Нормализация основных структурных подрасслоений -распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

УДК 514.75

Ю. И. Попов

НОРМАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ СТРУКТУРНЫХ ПОДРАССЛОЕНИЙ H7 -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ОКРЕСТНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА

Построены поля внутренних нормализации, в смысле Нордена основных структурных Л-, L-, H-подрасслоений гиперполосного H-распределения [1-3] аффинного пространства Ап в дифференциальной окрестности 2-го порядка. Показано, что в каждом центре А H-распределения для каждого из Л-, L-, H-подрасслоений их соответствующие нормали 1-го рода (L-виртуальная аффинная, Бляшке (первый аналог), Тренсона) принадлежат одному пучку. В соответствующих биекциях Бомпьяни — Пантази [2] им соответствуют пучки нормалей 2-го рода Л-, L-, H-подрасслоений. Выяснены аналитические признаки коинци-дентности [4] H-распределения и его Л-, L-, H-подрасслоений.

Norden inner normalization fields of basic structural subbundle of hyperband distribution are constructed in second order differential neighborhood of affine space. It is showed that first order normal (L-virual affine normal, Blashke normal, Trenson normal) corresponding to each of subbundle belongs to the same sheaf in any center A. Sheafs of second order normal of Л-, L-, H-subbundle correspond to them in the Bompiani-Pantazi bijection. Analytical coincidence features of H-distribution and its Л-, L-, H-subbundle was clarified.

Ключевые слова: подрасслоения, нормализация, нормаль, тензор, квазитензор, распределение, коинцидентность, биекция.

Key words: subbundle, normalization, normal, tensor, quasitensor, distribution, coincidence, bijection.

Во всей работе использована следующая схема индексов:

53

[,К,Ь = 1,п; а,р,у,^ = т +1,п-1; i,],к,s = 1,т; а,Ь,с = 1,п-1; а,р,у = т +1,п .

1. Известно [2; 3], что в дифференциальной окрестности 2-го порядка регулярное Н-распределение аффинного пространства Ап задается относительно репера Я1 уравнениями

„и _ \ п К а _ \ а К п _ \ п р У _ д i К

Ю = Л УК ю , Юу = Л УК ю , ®а = ЛарЮ ' Юа = ЛакЮ '

УЛ к = Л к юЬ, УЛк +ЛК ю„а = Л ОдЮ1, УЛ"ар = Л"ару Юу, VЛ ок +Л'ар5к юп =Л окьюь

и соотношениями

дn дn ,дn др ,дn д i _ о

an jk ] jk ] N[ j1 ^jrajk ] U '

© Попов Ю. И., 2014

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 10. С. 53 — 59.

54

Определители

йе/

Л0 = ае^|л* 0, Ь0 = det||л^Ц * 0, Н0 = ае^|л"л\\ * 0

основных фундаментальных тензоров 1-го порядка соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоении удовлетворяют уравнениям

й 1п Л0 = 2ю, - тКп +ЛкК, й 1п Ь0 = 2к]- (п - ш - 1)Кп + ЬкК, й 1п Н0 = 2К - (п - 1)К + НкК,

где

л к=лплп]К, Ьк=л:лпощ, Нк=лып л:Ьк, (1)

УЛк - (ш + 2)лпкК + шл^К, (2)

УЬк - (п - ш - 1)лПкК + (п - ш + 1)л»кК, (3)

УНк - (п + 1)лакК. (4)

В частности, в силу (2) — (4), придавая индексу К последовательно значения ,, :, найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют следующие функции:

л, , ул, - (Ш+2)лпх; (5)

л: = А" лк:, Ул: - (ш + 2)лпуп + тЛ^К ; (6)

Ь = 4^, УЬ,-(п-ш-1ЩК; (7)

Ь: =Л!РЛ^У: , УЬ: -(п-Ш - +(п-Ш + ; (8)

Н =Ль:лпы, УН,-(п + 1ЩК; (9)

Н:=ЛЬ:ЛпЪ:, УН:-(п + +(п + 1)Л^К . (10)

С помощью функций Л (5), Л: (6) и тензоров А}, (Л"}, {Л:Р} построим охваты квазитензоров 2-го порядка:

ш + 2

ЛiА, утп• +< = ткК; (11)

йе/ 1

тпа=--(л,л:+лрлг), Утпа+ю: = т^К; (12)

Ш

йе/

= (тр,тпа}, утщ' +< = тпкК. (13)

Известно [5], что для регулярных гиперполос Нт с Ап поле квазитензора (тп'} задает поле нормалей Тренсона [6] Тп-т 1-го рода. Отметим, что для гиперполосных распределений специального класса нормализация Тренсона введена в работе [7]. Имея это ввиду, мы сохраним

это название для нормалей 1-го рода Л-подрасслоения данного

Н -распределения. Аналогично, будем говорить, что поля квазитензоров {ТПа} (12) и {ТП"} (13) в дифференциальной окрестности 2-го порядка задают соответственно поля нормалей Тренсона 1-го рода Ь-, Н-под-расслоений. В силу биекции Бомпьяни — Пантази [2] полям нормалей Тренсона 1-го рода (11) — (13) соответствуют поля нормалей 2-го рода Л-, Ь-, Н-подрасслоений:

= -л] - а., у = ткюК,

г г] п г' г гК '

= -Лпрт~р- А , Ут~ = ткюК,

а ар п а' а аК '

= -Ль - А , У = ткюК.

а аЬ п а' а аК

Итак, в дифференциальной окрестности 2-го порядка инвариантным образом построены поля внутренних нормализации Тренсона

(ТТ; Т), (ТГ; та), (Тпа; То) (14)

соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений.

2. Проводя аналогичные построения с функциями Ьг (7) и Ьа (8), последовательно получаем

1

2 =--

п - т -1

ЬЛьг, У 2 +ю" = юК,

ь п ' п п пК '

2я =----(Ь Луа + ЬЛ,а), У 2я + юа = 2КюК,

п ч^У п г п п п пК '

п - т -1

= {2*; 2й}, У 2я + юа = 2я;юК.

п 1п' п У п п пК

(15)

Поля нормалей 1-го рода в смысле Нордена соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений (15) будем называть в дальнейшем Ь-виртуальными аффинными нормалями 1-го рода соответственно Л-, Ь-, Н-подрассло-ений.

Замечание. Аффинные нормали (15) названы Ь-виртуальными, так как их строение зависит от функций {Ьг}, {Ьа}, ассоциированных с Ь-подрасслоением.

Затем, используя соответствия Бомпьяни — Пантази, находим поля Ь-виртуальных аффинных нормалей 2-го рода в смысле Нордена соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений:

2 = -Л"2] - а, У 2 = 2кюК,

г г] п I' г гК '

2 = -Л"р2^ - а, У 2 = 2к

а ар п а' а ак

(16)

2 = -Л"^ - А, У 2 = 2к

а аЬ п а' а аК

В результате непосредственно из (15), (16) получаем поля внутренних Ь-виртуальных аффинных нормализаций

(2п; 2),(2Г; 2 ),(2*; 2а) (17)

соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений в аффинной окрестности 2-го порядка Н -распределения.

55

3. Наконец, воспользуемся функциями Нг (9), На (10) и проведем аналогичные построения квазитензоров 2-го порядка:

<1е/ 1

В?" =--— НА11, У + ю' =3?1 юк,

П -г ё П ' П П пК '

: +1

1

' =---(НА + ЩАТ), УВГ + < = В>к, (18)

п+1

В ;Впа}, ВП" =--— Н АЬ", V + ю" = ВпКюк.

:':}': Ь п ' п п пК

п+1

Поле квазитензора {ВП} (18) для гиперповерхности [8] и для гипер-56 плоскостного распределения [9 — 11] аффинного пространства задает поле нормалей Бляшке [12]. В силу этого обобщенные поля нормалей Бляшке (18) основных структурных подрасслоений (Л-, Ь-, Н-подрас-слоений) н'-распределения назовем первыми аналогами нормалей Бляшке 1-го рода.

Поля нормалей Бляшке регулярных гиперполос аффинного пространства рассмотрены, например, в работах [13; 14], а для гиперполосных распределений аффинного пространства поля нормалей Бляшке введены, например, в работах [1; 15].

В силу соответствия Бомпьяни — Пантази и соотношений (18):

в =-А"в" - а, v = вккюк,

г I] п I' г гК '

В =-АпЩр- а, v = вкюк, (19)

а ар п а' а ск. ' ^ '

В" = -АпЬВъ - а, v = вкюк.

" "Ь п "' " "к

Поля нормалей (19) Л-, Ь-, Н-подрасслоений назовем первым аналогами нормалей Бляшке 2-го рода.

Из (18), (19) следует, что поля нормализации Бляшке

(впг; В), (ВТ; В), (Ва; В") (20)

соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений внутренним образом определен^! в дифференциальной окрестности 2-го порядка. Резюмируя, приходим к следующему выводу:

Теорема 1. -распределение во 2-й дифференциальной окрестности порождает поля внутренних нормализаций (14), (17), (20) его основных структурных подрасслоений (Л-, L-, Н-подрасслоений).

4. Из формул (18) в силу соотношений (5), (7), (11), (15) получаем:

1 1

^ Т т . ё" ± • Ь" * п * ё"

Н а п =---А п А пы А п =

п +

п +1 п +1

11 [а ; а " А : +Ар<Хрё а;: ]=- -Лт а ж: - ^А: = (21) ' : +1 : +1

1 -(-(ш + 2)ТТ -(: - ш- 1)^") = ТТ + ^.

/ п \ / п / , -1 п

: +1 : +1 : + 1

Согласно (21) справедлива

Теорема 2. Аффинные нормали 1-го рода В-ш(А), Т;_т(А), ^;_т(А) плоскости Л(А) в каждом центре А -распределения принадлежат однопа-

раметрическому пучку (и-т)-плоскостей Nп-т(е), определенному внутренним образом пучком квазитензоров

N1 (в) = еТП' + (1 - в)^' = ^ + е(ТП' - ^ ) (22)

в дифференциальной окрестности 2-го порядка, причем нормаль Бляшке

т + 2

В(А) плоскости Л(А) высекается из пучка (22) при в =-.

п +1

5. Аналогично, преобразуя функции Ва (18) с использованием соотношений (1), (5) — (8), (15) приходим к следующему результату: 1 1

_

н л г=—- (н л:+вдт)=

.л а п , '

п +1 п +1

1

(лЬслп л,а+лЬслп лра) =

п + 1 1

п +1 1

(ллп л,а+луРл" л,а+лрлп лра+лу?л" лра)= (23)

-(I ла + Ьулг) - —- (л, ла +лрлра) =

п +1 п +1

= (и - т + 1) ^ + ^а

.Л п , -I п

п +1 п +1

Из (23) следует

Теорема 3. Аффинные нормали 1-го рода Вт+1(А), Тт+1(А), ¿т+1(А) плоскости Ь(А) в каждом центре А -распределения принадлежат однопара-метрическому пучку плоскостей (т + 1)-плоскостей , определенному

внутренним образом пучком квазитензоров

N (С) = СТ:а + (1 -С)5Г = +С(тпа - ), (24)

причем нормаль Бляшке Вт+1(А) плоскости Ь(А) соответствует параметру т .

п +1

В биекции Бомпьяни — Пантази пучку (22) соответствует пучок тензоров 2-го порядка

N. (в) = ^ +в(ТГ- 5т), (25)

который определяет в каждом центре А Н-распределения пучок нормалей 2-го рода ®т-1(в) плоскости Л(А). В пучке ®т-1(в) (25) нормали Бляшке 2-го рода В?-1(А) (первый аналог) соответствует параметр

т + 2 в =-.

п +1

Пучку нормалей 1-го рода Nm+1(С) (24) плоскости Ь(А) в каждом центре А соответствует пучок нормалей 2-го рода ®п-т-2(С), определяемый пучком тензоров 2-го порядка

N(с)=¿а+с(та - ¿а). (26)

57

58

т

Из пучка Nп_т_2(С) (26) при С =- высекается нормаль 2-го рода

п +1

Бляшке Щ_т_ 2( А) (первый аналог) плоскости Ь(А).

Как следствие из теорем 2 и 3 вытекает

Теорема 4. Нормали первого рода: Бляшке Щ( А), Тренсона А) и Ь-вир-туальная аффинная нормаль —( А) гиперплоскости Н(А) в каждом центре А принадлежат одному однопараметрическому пучку, определяемому внутренним образом пучком квазитензоров 2-го порядка

N (л) = -Т + п(—Г - -Т). (27)

В биекции Бомпьяни — Пантази пучку квазитензоров (27) соответствует пучок тензоров

N. (л) = — +л(т. - (28)

который задает в дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренний пучок нормалей N-т-2(С) 2-го рода плоскости Н(А).

6. Если нормаль Тренсона Т~(А) и Ь-виртуальная аффинная нормаль —(А) плоскости Н(А) в точке А совпадают, то, как это следует из формул (21) и (23), нормаль Бляшке Щ(А) тоже совпадает с ними, то есть все три нормали совпадают. Действительно, пусть

(23)

(ТП" = -Г)«(ТП ' = -П, тп - = -г)«

(23)

«(Щ = —П' = - = -г = тпа)«

«В = -Т = тп ').

Аналогично, можно показать, что при совпадении любых двух нормалей из указанных трех: Щ( А), Т~( А), —( А), в данном центре А все три нормали совпадают. При этом условии все нормали 2-го рода пучка (28) тоже совпадают. Верное и обратное утверждение: если нормали 2-го рода -распределения из пучка (28) совпадают, то нормали 1-го рода -распределения пучка (27) тоже совпадают.

Определение. Н7 -распределение назовем коинцидентным [4], если каждый из пучков нормалей 1-го и 2-го рода (27), (28) Н-распределе-ния вырождается в одну нормаль.

В силу этого определения приходим к следующим признаком ко-инцидентности Л-, Ь-, Н-подрасслоений данного Н -распределения.

Теорема 5. Каждое в отдельности из Л-, Ь-, Н-подрасслоений данного Н*-распределения коинцидентно тогда и только тогда, когда любые два квазитензора 2-го порядка из соответствующих троек (Щ, —П', —П), (Ща, ТПа, —П™), (В, -—П', —П) совпадают или, что равносильно, когда любые два тензора 2-го порядка из соответствующих троек (Щ , , — ), , , — ), (Щ ,ТТ , ) совпадают.

Список литературы

1. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов гиперполосного распределения аффинного пространства / Калининградский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ, № 6807-В87 Деп., 1986.

2. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполосного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта, 2013. Вып. 10. С. 49 — 56.

3. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов H-распределения аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 113 — 125.

4. Mihailescu T. Geometrie differentia! projective. Bucuresti Acad. RTR, 1958.

5. Попов Ю. И. Нормализация Тренсона гиперполосы Hm(л) // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2007. Вып. 38. С. 117 — 192.

6. Лисицына И. Е. Нормализация тренсона гиперполосы Hm аффинного пространства // Там же. 1998. Вып. 29. С. 38—40.

7. Попов Ю. И. Введение связностей на H -распределения аффинного пространства // Там же. 2011. Вып. 42. С. 122 — 133.

8. Алшибая Э. Д. Дифференциальная геометрия гиперповерхности в многомерном аффинном пространстве // Тр. Тбилисского ун-та, 1968. Т. 129. С. 319—341.

9. Алшибая Э. Д. О распределении гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Сообщения АН Груз. ССР, 1970. Т. 60. С. 545 — 548.

10. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр. геом. семинара ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. Т. 5. С. 169-192.

11. Алшибая Э. Д. Геометрия распределений гиперплоскотных элементов в аффинном пространстве. Тбилиси, 1990.

12. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. ОНТИ. М. ; Л., 1935.

13. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос : учеб. пособие. Калининград, 1983.

14. Попов Ю. И. Регулярные гиперполосы аффинного пространства : учеб. пособие. Калининград, 2011.

15. Попов Ю. И. Нормали гиперполосного распределения аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1988. Вып. 19. С. 69 — 79.

59

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected]

About the author

Dr Juriy Popov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]