О полях геометрических объектов d-оснащенной гиперповерхности проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75 (08)

Ю. И. Попов

О ПОЛЯХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Д-ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Определен специальный класс (Д-оснащенных) гиперповерхностей проективного пространства и доказана его теорема существования. Построены внутренним инвариантным образом в дифференциальной окрестности 3-го порядка: а) нормализация Нордена — Тимофеева гиперповерхности; б) две нормализации Нордена касательного А-подрас-слоения; в) в каждой L-плоскости три однопараметрических пучка ее нормалей Нордена 2-го рода.

The special class of (Д-framed) hypersurfaces of the projective space Pn — is defined, and its existence theorem is proved. In the differential 3rd order neighbourhood: (a) Norden-Timofeyev's normalization of the hypersurface; (b) two Norden's normalizations of the tangent А-subbundle; (c) in each L-plane three one-parameter sheaves of its Norden's 2nd kind normals-are constructed internally invariantly.

Ключевые слова: нормализация, квазитензор, подрасслоение, биекция Бомпьяни — Пантази, охват геометрического объекта, гиперповерхность.

Key words: normalization, quasitensor, subbundle, Bompiani-Pantazi bijection, geometrical object coverage, hypersurface.

В работе использована следующая схема индексов:

i, j, k, l = 1, n -1; p, q, s, t = 1, m; a, b, c = m +1, n -1.

1. Задание гиперповерхности Qn-1(Д) с Pn. Теорема существования

Рассмотрим в проективном пространстве Pn гиперповерхность Qn-1, оснащенную полем Д-плоскостей размерности m + 1 (плоскостей

def

Дm+1 = Д) таких, что в каждой точке A е Qn-1 выполняется условие

Д( A) n T„-1( A) = А m (A),

где Tn-1(A) — касательная плоскость гиперповерхности Qn-1 в точке A. Такие гиперповерхности в дальнейшем будем обозначать Qn-1( Д).

© Попов Ю. И., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 4. С. 16

В каждой точке АА) плоскости Л(Л) (Л = Лт(А)) соответ-

ае£

ствует сопряженная ей плоскость Ь( А) = Ьп-т-1(А) относительно конуса асимптотических направлений

Л"хУ = 0, хп = 0,

!

лежащего в касательной гиперплоскости Тп-1( А) с ^п-1( А).

Известно [1], что дифференциальные уравнения гиперповерхности □п-1 с Рп в репере Я1 имеют вид

®п = 0, (1)

а трехкратное продолжение уравнения (1) приводит к уравнениям

< = х I ®0, ух п +х>0 = х . юк,

УХюк + 2Хю0 + Хпюк + Х" ю0 + Х>0 -

г.к г.к 0 г] к гк ] ]к г (2)

- (хл ц + кцк + хпхл) = Хпк;ю0, где функции Хпк, Хпк, Хпи симметричны относительно нижних индексов.

Основной фундаментальный тензор (Хп.} второго порядка гиперповерхности Оп-1( А) симметрический и имеет следующее строение:

Хп 0

т

0 х:

, УХп +хпю0 =хп.кюк.

Так как гиперповерхность оснащена полями сопряженных плоскостей Л(А), ЦА), то в этом случае Х^ = 0 и Хпар = 0.

Тензор (Хп} невырожден, т. е.

и и йе£

Л0 = ае1||хп|| *0, й 1пЛ0 + (п + 1)(ю0 +юп) = Х^ю0 = Лкюк, УЛ к + Л к ю0 + ( п + 1)( ю0 -ЛЩ. юп ) = Л кг юг, Л кг = Л гк . Функции (ХПп} и (Х^} также образуют невырожденные симметрические тензоры 2-го порядка:

йе£ и и йе£

х0 = а<*| |х;||, 10 = а<*| |х:ь|| * 0,

+х; ю0 = х>0, ух; +х>0 = х>*0.

Для тензоров (Х^}, (Х^}, (Хп.} введем обратные им тензоры:

хгх; = з;, ухГ-х>$ - 0, хпх; = §к, Х пьхпс = з:, ухПЬ -хпЧ - 0, ухП -хп'ю0 - 0.

Выберем репер Я1 = (Ау}, ассоциированный с гиперповерхностью Оп-1(А), следующим образом:

А - А0,(А;} с Лт(А0), (А:} с 1п-т-1(А0), (Ап} е А(А0).

(3)

17

18

В репере (первого порядка) гиперповерхность Д) задается системой уравнений

ю" = 0, ю" = X" ю', ю" = X>0, ю" = X".ю0, юр = XРю0, ю" = X".ю! (4)

и Р Р' 0' " "Ь 0' Р Рг 0' " "' 0' п п. 0 \/

и их замыканием

VX" +Xпю0 = X" .ю', (5)

рц рц 0 рцг ' ^ '

VX"b +X"bюп = X>', (6)

VXpI +XpI ю0-5" юр = X^ю', (7)

VXРI +XРIюп +X"b5bю"-5Рю0 =XРI;W, (8)

+X"Iюп ^ю" -5"ю" = X^ю-'. (9)

Имеет место теорема существования гиперповерхности Д). Теорема 1. Гиперповерхность Д) проективного пространства Рп, заданная системой уравнений (4) — (9), существует с произволом (2т + 1)(п - т - 1) функций п - 1 аргумента.

Доказательство. Чистое замыкание системы (4) представим в виде

ДXлю' = 0, Д1пЛ люь = 0, ДXР. лю' = 0, ДXр лю' = 0, ДX"i лю' = 0. (10)

Найдем характеры системы (10), следуя работе [2]. Пусть А = (2т + 1)(п - т - 1), тогда

Б: = т+(п - т -1) + А, Б2 = (т -1)+(п - т - 2) + А, Б3 = (т-2)+(п-т-3) + А,..., Бт-1 = (т-(т-2))+(п-2т+1) + А, Бт = (т-(т-1))+(п-2т) + А, Бт+г = (п-2т-1) + А,..., Бп-т-1 = ((п-т-1)-(п-т-2)) + А, Бп-т = А,..., Бп-1 = А.

Подсчитаем число Картана О [2] для системы (10): О = Бг + 2Б2 + ЗБ3 +...+(п -=

= т(т +1)(т + 2) + (и - т - 1)(п - т)(п - т +1) + + - т -1) И(И -1) 6 6 2

Разложим уравнения (10) по лемме Картана [1; 2] и затем найдем число N вновь полученных функций в этих разложениях: N = О. Следовательно, система уравнений (10) в инволюции [2] и гиперповерхность Д) с Рп с произволом (2т + 1)(п - т - 1) функций п - 1 аргумента. □

2. Поле плоскостей Нордена — Тимофеева гиперповерхности Д)

1. Из условия инвариантности 5МР = 6'Мц плоскости Nm-1(Ап) = = [ Мр ] = [ Ар + у;Ап] находим, что V5vp + ^ = 0.

Отсюда следует, что поле квазитензора } [1]

+ »0 = <юг (11)

задает поле нормалей 2-го рода в смысле Нордена [3] касательного Л-подрасслоения (в дальнейшем просто Л-подрасслоения) на гиперповерхности А).

Охват квазитензора (у0} (11) представим в виде

ае£ 1

V0 = Г0 =----Га , УХ0 + ю0 = Г0юг. (12)

р р п _ т _ 1 ра' р р рг х '

Таким образом, нормаль 2-го рода Ыт_1(А0) = [Ар + v0Ao] плоскости Л( А0) (элемента Л-подрасслоения) определена внутренним образом в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

Аналогично, из условия инвариантности 5Ма = 0^МЬ плоскости К_ т_2 (А0) = [ Аа + v0 А0] находим, что У^0 + я0 = 0.

Значит, поле нормалей 2-го рода касательного Ь-подрасслоения на гиперповерхности А) определено уравнениями

Уv0 +»0 ^>0. (13)

Построив охват квазитензора (V0} (13) в вице

ае£ 1

V0 = Г0 =—-Гр, УГ0 + ю0 = Гюг, (14)

а а ар' а а а ' ^ '

т у

убеждаемся, что в каждой точке А0 е 0(А) нормаль 2-го рода в смысле Нордена [3] Мп_т_2(А0) = [Ма ] = [Аа + ГА0] плоскости Ь(А0) (элемента Ь-подрасслоения) задается внутренним образом в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

Из уравнений (11), (13) следует, что поле нормалей Нордена 2-го рода Мп_2( А0) [3] гиперповерхности А) определяется уравнениями

Уv0 + ю0 = V0. Ю,

а из уравнений (12), (14) — что поле квазитензора {Г0} = (Гр,Г0}, уравнения которого имеют вид

УГ 0 +ю0 =Г0). ю., (15)

задает внутренним образом поле нормалей Нордена 2-го порядка Ып_2(А0) = [Аг +Г0А0] гиперповерхности А).

2. Найдем фокальное многообразие [4; 5] А-плоскости при смещении точки А0 вдоль кривых

к = 0, »0 = 0, Ю0 = р а 0, ' ш = 0 л ею, Ура _ра(000 +ю00) = р10,

19

20

принадлежащих касательному Ь-подрасслоению

Г х" = 0,

ф(А, Ь): 1 н 0 и (16)

' ' \detl|8»х0 +Х;ьхр +Кьхп\\ = 0. ' '

Фокальное многообразие Ф( Д, Ь) (16) представляет собой алгебраическое многообразие размерности т, порядок которого п - т - 1. Плоскость Л(А0) сечет многообразие Ф(Д, Ь) по алгебраическому многообразию

Гх" = 0, хп = 0, Ф( Л, Ь): 1 ,, 0 (17)

рьх0 +х ;ьх;|| = 0

порядка п - т - 1 размерности т - 1.

Линейная поляра точки А0 относительно многообразия Ф(Д, Ь) (16) есть т-плоскость Кёнигса Кт( А0) с Д( А0) [4]

Г х" = 0,

(Кт): Г х0-хх-ху = 0, (18)

у ; п

а относительно многообразия Ф( Л, Ь) (17) — плоскость

Г х" = 0, хп,

| х" -Кх;= 0, (19)

где

X0 =--1-X" , УХ0-X0юр +ю0 =х.ю". (20)

п -I па' п ; п п т \ /

п - т -1

Вывод. Нормаль 2-го рода Ыт-1(А0) (19) плоскости Л(А0) есть линейная поляра точки А0 относительно многообразия Ф(Л, Ь) (17), а плоскость Кёнигса Кт(А0) [4] - линейная поляра относительно многообразия Ф(Д, Ь) (16).

3. Рассмотрим фокальное многообразие [5] Ф(М, Ь) нормали Мп-т (А0) 1-го рода плоскости Л(А0) при смещении точки А0 вдоль кривых

Гю; = ц;0, ¿0 = 0Л00, (X): 1

[Уц; -ц;(00 +ю0) = ц!0,

принадлежащих касательному Л-подрасслоению гиперповерхности Д):

Г х; = XX хп,

Ф(М, Л): 1 ,, п , ,, (21)

' ' Ш 5;х0 +х 1х" + (X;-хп,хпхп)хп = 0. 4 '

Многообразие Ф(М, Л) (21) есть алгебраическое многообразие размерности п - т - 1 порядка т. Плоскость Ц А0) пересекает многообразие (21) по алгебраическому многообразию Ф(1, Л) порядка т размерности п - т - 2:

|хр = о, хп = 0, Ф(L,Л): \ и 0 и (22)

' ' \detl0 + х^ = 0. ' '

Линейная поляра точки А0 относительно многообразия Ф(Ь, Л) (22) есть нормаль 2-го рода ЫП-т-2( А0) плоскости Ц А0)

К-т-2( Л^, „ ^

хр = 0, хп = 0,

х0 -х0 ха = 0.

Резюмируя результаты раздела 2, приходим к выводу. Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка поле квазитензора (X0} (15) задает поле нормалей 2-го рода Нордена [3] гиперповерхности А) - поле плоскостей Нордена - Тимофеева [6], а поле квазитензора (Х0, х"} - поле плоскостей Кёнигса Кт (18).

3. Соответствие Бомпьяни — Пантази

п +1

ниям

1. Согласно (2), (5) функции ^ =-- х—х" удовлетворяют уравне-

У- +ю0 +ю0 =хп а" + г- а'. (23)

Введем, учитывая (23) и следуя работам [3; 4], соответствие Бомпьяни — Пантази [7] между нормалями 1-го и 2-го рода Нордена гиперповерхности А):

V? =х п- ^пЛ + г, Ч =хп^ + г" , (24)

где

г" = ^Х, víП +< = хП®° +гЛ Ш, +ю0 = —, vvл +а" = V; а'.

Аналогично, функции 1

^ л п л цТ х—7. 0 л П

где

г =—— х\ хцг, ví +ю° =хПю' + г- а',

т + 2 П р гч П

УхП . + 2хП .ю0 +хП а0 +х" а0 +хП а0 -(х" х" +хП хП, +хП х" )а8 = 0,

рцг рцг 0 гц р рг ц рц г \ зц рг рз цг рц зг' П '

позволяют установить соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода в смысле Нордена Л-подрасслоения на гиперповерхности А):

21

22

v0 = Xnvq +t, vp = XpqV0 + tr, (25)

p pq n p' n n q n ' \ /

f = -t Xn, Vtp + юр = X+ Fro'

n q n ' n n n q ni

где

2. Квазитензору (X0} (15) в биекции (24) соответствует квазитензор

К}:

ае£

к =к Х0 + ^, ух;+< = х;. ^. (26)

Согласно тому, что поле квазитензора (X0} (15) определяет поле (п - 2)-плоскостей Нордена — Тимофеева гиперповерхности Оп-1, то будем говорить, что поле квазитензора (X;} (26) задает поле нормалей 1-го рода Нордена — Тимофеева гиперповерхности Оп-1. В результате справедлива

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 3-го порядка гиперповерхность С1(Д) порождает внутреннюю нормализацию Нордена гиперповерхности Оп-1 - нормализацию Нордена - Тимофеева (X;, X0) [6].

3. Из уравнений (8) при г = Ь получим:

ухР +х>0 +х>; = 0. (27)

В силу уравнений (27), (3) убеждаемся, что функции

def .

1 ab

= 1 XPb x n, Vin +®n = n ю' (28)

m

образуют квазитензор. Поле этого квазитензора (28) задает поле нормалей 1-го рода Нордена Л-подрасслоения на гиперповерхности Д). В

биекции (25) квазитензору (¡1} поставим в соответствие квазитензор (¡|°}:

def

l0 = Xn Xq +1 , Vl0 + ю0 = l°.ю'.

p pq n P P P pi

Тем самым определена внутренняя нормализация (ip, la°) Нордена

Л-подрасслоения в дифференциальной окрестности 3-го порядка. Кроме того, квазитензору (X^} (12) в биекции Бомпьяни — Пантази (25) соответствует квазитензор (Xn}

X n =X+ tn, vxp +юП =x >' .

Следовательно, имеем еще одну внутреннюю нормализацию (Xn, Xj} Л-подрасслоения на гиперповерхности Q( Д) в окрестности 3-го порядка. 4. Продолжив уравнение (5) и полагая i = a, получим, в частности,

VXn + 2Xn ю0 +Xn ю0 = 0. (29)

pqa pqa 0 pq a

С помощью функций (29) построим поле квазитензора

def 1

¡0 = _X" Xй, Vl0 + ю0 = l0юг,

а pqa n ' а а аг '

m

которое определяет поле нормалей 2-го рода Ь-подрасслоения на гиперповерхности А).

Аналогично, замыкая уравнения (6), в частности при ' = с, получим:

Квазитензоры {х0} (14), (¡0} (30), {ф0} (32) функционально независимы. Следовательно, каждая Ь-плоскость несет три однопараметриче-ских пучка ее нормалей 2-го рода в смысле Нордена:

Х (в) = ха +8(ф0 -X 0), З0(л) = X 0+п(10 0), vSG) = ф0 +^(¡0 - ф0). (33)

Из результатов пп. 3 и 4 следует

Теорема 4. Гиперповерхность А) порождает в дифференциальной окрестности 3-го порядка внутренним инвариантным образом:

а) две нормализации (х", х0), (¡", ¡°) в смысле Нордена касательного

Л-подрасслоения;

б) в каждой Ь-плоскости три однопараметрических пучка (33) ее нормалей 2-го рода в смысле Нордена.

1. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Московского математического общества. 1953. Т. 2. С. 275 — 382.

2. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М. ; Л., 1948.

3. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

4. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геом. семинара. ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. Т. 3. С. 49 — 94.

5. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. Геом. семин. ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 71—120.

6. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. СПб., 1992.

7. Mihailescu T. Geometrie differentiala projectiva. Bucaresti Acad. RPR, 1958.

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия. E-mail: [email protected]

(31)

(32) 23

Список литературы

Об авторе

The author

Dr Juriy Popov, prof., I. Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: [email protected]