Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 2-го порядка H-распределения аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

18

УДК 514.75

Ю. И. Попов

ПОЛЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ОХВАЧЕННЫХ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 2-ГО ПОРЯДКА ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

Построены поля внутренних нормализации, в смысле Нордена основных структурных Л-, L-, H-подрасслоений гиперполосного H-распределения аффинного пространства An в дифференциальной окрестности 2-го порядка с помощью симметрических фундаментальных тензоров 1-го порядка.

Norden inner normalization fields of basic structural Л-, L-, H-sub-bundle of hyperband H-distribution are constructed in 2nd order differential neighborhood of affine space An by means of symmetric fundamental tensors of 1st order.

Ключевые слова: подрасслоение, нормализация, нормаль, тензор, квазитензор, распределение, коинцидентность, биекция Бомпьяни — Пантази, охват геометрического объекта.

Key words: subbundle, normalization, normal, tensor, quasitensor, distribution, coincidence, Bompiani-Pantazi bijection, envelopment of geometrical object.

Данная статья является продолжением работ [1; 2].

Во всей работе использована следующая схема индексов:

K, L = 1, n; a, b, у, n = m + 1, n-1; i, j, k, s, t = 1, m; a, b, c, d = 1, n-1; b, n = m + 1, n.

1. С помощью несимметрических тензоров {ЛП}, {ЛПр}, {Л Пъ} 1-го

порядка построим охваты симметрических фундаментальных тензоров 1-го порядка Н -распределения аффинного пространства [1; 2]:

1

/АП . \П\ \-7 П „П К

ац = 2(Л +Лп),Уйп =ащю , 1

аПр = 2(Л"ар +лра), Уа"ар = а:ркЮк, С1)

1

,-.П±/лП.лП \ т-7 „п „п К аоЬ = 2(Л, +ЛЪа ), VаоЬ = аЛКЮ .

Продолжение уравнений (1) приводит к соотношениям

VanК - (апЛПк + аПЛПк + ^ЛПк К + аПЛПр<,

^аПрк - (аПрЛПп + аПуЛРп + ^Л», ^< + аПрЛПк<, (2)

УаПък - ( аПъЛ ^ + а" Л ,к + а"л Л Пк К.

© Попов Ю. И., 2016

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 2. С. 18

В общем случае можно считать, что

def

def

def

a0 = det lajl Ф 0, l0 = det a"J Ф 0, h0 = det a" Ф 0.

При этом условии вводятся симметрические фундаментальные тензоры 1-го порядка {аЦ}, [а^}, [аП}, взаимные соответственно тензорам (1), удовлетворяющие соотношениям

~n s?i „aR „n s;a ^ab „n s;a

a'a , = o, , a a„ = o , a a, = o

n jk k' n Ry y ' n bc c

Jk> "n "py

и дифференциальным уравнениям

uei

Va" - -aisat'a t1ю1 = a''.в1,

n n n st1 n1 '

(4)

19

Van - -a"Y anR a.^1 = a"^1,

(5)

def

Van - -an an acd1B = an1ю •

Дифференцируя определители (3) и учитывая (4), (5), получаем уравнения

d ln a0 - 2ю| - ms)nn + aKюк, d ln l0 - 2юу - (и - m - 1)ю" + lKюк, d ln h0 - 2®a - (и - 1)ю" + hKюк,

где

_ nij ~n 1 _ aR n t _ п^3 n"

aK — anaijK , lK ~ an aaRK, _ an aabK •

В силу выражений (2) и (5) из уравнений (6) находим:

VaK - (m + 2)Л"кю" + тЛ"кю", , VIk - (n - т - 1)Л"кю" + (и - т - 1)Л^ю", VhK - (и + 1)ЛПкю" •

(6)

(7)

В частности, придавая индексу K последовательно значения i, a, a, из (7) найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции (6):

a{ = ayii, Vai - (m + 2)Л>", aa = OXa, Vaa - (m + 2)Л>" + тЛ "К, ab = ax, Vab - (m + 2)Л"ю" + mЛnbю",

k = anaPa"», Vli - (и - m - 1)Л"ю", (8)

la = a"Pa"Ya, Vla - (n - m - 1)Л""юП + (и - m -,

l = {l.; l }, Vl - (и - m - 1)Л"ю8 + (и - m - 1)Л" юу.

a li' aJ' a \ J sa n \ J ya n

20

й = аьупы, уй, - (п+1)Л, й„ = аП'аПъп, Уйа - (п + 1)ЛПаЮП + (п + 1)А>П, (9)

ае£

й = {й; й }, Уй - (п + 1)Л"юс,

а I г' а Л' а \ / са п'

2. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции (8) —(9) и соответствующие им функции (5) —(10) работы [2], построенные с помощью несимметрических фундаментальных тензоров 1-го порядка, совпадают. Таким образом, по аналогии с работой [2] получаем соответственно для Л-, 1-, Н-подрасслоений:

a) вторые аналоги нормалей 1-го рода Тренсона

тп' =--— ааПП,

т + 2 '

тп а=- - (а,аГ+ араРП), (10)

т

т а = {Т 1; т а}

п п ' п *

и вторые аналоги нормалей 2-го рода Тренсона

тг = -а^тп] - А,, Та =-а Пр Тпр - А а, Та = {Т,; Та}, (11)

а также поля вторых аналогов внутренних нормализаций Тренсона

(Тп'; т1 ),(Тпа; Та ),(Тпа; та); (12)

b) вторые аналоги I-виртуальных аффинных нормалей 1-го рода

11 =----1 ая, i а =----(^ ауа +1 а 1 а), iа = {11; i а}, (13)

п -I в п 7 п ч^уп гп/'п^п'п.!7 ^ '

п-т -1 п-т -1

вторые аналоги Ь-виртуальных аффинных нормалей 2-го рода

^, =-^ ]а,, /. а=-аПр1 „р-А а, i а =-а1ъ1 П - А а, (14)

а также поля вторых аналогов внутренних Ь-виртуальных аффинных нормализаций

(IП; I,),(1;; IП),а;; Iа); (15)

c) вторые аналоги нормалей Бляшке 1-го рода

ай 1 ай 1 ае£ 1

В 1 =--— йаП, в П =--— (й-аш + йрара), В а =--— й.аЪа, (16)

П , Б П ' П ,-|\1П рп/'п ,-|Ъп'

п +1 п +1 п + 1

вторые аналоги нормалей Бляшке 2-го рода

В =-аПВ] - А , в = -а"Вр-А , в = -а"ВЪ - А, (17)

г I] п г' а ар п а' а аЪ п а' V /

а также поля вторых аналогов внутренних нормализаций Бляшке

(вП; В,), (Впа; Ва),(В;; ва). (18)

Как следствие результатов работы [2] и построенных тензоров и квазитензоров (8) —(18) получаем следующие предложения (аналоги теорем 1—5 из [2]).

Теорема 1. Н-распределение во 2-й дифференциальной окрестности порождает поля внутренних вторых аналогов нормализаций Тренсона (12), вторых аналогов Ь-виртуальных аффинных нормализаций (15) и вторых аналогов нормализаций Бляшке (18).

Теорема 2. Вторые аналоги аффинных нормалей 1-го рода в^-т (А), Тп-т (А), £ 'п_т (А) плоскости Л(А) в каждом центре А Н-распределения принадлежат однопараметрическому пучку (п - т)-плоскостей n ¿-т(е), определенному внутренним образом пучком квазитензоров

n П (е) = еТ; +(1 -е)£ П - £ П +е(ТП П) (19)

в дифференциальной окрестности 2-го порядка, причем нормаль Бляшке

т + 2

вП-т (А) высекается из пучка при е --.

п т п +1

Теорема 3. Вторые аналоги нормалей 1-го рода Вта+1(А), Тт+1(А), £ ,Т+1(А) плоскости Ь(А) в каждом центре А Н-распределения принадлежат

однопараметрическому пучку (т + 1)-плоскостей n та+1(е), определенному внутренним образом пучком квазитензоров

n : (о=с тпа+(1 - ;-I па+с(Тпа -1:), (20)

причем нормаль Бляшке Вта+1(А) плоскости Ь(А) соответствует параметру ^ = т

п +1

Теорема 4. Вторые аналоги нормалей 1-го рода в1а(А), Т1 а(А), £ 1 (А)

плоскости Н(А) в каждом центре А принадлежат одному пучку, определенному пучком квазитензоров 2-го порядка

nпа(п)п +п(тпа а). (21)

Теорема 5. Пучкам квазитензоров (19) — (21) соответствуют в биекции Бомпьяни - Пантази пучки тензоров

n , (п), +п(Т, , ), n а (п)а + П (Та-1 а ), n а (п) - £ а +П(Та а ),

которые задают пучки нормалей n т-1, n п-т-2, n п-2 2-го рода соответственно Л-, 1-, Н-подрасслоений.

Имеют место и аналоги признакам коинцидентности ^-распределения [2].

21

22

Теорема 6. Н-распределение коинцидентно [3] тогда и только тогда, когда любые два квазитензора 2-го порядка из трех (впа; тпа; £ п") совпадают или, что равносильно, когда два тензора 2-го порядка их трех (ва; та; £ а) совпадают.

3. Построим третьи аналоги нормалей Бляшке Л-, 1-, Н-подрасслое-ний, следуя работам [4; 5].

Введем в рассмотрение функции

Уг =аП (ЛП( к) +лпУ№)-ЛПк),),

_ .-ЛР / Д п , дп _ Д п ^Х Т Л Ы п

Та _ Яп V1 а(Ру) (р|а|у)_ Л(Ру) а ) + 2а пУЧа ,

_ сЬ / дп . дп _ дп \

I а _ ап V' а( Ьс) (Ь|а|с ) (Ьс )а

которые удовлетворяют соответственно уравнениям

Уу г = (т + 2)Л1^п +У ж юК,

Ууа = (п - т + 1)Л>Р - (п - т - 1)Л+Уак, (22)

Уу а = (п + 1)Л пь«п +У аК ^ . Учитывая выражения (22), (8), (9), построим функции

Р, = | (а, + У г), УР, = (т + 2К< + Р,К ®К, Ра = 2('а + Уа ), УРа = (« - т + 1)а>Р + РаК®К ,

Ра = ^(К +Уа ), УРа = (« + 1)^ + Ра^ . Геометрические объекты

ае£ 1

ьп =---гапКРК, УЬп + < = Ь'пКюК, (23)

т + 2

ь; =---г а„ауРу, уЬ;+<=кк ЮК, (24)

п - т +1

ай 1

Ьп =--— а"ЬР„, УЬ" +ю" = Ь"КюК (25)

п , п Г Ь ' п п пК х '

п +1

являются квазитензорами 2-го порядка.

Поля этих объектов, определяемые дифференциальными уравнениями (23), (24), (25), задают соответственно поля нормалей 1-го рода Л-, 1-, Н-подрасслоений данного Н'-распределения. В случае гиперплоскостного распределения построенная нами нормаль Ь Ь} (25) совпадает с нормалью Бляшке Ь [4]. Учитывая это, мы назовем нормаль Ь нормалью Бляшке (третий аналог) для оснащенного Н-подрасслоения.

Аналогично, нормали Ьп-т {Ьгп} (23), Ьт+х {Ьа} (24) назовем нормалями Бляшке 1-го рода (третьи аналоги) Л-, Ь-подрасслоений данного Н'-рас-пределения.

Согласно биекциям Бомпьяни — Пантази [1] нормалям Бляшке \Ь'п}, {Ьпа}, {ЬП} 1-го рода Л-, Ь-, Н-подрасслоений поставим в соответствие нормали Бляшке 2-го рода {Ьг}, {Ьа}, {Ьа}, где

Итак, справедлива

Ь. =-ЛпЬ> - А , УЬ = ЬКюК,

г I] п г' г гК '

Ь = -Л"ЬР - А , УЬ = Ь кюК,

а ар п а' а аК '

Ь = -Лп Ьс - А , УЬ = Ь кюК.

а ас п а' а аК

23

Теорема 7. Н-распределение в дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренним образом порождает поля (23) —(28) третьих аналогов нор-мализаций Бляшке (Ь'п; Ь), Ь; Ьа), Ь; Ьа) соответственно Л-, Ь-, Н-подрас-слоений.

4. Функции 2-го порядка {/г}, где 1

* „п УК Х7Х .-.п . ,

г =-^„а , Уг = а ю + г„ю ,

г , г]К п ' г гБ п гК '

т + 2 '

на Н'-распределении порождают геометрический объект являющийся квазитензором 2-го порядка, компоненты которого удовлетворяют условиям

/п =-<&,, У/п +юп = &юк. (29)

Предварительно из уравнений (2) при К = у найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции а^ :

Уа^ру - КрЛ; + аалЛ; + а^Л; К + я^Х. (30)

Введем в рассмотрение геометрический объект {аар; /а}, компонентах / а которого имеют следующее строение:

1 1

. __^_ п ру .__^_ дп . г

Га _ , ааруап + , '\аТп ,

п - т +1 п - т +1

и в силу выражений (5), (29), (30) удовлетворяют уравнениям

У/а = а>р + /аКЮК .

Теперь построим квазитензор 2-го порядка {а}:

С = -а„р\, У?; +ю„а =КкюК. (31)

24

Из (29) и (31) следует, что квазитензор 2-го порядка t: = {С; t'n} задает поле нормалей 1-го рода t Н-подрасслоения в окрестности 2-го порядка:

ve =& о.

Квазитензорам {t:}, {í:a}, {t':} в силу биекций Бомпьяни — Пантази [1] соответствуют тензоры

ta =-Лу: - a a, Ví„ = Lok, (32)

cpip- a a, Vía = kO

Í=-A"aBÍP- A a, Vfa= í^ЮК , (33)

f =-^jtj- A,, Vf = ftK. (34)

Дифференциальные уравнения (32) —(34) задают соответственно поля нормалей 2-го рода Л-, L-, Н-подрасслоений в смысле Нордена [6].

В результате имеет место

Теорема 8. Нормализации (Г; ta), (ina; ta), (|'n; |,), (fn; t,) в смысле Нордена [6] соответственно Л-, L-, Н-подрасслоений внутренним образом определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка H-распределения.

Список литературы

1. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполостного распределения аффинного пространства / / Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 49 — 56.

2. Попов Ю. И. Нормализация основных структурных подрасслоений Ж-распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка / / Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 10. С. 53—59.

3. Mihailescu T. Geometric differential projective. Bucuresti Acad. RTR, 1958.

4. Алшибая Э. Д. Геометрия распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. Тбилиси, 1990.

5. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов гиперполосного распределения аффинного пространства / Калининградский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ, № 6807-В87Деп., 1986.

6. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

About the author

Dr Juriy Popov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru