Инвариантные нормализации и оснащения Э. Картана основных структурных подрасслоений SH-распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

А. А. Будылкин

ИНВАРИАНТНЫЕ НОРМАЛИЗАЦИИ И ОСНАЩЕНИЯ Э. КАРТАНА ОСНОВНЫХ СТРУКТУРНЫХ ПОДРАССЛОЕНИЙ 5Н-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Приведены задание SH-распределения, теорема существования в репере нулевого порядка. Получены инвариантные нормализации, соответствия Бомпьяни — Пантази, построены оснащения в смысле Э. Картана основных структурных подрасслоений.

SH-distribution and the theorem of the existence in frame of order zero are given. Invariant normalizations, matchings Bompiani-Pantazi and equipments in order of E. Cartan of major structural sub-bundles are built.

41

Ключевые слова: распределения, тензор, квазитензор, нормализация.

Key words: distribution, tensor, kvazitensor, normalization.

Изучение 5Н-распределений актуально, так как эти образы являются обобщениями теории специальных классов гиперполос и гиперповерхностей [8], а также гиперполосных распределений [9], которая имеет приложение в вариационном анализе, физике, механике [2; 3; 10].

Работа выполнена методом Г. Ф. Лаптева.

Знак = означает сравнение по модулю базисных форм юК. Индексы: г, ], к, ... = 1, т; а, р, ... = т +1, п - т-1;

а, р, ... = 1, п -1; I, ], К, ... = 1~П; I, X,... = 0"п.

§ 1. Задание скомпонованного SH-распределения проективного пространства. Теорема существования

Определение 1. Тройка распределений плоскостей Л-, Ь-, Н-про-ективного пространства Рп, удовлетворяющая условиям

[Ь-т-Л А), Лт( А)] = Нп_,( А), Ьп-т-А А) п Л„,( А) = А,

называется скомпонованным гиперплоскостным распределением, или коротко SH-распределением [7].

Выберем подвижной репер пространства Я0 = {Ау} (0-го порядка),

ассоциированный с 5Н-распределением

А = Ао, {Аг} с Л(Ао), {Аа} с Ь(Ао), Ап г Нпл(Ао).

© Будылкин А. А., 2016

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 2. С. 41-50.

42

5Н-распределение в этом репере Яо задается следующими дифференциальными уравнениями:

ю?=лк юк, юп=лпак юк, юп=л к юк, =Кк юк, (1)

УЛПК +ЛПкю0 -5"кю? = Л^ю1, УЛПк +ЛПкю0 -§кюП = ЛП^ю1,

УЛ Пк + ЛПк ю0 -5к ю0 + Л к юп = л.ПХ, (2)

УЛПк + ЛПкю0 -5'кюП + ЛПкюП = Л'пк^,

где функции Л1"к1, ЛПк1, Л^, Л'пк1 не симметричны по нижним индексам к, I.

Имеет место теорема существования 5Н-распределений [1].

Теорема 1. В п-мерном проективном пространстве скомпонованное гиперплоскостное SH-распределение в репере нулевого порядка существует с произволом (2т + 1)(п - т - 1) + т функций п аргументов.

§ 2. Инвариантные нормализации основных структурных подрасслоений 5Н-распределения

1. Из уравнений (2) следует, что совокупности функций (Лп}, {ЛПр},

(Л;} = (Л?, ЛПр} образуют в силу строения 5Н-распределения невырожденные фундаментальные тензоры 1-го порядка соответственно Л-, I-, Н-подрасслоений:

УЛП + ЛПю0 = ЛХ, УЛПР+ ЛПРю0 = ЛПХ, ул; +л>0 = л;Х , (3)

для которых можно ввести обращенные фундаментальные тензоры 1-го порядка, удовлетворяющие условиям

Л^Л* = 5к, ЛПЛ? = 5к, УЛ* - Л*ю0 - 0, ЛПрЛЬт = 51, ЛПрЛГ = 5^, УЛЬТ - Л>0 - 0, л;л: = 5;, Л^Л™ = 5р, УЛР^ - Л>0 - 0.

2. В каждом центре Ао нормаль 1-го рода Ип-т(Ао) образующего элемента Л-подрасслоения определим следующим образом:

4,-т (Ао ) = [К-т-1 (Ао ) , К ], К =Л„ +У1пАг +УПЛП . Требование инвариантности плоскости Ып-т(А0) ведет к уравнениям

УЧ +юП =Чк юк, (4)

а на величины (уП } это требование никаких условий не накладывает. Однако если потребовать инвариантность прямой Ду) = [А0, Ьп], то величины К} должны удовлетворять условиям

У УП + юП = уПк юк. (5)

Охват квазитензора {V*} (5) можно осуществить так: V" = ", где

ае£ 1

v:=лa=т ло л п, уа о+<=л>ь.

т

В дальнейшем будем считать, что прямая Ду) = [Ао, Ьп] инвариантна, то есть в качестве точки Ьп можно взять Ьn(v) = Ап + vtnAi + Л"Аа.

Задание поля квазитензора {V"} (4) определяет поле инвариантных прямых 1(у) = [Ао, Ьп^)], а следовательно, поле инвариантных нормалей 1-го рода Ып-т^) = [Ln-m-l(v), Ьп^)]. Подразумевая это, мы в дальнейшем под полем инвариантных нормалей 1-го рода Л-подрасслоения будем понимать поле соответствующего квазитензора {V"}. В репере Я0 уравнения инвариантной нормали 1-го рода Ы"-т^) запишутся в виде

' ' П Г\

х -V"х =0.

Пусть нормаль 2-го рода Ыт-1^) плоскости Л(Ао) натянута на точки N = Л,- + v0Aо. Требование инвариантности нормали Ытл^) равносильно

тому, что величины {V®} удовлетворяют уравнениям VvI0 + ю° = vI0K юК.

3. Пусть инвариантное поле нормалей 1-го рода Ы"-т задано полем квазитензора {V"}. Следуя работе [5] с учетом формул (1) —(4), найдем фокальное многообразие Ф т_т-1( N, Л) с Ы"-т(Ао):

X = 0, det|\б)х0 + -Л"V"vn)х" + (Л0 -vnлnaj)ха|| = 0, (6)

полученное при смещении точки А0 вдоль кривых, принадлежащих полю Л-плоскостей. Линейная поляра точки А0 относительно многообразия (6) есть плоскость

^-1(А0): х'=0, х0 -пахх" =0, (7)

где

п" = - — (а*.-А". V'), V0 =- — (V'.-Л"У V1),

1а \ о' 01п}' П \ Ш 11 П П /'

тх ' тх 1 '

уп"+»а=п"к ®К, Vvn+V, -па®а+®п=vnк ®К.

Плоскость Кп-т-1 (А0) (7) пересекает:

а) плоскость Ь(Ао) по ее нормали 2-го рода Nn-m-2(Ао):

х' =0, х" =0, х0 -п00х" = 0; (8)

б) прямую I(v) = [Ао, Ь "(V)] в точке К:

^ : х" = Л"х", х' = VI,х", х0 = (Vn + П"Л")х". (9)

4. Пусть задано поле нормалей Ыт+1(Ао) 1-го рода Ь-подрасслоения, то есть задано поле квазитензора {V"}. Здесь

Ыт+1(Ао) = [Л(Ао), К = АП + Л"А' + v00Лa ],

ае£ 1

где Л" =-- Л'арЛЬ", УЛ" + < =0.

" - т -1

43

44

Аналогично, следуя работе [5] с учетом формул (1) —(5), находим фокальное многообразие Tm~m-1( N, L):

ха = 0, det||s¡aX0 + (v¡p - ЛарУ„°уР)xn + (Л; -v^)x'|| = 0, (10)

полученное при смещениях точки А0 вдоль кривых, принадлежащих L-подрасслоению. Линейная поляра точки Ао относительно многообразия (10) есть плоскость

Km(Ao): x¡ = 0, x0 -n0x' = 0, (11)

где

1 1

^ /.а . п а\ 0 ^ л о ,

П =---(Л,а -Л'Л ), М =---(v„a -ЛаР^Х ),

п - m -1 o - m -1

Т7 0 . 0 0 K Y-T 0 . В 0 0 ' . 0 0 к Уп°+Ю0=п°сю , VMo +v0rap -П0®п + юо = Мокю •

Плоскость Km(Á0¡) (11) пересекает:

а) плоскость Л(А0) по ее нормали 2-го рода Nm-i(Á0):

x¡=0, xn =0, x0 -n0x' =0; (12)

б) прямую h(v) = [A0, ho(v)] в точке Ko:

к* ь%п, *•=л, (13)

Следует заметить, что плоскость Кп-т-1(Ао) (7) является плоскостью Картана для образующего элемента Л-подрасслоения, а плоскость Кт(Ао) (11) — плоскостью Картана для образующего элемента Ь-под-расслоения, в данном центре А0. Точки Кп, Кп соответсвенно назовем V-виртуальными точками Картана прямых I(у), &(у).

§ 3. Соответствие Бомпьяни — Пантази

1. Плоскость Ппл(Ао) = [Мтл(Ао), Мп-т-2(Ао)], натянутую на нормали 2-го рода (8), (12) соответственно плоскостей Ь(А) и Л(А), является у-виртуальной плоскостью Нордена — Тимофеева неголономной композиции (Л , Ь) [7]'

жп =0, -Щ,ж°=0, (14)

а плоскость Пп-1(Ао) (14) — нормаль второго рода Н-плоскости в точке

ае£

Ао. Введем в рассмотрение функции íп = -Л,п, которые удовлетворяют уравнениям (при фиксации точки Ао)'

^ = -л;<-п,. (15)

Из выражения (15) следует, что совокупность функций {л:} образует квазинормаль [5; 9] Н-подрасслоения. Согласно работе [6] соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Н-подрас-слоения имеет вид

v0 = -А;< + С (16)

Разрешив уравнения (16) относительно v; получим

vn p ín>

где

С помощью квазинормалей [9]

t =t<-Л,ПХ, vt +tt « = -л;юп-«0,

h = ta -лаV'n, Vía + ía®0 = ^p« - «"a вводим в рассмотрение функции

tn =щ, vtn+«+лп« - o, с=л;%, ve+й;+л>? - 0

и затем устанавливаем:

а) биекцию Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Л-подрасслоения:

vi = -л]v0 +1', v0 = -л;v] +1 0;

б) биекцию Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода L-подрасслоения:

va = 0 +1a, v0 = -лп„vp +10

Если охваты нормалей 1-го и 2-го рода Л-, L-, Н-подрасслоений представить как v a = Л a, v'n = Л П, v; = Л;, то охваты функций

def 1 def 1 def

л,0 =--- (Л;:-ЛП,Л: ),Л: =--(Л, - лaiлn), i; = t, - л;лр

n - m -1 m

определены в дифференциальной окрестности 1-го порядка, а охваты функций

def 1 def 1

K =--(Л; - Л;.Л; Л; ), l ; =--- (Л;,- Л^Л;) —

m n - m -1

в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

Из выражения (16) следует, что i, = -л;рЛп +1,, i, = -л;Л; + t°. В результате приходим к следующему предложению.

Теорема 2. БН-распределение в дифференциальной окрестности 1-го порядка порождает внутренним инвариантным образом нормализацию Норде-на - Тимофеева (л;, i;) Н-подрасслоения и нормализации Нордена (л;, л,),

45

46

(Л а, Л а) соответственно Л- , I- подрасслоений, а в дифференциальной окрестности 2-го порядка - поля у-виртуальных точек Картана Кп = Ьп + К0Л0, К = + °пЛ0 и поля плоскостей Картана Кп-т-1(А0) = [КП, Л0],

кп (Ло) = [кп, Л,+Л,0 Ло ].

§ 4. Инвариантные оснащения основных структурных подрасслоений данного 5Н-распределения в смысле Э. Картана

1. Инвариантное оснащение Л-подрасслоения данного 5Н-распределения в смысле Э. Картана

1. Определение 2. Л-подрасслоение т-мерных линейных элементов данного БЫ-распределения назовем оснащенным в смысле Э. Картана [13], если каждому центру А0 поставлена в соответствии плоскость Кп-т-1(Л0), не имеющая общих точек с текущим элементом Лт(Л0) базисного Л-подрасслоения.

Плоскость Кп-т-1(Л0) в каждом центре Л0 зададим точками

К (V) = УЯ +Ла, Кп( V) = ^ +УапЛа+у'пЛ1 + Лп = ^ + N.

Функции, входящие в эти соотношения, удовлетворяют уравнениям

\-7 0 . ' 0 . п 0 . 0 0 К '. ' ' К

^п + УпЮ, + У°Юп+Юп = УпКЮ , ^п + Юп = УпКЮ , (17)

Т7 п . п п К Г-Г ~0.0~0 К ^ ' =У°КЮ , ^п+Юп=УпКЮ ,

задающим условие инвариантности плоскости Картана Кп-т-1(Л0) = [Кп, Кп]. В дальнейшем, если специально не оговорено, в качестве функций

уп , Vп берем соответственно охваты

ае£ 1 1 Vя = Ла = — Л11 Л'', V0 = -—(Л'. - Л"У ),

п п '! п' п V п, п, п/'

т ' т

ае£

если у'п = Л'п, то Vп = Лп. Таким образом, оснащение Л-подрасслоения данного БЫ-распределения в смысле Э. Картана равносильно заданию на подмногообразии БЫ полей геометрических объектов {у'п}, {V"}, М, У0п, Л"}. Заметим, что плоскость Кп-т-1(Л0) пересекает 1п-тл(Л0) по плоскости

Кп-т-2 (Л0 ) = 1п-т-1(Л0 ) П Кп-т-1(Л0 ) = [ Кп ] = [ Лп + VпЛ0 ],

и если лпп = 0, то плоскость Кп-т-г(Л0) является осью плоскости Кёнигса [6]. В силу этого плоскость Кп-т-2(Л0) = [Ка] назовем осью оснащающей плоскости Кп-т-1(Л0) = [Кп Кп]. Ясно, что оснащение Л-подрасслоения в смысле Э. Картана влечет за собой оснащение Л-подрасслоения полем нормалей 1-го рода {у'п}. Верно и обратное утверждение: если на Л-подрас-

слоении задано поле нормалей 1-го рода {^}. то такое оснащение определяет оснащение в смысле Э. Картана Л-подрасслоения, так как в качестве одного из возможных охватов функции ^ можно взять

ае£ 1

V0 = - — (V*. -Л"^V)- V0Лa (18)

п \ т кр п п' о п V '

т

или

К0 = -—(V- Л"V* V1) - \0Ла. (19)

п V т Ъ п п/ о п ^ '

т 1

При таком охвате (18), (19) функции vn оснащающая плоскость

Кп-т-1(Ао) называется плоскостью Кёнигса нормали } [13]. Охват (19) универсален в том смысле, что он справедлив для любого поля нормалей 1-го рода К}. Из охвата (19) функции vn следует

Теорема 3. В каждом центре Ао БИ-распределения инвариантные оснащающие плоскости Кёнигса (13) всех нормалей 1-го рода Ып-т^) Л-подрасслоения принадлежат одной связке, (п - т - 2)-мерная вершина Кп-т-2 = [А0 +10Л0 которой является осью каждой из плоскостей Кёнигса.

2. Пусть Л-подрасслоение оснащено полями нормалей } 1-го рода. Следуя работе А. В. Столярова [11], найдем условия неподвижности плоскости Э. Картана Кп-т-1(Ао) = [К0 Кп]. Разложив йКш йКп по реперу {А0, Ар Кр, Кп} и приравняв коэффициенты при А0, Ар к нулю, находим:

С -^о(Л0 + ^К +ЧЛ0к)>п -^0Л0)(ЛРЛРК +уп1ьпс +у'пЛпк) = 0, (20) V0к -V0V08K -(^ -V0лn )(Л0к +V05nк) = 0, (21)

V,nк++ЛОЛ'оК - V;, (^5пК+vnлnк+лплпк ) = о, (22)

Л'оК +V08'к-vU(V08nк + ЛОк ) = 0. (23)

Одновременное выполнение соотношений (22), (23) является условием того, что смещение оснащающей плоскости Кп.т-1(у) не выходит из нормали 1-го рода ып-ш ). При этом оснащающая плоскость Кп-т-1^) является плоскостью Кёнигса [5] нормали ^}, так как из соотношений (23), (22) непосредственно следует:

V0 =- — (Лго* - Л пр'„ ),

т '

V0 = - — ( Vг' . - Лп к1 )-V

п V п* кр п п / о п

т

В работе [9] доказано, что при т ^ 2 для гиперполосных распределений из соотношений (22), (23) вытекают соотношения (20), (21). Так же можно показать, что для Л-подрасслоения данного БИ-распределения условий (22), (23) достаточно, чтобы восстановить (20), (21). В случае т ^ 2 аналогично доказываем, что при любом смещении центра Ао

47

48

БИ-распределения смещение оснащающей плоскости Э. Картана Кп-т-1 не выходит из нормали 1-го рода } тогда и только тогда, когда оснащающая плоскость Кп-т-1 неподвижна. В этом случае плоскость Кп-т-1 — это плоскость Кёнигса [9] нормали }.

2. Инвариантное оснащение Ь-подрасслоения в смысле Картана

1. Пусть теперь задано поле нормалей 1-го рода {^} Ь-подрасслое-ния. Тогда поле квазитензора

ае£ 1 -.0 1

V, = --

п - т -1 заданное уравнениями

(Ла - Л" Vя),

\ га га п >'

VV 0 +Ю0 = V гк »К , определяет поле нормалей 2-го рода Ь-подрасслоения.

Определение 3. Ь-подрасслоение (п - т - 1)-мерных плоскостей данного БИ-распределения назовем оснащенным в смысле Картана [13], если каждому центру Ао поставлена в соответствие плоскость Кт(Ао), не имеющая общих точек с текущим элементом Ь(Ао) базисного Ь-подрасслоения.

В плоскости нормали Мт+1(у) найдем ивариантную плоскость Кт(у) = [Сг, Сп], натянутую на точки

С (V) = пОАо + ^ (V) = Ап + vaАа + ЛгпАг +п0Ао, Сг (V) = Аг + Vо Д,.

Согласно (1), (16), (17) находим условия инвариантности плоскости Кт^) = [Сг, Сп]:

+ Л>о + V п + ®о = п0° ®к, +< = лпк ®к, (24)

= ^шК, ^о-^о^( )

Таким образом, оснащение Ь-подрасслоения данного БИ-распределения в смысле Э. Картана равносильно заданию на подмногоообразии БИ полей геометрических объектов {^}, {Vо}, {va, ц°п, Л'п} (26). Отметим, что плоскость Кт(у) пересекает плоскость Лт(Ао) по плоскости

Кт-1 ( Ао ): Кт (Ао ) пЛт ( Ао ) = [Сг ( V)] = [ Аг +V о Ао ],

которую будем называть осью плоскости Кт Э. Картана. Ясно, что если Л,п = 0, то плоскость Кт-1(Ао) является осью плоскостей Кенигса [5] в этом случае:

ае£ 1

Vо = Ло =--- Лаа, Сг = Аг + ЛоАо .

п - т -1

Оснащение Ь-подрасслоения в смысле Э. Картана полем плоскостей Кт(у) влечет за собой оснащение Ь-подрасслоения полем нормалей 1-го ро-

да {V:}. Верно и обратное утверждение: если на Ь-подрасслоении задано поле нормалей 1-го рода {V:}, то такое оснащение определяет оснащение в смысле Э. Картана Ь-подрасслоения, так как в качестве одного из возможных охватов функции г\°п можно взять

ае£

хО

пП =--К: - ) - V0 лп (25)

п - т -1

или

ае£ 1

СП =--— (V:: - л;^п) - АОл'п. (26)

п - т -1

При охвате (25), (26) функции ц°п оснащающая плоскость Кт(АО) [9] является плоскостью Кёнигса нормали {V:}. Охват (26) универсален в том смысле, что он справедлив для любого поля нормалей {V:} 1-го рода Ь-подрасслоения в данном центре АО.

2. Пусть Ь-подрасслоение оснащено полем нормалей {V:} 1-го рода. Аналогично (см п. I) найдем условия неподвижности плоскости Э. Картана Кга^) = [Сг, Сп]. Разложив йСш йС* по реперу {Ао, А: С*, Сп} и приравняв коэффициенты при А0 и А: к нулю, находим:

пОк - *?((+п08К+^Л'рк) -(пО - ^0лп )(л;л;к+^+^л^)=о, (27)

v0к - V? v0 Я -(пп -v0 лп )(лпк+V0 §К) = о, (28)

vaк+пО зк+лплк - V: (пО Я+V лЬк + лп лпк) = о, (29)

л,к+VI08K^(^"к+лпк) = 0. (30)

Следуя работе [11], можно показать, что условия (33), (34) — следствия (29), (30), а при и - т -1 ^ 2 условий (29), (30) достаточно, чтобы плоскость Э. Картана Кт(АО) была неподвижной. В этом случае плоскость Кт(АО) является плоскостью Кёнигса [9], так как из (29), (30) следует, что

1 1

_/ д а _ д п а \ ~О ___

п - т -1 п - т -1

V0 =----(ла -л" Vя), пО =----(Vе1 - л",^7 V13) -V0 л*.

г ..... л V г: г: п >> \п ..... V ш УР п п/

Для инвариантных оснащений в смысле Картана Ь-подрасслоения имеет место теорема, аналогичная теореме 3.

Теорема 4. В каждом центре Ао БИ-распределения инвариантные оснащающие плоскости Кёнигса (9) всех нормалей 1-го рода Мт+1^) Ь-подрасслоения принадлежат одной связке, (т - 1)-мерная вершина кт-1 = [Д.+110АО] которой является осью каждой из плоскостей Кёнигса кш(Ао).

Резюмируя, приходим к следующим предложениям.

Теорема 5. При т^2 при любом смещении центра А0 БН-распределения в дифференциальной окрестности 1-го порядка оснащающая плоскость Э. Картана кп-т-1 = [к^), кп^)] (является плоскостью Кёнигса) не выходит

49

50

из нормали 1-го рода {v'n} Л-подрасслоения тогда и только тогда, когда она неподвижна. Условия (22), (23) - аналитический признак неподвижности плоскости Кёнигса K n-m-l.

Теорема 6. При п - m -1 ^ 2 при любом смещении центра Ао SH-pacnpe-деления в дифференциальной окрестности 1-го порядка оснащающая плоскость Э. Картана Km(v) = [Ci, Cn] (плоскость Кёнигса) не выходит из нормали 1-го рода {vbn} L-подрасслоения тогда и только тогда, когда она неподвижна. Условия (26), (27) - аналитический признак того, что «вращаясь» вокруг своей оси Kn_m_2 = [А0 +1°Л,], плоскость Km остается неподвижной.

Список литературы

1. Будылкин А. А. Инвариантные нормализации скомпонованного гиперплоскостного распределения проективного пространства / / Естественные и математические науки в современном мире. 2015. Вып. № 2(26). С. 24 — 33

2. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М., 1950. Вып. 8. С. 197 — 272.

3. Гохман А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем // Тр. геометр. семинара ВИНИТИ. 1966. Т. 1. С. 111—138.

4. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциальнно-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.

5. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности / / Тр. геометр. семинара ВИНИТИ. 1971. Т. 3. С. 49—94.

6. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространсве / / Там же. 1973. Т. 4. С. 71 —119.

7. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. СПб., 1992.

8. Попов Ю. И., Столяров А. В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространство. Калининград, 2011.

9. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов / / Проблемы геометрии. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.

10. Столяров А. В. Дифференциальная геометрия полос / / Проблемы геометрии ВИНИТИ. 1978. Т. 10. С. 25 — 54.

11. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.

12. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М., 1948.

13. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу МГУ. М., 1977. Вып. 4. С. 147 — 159.

Об авторе

Андрей Александрович Будылкин — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

About the author

Andrey Budylkin — PhD student, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: [email protected]