Нормализация основных структурных подрасслоений h(l, l)-распределения аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 514.75(08)

Ю. И. Попов

НОРМАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНыХ структурных ПОДРАССЛОЕНИЙ Н(л, ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

Впервые рассмотрен специальный класс скомпонованных гиперплоскостных распределений — Н(Л, Lj-распределение аффинного пространства. Введены соответствия Бомпьяни — Пантази, ассоциированные с основными структурными подрасслоениями Н(Л, Ь)-распределения аффинного пространства. Построены нормализации в смысле Нордена основных структурных подрасслоений в дифференциальных окрестностях 1-го и 2-го порядка Н(Л, Lj-распределения.

The author pioneers to study a special class of the grouped hyperplane distributions — the Н(Л, L)-distribution of affine space. He introduces Bom-piani — Pantazi correspondences associated with the main structural sub-bundles of the Н(Л, L)-distribution of affine space. Norden's normalizations of the main structural subbundles in the differential 1st and 2nd order neighbourhoods of Н(Л, L)-distribution are constructed.

Ключевые слова: соответствие Бомпьяни — Пантази, нормализация, распределение, подрасслоение, тензор, квазитензор.

Keywords: Bompiani — Pantazi correspondence, normalization, distribution, subbundle, tensor, quasitensor.

Во всей работе использована следующая схема индексов:

J, K, L = 1, n; i, j, k,... = 2, n -1; a, P, у, e = 1, n -1.

5

1. Задание гиперплоскостного скомпонованного распределения Н(л, I) аффинного пространства

1. Пусть дано и-мерное аффинное пространство Аи, отнесенное к подвижному реперу Я = {М, ё]}, уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид

йМ = <ё], йё, = <Кёк,

где формы Пфаффа <, < удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства Аи.

П<] = < л<\, П<к = «1: л<$к.

© Попов Ю. И., 2018

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 3. С. 5-14.

2. Рассмотрим специальный класс гиперплоскостных скомпонованных распределений [1] аффинного пространства, в каждом центре А которого выполняются соотношения

[Лп_2(а), ь,] = Ип_1(а), Л„_2(а)п ь,(а) = а,

которые кратко назовем Н(Л, Ь)-распределением.

ае£

Распределение (п - 2)-плоскостей Лп-2(А) = Л(А) и распределение

ае£

прямых Ь,(А ) = Ь(А) назовем, соответственно, Л-подрасслоением и Ь-под-расслоением данного Н(Л, ^-распределения.

Присоединим подвижный репер Я = {М, е} пространства Ап к

Н(Л, Ь)-распределению следующим образом:

М - а, {е} с Л(а), е11| ь(а), ёп й Нп_г(а). (1.1)

Относительно выбранного репера нулевого порядка Я0 Н(Л, Ь)-рас-пределение задается уравнениями

« = Л пк юк, « = Л \к ®к, « = Л ,к «к, « = Л1К «к, (1.2)

улк = Лку, УЛпк = Л,

УЛ!к +Л1к®П = Л>Ь, УЛ!к + ЛПк« = Л1кь®Ь. Отметим, что совокупности функций

Г = {Лп Лп Л1 Л! } Г = {г Лп Лп Л1 Л! }

М Нк'-'^гк'1 Пк/' 2 I1 ^ 1 ¿^Чкь'1 1КЬ // • • •

образуют последовательность фундаментальных геометрических объектов Н(Л, ^-распределения [2].

Имеет место теорема существования Н(Л, Ь)-распределения. Теорема 1. Н(Л, Ь)-распределение аффинного пространства Ап существует с произволом 3(п - 2) + 1 = 3п - 5 функций п аргументов.

Замечание. С одной стороны, теорема существования есть следствие теоремы 1 работы [1]. С другой стороны, очевидно, что утверждение теоремы 1 непосредственно следует из разложения (1.2), если учесть, что все коэффициенты в (1.2) функционально независимы.

(1.3)

6

2. Соответствия Бомпьяни — Пантази, ассоциированные с основными структурными подрасслоениями Н(л, ^-распределения

1. Из уравнений (1.2), (1.3) следует, что функции {лП}, {Л {л^р} образуют невырожденные тензоры 1-го порядка

ул? = лпкк®к, ул?, = лпж®к, ул; = л^рк®к, (2.1)

которые являются основными (главными) фундаментальными тензорами Л-, Ь-, Н-подрасслоений Н(Л, ^-распределения.

(2.2)

л"лру =5у, ли лур =5у

ар и а' Иг*. и а

Нормализация подрасслоений 1КЛ, ¡ ¡-распределении аффинного пространства

Введем для них обращенные фундаментальные тензоры [3] первого порядка {Л И}, {Л "}, {Л ГИ}, удовлетворяющие соотношениям

л Ил И = 5*, л ИЛ И = 5*, ЛИХ = 1,

лру =5' ^ ^

ар И а' ра И

и уравнениям

УЛИ - 0, улИ1 - 0, улИР - 0. (2.3)

Нормализацию Нордена (Мг, Nи-2) Н-подрасслоения [4] данного Н(Л, Ь)-распределения зададим полями объектов {уП} и {уп}:

Ууа + < = Уак<к, УУ =У к<к. (2.4)

ИИИК'ааК '

Введем, учитывая (1.3) и (2.5), соответствие Бомпьяни — Пантази [5; 6] между нормалями Нордена 1-го {уП } и 2-го рода {уп } Н-подрасслоения [7]:

у а =л ИруИ + Л, (2.5)

где

Л =ли , уЛ = л"юр + Л кюк. (2.6)

а аи 7 а ар и ак \ '

Разрешим уравнения (2.5) относительно { уИ } с учетом формул (2.2):

уи=л:рур+лг . (2.7)

Здесь в силу формул (2.6), (2.3) имеем:

лГ=-л^л, , улГ=лгк®к. (2.8)

Итак, соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода в смысле Нордена для Н-подрасслоения задается формулами (2.5), (2.7). Как показано в работе [7], поле квазитензора {ЛГ} (2.8) задает поле нормалей Алшибая [5; 6] Н-подрасслоения.

2. Аналогично будем искать биекции Бомпьяни — Пантази между нормалями Нордена 1-го и 2-го рода для Л-, Ь-подрасслоений в виде (2.5), (2.7).

а) Так, при а = г из формул (2.5) имеем:

У< = Л И уИ +Л ИХ + Л » Уг = Л И у И + Л. (2.9)

«Ы _ ае£ ,

Функции Л = Лпы, Л = Л +лИ1уИ, согласно (1.3), (2.4), (1.2), удовлетворяют соотношениям

УЛ - Л И<И +Л ИХ, У Л - Л >И. (2.10)

7

Разрешая уравнения (2.9) относительно у!п и используя при этом (1.3), (2.3), (2.10), получаем:

Ч = л п V; + лп, (2.11)

где

л = -лпЛ, ул+< - ЛзПк. (2.12)

Поле квазитензора |л} (2.12) задает поле нормалей Л Алшибая [7] Л-подрасслоения.

б) При а = 1 из формул (2.5) имеем:

V! = Л пх+Л » V; +л Пп = л пх+Л1, (2.13)

где

Л =лпп +лV; =Л1 +лV;, уД -Л>1.

Из уравнений (2.13) найдем V! :

V! =л ;lVl + Л;1, (2.14)

где

л1=-л;1л41, уЛп1+«;=лх. (2.15)

Следовательно, уравнения (2.9), (2.11) и, соответственно, (2.13), (2.15) задают биекции Бомпьяни — Пантази между нормалями Нордена 1-го и 2-го рода л-, Ь-подрасслоений Н(л, Ь)-распределения.

Поле квазитензора {Л1} (2.15) задает поле нормалей Лп-1 Алшибая [7] Ь-подрасслоения. Из уравнений (2.12) и (2.15) вытекает, что поле нормалей Алшибая

А( а) = Л„-1( а) П Ла (а)

Н(л, Ь)-распределения задается полем квазитензора {Ла} (2.8). Резюмируя, приходим к следующему выводу.

Теорема 2. Соотношения ((2.11), (2.9)), ((2.14), (2.13)), ((2.7), (2.5)) определяют биекцию Бомпьяни - Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода л-, Ь-, Н-подрасслоений. Поля квазитензоров |Л} (2.12), {л^} (2.15), |Л} (2.8) 1-го порядка задают поля нормалей Алшибая [7] соответственно л-, Ь-, Н-подрасслоений данного Н(л, Ь)-распределения.

3. Построение нормализаций Нордена основных структурных подрасслоений в дифференциальной окрестности 1-го порядка

1. Используя компоненты фундаментального объекта Г1 первого

ае£

порядка, найдем охваты квазитензоров {V!}, {V!}, = {V!, vn},

определяющих нормали 1-го рода л-, Ь-, Н-подрасслоений данного Н(л, Ь)-распределения:

8

Нормализация подрасслоений Н(Л Ь)-распределения аффинного пространства

def def 1

v' = л" =-ЛnЛ"-Л"A"Лn, v" = Л" = -i-Л"A1,

а) 1 - 2 j (3.1)

def

va=Aa= {Л' Л1}-

def def

б) v" = L" = A"1A 1i, v" = L" =- A"A"A"1 - A 11A"i, (з ^

б) def (3.2)

v" = L" = {L", L1"}.

В силу биекций (2.9), (2.13), (2.5) нормалям 1-го рода (3.1), (3.2) поставим в соответствие нормаль второго рода Л-, L-, Н-подрасслоений Н(Л, L)-распределения:

def _ def

v, = X, = A"A" + A, v1 = X1 = A?1A" + A,

а) ' def (3.3)

va = Xa = A "pA" + A";

def def

v, = lt = A"V" + A, vi = li = A"il1" + Ali,

б) ' def (3.4)

v„ = l" = A "pl" + A".

Из соотношений (3.1) —(3.4) сразу следует, что в дифференциальной окрестности 1-го порядка имеем нормализации в смысле Нордена следующего вида:

а) (A", X,), (L", lt) на A-подрасслоении;

б) (A", Xl), (L", l1) на L-подрасслоении;

в) (A", X"), (L", l") на Н-подрасслоении.

Кроме того, заметим, что каждая пара (A", L"), (A", iL"), (A", L")

квазитензоров функционально независима. Это дает возможность построить в дифференциальной окрестности 1-го порядка однопарамет-рические пучки (ст, л, С — параметры)

N"(ст) = A" + ст(Е" - A"), N"(л) = Л" + n(L" - Л"), (3 5)

N"(С) = Л" +C(L" - Л") .

нормалей Нордена 1-го рода соответственно Л-, L-, Н-подрасслоений данного Н(Л, 1)-распределения.

Из соотношений (3.5), согласно биекциям (2.9), (2.13), (2.5), получаем соответствующие пучки нормалей 2-го рода Л-, L-, Н-подрасслоений:

N,(ct) = x, + ст(1, - x,), ni(n) = xi + n(li - xi),

n (с)=x +c(l -x ). (.)

aw' a a a/

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 1-го порядка Н(Л, 1)-рас-пределение внутренним образом порождает три однопараметрических семейства нормализаций

(N"(ст), N,(ст)), (N"(n), Ni(n)), (N"(С), N(С))

в смысле Нордена соответственно A-, L-, Н-подрасслоений.

9

4. Построение нормализаций Нордена основных структурных подрасслоений Н(л, ^-распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка

1. Прежде всего покажем способ построения нормалей 1-го рода Л-, Ь-, Н-подрасслоений Н(Л, Ь)-распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка, исходя из построенных ранее объектов 1-го порядка [А*} (2.8), {л"} (3.1), {ь:п} (3.2). Продолжая уравнения (2.8), получаем равенства

ли уак+(аал пк+а^; )®п= акх . (4.1)

Из (4.1), полагая К = р и К = п, имеем систему уравнений: УА^ + (АпаЛ пр + 8"^ )< = Арь шЬ,

УАПП -(АПр - АпаЛ,п -8р:АтЛПп)< = А>'.

ш = ^ ш (4.2)

пр -/~1п1 крп "р-^^ 1уп)т т

Введем в рассмотрение следующие функции 2-го порядка:

** = Апр- ахл; , (4.3)

дифференциальные уравнения которых, согласно (4.2), (2.8), (2.1), имеют вид

у** = а прк ®к. (4.4)

Из (4.4) следует, что величины [А:} (4.3) образуют тензор 2-го

по-

рядка [2; 4]. В общем случае тензор [А ^} — невырожденный и, следовательно, для него можно построить обратный тензор {А пр}:

А пр А пр = 8", А:р А п = 8р, УАпр = А ЩШ. (4.5)

Наконец, в силу (4.5), (4.2), (2.8), (3.1) убеждаемся, что функции

ае£

А: - -А( Ар - Ар АУЛ" ) удовлетворяют уравнениям

УА п + < = А пк шк, (4.6)

то есть образуют квазитензор 2-го порядка {А п}, который имеет два подобъекта {А'п}, {А \}, поскольку из (4.6) при : = I и : = 1 получаем:

УА п + < = А пк шк, УА п + Ш = А 1к шк. (4.7)

Поля (4.6), (4.7) геометрических объектов {Ап}, {А'п}, {А\} задают поля нормалей Нордена 1-го рода соответственно Н-, Л-, Ь-подрассло-ений данного Н(Л, Ь)-распределения.

Нормализация подрасслоений 1КЛ, ¡ ¡-распределении аффинного пространства

Используя соответствия Бомпьяни — Пантази (2.5), (2.9), (2.13), квазинормалям (4.6), (4.7) поставим в соответствие тензоры 2-го порядка:

а. = Л:рАр + л, А, = Л;АП+л, А = лпдИ+л

В результате справедлива Теорема 4. Нормализации

( А п, А. ), (А; , А, ), ( А ;, ^

Нордена Н-, Л-, Ь-подрасслоений внутренним образом определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка элемента Н(Л, Ь)-распределения.

2. Проведем аналогичные построения (см. п. 1) нормализации основных подрасслоений Н(Л, Ь)-распределения, исходя из объекта {Л.} (3.1), компоненты которого удовлетворяют уравнениям

ул; + < = Л . шк. (4.8)

Продолжая (4.8) (при К = р и К = и), получим систему уравнений:

гулар + (лалир + 5але лир )юу =ларгюь,

Ир V и ур У и 5р ^ и ирЬ ' . _

\ (4.9)

[улИ; - (л.р -лИлИ; -5.лИлИИ К = л^®1 . Далее введем невырожденный тензор 2-го порядка {В.}, где

вИр=л.р-л;л;л;р, ув; =о,

и обратный ему тензор {В;р}:

вирв; = 5., вПрВ.у = 5р, уВ;р = В>к. (4.10)

Тогда функции

ае£ „

В; =- В(ЛИ; -Л;Л ;Л ;)

р \ пп п и уи/

с учетом соотношений (4.10), (4.9), (4.8), (1.3) удовлетворяют уравнениям

УВ. + < = В .к ®к. (4.11)

Непосредственной проверкой, пользуясь уравнениями (4.11), убеждаемся, что функции {В;} и {ВИ} удовлетворяют следующим уравнениям:

УВ;+< = В;Х, УВ; +«И = ВИк®к. (4.12)

Итак, поля (4.11), (4.12) квазитензоров

{В. },{ВИ },{В; } (

задают соответственно поля нормалей 1-го рода Н-, Л-, Ь-подрасслое-ний данного Н(Л, ^-распределения. В силу биекций (2.5), (2.9), (2.13) квазитензорам (*) поставим в соответствие тензоры

{В. },{В, },{Вг},

11

12

где

В:=Л:рВп + А:, в, = Лпвп+Д, »1 = Лп1в1П+Д.

Таким образом, имеет место

Теорема 5. В дифференциальной окрестности 2-го порядка Н(Л, Ь)-рас-пределение порождает внутренним образом нормализации

(»,), (вп, в,), (», вг)

в смысле Нордена соответственно Н-, Л-, Ь-подрасслоений.

3. Наконец, при построении нормалей 1-го рода и нормализации Н-, Л-, Ь-подрасслоений будем исходить из задания поля квазитензора к} (3.2):

уь: + < = кк шк. (4.13)

По аналогии с прежними построениями (см. п. 1 — 2) находим последовательно

укпК+Щк+ккрк 8; н=Ккь ,

(4.14)

^ук 1 ^п^рк^у

или

гукр + (кл пр + 8<хкь"к = крг ,

пр V п Ур У п 5р у п прЬ 7

|ук - (кр- кл -8;П Лп )шр = К ^ .

пп V пр п рп р п уп' п ппЬ

Введем следующие функции:

р: _ т: Т:ТУ Тп

-чр = Ьпр — ЬпЬпЬур ,

которые в силу (4.14), (4.13), (2.1) удовлетворяют уравнениям

Уср= /рк шк. (4.15)

Для невырожденного тензора 2-го порядка {/р} (4.15) построим обратный ему тензор {/п3}:

£Хр/;р = 8;, /рК = 8р, у/;р - о. (4.16)

Функции

с п = -/;: (Кпп - ьрпипЛ ;)

удовлетворяют уравнениям

УС п + < = с пк шк, (4.17)

как это следует из уравнений (4.16), (4.14), (4.13), (1.3).

Объекты {Сп} и {С 1} являются подобъектами квазитензора {С;} (это следует из уравнений (4.13)):

УС п + 4 = С пк шк, УС п +Ш = С ¡к шк. (4.18)

Нормализация подрасслоений ЩЛ, ¡ ¡-распределении аффинного пространства

Список литературы

1. Попов Ю. И. Скомпонованные гиперплоскостные распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 2. С. 5 — 17.

2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Московского математического общества. 1953. Т. 2. С. 275—382.

3. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геом. семинара. М., 1971. Т. 3. С. 49—94.

4. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

5. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр. Геом. семинара. М., 1974. Т. 5. С. 169 — 193.

6. Алшибая Э. Д. Геометрия распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве : учеб. пособие. Тбилиси, 1999.

7. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполостного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10 : Физико-математические науки. С. 49 — 56.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: [email protected]

The author

14 Dr Juriy I. Popov, Professor, I. Kant Baltic Federal University, Russia.

E-mail: [email protected]