CC BY
8
УДК 514.75
А. А. Будылкин
Балтийский федеральный университета им. И. Канта, Калининград [email protected]
Инвариантные нормализации скомпонованного гиперплоскостного распределения проективного пространства
Приведено задание Ж-распределения, доказательство теоремы существования в репере нулевого порядка. Получены инвариантные нормализации и соответствия Бомпьяни — Пантази основных структурных подрасслоений. Изучение Ж-распределений актуально, так как эти образы являются обобщениями теории специальных классов гиперполос [7] и гиперповерхностей, а также гиперполосных распределений [8], которая имеет приложение в вариационном анализе, физике, механике [1; 2; 9]. Работа выполнена методом Лаптева [3].
Ключевые слова: распределение, тензор, квазитензор, нормализация.
Индексы принимают следующие значения: г, к, ...= 1,т ; а, Д...= т +1, п - т -1; о, р, ...= 1, п -1; I, 3, К ... = 1, п ;
I, з, к ,...= .
1. Задание скомпонованного ^^-распределения. Теорема существования
В проективном пространстве Рп рассмотрим тройку распределений плоскостей: Л-распределение т-мерных плоскостей Лт = Л; Ь-распределение (п-т-1)-мерных плоскостей
© Будылкин А. А., 2016
Ьп-т-1 = Ь ; Н-распределение гиперплоскостей Нп-1 = Н, элементы которых в каждом центре удовлетворяют соотношениям
[ ¿( А); Л( А)] = Н (А); ¿(А) П Л( А) = А. (*)
Определение. Тройка распределений плоскостей Л, Ь, Н проективного пространства Рп, удовлетворяющая условиям (*), называется скомпонованным гиперплоскостным [6] распределением (или коротко БН-распределением).
Выберем подвижной репер пространства Ио = { Ау } (0-го порядка), ассоциированный с БН-распределением:
А = А0, {А}с л(Л),{ Аа } с L(А0), Ап е Нп (А0).
БН-распределение в этом репере Я0 задается дифференциальными уравнениями:
а? = Л>К,апа = ЛпаКакХ= КЛЛ = Л'акак; (1)
уапк+лг>° -¿а=лкл ,
^лПк + КЛ -зпкЛа=лПкЛ,
^л к+л ка - ъ а+ал=лпкЬа, (2) ^лгяк+л>00 - ¿Ка0+Л Пк®П = Л'^а,
где функции К аКЬ, ЛПКЬ, Л"аКЬ, ЛПКЬ не симметричны по нижним индексам К, ¿.
Имеет место теорема существования БН-распределений:
Теорема 1. В п-мерном проективном пространстве скомпонованное гиперплоскостное БН-распределение существует с произволом ((2т+1)(п-т-1)+т) функций п аргументов.
Замыкание системы (1) можно представить в виде
АЛпК лаК = АЛпаК лаК = АЛ К лаК = АЛ'аК лаК = 0. (3)
Определим характеры этой системы:
^ = = = т + (2т + 1)(п - т -1) = В. Подсчитаем число Картана для этой системы [10]:
0 = ¿1 + 2£2 +... + пБп = (1 + 2 + ...+ п) В = В. Разрешим систему (3) по лемме Картана [10]:
длк =лпПрь, ДЛ^к =лакЬ®1, АЛК =ЛКьаь, ДЛ^к =ЛакЬаь.
Найдем число линейно-независимых функций, стоящих в
п ( п+1)
правых частях этой системы. Их число равно N = В—^— .
Так как Q = N, то система (1), (2) находится в инволюции [10]. Решение этой системы существует, и произвол ее определяется характером 8п. Геометрические объекты
Г1 = { лпк,Л"ак,лк,Лак }, Г2 = (Г:, лпкЬ,Лк,Ккь,лакЬ}
являются фундаментальными геометрическими объектами [3] ¿Н-распределения.
2. Инвариантные нормализации основных структурных подрасслоений ^^-распределения
1. Из уравнений (2) следует, что совокупности функций
{лп},{л пар}ЛКР}={Л'образуют в силу строения
¿Н-распределения невырожденные фундаментальные тензоры 1-го порядка соответственно Л-, Ь-, Н- подрасслоений:
УЛп + Л = Лп^, ул ^+Л >?0 = Л ,
ул;+Л>?° = , (4)
для которых можно ввести обращенные фундаментальные тензоры 1-го порядка, удовлетворяющие соответственно условиям:
л п л пк = 55, л п л к: = з*, ул п - л - о, л парЛп = 55, л паЛа = згр, у л пар - л >о° - о, лпарлр: = 5,лпарлшп = 5,Улпар - л>; - о.
2. В каждом центре А0 нормаль 1-го рода Nп-т(А0) образующего элемента Л-подрасслоения определим следующим образом:
*п-т (А) = [Ьп-т-1 (А), Ьп], Ьп = Ап + у' А, + к;А а.
Требование инвариантности плоскости Ып-т(А0) приводит к уравнениям
уу+<, (5)
а на величины (уп } это требование никаких условий не накладывает. Однако если потребовать инвариантность прямой I(у) = [АЬп], то величины { уп } должны удовлетворять условиям
уу;+;=у>к. (6)
Охват квазитензора { } (6) можно осуществить следующим образом:
V:=%,
где
£п =—л V л п, ул V +л >00 +л ; = л "а1.
п п 0 V п гкЬ
В дальнейшем будем считать, что прямая /(V) = [А0, Ln] инвариантна, т. е. в качестве точки Ln можно взять
Ln (у) = An + у"Лг + ^а ,
где величины {у'п} удовлетворяют уравнениям (5). Задание поля квазитензора { у'п } определяет поле инвариантных прямых /(у) = [(у)], а следовательно, поле инвариантных
нормалей 1-го рода ып-т (у) = [¿п-т-1,¿п (у)]. Подразумевая
это, мы в дальнейшем под полем инвариантных нормалей 1-го рода Л-подрасслоения будем понимать поле соответствующего квазитензора { у'п }. В репере Л0 уравнения инвариантной нормали
1-го рода nп-т (у) запишутся в виде: х' -у'пх" = 0. Пусть нормаль 2-го рода nm-1 (у) плоскости Л(А0) натянута на точки n = Аг +УХ.
Требование инвариантности нормали nm-1 (у) равносильно тому, что величины { у10 } удовлетворяют уравнениям:
уу0=уук®к .
3. Инвариантное поле нормалей 1-го рода nn-т = [¿( 4),^ ( ^ )]
задано полем квазитензора {у" }. Следуя работе [4], с учетом формул (1), (2), (4), (5) найдем фокальное многообразие
Ф-т-1 ( N, Л )с nn_ т (4,):
х' = 0,
беХ1| ,0 + (уП, - ЛПуу )х" + (Л ^ - у"Л)х а ||= 0, (7)
полученное при смещении точки А0 вдоль кривых, принадлежащих полю Л-плоскостей. Линейная поляра точки А0 относительно многообразия (7) есть плоскость
где
Кп-т-1 (А0): X' = 0, х0-уУ ха-у0 хп = 0,
у0 =-—(Л'.-Лп У) у0 = -— (У -Лпууу" )
у а : агупПуп \упг 1^г,упупП
(8)
т
т
V-7 0 . 0 0 Кг7 0 . п 0 0а, 0 0 К
У у+а = кл ,У У + УЛ -у°а +а = у°ка ■
Плоскость Кп-т-1 (А0) (8) пересекает:
а) плоскость L(A0) по ее нормали 2-го рода ^-т-2(А0):
хП = 0, хп = 0, х0 -у0х а = 0;
б) прямую /(у) = [Аа^, (у)] в точкеКп :
(9)
Кп :
х а = Ях"
х' = у'х" ,
(10)
о / о , о па \ п
х =(У + У , )х . 4. Пусть задано поле нормалей Nm+1 (А0) 1-го рода L-под-расслоения, т. е. задано поле квазитензора {у" }. Здесь
Nт+1 (А,-) = [Л(Ао)Л = А" + ДА +у"Аа ], 1
где Я" =
п - т -1
Лг„ рЛРа, УС +а = 0.
ар п '
Аналогично, следуя работе [4], с учетом формул (1), (2), (4), (5), (6) находим фокальное многообразие ^т-'"-1^^) :
х = 0,
ы || ¿х0 + ( - л "уурх" + (л р - у:лпР)х' ||= о, (11)
полученное при смещениях точки А0 вдоль кривых, принадлежащих Ь-подрасслоению. Линейная поляра точки А0 относительно многообразия ^+1(А0) есть плоскость
кп(Аз) : х; = 0,х0-я0хп = 0, (12)
где
Я =-
п - т -
1-( -л"у")
\ г; г; п
т -1 4 '
1-( -лпауаур)
т - 1У '
я=-
п - т -
у я+;=як; У я+у; - я;+;=я;.
Плоскость кт (А0) (12) пересекает:
а) плоскость Л(А0) по ее нормали 2-го рода Ыт-1 (А0):
х;= 0,хп = 0, х0 -яX = 0; (13)
б) прямую С (у) = [А0, Сп (у)] в точке сп :
Сп :
х' = ¿х, (14)
х0 = (я
(я + я%п )хп.
Следует заметить, что плоскость кп-т-1 (А0) (8) является плоскостью Картана для образующего элемента Л-подрассло-ения, а плоскость кт (А0) (12) является плоскостью Картана для образующего элемента Ь-подрасслоения в данном центре А0. Точки кп, сп соответственно назовем виртуальными точками Картана прямых I(у), С (у) .
3. Соответствие Бомпьяни — Пантази
1 ПлоскостьПп-1 ( А0 ) = [Ит-1 (А ) п-т-2 (А0 )] , натянутую на нормали 2-го рода (9), (13) соответственно плоскостей Ь(А) и Л(А), является плоскостью Нордена — Тимофеева не-голономной композиции (Л, Ь) [6]:
хп = 0, х0 -я*ха= 0, (15)
а с другой стороны, плоскость Пп-1 (А0) (15) — нормаль 2-го рода Н-плоскости в точке А0 . Введем в рассмотрение функ-
¿е/
ции 1: =- л"ап, которые удовлетворяют уравнениям (при фиксации точки А0 ):
У 51а ' С"0 ~ п
У5Ха + =-л"хрп-<. (16)
Из (16) следует что совокупность функций |лст | образует
квазинормаль [4; 8] Н-подрасслоения. Согласно работе [5] соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Н-подрасслоения имеет вид
V:=-лпа/п + с (17)
Разрешив уравнения (17) относительно ур , получим
у:=-лрр+с, где с=л:р1р, ус+л>р+ш:=1>к.
С помощью квазинормалей [8]
ъ = 1г - л>;, уЪ + ъ; = -л;-;,
I=1; - лу„, уа+ы0=-л;; - ;
введем в рассмотрение функции
?n=, wn+]+л;]. о,
in = Л р%, vt;+]+Л рр] . о,
затем устанавливаем:
а) биекцию Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Л-подрасслоения:
V = -AiJv0 +11 v0 = -AnvJ + t°'
n n j n 7 i ijn J
б) биекцию Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода L-подрасслоения:
vа = - A P + ? ; n = - A n VP + t0 vn ^P ln 5 v a 1 v ap n ^ 1 а ■
Если охваты нормалей 1-го и 2-го рода A-, L-, Н-подрас-слоений представить следующим образом:
vа = L v' = Li v° = L0
n n> n n> n n'
то охваты функций
J—7( - AL ),
m -1v '
def
v = -
n -m -J
def 1
v =--(л l - л"ш ¿n),
m
def
V0 = С - AnapLpn
определены в дифференциальной окрестности 1-го порядка, а охваты функций
V0 = К = -1 ( - ЛрЗД), & = L =--m__ (( - A"ppLn Lp)
n - m -14 '
определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка. Из (17) следует, что
£°;=-лпа£п + С £ = -л + 10.
В результате приходим к следующему предложению:
Теорема 2. БИ-распределение в дифференциальной окрестности 1-го порядка порождает внутренним инвариантным образом нормализацию Нордена — Тимофеева (£, £0: ) Н-подрас-
слоения, нормализации Нордена (£п, £0), (£, £0; ) соответственно Л-, Ь-подрасслоений, а в дифференциальной окрестности 2-го порядка поля v-виртуальных точек Картана кп = Ьп + к(°А0 ,Сп = Ьп + СА0 и поля плоскостей Картана
к-т- (А) = [кп; А; - £0;А] , Ст (А ) = [С; А, - £0А ] .
Список литературы
1. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. М., 1950. Вып. 8. С. 197—272.
2. Гохман А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 111—138.
3. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
4. Лаптев Г. Ф. Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т. 3. С. 49—94.
5. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 71—119.
6. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства : монография. СПб., 1992.
7. Попов Ю. И. Столяров А. В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространства : учеб. пособие. Калининград, 2011.
8. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.
9. Столяров А. В. Дифференциальная геометрия полос // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 25—54.
10. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М. ; Л., 1948.
A. Budylkin
Invariant normalization of composited hyperplane distribution in projective space
The article gives the task of SH-distribution, the proof of the existence in the frame of order zero. The invariant normalization and matching Bompiani — Pantazi major structural subbundles. The study of SH-distributions is relevant because these images are generalizations of special classes hyperbands and hypersurfaces, and hyperband distribu-tion,which has application in the analysis of variance, physics, mechanics. Work performed by Laptev method.
УДК 514.76
А. В. Букушева
Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского [email protected]
Изометрические преобразования продолженных почти контактных метрических структур с метрикой полного лифта
Рассматривается почти контактное метрическое пространство с внутренней метрической связностью. На распределении почти контактной метрической структуры естественным образом определяется продолженная риманова структура с метри-
© Букушева А. В., 2016
