лаарур К + (Лапъ +ЛапуР )хп|| = 0.

Уравнения (3.2) в общем случае определяют алгебраическое многообразие размерности (и-5-1) порядка з=т-г, которое обозначим Фп_5_1(Иу). Это многообразие лежит в ^-плоско-сти. Соответствующая Л-плоскость пересекает многообразие Фп_5_1(И,у) по алгебраическому многообразию Фг_1(Л,у) порядка 5 и размерности (г-1):

\ха = о, (ха= о),

I

дь* + (Лр + уъЛрЧ)х1

=о.

(3.3)

Линейная поляра точки А относительно многообразия (3.3) — есть плоскость ег_1(А) сЛ(Ао), которая задается уравнениями

хА = о, хо _8°рхр = о, (3.4)

где

о \/\а , д ха ч ^ 0 о о к /о

8р =_ 5(Л ра + УаЛ РЧ), +тр =8ркф0. (3.5)

Таким образом, поле квазитензора {б^} , определяемое

уравнениями (3.5), задает поле ТЛ-виртуальных нормалей 2-го рода, соответствующих полю ТЛ-виртуальных нормалей

1-го рода у5 {уд} в проективитете Бомпьяни — Пантази.

35

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Поле внутренних инвариантных нормалей 1-го рода Nп-т и поле у5 -плоскостей порождают на базисной поверхности ¥т гиперполосы поле внутренних инвариантных (п-г)-плоскостей Пп-г (поле П ^.го^стетХ т. е. Пп_г(А)) = [Мп_т(Л<)),у/4)], V А0 еУт . Конечные уравнения плоскости Пп_г (А?) (нормаль 1-го рода, соответствующей л-плоскости) имеют вид:

х? _ ур?ха = 0 .

Аналогично находим, что система уравнений

\хр _уРха = о

г уаХ 0 (3.6)

[^х0+у _ууа 4д)ха+( л _урълащ)ха+(лрч _уръАч)хп\=о

определяет фокальное многообразие ¥п-г _1(П Л), соответствующее смещениям точки А? по кривым, принадлежащим полю л-плоскостей. В общем случае это алгебраическое многообразие размерности (п-г-1) порядка г. Многообразие ¥п_г _1(П, Л) (3.6) лежит в П -плоскости и пересекается с соответствующей ух -плоскостью по алгебраическому многообразию _1 (у5 , Л) порядка г и размерности 5-1:

I а А

1х = 0,

3?х° + (у?д _уЪуа Лгс)х°

Таким образом, в каждой у5 -плоскости некоторого пучка Тл-виртуальных нормалей 1 -го рода, определяемой квазитензором {у?} , уравнения (3.7) задают фокальное многообразие ¥5_1(у5 , Л), соответствующее смещениям точки А? по кривым, принадлежащим полю Л-плоскостей. Линейная поляра точки А? относительно многообразия ¥5_1(у5, Л) есть (х-1)-плоскость с у5(Ао) , которая задается конечными уравнениями:

? ? 1 х =у х

36

С. Ю. Волкова

0 0 а л р р а п а п

х _рах = 0, х _Уах = о, х = 0, (3.8)

где

Р0 =_ 1(уР _уРуЧ ЛЬ ) На ар уа Ь др''

Плоскость, натянутая на линейные поляры (3.4), (3.8) точки Ао относительно фокальных многообразий Фг_1(Л,у) (3.3) и , Л) (3.7), т. е. плоскость рт_1(А) = Бг^(А),^^^'] (р-плоскость), является плоскостью Нордена — Тимофеева [5] неголономной композиции (Л, у5 ) . Относительно локального репера уравнения плоскости Нордена — Тимофеева

Рт_1(Ао) имеют вид

где

0 - 0 г п ар.

У _РгУ = 0 У = 0

- 0 0 0 р - о о Ра=Ра_Бруа , Рр=Бр .

Геометрическая интерпретация объекта {р 0} была найдена Р. Ф. Домбровским для касательно г-оснащенных поверхностей проективного пространства [4].

Теорема 3. Поле ТЛ-виртуальных нормалей 1-го рода

у5 У4} индуцирует поле плоскостей Нордена — Тимофеева рт_1 — поле нормалей 2-го рода регулярной гиперполосы Нт(г). Порядок дифференциальной окрестности, в которой

внутренним образом определено поле плоскостей Нордена — Тимофеева, на единицу выше порядка дифференциальной окрестности квазитензора {ур}.

Список литературы

1. Волкова С. Ю. Гиперполосы 8Ит проективного пространства / Балтийский ВМИ им. адмирала Ф. Ф. Ушакова. Калининград, 2005. Деп. в ВИНИТИ РАН, № 696-В2006.

37

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

2. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос: учеб. пособие. Калининград, 1983.

3. Остиану Н. М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. геом. семинара/ ВИНИТИ АН СССР. 1966. Т. 1. С. 239—263.

4. Домбровский Р. Ф. Поля геометрических объектов на многомерных касательно оснащенных поверхностях в Pn // Проблемы геометрии. М., 1975. С. 153—171.

5. Норден А.П., Тимофеев Г. Н. Инвариантные признаки специальных композиций многомерных пространств// Изв. вузов. Матем. М., 1972. С. 81—89.

S. Volkova

NORDEN — TIMOFEEV PLANES OF REGULAR TANGENTIAL r-EQUIPED HYPERSTRIP IN THE PROJECTIVE SPASE

It is shown, that invariant field of TA-virtual normals of the 1-st kind induces invariant field of Norden — Timofeev planes, i. e. field of normals of 2-nd kind for the hyperstrip Hm(r) с Pn.

УДК 514.75

А. В. Вялова

(Калининградский государственный технический университет)

ВНУТРЕННЕЕ ОСНАЩЕНИЕ НОРМАЛЬНО ЦЕНТРИРОВАННОЙ ТАНГЕНЦИАЛЬНО ВЫРОЖДЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В п-мерном проективном пространстве Рп рассмотрена нормально центрированная [1] тангенциально вырожденная поверхность , представленная многообразием пар плоскостей (Ьь, Тг) (т = h + г), причем центр С каждой образующей Ь*ь описывает г-мерную

38