НОРМАЛИЗАЦИИ НОРДЕНА - ЧАКМАЗЯНА, АССОЦИИРОВАННЫЕ С РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСОЙ HR(L) ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

I.B. B a r s k y

INVESTIGATION OF NETS ON TWO-DIMENSIONAL SURFACE IN THE FOUR-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE

The author introduces definitions of vectors of the 1-st and of the 2-nd normal curvature and of the corresponding indicatrices and of the adjoinned curve is investigated. On this base theorems are proved: about necessary and sufficient conditions of the existence of the conjugate net, about the orthogonal net with respect to the normal, perpendicular to the vector of the mean curvature and about the bisector net.

УДК 514.75

НОРМАЛИЗАЦИИ НОРДЕНА - ЧАКМАЗЯНА, АССОЦИИРОВАННЫЕ С РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСОЙ Нг (Ь) ПРОЕКТИВНОГО

ПРОСТРАНСТВА

С. Ю. В о л к о в а

(Калининградское ВВМУ)

В работе рассматривается специальный класс регулярных гиперполос Н (Ь) ^ Рп, оснащенных касательными т-мерными плоскостями

^-^т^). Приведено задание гиперполосы Нг (Ь) в репере 1-го порядка и доказана теорема существования. Найдены поля оснащающих объектов, которые определяют инвариантным образом нормализации Нордена-Чакмазяна гиперполосы Нг (Ь) [1], [2], и ассоциированных с ней Ь-распределения и F-

распределеня. Построены охваты оснащающих объектов в дифференциальных окрестностях 1-го, 2-го и 3-го порядков образующего элемента гиперполосы Нг (Ь), которые позволяют внутренним инвариантным образом присоединить к

гиперполосе Нг (Ь), Ь-распределению и F-распределнию поля нормалей 1-го и

2-го рода в смысле Нордена-Чакмазяна. В дифференциальной окрестности 3-го порядка внутренним инвариантным образом присоединены к гиперполосе

Нг (Ь) ее точечный |М: | и тангенциальный |тК | реперы.

В работе придерживаемся следующей схемы индексов:

1,П ; p,q,r,s,t...= 1,г ; ^,^1..= г + 1,m ; а,Р, у... = m + 1,П -1.

Символ " = " означает сравнение по модулю базисных форм Ю р (или Ю ").

§1. Задание регулярной гиперполосы Нг (Ь) с Р1

Рассмотрим частный класс , (Л,Ь) -распределения проективного пространства Р, когда его базисное распределение Нг голономно. Как известно [3], в этом случае проективное пространство Рп расслаивается на (п-г)-параметрическое семейство регулярных г-мерных гиперполос Нг, оснащенных

полем касательных m-мерных плоскостей М = Пт (n-1>m>г) таких, что в каждой точке А базисной поверхности Уг гиперполосы Нг выполняются соотношения:

л(л) = т (А) с М(А) , М(А) с Н(Л). (1.1)

В силу условий (1.1) в каждой точке А е V оснащающая плоскость М(А) и характеристика % п_ г-1( А) гиперполосы Нг пересекаются по плоскости Ь( А) размерности l=m-г :

М(А)п%п_г_1 (А) = Ь(Л). (1.2)

Таким образом, голономность базисного распределения г ( Л -распределение ) данного скомпонованного распределения (Л, Ь) можно интерпретировать следующим образом : проективное пространство Рп расслаивается на (п-г)-параметрическое семейство регулярных гиперполос Нг, оснащенных полем Ь-плоскостей таких, что

А е Ь(А) , Ь(Л) с %п_г_1(А). (1.3)

Рассмотрим одну из таких регулярных гиперполос Нг с Рп, для которой выполняются условия (1.1)-(1.3). Кратко такие гиперполосы будем обозначать Нг (Ь). Выберем точечный репер |ЛК | проективного пространства, ассоциированного с гиперполосой Нг (Ь), следующим образом. Точку Л репера (Лк | совместим с текущей точкой Л е V, т.е. Л0 = Л; точки |Лр | поместим в плоскость Т = Л( Л0), точки |Л11 - в плоскость Ь( Л0 ), точки {Ла | - в характеристику %п_г_1(Л0) гиперполосы Нг(Ь). Точку Лп выбираем произвольным образом, но так, чтобы она со всеми остальными точками | Л0 ,Лр ,Аа | образовывала репер {Ак | проективного пространства Рп. Выбранный таким образом репер |ЛК | является репером первого порядка Я1 гиперполосы Нг (Ь). Относительно репера Я1 гиперполоса Нг (Ь) задается уравнениями:

причем

о , ю 1 = о , юа = о , юп = о , юп

о

ьР, Ю 4

„ а 1а ^ <

юр = ю

ю р=ьр, ю ' , «а

ьа, ю

= ьр,ю" = 1"Юп , «а = N

1а, ю ч=N г Ю п

ТР ьп =о N4 Ьп =о

Ь1[, ь1]р = о , ^ а [я ь1]р = о

Ьп .ь41 =8, ТР, = Тр Ь1, NРq = NР • Ь

ьр, Ьп =°р , Ь1 = ЬйЬп , ^ а = ^ а, Ьп

(1.4)

(1.5)

где функции ЪПЧ, ьач, Ьрч, Ь^, N ая, Ьрч, N ая симметричны по индексам р, q. Совокупность величин Г2={ Ърч, Ъ ач, Ърч, Ьц, , N ая } образует фундаментальный геометрический объект второго порядка гиперполосы Нг (Ь), компоненты которого являются величинами второго порядка, а остальные - первого порядка.

Компоненты геометрического объекта Г удовлетворяют уравнениям:

уьр, + ьр, (ю о +Ю;; ) = ьр,,ю уь а,+ь а, ю о+ьр, «а=ь а,,« уьр,+ьр, ю о+ьр, ю п+ь а, «а=ьр,, ю '

уь; + ьа, Ю О

Ь 1,1 Ю

УЬР, + Ц, ю О-ю О 8 р = ьр,, Ю

У^р, + юО - ьр,Ю' -юа8р = юО,

(1.6)

где

Ъ1 Ьа = 0 та = тр Ъа

Ьа[^р^ = 0 Ьа N , = 0

Ь1 ^ а - 0 , Ь1^ а t1 0,

(1.7)

Я ВРПШ1ШП,Т Ъп Ъа Ъ1 ЬР Т р,1 = тР Ь8ЧЬ£ 1 NP NРqt = N ь®чь£ 1

а величины ^, ьpqt, ьpqt, , Ь1 = ь1^ьп ьп , ^ aqt, ^ а = ^ а8Г°п °п

симметричны по индексам р, q, t. Имеет место теорема существования.

Теорема 1. В п-мерном проективном пространстве Рп касательно m-осна-

щенная регулярная гиперполоса Нг (Ь) существует с произволом 2(п-г-1)+(п-ш-1)(т-г)+1 функций г аргументов.

п

<

<

<

§2. Условия инвариантности нормализаций Нордена - Чакмазяна гиперполосы Нг (ь) и ассоциированных с ней распределений

1. Поля внутренних инвариантных нормалей 1-го рода Кп_г = [а р ] = [т р + Ур т п ] и нормалей 2-го рода т_1 = [ Мр ] = [ Лр + хрЛо ]

гиперполосы Нг (Ь) в смысле Нордена-Чакмазяна определяются соответственно дифференциальными уравнениями [1] :

Уур _ урш п _шр - 0, (2.1)

Ухр + ХрШ 0 + шр - 0. (2.2)

2. Из условия инвариантности плоскости К_ 1(Л0 ) = [ М1 ] = [ Л1 + ХЛ ]:

5МХ = 0 JiMJ (2.3)

следует

У8 Хi + Хi л 0 + * 0 = о.

Таким образом, поле квазитензора ^ |, определяемое уравнениями

Ух + хш 0 0 - 0, (2.4)

задает поле инвариантных плоскостей К^. В каждой точке Л0 е Ут выполняются соотношения

Км(Л0)с Ь(Л0) , Л0 £ К^_1 (Л0),

поэтому поле плоскостей к можно интерпретировать как поле нормалей 2-го рода Ь-распределения ( распределения Ь-плоскостей ), ассоциированного с гиперполосой Нг(ь). Поле нормалей 1-го рода п_1 = [аi] = [тi + yiтп _х^та] распределения Ь-плоскостей определяется дифференциальными уравнениями

Уyi _ у^п+хаша п - о, (2.5)

уха +ша - о. (2.6)

3. Для оснащающего М-распределения нормализацию Нордена-Чакмазяна введем следующим образом. В каждой точке А0 е Ут для плоскости М(Л0)

определим нормаль 1-го рода Кп_т(Л0 ) = Кп_Г(Л0 (Л) и нормаль 2-го

рода Мт_1(А0) = [ т_1 (А0),К1__(Л0)] .

4. Рассмотрим в каждой точке Л0 е Ут плоскость

^п_т_1 (Л0) = ^п_т(Л0) П %п_г_1 (Л0) . Распределение ПЛоскостей ^^, ассоциированных с гиперполосой Нг (Ь), назовем F-распределением. Для F-

распределения также введем нормализацию в смысле Нордена-Чакмазяна. Плоскости

m+1 ( Л0 ) = [0«] = [т"+ уатn ] ,

Fn-m-2 ( Ло ) = [ M а] = [Л а+ ^аЛ1 + ^а Ло ] назовем соответственно нормалями 1-го и 2-го рода в смысле Нордена-Чакмазяна образующего элемента Fn-m-1( Л0 ) данного F-распределения. Из условий инвариантности плоскостей m+1 и Fn_m_2 вытекает, что дифференциальные уравнения

Vya - уашП -< - 0 (2.7)

задают поле нормалей 1 -го рода, а дифференциальные уравнения

VXa+ ХаШ0 + ха«0 +< - 0 (2.8)

совместно с уравнениями (2.6) задают поле нормалей 2-го рода F-распределения. 5. Наконец, рассмотрим точку

Mn = Лп - уа Л а - (у1 + хауа )ЛХ - урЛр + хЛо

и гиперплоскость

а0 =т0 _хртр _ХJтJ _(ха_х^)та+ утп.

Точка Мп принадлежит гиперплоскостям ар, аJ, аа и определяет вместе с точками Л - М0 и Ма инвариантную нормаль Кп_т(Л0) = [М0,Ма,Мп] 1-го рода оснащающей плоскости М( А0 ).

Гиперплоскость а0 =[Мр,ММ,Ма,Мп] вместе с гиперплоскостями тп =ап и аа определяет инвариантную нормаль 2-го рода Мт_1(Л0) = [а0,аа,ап] оснащающей плоскости М(Л0 ). Отметим, что нормали 1-го и 2-го рода гиперполосы Нг (Ь) относительно нового репера можно задать следующим образом :

К ) = [ М0,М^ ,Мп ] , г_1( Л0 ) = [а0, аi, аа, а п ] . Условие инцидентности точки Мп и гиперплоскости (Мп, а0 ) = 0 приводит к соотношению

х + у + хрур + ^у1 + Ха Уа = 0, (2.9)

а условия инвариантности точки М и гиперплоскости а 0 имеют соответствен-

но вид

sx=х(* п - я о )+ур » о+(у1 + хауа)^ о+уа»а - » о, (2-ю)

8у=у(»по)-х1 »n-хр»р (ха хах1 )<+»(2-ц)

Уравнения (2.1), (2.2), (2.4)-(2.8), (2.10), (2.11) показывают, что величины

{УР } , {Хр} , {Х1 } , {УХ } , {< } , {Уа} , {Ха X } ,

{Х,уР,у1,Х^,уа| , {у,х1,хр,ха X }

(2.12)

образуют геометрические объекты, которые назовем оснащающими объектами касательно m-оснащенной регулярной гиперполосы Нг (Ь). Оснащающие объекты определяют не только инвариантную нормализацию в смысле Нордена-Чакмазяна для гиперполосы Нг (Ь) и ассоциированных с ней распределений, но

и соответственно точечный {М:} и тангенциальный {тК} инвариантные реперы, присоединенные к гиперполосе Нг (Ь). Элементы этих реперов следующим образом выражаются через элементы исходных реперов :

м0 = Л0 , а0

т0 - Хр т р

- Х1 т1 -(Ха- Х^ )та+ ут Г

Мр = Лр + ХрЛо , М1 = Л1 + Х1Ло ,

М а = Л а+ Х^Л1 + Х а Ло

а р =т р + ур т п:

а1 = т1 + х^ та+ у1 т п, аа =та+ уат п,

Мп = Лп - уа Л а - (у1 + Х^у а)Л1 - урЛр - хЛо

а

т

(2.13)

§ 3. Построение внутренних инвариантных нормализаций в смысле Нордена - Чакмазяна и внутренних инвариантных реперов, ассоциированных с гиперполосой Нг (Ь)

1. Инвариантное оснащение (репер) касательно т-оснащенной регулярной гиперполосы Нг (Ь) называется внутренним инвариантным оснащением (репером) к-го порядка, если оснащающие объекты (2.12) гиперполосы Нг (Ь) являются функциями компонент фундаментального дифференциально-геометрического объекта к-го порядка рассматриваемой гиперполосы Нг (Ь). Докажем, что для фундаментального дифференциально-геометрического объекта 3-го порядка гиперполосы Н (Ь) существуют алгебраические охваты, структура которых такая же, как и структура дифференциально-геометрических оснащающих объектов данной гиперполосы Нг (Ь).

Введем в рассмотрение функции

Ь = ^ • Ь" , BJ = 1ьрчъпч,

ва= ^ъа Ьи , N = 1Ь"Кр',

^ р1 п ' а ^ р1 а '

(3.1)

удовлетворяющие уравнениям :

УЦ + Ц ш o _ш o - 0, ува_ вашп +ша - 0, УBi _ Biш п +ш 1 + ваш 1 - 0,

Nаш 0 _ ьш _ша - 0.

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Сравнивая уравнения (3.2), (3.3) соответственно с уравнениями (2.4), (2.7), находим, что в окрестности 1-го порядка гиперполосы Нг (Ь) квазитензоры Ь

В а

определяют внутренние инвариантные плоскости

К1_1 =[ М, ] = [ Л, _ Ь^ ],

= [аа] = [та _Bатп].

m+1

Теперь сопоставим последовательно величины

Б

pq _ т pq

Lpq _ ЬЬ

pq

Бpq = Npq _ N Ьм

а а а п -

БPq = ЬPq _ Баq = Ь аq _ Ба ЬPq!

(3.6)

удовлетворяющие уравнениям

>р,

увр1 _ ьр1 шп - 0, увр, + вр,ш0 + ва,ша - 0,

0

>а

а

уво _ ва1 ш п _ вр1 <=0, ува,+ва ш 0 - 0.

а0 ш 0

(3.7)

Из уравнений (3.7) следует, что совокупности величин |вр11 и |в^| образуют тензоры 1-го порядка. Дальнейшие построения проводим для гиперполосы Нг (Ь), которая допускает отличный от нуля инвариант I = 1(вр1,в^) . Когда

соприкасающаяся плоскость 2-го порядка заполняет все пространство, можно показать [4], что к гиперполосе Нг (Ь) присоединяются поля объектов 1-го порядка в*, BPq - обратные тензоры соответственно тензорам вр1 и в

»а

р1

вачврч = г5>, в«ва. =(п _ т _ 1)5 р, в = г(п _ т _ 1), врчвр' = (т _ г)51, врчв« = 5 1г, врчврч = г( т _ г).

Тензоры в^, Б™ удовлетворяют уравнениям:

Ув1 + в1 ш п - 0, Увр1 _ вр1 ш0

р1 р1 п ' а а 0

- 0.

(3.8)

(3.9)

<

т

1 -Л1 тп - Б- та],

Ла + БаЛ1 - ЛаЛо ].

Наконец, в окрестности 1-го порядка гиперполосы Нг (Ь) рассмотрим величины

В1 _ 1 о- Ар, т _ т}1 т 1 _ оао 1

а Вр,Ва > Ьа ВаЬ1> = ВВа> „ , ЛЧ

г (3.10)

Л1 = В1 - 1, Л = N - ,

' а а а'

удовлетворяющие уравнениям

УБ' + ю^ - 0, (3.11)

У а + аЮ0 - Б^Ю0 + Ь« - 0, (3.12)

У 1 - 1 юп + Б^юп + Баю' - 0, (3.13)

УЛ1 -Л1 ю п - В' «п + ю п - о, (3.14)

УЛа+ЛаЮ 0 - Б' Ю 0 -Ю0 - 0. (3.15)

Сравнивая уравнения (3.11), (3.14), (3.15) с уравнениями (2.5)-(2.7), приходим к выводу, что поля квазитензоров {Л1 } и {Ла } задают внутренние инвариантные поля плоскостей :

п- = [«1 ] =

Рп- т-2 =[ Ма] =

В результате приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Двойственные друг другу нормали 1-го рода Кп-1 и 2-го рода L-распределения внутренним инвариантным образом присоединяются к гиперполосе Нг (Ь) в дифференциальной окрестности 1-го порядка, а двойственные

друг другу нормали 1-го рода и нормали 2-го рода Рп_т_г Е-распределения

внутренним инвариантным образом присоединяются к гиперполосе Нг (Ь) в

дифференциальной окрестности 2-го порядка ее образующего элемента.

2. Аналогично, следуя работам [1], [4], находим охваты оснащающих объектов х =Л , ур = -Лр, определяющих нормали 1-го рода г и 2-го рода

гиперполосы Нг (Ь). Таким образом, имеет место

Теорема 3. Двойственные друг другу нормали 1-го рода и 2-го рода

гиперполосы Нг (Ь) внутренним инвариантным образом присоединяются в

дифференциальной окрестности 3-го порядка ее образующего элемента.

Наконец, по аналогии, следуя работам [1], [4], находим охваты функций х

и у по формулам х = -Л0, у = Лп, что позволяет присоединить внутренним инвариантным образом к гиперполосе точечный {М:} и тангенциальный {тК } реперы в дифференциальной окрестности 3-го порядка. Они имеют вид:

где

M0 = A0, ao = тo +Л p т p + Li т1 + N ата +Лпт n,

Mp = Ap - ЛpAo, ap =тp - Лртn,

Mi = Ai - LiAo, a1 =т1 - Б'та-ЛЧ\

Ma= A а+ B'Ai-Ла Ao, aa = та - Бат n:

M = A + Ба A + БЖ + Л1^ + AoA„ , an = тn,

— ax + bx — ay + by

Лo =-—, Лn = ^~ГТ>

a + b a + b

X = -LЛ1 -Л Ба+1 Лр + ЛрЛ4,

1 а г р г pq

y = - Li Л1 -Ла Ба+1 Лрр + ^ Л р Л „

Г Г

X = -( y + Л p Л + ЦБ1 + N а Ба), y = -( У + Л p Лp + Nа Ба+ LlБ1),

a, b - действительные числа.

Библиографический список

1. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос : Учебное пособие / Кали-нингр. ун-т. Калининград, 1983. - 82 с.

2. Попов Ю.И., Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос: Учебное пособие / Калинингр. ун-т. Калининград, 1992. - 80 с.

3. Волкова С.Ю. Н(Л^) -распределения проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1991. Вып. 22. С.23-25.

4. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 239-263.

S.Ju.V o l k o v a

NORDEN-CHAKMAZYAN'S NORMALIZATIONS, ASSOCIATED WITH REGULAR HYPERSTRIP Hr (L) OF PROJECTIVE SPACE

Special class of regular hyperstrips Hr of projective space equipped by a field of L-planes of dimension l=m-r is considered in the article such that in each point A of base surface Vr of hyperstrip Hr (r<m<n-1) the relations A e L(A) с %n_r_i(A) are fulfilled.

Such hyperstrips are shotly denoted by Hr (L) . Representation of hyperstrip Hr (L) in a frame of the first order is given and the existence theorem is proved: In an n-

dimensional proective space regular hyperstrips Hr (L) exist and are defined with arbitrariness of 2(n-r-1)+(n-m-1)(m-r)+1 functions of r arguments. The conditions of invariance of normalizations of the hiperstrip Hr (L) in the sence of Norden-Chakmazyan and distributions associated to it: -distributions of equipped planes L(A); L-distributions of planes

n_m_1 (A) = Nn_m (A) n X n _ r _1 (A) are determined. The equipping objects of hyperstrip Hr (L) which define not only the invariant normalization in the sence of Norden-Chakmazyan for the hyperstrip, -distribution and L -distributions but also point {MJ} and tangential {xK} invariant frames respectively are introduced. Scopes of equipping objects in differential neighborhoods of the first, second and third orders of a generating element of the hyperstrip Hr (L), which make it possible in the interior invariant way to join fields of dual to each other normals of the first and the second order in the sence of Norden-Chakmazyan to the hyperstrip Hr (L) , L-distribution, -distribution are constructed. The point {MJ} and tangential {xK} frames are joined in an interior way in the differential neighborhood of the third order to the hyperstrip Hr (L).