НОРМАЛИЗАЦИЯ НОРДЕНА — ТИМОФЕЕВА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ SHm ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Н. В. Виноградова, О. В. Воротникова, М. В. Кретов

стве // Тр. геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. Т. 6. С. 113—133.

4. Малаховский В. С. Индуцировано оснащенные многообразия фигур в однородном пространстве // Там же. С. 319—334.

N. Vinogradova, O. Vorotnikova, M. Kretov ABOUT ONE COMPLEX OF ELLIPSOIDS IN AFFINE SPACE

In three-dimensional affine space research of complexes (three-parametric families) of ellipsoids proceeds. Geometrical properties of one of subclasses of considered diversity of figures are obtained.

УДК 514.75

С. Ю. Волкова

(Балтийский военно-морской институт им. Ф. Ф. Ушакова, г. Калининград)

НОРМАЛИЗАЦИЯ НОРДЕНА — ТИМОФЕЕВА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ 8Ит ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Дано задание гиперполосы SHm в репере 1-го порядка, и доказана теорема существования [1]. Для гиперполосы SHm внутренним образом присоединены: а) в дифференциальной окрестности 2-го порядка ее нормализация в смысле Нордена — Тимофеева; б) в дифференциальной окрестности 3-го порядка однопарамет-рический пучок ее оснащений в смысле Э. Картана.

Ключевые слова: регулярная гиперполоса, нормализация, фокальное многообразие, линейная поляра, квазитензор, оснащение.

1. Схема использования индексов такова:

J, K,L = 1,п; J,K,L = 0,п; p,q,t = 1,г; a,b,c = г + 1,ш;

г,],к = 1,т; а,р,у = т+1,п -1; з = т - г; 7 = {а,р}; а = {а,п} .

2. При операции дифференцирования используется оператор:

УИК = ¿И К + иЬ®Ь - .

3. [Л, Ь] — плоскость, которая является линейной оболочкой плоскостей Ли Ь.

§ 1. Задание гиперполосы 8Ит

В проективном пространстве Рп рассмотрим регулярную гиперполосу Ит [2], базисная поверхность которой несет двухкомпонентную неприводимую сопряженную систему [3]. Это означает, что:

а) в каждой точке А базисной поверхности Ут существует

¿ее/

пара сопряженных направлений (плоскостей) ЛГ(А) = Л(А) и

¿е/

Ьт - г( А) = Ь( А), линейная оболочка которых совпадает с касательной плоскостью Тт(А) поверхности Ут ;

б) направления Л(А) и Ь(А) не содержат полных сопряженных подсистем или асимптотических направлений, причем р > 1, а > 1 [3].

Итак, в каждой точке А еУт выполняются соотношения

Л(А) п Ь(А) = А, [Л(А), Ь(А)] = Тп(А). (1.1)

Регулярные гиперполосы Ит с Рп, удовлетворяющие условиям (1.1), обозначим символом 8Ит .

Присоединим к текущей точке А еУт проективный точечный репер {Ау } следующим образом: А0 = А, {Аа }с Ь(А0) ,

{Ар }сЛ(Ао) , {Аа}с Хп-т-1 , где Хп-т-1(А) — характеристика гиперполосы 8Ит [2], точка Ап пусть занимает произвольное положение и Ап £ И(А). Репер {Ау } является репе-

ром 1-го порядка гиперполосы SHm . Так как точки {Ар } и {Аа} репера лежат в касательной плоскости Тт(А) поверхности Ут, то

соп0 = 0, соа0 = 0 . (1.2)

Дифференцируя уравнения (1.2) внешним образом и развертывая полученные соотношения по базисным формам С,

найдем

op = 4qaq0 + Л%аь0, oî = КО + (1.3)

где Ла[т] = 0, Лара = Лар, ЛЛЛ] = 0.

Асимптотические квадратичные формы поверхности Vm принимают вид:

[ AÏ r^Pr^q I и [ ,, Р,,а I л[ b

Р = ЛрЧ° 0 + 2Лра0 0 + Ла0О 0 .

Поскольку направления Л(А0) и L(A0) сопряжены на поверхности, то члены, содержащие произведения ороа в формах ра, должны отсутствовать. Значит, условия сопряженности этих направлений принимают вид:

4а =ЛЛр = 0 . (1.4)

Из (1.3, 1.4) следует, что

op = 40 О = ЛьОЬ0. (1.5)

Отметим, что для гиперполосы

o"a = 0 , (1.6)

так как точки {Аа }с Хп_m_i(А0) [2].

При фиксации точки Ao е Vm плоскости Л(А0), L(A0) и

Хп_m_i(Ao) неподвижны. Следовательно, формы œap, œaa, шар, ша, wp являются главными формами гиперполосы SHm . Разложив главные формы по базисным со1 = {oP; оа} и учитывая равенства (1.5), получим:

К = Л"Ш< < = Л„К, Ка =Л"Лаь0, К = А< К = ЛР1К К =Л*'0, К = Л< К = Л>10- '

Замыкая уравнения (1.2, 1.6, 1.7) с учетом соотношений (1.4—1.7) и применяя лемму Картана, получим:

V^q + A"pqю°0 = A;v о 0, VA"ab + А"аоо4 = А"м^,

v^q + л;чо0 + A"Pqо: = A;qi о0, vaI + лао + л>: = ло«0,

V^Pq + Apq о0 + APqO: = APq,. «0, VAPo + A^ o00 - 8Xа о; = ЛРоО ,(1.8)

VAPo + APo«: -AooP = A0o 0, VAPq + APqo°0 -8¡o0a = APaqio 0, VAPq + APqo0 -8Pо°а = APqio 0, VA^ + APool = APMo 0, VAP + A:po0 = APo 0, VAa + AaoO 0 -8¿00 = A^o 0,

где

л ^ ]=o, aV o, л a [ Pл :Ф]= o

Ла[а^Ъ] = 0, ЛЛ = ллл;р, (1.9)

лпАь] + ла[а^Аь] = о лас4РЧ] + А"^^] = 0 Лс[а^\Р\Ъ] + АрАаЪ] = 0 ААр,] + АА] = 0

причем функции Лср,р АЛс симметричны по всем нижним

индексам. Итак, гиперполоса 8Ит задается в дифференциальной окрестности 2-го порядка уравнениями (1.2, 1.6—1.8) и соотношениями (1.9).

Геометрические объекты Г1 = {Лapq,ЛaaЬ, Лар,,Лр,} ,

Г2 = {Г1,Лр*,Лх,Л&аы,ЛЛ } являются фундаментальными объектами соответственно 1-го и 2-го порядков гиперполосы 8Ит . Имеет место теорема существования гиперполосы 8Ит .

Теорема 1. Регулярная гиперполоса ЗИт существует и определяется с произволом 2rs+m(а-m-1) функций т аргументов.

§ 2. Нормализация Нордена — Тимофеева гиперполосы БИт

1. Пусть гиперполоса SHт оснащена в смысле Нордена — Чакмазяна [1], т. е. Хп_т_1(А) с Ып_т(А0) . Точку А0 репера Я1 поместим в нормаль 1-го рода Ып_т(А0) , тогда формы со'п станут главными:

с 0 = ЛаС, С = лС (2.1)

Отметим, что функции Ла, ЛР определены в дифференциальной окрестности 3-го порядка. Такой репер Я1 назовем репером Я1(Ы). Поле нормалей 1-го рода Ып_т(А0) (поле Ы-плоскостей) и поле Л-плоскостей определяют на базисной поверхности Ут поле (п-.)-плоскостей Ч^п_6.(А0), так как в каждой точке Ао еУт : [Ып_т(Ао), Л(Ао)] = Ф_,(Ао) . Относительно репера Я1(Ы) конечные уравнения плоскости Ч/п_.(А0) имеют вид:

ха = 0. (2.2)

Используя (2.1, 2.2), а также формулы [4, § 2, с. 58]

= _ ХКС + ... г

найдем фокальное многообразие в плоскости Ч^п_.(А0), соответствующее смещениям точки А0 по кривым, принадлежащим L-плоскости:

ха = 0, det|| 81x0 + ЛарЬхР + ЛаоЬха + Льхп\ = 0. (2.3)

В общем случае мы получаем алгебраическое многообразие (2.3) размерности (п-.-1) порядка . которое обозначим _.. Соответствующая Л-плоскость пересекает многообразие (2.3) по алгебраическому многообразию у/г_1(Л; L) того же порядка . размерности (г-1):

ха = 0, Xа = 0, 8$х° = 0. (2.4)

Линейная поляра точки А° относительно фокального многообразия (2.4) задается уравнениями:

х° -Л°рхр = 0, ха = 0, ха = хп = 0, (2.5)

где

Л°р=-^-Лара, УЛ°р+а°р=Л°р1а1. (2.6)

Таким образом, линейная поляра (2.5) относительно фокального многообразия уг-1(Л;Ь) (2.4) есть нормаль 2-го рода

у/г-1(А°) в смысле Нордена Л-плоскости, а поле таких нормалей определено полем квазитензора {Л°р} (2.6).

2. Аналогично (см. п. 1) находим фокальное многообразие Фп-г-1(И,Ь) в плоскости Фп-Г(А°) = [Ы„-т(А°),ЦА°)] , соответствующее смещениям точки А° по кривым, принадлежащим Л-плоскости:

хр = 0, с1в\ 5рчх° + Лрщха + Лха + Лхп\ = 0. (2.7)

В общем случае (2.7) — алгебраическое многообразие размерности (п—г—1) порядка г. Соответствующая ¿-плоскость пересекает многообразие (2.7) по алгебраическому многообразию - 1(Ь,Л) порядка г:

хр = 0, х& = 0, 8рх° +Лрщха\\ = 0. (2.8)

Линейная поляра точки А° относительно многообразия (2.8) задается уравнениями

х° -Л°аха = 0, хр = 0, хй = 0, (2.9)

где

Л°а=--Лрар, УЛ°а+а°а=Л°а,а'. (2.10)

г

Итак, поле квазитензора {Л°а} (2.10) первого порядка задает поле нормалей 2-го рода Х-подрасслоения — поле плоскостей <р6,_1(Л°) (2.9).

Плоскость, натянутая на линейные поляры (2.5, 2.9) точки Л° относительно фокальных многообразий уг_1(Л;Х) (2.4) и Р,_1 (Х, Л) (2.8), т.е. плоскость ^(Л°) = [(Л°), р^ (Л°)] (г-плоскость), является плоскостью Нордена — Тимофеева [5] композиции (Л, Х). Относительно локального репера Я1(Л) уравнения плоскости Нордена — Тимофеева гт_1 (Л°) имеют вид:

х° _Л°х' = 0; ха = 0. (2.11)

3. В силу биекции [2]

у" =_у° Ла + (2.12)

нормали Нордена — Тимофеева 2-го рода гт _1 (2.11) ставится в соответствие нормаль 1-го рода гиперполосы 8Ит :

у!п = _Л° Л" +1° = Т", (2.13)

где = ЛПкЛп]к [2], /"Л = $. т + 2

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка к гиперполосе 8Ит внутренним образом присоединяется нормализация Нордена — Тимофеева (г,Т), соответствующая композиции ( Л,Х).

§ 3. Оснащение гиперполосы 8Нт в смысле Картана

1. Найдем фокальное многообразие Фп_т_1(Л,Л), лежащее в Л-плоскости, при смещении точки Л° по кривым, принадлежащим Л-плоскости:

х = 0, йвА 8Ь,х° +Лайъхй\ 1 = 0. (3.1)

Линейная поляра точки А° относительно фокального многообразия (3.1) есть (п-т-1)-мерная плоскость Кп-т-1(А°) , которая задается уравнениями

х = 0, х° -р°ах& = 0, (3.2)

где

Р° = ~ Лха, Уф! + К& = (&1К,

5

У(°а + К = Р°аК, УР°п-Ф К + К = Р°пК . ^

Аналогично находим фокальное многообразие п-т-1(Ы,Ь) , лежащее в А-плоскости при смещении точки А° по кривым, принадлежащим ¿-плоскости:

х = 0, deí|| дрх° +Лр&чх| = 0. (3.4)

Линейная поляра точки А° относительно фокального многообразия (3.4) есть (п-т-1)-мерная плоскость Сп - т-1(А°), которая задается уравнениями

х = 0, х° - И°йхх = 0, (3.5)

где

иа = --лар, у и° +са = и°, с; (3.6)

а р">

г

уи °+К=и °ак, уип - и ° К +К = ипК. (3.7)

Итак, поля квазитензоров { р° } (3.3) и {И ° } (3.6) задают соответственно поля оснащающих плоскостей Картана Кп-т-1 (А°) (3.2) и Сп-т-1(А°) (3.5) гиперполосы БИт [2]. Так

как квазитензоры 3-го порядка { р° } (3.3) и {И X} (3.6) в общем случае (функционально) независимы, то они порождают в каждой А-плоскости пучок оснащающих плоскостей в смысле Э. Картана, который зададим пучком квазитензоров 3-го порядка

И 1(а) = р°& + а(И°-р°&) =р°& + ок X, (3.8)

где

И ° = И ° _р°, УИ ° = И ° со1.

а а * а' а а

Отметим, что пучок (3.8) порождает пучок

И°а(о) = р°а + а(И°_р°а) =р°а + аИ (3.9)

определяющий в каждой характеристике Хп_т_1( Л°) пучок ее нормалей 2-го рода в смысле Нордена.

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 3-го порядка гиперполосы 8Ит внутренним инвариантным образом присоединяется однопараметрический пучок (3.8) ее нормализаций в смысле Э. Картана, который порождает (в свою очередь) однопараметрический пучок нормализаций 2-го рода в смысле Нордена поля характеристик данной гиперполосы 8Ит .

Список литературы

1. Волкова С. Ю. Гиперполосы 8Ит проективного пространства/ Балтийский ВМИ им. адмирала Ф. Ф. Ушакова. Калининград, 2005. Деп. в ВИНИТИ РАН, № 696-В2006.

2. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос: учебное пособие. Калининград, 1983.

3. АкивисМ. А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем// Тр. геом. семинара/ ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 7—31.

4. Лаптев Г. Ф., Остиану Н.М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара/ ВИНИТИ. М., 1971. Т. 3. С. 49—94.

5. Норден А.П., Тимофеев Г. Н. Инвариантные признаки специальных композиций многомерных пространств// Известия вузов. Ма-тем. 1972. № 8. С. 81—89.

S. Volkova

NORDEN — TIMOFEEV NORMALIZATION OF REGULAR HYPERSTRIP SHm IN PROJECTIVE SPAСE

In the second-order differential neighborhood is made invariant normalization in the sense of Norden for a hyperstrip.