Введение связностей на н- распределении аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Ю. И. Попов

(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)

ВВЕДЕНИЕ СВЯЗНОСТЕЙ НА Н- РАСПРЕДЕЛЕНИИ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

Рассматривается гиперполосное ^-распределение в п-мерном аффинном пространстве Ап — пара распределений прямых Ь и гиперплоскостей Ип__1 с отношением инцидентности образующих их элементов в каждом центре А следующего вида: А е Ь(А) с Ип_1(А) . Дано задание гиперполосного ^распределения в и-мерном аффинном пространстве Ап и приведена теорема существования. Следуя работе [1], устанавливается соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Н-распределения. Построена нормализация Тренсона Н-распределения. Рассмотрено задание нормальных и аффинных связностей на оснащенном Н-рас-пределении. Для Н-, Ь-, Л-распределений введены пары

(у, У~), (п, Ц~), } внутренних касательных и нор-

мальных связностей, построены их тензоры кривизны.

Ключевые слова: гиперполоса, форма, аффинное пространство, двойственный образ, связность.

Во всей работе приняты следующие терминология и обозначения.

а) Все исследования, проведенные в работе, носят локальный характер. Изучаемые многообразия предполагают достаточное число раз дифференцируемыми.

б) Схема использования индексов такова:

и,К,Ь, .. =1,2, ...,п; а,в,у, ...=2,...,п-1;

1,]',к,1,... =1,2,... ,п-1; а,Ь,... =(а;п); £ц,...=(1;п).

в) При фиксировании главных параметров (сК - 0) формы

К К

сJ будем обозначать через ЛJ и оператор дифференцирования V через 5.

г) Оператор V действует по закону:

^пТ]Р - ИТ]Р Т]Рск Т]Рс7 Т]Рсп + ТкРс] + Т]?сР

"^Чап - й11ап ~ ТкапС1 _ Чуп са ~11апсп + 11апск + Чапсг .

§1. Задание гиперполосного распределения в аффинном пространстве

Рассмотрим п-мерное аффинное пространство Ап, и пусть в каждой его точке А задана гиперплоскость Н(А), то есть задано Н-распределение. Пусть через центр А Н-распределения проходит прямая Ь(А) такая, что А е Ь(А) с Н(А).

Таким образом, мы рассматриваем в аффинном пространстве Н(Ь)-распределение, в котором Ь-распределение мы назовем базисным, а Н-распределение оснащающим. В дальнейшем Н(Ь)-распределение кратко будем называть Н-распределением [2]. Присоединим к образующему элементу Н-распределения аффинный репер Я - {М, в_7} следующим образом: поместим вершину М репера Я в точку А (в центр Н-распределения), то есть М=А, вектор е1 выберем параллельно прямой Ь, векторы е2,..., еп_1 поместим в гиперплоскость Н(А), вектор еп (А) ё Н(А) принимает произвольное положение вне гиперплоскости Н(А) так, что вместе с векторами е{ образует репер всего пространства А п .

Уравнения инфинитезимальных перемещений точечного репера пространства А п запишутся следующим образом:

йА-0JeJ -ю| е + а + с" е:п,

йеа — са е1 +саер + саеп, йеп - с1 е1 + са^а+Сеп.

При смещении вдоль кривых, принадлежащих Ь-распределению, в каждом центре А распределения в гиперплоскости Н(А) возникает характеристика Лп_2(А) [2]. Поместим векторы е2,...,еп_1 в характеристику Лп_2(А) .

При фиксации точки А характеристика Лп_2(А), прямая Ь(А) и гиперплоскость Н(А) неподвижны, поэтому

3А = 0, 3е1 = п1 е^ 3еа = пРа ер,

3еп = Ппе1 + < еа + <еп.

Отсюда следует, что уравнения: ж1 = 0, жО = 0, жЩ = 0, тж1а = 0, ж па = 0 являются уравнениями стационарной подгруппы О0 образующего элемента Н-распределения.

Из уравнений стационарной подгруппы О0 следует, что формы ю1, юО, юО, ю1а, являются главными формами

Н-распределения. Примем формы о^ за базисные (так как они определяют инфинитезимальное перемещение образующего элемента Н-распределения) и запишем разложение остальных главных форм по базисным:

оп,= Лп1КоК, ю"=Л" оК, 1 1К 1 1К (1.1) о"а=Л"ак оК, о'^Л'аК оК.

Дифференцируя уравнения (1.1) внешним образом, получим:

УА 1пК = Л п11Хюъ, УА 1к + Л 1пК юап = Л К, юъ, (12)

УАОк = А"аКЬюъ, УА Ок + АОК ю! = А ^

ю

Отметим, что {еа} с Ап_2, поэтому функции {ЛаК } принадлежат окрестности 2-го порядка [2; 3]. Значит, г1 = л к , л к , Лк }, Г2 = {Г, А^, А^къ , А"^, А« } — фундаментальные геометрические объекты соответственно первого и второго порядка Н-распределения.

Имеет место теорема существования [4] гиперполосного Н-распределения:

Теорема 1. В n-мерном аффинном пространстве гиперполосное Н-распределение существует с произволом 3п-5 функций п аргументов.

§2. Нормализация Тренсона

Введем некоторое соответствие между нормалями 1-го рода Н-распределения и (п-2) -мерными плоскостями, лежащими в плоскости Н(А) и не проходящими через центр А Н-распределения. Эти плоскости будем называть нормалями 2-го рода Н-распределения.

Пусть (y'nj — объект, определяющий произвольную инвариантную нормаль 1-го рода Н-распределения и удовлетворяющий уравнениям

Vv'n + < =v'nK®K . (2.1)

Введем величины ЛПК = (Л"к, ЛЦ1К}, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям

V4 = Л"]Ьшь, УЛЛ" - Л< - Ла< = Лпь®1. (2.2)

def

Введем обозначение Л"п = ti. Поле тензора (vi}, где

Vi = Л^п +1г, Vvt = v,K®K , (2.3)

задает поле нормалей 2-го рода Н-распределения. Уравнения (2.3) решим относительно v" :

vkn =л^ + tkn , (2.4)

где

л" Aik <?£ Л лкг+

ЛЛп =°j> tn =-Лпti'

VЛгi = Л']пКаК, V tkn + ak„ = tJ 0)J.

n nK n n nJ

Таким образом, квазитензор {у'„} однозначно определяет по формулам (2.3) соответствующий тензор {у1} . И наоборот: задав тензор {у1} , мы можем однозначно определить квазитензор {угп} по формулам (2.4). При помощи формул (2.3) и (2.4) устанавливается взаимно однозначное соответствие между нормалями 1-го и 2-го рода ^-распределения. Это соответствие является для ^-распределения аналогом соответствия Бомпьяни — Пантази [1; 4]. Нормали Ы1 и Рп_2 1-го и 2-го рода ^-распределения, которые связаны соотношениями (2.3, 2.4), будем называть соответствующими друг другу в би-екции Бомпьяни — Пантази.

Для невырожденных тензоров Л"1, Лар введем обратные им тензоры:

Л пв Л Щ= ¿1, УЛ пв= л пво./; (2.5)

лп Л - 1, У Л =Лк®к. (2.6)

Из уравнений (1.2) найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции Л1П и Ла/Зг :

УЛ »1-Л11Л X = Л пткок; (2.7)

^ - Л

v^ - 4V A^ rt = Aß сок . (2.8)

Введем в рассмотрение функции [5]

- L Aß

'4ßr

TL = - - A ALL AL, T"=-1 Л/А^Л", (2.9)

n n

которые в силу уравнений (2.5—2.9) соответственно удовлетворяют дифференциальным уравнениям

VTL = TLK®K, VT" = TnaK®K. (2.10) В силу уравнений (1.1, 1.2, 2.10) следует, что функции {TL } = {TK,Tln } удовлетворяют уравнениям:

TL +< = TLK

Следуя работе [5], вводим следующие определения.

Определение 1. Нормалью Тренсона 1-го рода Л-плоскости в точке А назовем 2-плоскость

T2 = [A,ei,en + T^a ] = [A,e1,TJ.

Определение 2. Нормалью Тренсона 1-го рода прямой L(A) назовем гиперплоскость

T„_i = [Л,ёа,ёп + тЩё,] = [A,ea,t„].

Определение 3. Нормалью Тренсона 1-го рода гиперплоскости Н(А) в точке А называется прямая пересечения нормалей Тренсона 1-го рода плоскостей Л(А), L(A), т. е. Ti(A) = T2(A) n Tn_1(A).

Рассмотрим биекцию Бомпьяни — Пантази (2.3) между нормалями 1-го и 2-го рода Н-распределения [6]:

v, =Ajvn + ti, Vv, = vlK®K, (2.11)

где

ta=^ Vta = Anaprn i +1^'

- Руа2

Г1=А"111А11, =Ап11Ф1п+ хиа>\ (2.12)

Ч = {а,(1}, Щ =АЧ]а1п +

Учитывая (2.12, 2.2, 2.3), находим соотношения

V« = лПв VI +Ча, = Ук; (2.13)

V, =А"ИУ1п+ Ч1, Ъ1 = УШ®К, (2.14)

устанавливающие биекцию соответственно между нормалями 1-го и 2-го рода Л-подрасслоений и Ь-подрасслоений.

Таким образом, используя биекции (2.11—2.14) нормалям

1-го Т (Т П), Т2 (Тпа), Тп_1 (тП) соответственно плоскостей Н(А), Л(А), Ь(А), в каждом центре А Н-распределения поставим в соответствие нормали 2-го рода этих плоскостей:

Nп-1(А): Тг - ЛЛТ1 + ц, ^п_2(А): Та - ЛарТпР + ta, N1 (А): Т -Л"ПТ1 +1

В результате приходим к следующему предложению. Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренним образом присоединяются поля нормализаций соответственно Н-, Л-, Ь-подрасслоений в смысле Нордена

полями нормалей 1-го и 2-го рода Тренсона (Т, ТП), (Та, Та),

(Т1, тП).

§3. Задание нормальных и касательных аффинных связностей на оснащенном Н-распределении

1. Адаптируем репер Я1 полю нормалей Nl( А) 1-го рода Н-распределения, выбирая вектор еп|| А). В этом случае

аП-лПкК К-КкК УЛ'пк -КпкьКЬ, УКк -КкьКЬ. (3.1)

Таким образом, уравнения (1.1, 1.2, 3.1) задают оснащенное полем нормалей первого рода N1 (А) гиперполосное Н-распре-

йе/

деление. При фиксации точки А - х (центра Н-распре-деления) плоскости N1(x), Nп-1(х) , N2(x) и Тп-1(х), Т1(х) , Тп-2(х) остаются неподвижными. Следовательно, Н-распре-деление индуцирует (порождает) нормальные N1(Aп), Nп-1(Ап), ^(Ап) и касательные Тп^(Ап), Т/Ап), Тп^(А,) подрасслоения [7].

Структурные уравнения касательного расслоения Тп-1( Ап) в силу формул (1.1, 1.2, 3.1) имеют следующий вид:

йК -К л&к, К -КалКу + Пра, йа>\-0,1, йК -К лК +01, йтаа + ,

11? а а I а? 1 1 г 1 '

где

ива = ш П лш в +ш 1 Ашв = (Л П [, ХвИк ] + Л а [, Л(цк ]) ш1 л шк =

= Явк ш1 л шк, П\ = (Л1[ЬЛ1Ик] +Л"1[ьЛ1Ик])®Ь лУ = Я'11ЖУ лук,

и а = Л а Я [„к ] Ш л шк = Я ^ Ш л шк; (3.2)

о; = Л„[ 1Г„ку лУ = ЯлУ,

Я а1к = Л а [1 Я\п\к ] +Ла [1 Я \[ \к ], Я а1к = [1 Я |„|к ]; (3.3)

Я11к =Л<Х1[1Л\^к] +Л1[1 ^\п\к]> Я<ХЦк = Л"[1Л\п\к]. (3.4)

Следуя работам [6; 7], приходим к выводу, что в касательном расслоении Тп_1(Ап) возникает аффинная связность у без

кручения с формами связности {ак,а'}}, которую назовем

внутренней (касательной) аффинной связностью оснащенного гиперполосного ^-распределения.

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н-распределение (полем нормалей 1-го рода N1(x)) индуцирует внутреннюю связность у в касательном расслоении Tn_1(An) с формами связности {У,у} и 2-формами кривизны (3.2).

Компоненты тензора кривизны Яг]1к= {Я[1к,Я 1о1к, Яа11к,Я 13а1к}

связности у имеют строение (3.3—3.4).

2. Структурные уравнения нормального расслоения И1(Ап) с учетом уравнений (1.1, 1.2, 3.1) можно представить в виде:

d< =Оп,

где

и:=ш л ш;п+ш л ш =

= (Я ^ ¡V, , ^ ]) ш1 л шк; (35)

Яп1к = ^п[1Л\^к] + Л п[1Л\а\ к]. (3.6)

Согласно работе [7] получаем, что в нормальном расслоении Ы1(Ап) возникает центроаффинная связность у с формами связности {Кп} и 2-формами кривизны (3.5), которую назовем нормальной центроаффинной связностью оснащенного гиперполосного ^-распределения.

Теорема 4. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н-распределение индуцирует в расслоении Ы1(Ап) нормалей 1-го рода нормальную центроаффинную

связность у± с формами связности {^П} и 2-формами кривизны (3.5). Компоненты тензора кривизны ЯппЪк связности у± имеют строение (3.6).

3. Аналогично можно построить нормальную аффинную связность п в расслоении Nп_1(Ап) нормалей 1-го рода базисного Ь-подрасслоения данного Н-распределения. Структурные уравнения нормального расслоения Nn_1 (Ап) имеют следующее строение:

¿К = К л К + ®Ралюпр + а'а лап1=Кс\ Л< ¿К=КплКа+аап, ¿Кп=япп,

где

Пр=ю" лар + К лар, =

= (КсьЛ^к] +Л1[ьЛ(1\к])К лК = ЯК лкк, Пап = Л1п[1Л\1\к]К лК = КькК лкк,

ип = X[[ьЛп1 к] ^ л ок = Я-к О л ок; (3.7)

П"п=КплК +Кл К=

= (^„[Л^] + Яап[ьЛ\к])К л К = ЯппЖ К лкк,

Я аьк =Ла[1^\п | к]+Ла[Ь ^\1\к]> Я ЛХ = ^1[ЬЛ\^к] ; (38)

Я "аЬк =Л'^[1Л\1\к] , Я"п1к =Л1п[1Л\1\к] +К[1 Л\а\к]. (3.9)

Теорема 5. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н-распределение индуцирует в расслоении Nn_1(Ап) нормалей 1-го рода нормальную центроаффинную

связность п± с формами связности {У} и 2-формами кривизны (3.7). Компоненты тензора кривизны Яаъък связности П± имеют строение (3.8, 3.9).

Связность п будем называть в дальнейшем нормальной центроаффинной связностью L-подрасслоения.

4. Структурные уравнения соответствующего касательного расслоения Т1(Ап) в силу формул (1.1, — 1.2, 3.1) имеют следующий вид:

dюк =у1 л^к, с1ю 1= 0211,

где:

П1 = (Л^[1Л1ИК] +Л"1[1Л1ИК]У1 лУ = Я^кУ лУ; (3.10)

Я'ик =ЛЦ1Ла\к] + Л"[1Л1п\к]. (3.П)

Теорема 6. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н-распределение (полем нормалей 1-го рода N1(x)) индуцирует внутреннюю связность п в касательном

расслоении Т1(Ап) с формами связности {юк, У } и 2-фор-

мами кривизны (3.10). Компоненты тензора кривизны Я]1к

связности п имеют строение (3.11).

5. Построим нормальную связность З1 в расслоении Ы2(Ап) нормалей 1-го рода Л-подрасслоения данного Н-расп-ределения и связность З в касательном расслоении Тп_2(Ап) .

Структурные уравнения нормального распределения N2(An) имеют следующий вид:

da ',= П1,, da1 = юПлю1+ аа л а" + ю "лю'= ag лаК + nn,

1 1 ' n n 1 n а n n n g n'

dann= Ппп, da" =a11Aa"1+aa1 ла" + a"1Aann= a\ла^ + П1, где

П1 = (Л^[1Л1ИK] +A1[LÄfnlK])aL лак = RaL лак,

П =КцлЛ\а\K]CL лак = RIlkaL лак ,

П =Ла1[ьЛ"ИK]aL лак = Rn1LKaL лак, (3.12)

П = (K[L\n1K] +К[ьЛпИK])aL лак = R^aL лак;

R 1LK = Л1 [ L Л | а |K]+ Л 1 [ L ^ |n|K]' R nLK = ^n [ L Л\a |K]; (3.13)

R "LK = л "[Лак], R лк = л 1П[Ьл\1 \K] +K[L л 1ак]■ (3.14)

Теорема 7. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н-распределение индуцирует внутреннюю

нормальную аффинную связность З1 в расслоении N2(An) нормалей 1-го рода Л-подрасслоения с формами связности {a>g} и 2-формами кривизны {njj } (3.12), компоненты тензора кривизны R,jLK которой имеют строение (3.13, 3.14).

Структурные уравнения касательного расслоения Тч-2(Х) имеют вид:

daK = aL Aaf, da? = ага л а!? + П!,

где

= ( Л [ L ] + Ла[ L K ]) "L Л ^ =

= RßßLK vL л шк;

(3.15)

Я\к = Л\[1Л\п\к] + Л[1Л\1\к]. (3.[6)

Теорема 8. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н-распределение индуцирует внутреннюю аффинную связность З в касательном расслоении Тп_2(Ап)

с формами связности } и 2-формами кривизны

(3.15). Компоненты тензора RPLK связности 3 имеют строение (3.16).

Список литературы

1. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр. геометр. семинара. М., 1974. Т. 5. С. 169—193.

2. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов гиперполосного распределения аффинного пространства. Калининград, 1986. Деп. в ВИНИТИ 21.09.87, № 6807-1387.

3. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения да-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.

4. Попов Ю. И. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов гиперполосного И(Ь)-распределения аффинного пространства. Калининград, 2010. Деп. В ВИНИТИ РАН 21.06.2010, №385-В2010.

5. Попов Ю. И. Нормализация Тренсона гиперполосы Нт // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 38. Калининград, 2007. С. 117—122.

6. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос: учебное пособие. Калининград, 1983.

7. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: монография. Ереван, 1990.

Yu. Popov

INTRODUCTION OF CONNECTIONS ON THE W-DICTRIBUTION OF AFFINE SPACE

The definition of normal and affine connections is reviewed on equipped W-distribution.