Соответствия Бомпьяни  Пантази, порождаемые Õ-распределением аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Физика»

fiber of it is the linear group acting in the tangent space to the centered Grassman manifold. Neifeld connection is given in this fibering. It is shown, that the curvature and torsion objects of Neifeld connection are tensors. It is proved, that the Bortolotti's clothing of Grassman manifold induces this connection.

УДК 514.76

М. А. Белозерова, Ю. И. Попов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Соответствия Бомпьяни — Пантази, порождаемые ^-распределением аффинного пространства

Рассматривается гиперполосное ^-распределение аффинного пространства, состоящее из базисного распределения (п-2)-мерных линейных элементов Лп-2 и оснащающего распределения гиперплоскостных элементов Нп-1, с отношением инцидентности их соответствующих элементов в общем центре А следующего вида:

А е Лт с Нп-1. Дано задание ^-распределения в репере 1-го порядка и доказана теорема существования. Установлены соответствия Бомпьяни — Пантази между нормалями 1, 2-го рода основных структурных Л-, Ь-, Н-подрасслоений ^-распределения.

Ключевые слова: аффинное пространство, гиперполосное распределение, оснащение, соответствия Бомпьяни — Пантази, нормаль Алшибая.

Во всей работе придерживаемся следующих обозначений: 1. Индексы принимают значения

I, J,K,... = 1,n ; i, j,k,... = 1,n -2; а,в,у,... = {n-1,n}; a,b,c,... = {i,n -1}. 2. Оператор V действует по следующему закону:

УТ}Рп 1 = ёТ}Рп 1 - Т,т ск - Т}/3п

со7-

ка,п-1ш 1 *17,п-1ш а

- тао^с+тап-с + та^<.

3. [Л, Ь] — плоскость, натянутая на плоскости Л и L.

4. Ад] = А]к - Л^ — альтернация по индексам j и к

1. Задание гиперполосного распределения

Рассмотрим аффинное пространство Лп, структурные уравнения которого имеют вид

| Вю1 = юК л юК,

1 к ь К (!.!)

|Вю1 = ю1 л юь .

Потребуем, чтобы в каждом центре Л области и пространства Ап имело место соотношение

Л е Л(Л) сН(Л), (1.2)

ёе/

где Л(Л) = Лп-2(Л) — линейный элемент распределения

ёе/

(п-2)-плоскостей (Л-подрасслоение), Н(Л) = Нп-1(Л) — линейный элемент распределения гиперплоскостей (Н-подрас-слоение).

Пару распределений (п-2)-плоскостей (Л-подрасслое-ния) и гиперплоскостей (Н-подрасслоения) с отношением их соответствующих элементов (1.2) назовем гиперполосным распределением Н(Л,Ь) [1; 2] или кратко Ж-расп-ределение.

Адаптируем подвижной репер Я0 = {Л, ек} аффинного пространства Ап с Ж-распределением следующим образом: еп-1 е Н(Л), {еп-1} с Л(Л), еп выбираем произвольно так, чтобы еп & Н (Л). В выбранном репере Я0 распределение Н(Л, Ь) с Лп задается уравнениями 20

^ Ж , .И-1 А П-1 - -К , ^П А П

о = лко , = Л,к® > ®„-1 = Лп-1Ко

К

УА,к = Л"шо1, УД-1 + Лпк«Г1 = Л"Ко1, (1.3)

ул; -1, К + лПк о,-1 = лпп-1, К1 о1.

Имеет место

Теорема 1. В п-мерном аффинном пространстве гиперполосное Ж-распределение существует с произволом (2п - 3) функций п аргументов.

Доказательство. Представим чистое замыкание системы уравнений (1.13)

УЛпК = Л" ю1, УЛК + лпк ю"-1 = ЛПК о1, УЛ 1К + ЛК оО 1 = ЛП 1К о1

гК гК1 ' гК гК п гК1 ' п-1К 1К п-1 П-1К1

в виде

АЛ"К л юК = 0, АЛ^1 л юК = 0 , ДЛП„-1К л аК = 0 . (1.4)

Количество форм, входящих в систему (1.4), будет равно q = 2п - 3.

С системой (1.4) ассоциируется последовательность матриц Мь М2, Мз,..., И;-!. [3].

Определим характеры системы (1.4) следующим образом [3]:

51 = rangM1 = 2п - 3,

\ Б2 = rangM2 - га^М1 = 2(2; - 3) - 2п - 3 = 2п - 3 ,

Бп = q - rangMn_ 1 = 2п - 3.

е = 51 + 252 + 353 +... + "3., е = (2П-3)2П(П +1).

Посчитаем число Картана для этой системы

е=51+25 2+353+...+;Бп , е=(2п - 3)2п(п+1).

Разрешим систему (1.4) по лемме Картана:

АЛПК = Л"К1 о1, АЛ^К1 = лПК1 о1, ал;-1К = Л";-1К1 о1. (1.5)

Найдем число линейно независимых функций, стоящих в правых частях системы (1.5):

(Л т \

N =

п - п

- + п

(2п - 3) =

(2п - 3)п(п +1)

Итак, Q = N, то есть данная система находится в инволюции. Решение этой системы существует, и произвол ее определяется характером £п. Что и требовалось доказать.

Будем рассматривать регулярные гиперполосные Ж-расп-ределения, для которых главный фундаментальный тензор {ЛП } 1-го порядка невырожденный.

л0 = |л;|| ф о. (1.6)

Условия (1.6) позволяет ввести в рассмотрение обращенный фундаментальный тензор {Л.} 1-го порядка, компоненты которого удовлетворяют следующим соотношениям и дифференциальным уравнениям:

лп л;. = лп л. = , vл¿: = -Лп лп л. тк. (1.7)

В силу выражений (1.3) и (1.7) получим

а 1пЛ0 = 2а\- (п - 2)ю"п+ Лкюк , (1.8)

где

= лк. (1.9)

Согласно лемме Остиану Н. М. [4] возможна частичная канонизация репера

Лпп-1,. -0, (1.10)

геометрический смысл которой заключается в том, что вектор ёп-1 помещается в характеристику = Ь(А) гиперплоскости Н(А). В этом случае формы т'п-1 становятся главными:

=Лпп-1,к®к. а.п)

Таким образом, имеет место

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка Ж-распределение аффинного пространства задается относительно репера 1-го порядка уравнениями (1.12) и соотношением (1.13):

о" = Л"кок , 1 = К , =

о"- = ЛЦк оК , (1.12)

АЛ"к = Лк:о7, ^КК + Кко" 1 = ЛК1 о7, АЛии-1,а = Л"^ о1, УЛЦ к + ЛП-1, к оП = ЛЦ к: о1,

Л" Л" + Л" Л"-1 + Л" Л = 0 (113)

Совокупность функций Г1 = {А"к; А"!к1; Лвв-1 а } образует фундаментальный объект 1-го порядка Ж-распределения,

Г2 = {Г1, Ли-и; Ак; Ак; К-ш} — фундаментальньш объект 2-го порядка Ж-распределения.

2. Соответствие Бомпьяни — Пантази

Для распределения двумерных плоскостей в трехмерном проективном пространстве известно соответствие Бомпьяни — Пантази [5—7] между нормалями 1-го и 2-го рода, когда нормаль 2-го рода является характеристикой элемента распределения при смещении центра А вдоль кривой, касающейся нормали 1-го рода. Обобщения этого соответствия на случай распределения га-мерных линейных элементов в проективном пространстве Р" было дано Н. М. Остиану [4], а на случай гиперплоскостных элементов Н(А) было проведено Э. Д. Алши-бая [1; 8; 9].

Найдем многообразие фокальных точек, принадлежащих плоскости Н(А), при смещении центра А вдоль кривой I, принадлежащей нормали 1-го рода у1 = [А,у] = [А,у"еа + еп] гиперплоскости Н(А):

та =уу". (2.1)

Зададим точку Р е Н (А) как

Р = А + хава (хп = 0) (2.2)

и потребуем, чтобы она не выходила из гиперплоскости Н(А) при смещении центра А Ж-распределения вдоль кривой I, то есть чтобы

йР = уаёа (хп = 0). (2.3)

Точка Р, удовлетворяющая условию (2.3), называется фокальной точкой гиперплоскости Н(А), а направление смещения точки А, соответствующее фокальной точке Р, называется фокальным направлением [1].

Из условия (2.3) в силу выражения (2.2) следует, что

йха + хью1 + ( =уа, хаю"п + ( = 0 . (2.4)

Уравнение (2.4) определяет многообразие фокальных точек

уаха -1 = 0 (хп = 0), (2.5)

где

V а =-ЛпУп - х , V Vа =у^к ; (2.6)

а=л:„ , VA=л>ь + а®к (2.7)

Используя обратный тензор для ЛпаЬ и разрешив выражение (2.6) относительно уьп, получим

Vе =-Лсау + Ае Vvc +( =у\тк ; (2 8)

п п а п п п пк

(2.9)

V е +( =

п п пк

где

Ае = -КА , Ап = -Л.А. - Лп;\Ап_х, (2.10) Vv:к + Л"У(п + Л»Ь - 0. (2.11)

Уравнения (2.6) и (2.8) задают соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями 1, 2-го рода гиперплоскости Н(А), где квазитензор Vе} задает нормаль 1-го рода v1(А) гиперп-

лоскости Н(А), а тензор {уа} (2.6) — 2-го рода у „_2(а) гиперплоскости Н(А).

При а = " - 1 из формул (2.6) и (2.8) получим соответствие

4-1 —Ли-УГ1 - А"-,, (2.12)

где

а=л:„-1 , у а=А^х1+ах

к и-1,и-1

(2.13)

у"1 = -А"; ^ 4-1 + А" -1; (2.14)

(2.15)

которое устанавливает биекцию (соответствие Бомпьяни — Пантази) между нормалями 1, 2-го рода Ь-подрасслоения (расслоение характеристик).

Будем искать соотношение Бомпьяни — Пантази между нормалями 1, 2-го рода для Л-подрасслоения в виде

4=-А4+а" ', (2.16)

где

А"' = -А" А , У а" ' + < = АС хк . (2.17)

Разрешим уравнение (5.20) относительно у, получим:

4 = -Ак4 - а~-!, (2.18)

где

а~ =-а'а;,Уа~ = А>; + а>к . (2.19)

Квазитензор {уап } однозначно определяет по формулам (2.6) соответствующий тензор {уа} . И, наоборот, задав тензор {уа} , можно однозначно определить квазитензор 4 } по формулам (2.18).

При помощи формул (2.16) и (2.18) устанавливается взаимно-однозначное соответствие между нормалями 1, 2-го рода Л-подрасслоения.

В результате справедлива

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 1-го порядка распределение порождает соответствия Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода соответственно Н-, Ь-, л -подрасслоений.

Отметим, что поле квазитензора {а"а} для гиперплоскостного распределения аффинного пространства было введено Э. Д. Алшибая [8; 9] и дана его геометрическая интерпретация. В силу этого поле нормалей 1-го рода Аь оснащающего Н-подрасслоения данного Ж-распределения, будем называть в дальнейшем полем нормалей Э. Д. Алши-бая. Поле квазитензора {а"'} задает поле нормалей 1-го рода Алшибая для л—подрасслоения, а поле квазитензоров {а""-1} задает поле плоскостей а"-2 — поле нормалей 1-го рода Алшибая для Ь-подрасслоения в дифференциальной окрестности 1-го порядка.

Свойства нормалей Алшибая сохраняют силу и в случае гиперполосного распределения (Ж-распределения).

Теорема 4.

1. При перемещении центра А Ж-распределения вдоль кривой, касающейся нормали Алшибая а = Апаеа + еп, гиперплоскостной элемент Н(А) перемещается параллельно.

2. В биекции Бомпьяни —Пантази (5.9) нормали Алшибая А (А), определенной объектом {а" с} (5.11), соответствует бесконечно удаленная (п - 2)-плоскость гиперплоскости Н(А) (в этом случае va = 0).

Список литературы

1. Алшибая Э. Д. Геометрия распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве : монография. Тбилиси, 1999.

2. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных эле-

ментов // Проблемы геометрии. Итоги науки и техн. / ВИНИТИ АН СССР. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.

3. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм : учеб. пособие. Калининград, 1978.

4. Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Труды геометрического семинара / ВИНИНТИ АН СССР. М., 1971. Т. 3. С. 95—114.

5. Bompiani E. Sulle varieta anolonome // Bull. Math. Soc. Roum. Sci. 1943. Vol. 27. P. 37—52.

6. Pantazi Al. Sor la deformation projective des surfaces non holonomes de l'espace E3 // Bull. Math. Soc. Roum. Sci. 1943. Vol. 45. P. 37—52.

7. Michailescu T. Geometrie diferentiala projectiva // Ed. Acad. RPR. 1958.

8. Алшибая Э. Д. О распределении гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Сообщения АН ГрССР. 1970. Т. 3. С. 545—548.

9. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений геометрических элементов в аффинном пространстве / ВИНИНТИ АН СССР. М., 1974. Т. 5. С. 169—193.

M. Belozerova, Yu. Popov

Correspondences of Bompyani — Pantazi generated by ^-distribution in affine space

Hyperband ^-distribution of affine space consisting of basic distribution of (n-2)-dimensional linear elements An-2 and equipping distribution of hyperplane elements Hn-i with the relation of incidence of their corresponding elements in the general center A (A e Am c Hn-1) is considered.

The ^-distributions is given in the 1st order frame. The existence theorem is proved. Correspondences of Bompyani — Pantazi between 1st and 2nd normals of the main structural A-, L-, H-subbundles for the ^-distribution are established.