Нормализации Фосса и Грина H (L) -распределения аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Ю. И. Попов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Нормализации Фосса и Грина Н(Х) -распределения аффинного пространства

Для основных структурных подрасслоений гиперполосного Н (X) -распределения аффинного пространства Ап построены внутренним инвариантным образом нормализации Форса и Грина. По всей статье используются обозначения из работ [1; 2].

Ключевые слова: распределение, подрасслоение, нормализация, фокальное многообразие, фокальный конус.

1. Пусть задано поле нормалей первого рода N = [ А,кп = у'пе + еп ] оснащенного Я-подрасслоения

Найдем фокальное многообразие Г(Nn_1; X) нормали 1-го рода Ып_1 (А) = [А, Кп, X] прямой Х(А) при смещении центра А распределения Н (X) вдоль кривых (2), принадлежащих Х-под-расслоению:

а}; а, (3, ~...2, п).

+К =у1пк® = !,п-1, КХ = 1,п). (1)

к

© Попов Ю. И., 2017 86

Из условия ее фокальности

= $аееа+$п °°пе1 + «Х + е„)

с учетом (1) находим

&п = ¿уп + упт1 + упу\а>",

Г = йуа + урс»;+ уп «1 +Ц»1, (2)

1 + уад1.1 + уп о« -Л»! + 0Л.)]®1 = о,

а ¿а ^п а ^ а п

где о11 = Л11 -Лпоn, ¥оп = 0

Так как уравнение (2) выполняется тождественно, то

Лауа+Упуп-1 = 0,

где

Ла = -Ла^ ¥Ла=ЛаК а /1 лп 1 1 , а Л1 ч г-, К

«п =-(о п1 - Л11« п« п + « п Ла1 X п =» пк а •

Итак, фокальное многообразие Р(^п-1; Ь) , которое в локальном репере Я1 задается уравнениями

лауа + «пУ*1 -1 = о, у1 = «у, (3)

есть плоскость Кп-2(А) с Кп-1(Л). Плоскость Кп-2(А)(3) является аналогом плоскости Кенигса [3; 4] нормали ^п-1(А) базисного Ь-подрасслоения. Точку пересечения нормали «п с плоскостью Кп-2 (А), то есть точку

Кп(«): уп у' = 1 '

Лоа + о Лоа + о п

а п п а п п

назовем точкой Кенигса нормали о п , ассоциированной с Ь-под-расслоением или кратко vL -виртуальной точкой Кенигса•

Определим в каждом центре А еще одну инвариантную плоскость Кп_3 (А) = X(А) п Кп_2 (A) :

.у1 = 0, / = 0, Лауа-1 = 0, (4)

которая является нормалью 2-го рода плоскости Х(А). Итак, структура плоскости Кенигса Кп-2 (у) такова, что

Кп-2^) = [Кп-з(А), Кп (у)].

^ *

Если задать другое поле инвариантных нормалей уп Н-под-расслоения, то в соответствующей точке А плоскость Кенигса имеет вид:

Кп-2(у*) = [Кп-з(А), Кп (у*)],

то есть плоскость Кп-3(А) есть ось оснащающих плоскостей Кенигса в нормалях 1-го рода Х-подрасслоения в данном центре А. Следовательно, имеет место

Теорема 1. Для пучка нормалей 1-го рода Nn-1(А) прямой

ЦА) в данном центре А все плоскости Кенигса этих нормалей проходят через неподвижную (инвариантную) плоскость Кп-3 (А) (4) — ось пучка плоскостей Кенигса.

2. Аналогично находим фокальное многообразие F(N2; X) нормали 1-го рода N2(A) плоскости Х(А) при смещениях центра А вдоль кривых

\ю"=^ав, =^вх, Вв = вЛв1,

: I®1 = 0, со" = 0,

принадлежащих Х-подрасслоению данного Н(V) -распределения.

у" = у"уп, лф;+уп (у:, + уу-хууя\ = 0, (5)

а : лп а \-7 а /л где У1, = Л1, - Л1,Уп , Vуl, = 0.

Линейная поляра центра А относительно фокального многообразия адХ) (5):

{уа = «Уп, Чу1 + ЧУ -1 = о, (6)

где

ч =л «а, V = ^к®к, (7)

п - 2

к= Л («а-лаогог+оа«:), v»n=чк, (8)

п-2

представляет собой прямую К1, которую назовем оХ -виртуальной прямой Кенигса [1] плоскости Ы2 (А) = [А, Ь,оп ] в центре А. Поле прямых (6) задается полем квазитензора {о^}:

* <+<=о:как

и полями (7, 8) тензоров {о } , {оп } .

Точку Сп пересечения нормали N1{v1n } с прямой к1(А) (6)

С(о): уп = —у' = —1 '

00 + оп оо + оп п

1 п п 1 п п

назовем оХ -виртуальной точкой Кенигса [1].

Точку пересечения прямой к1(А) с прямой Ь(А), то есть точку

Ох: уа= 0, уп = 0, оу1 = 0, (9)

назовем о -виртуальной точкой Грина [2] прямой Ь(А), так как она зависит от выбора нормали оп плоскости Н(А).

Рассмотрим (п-2)-плоскость дп-2(А) = [кп-3(А); С1], которая определяется системой уравнений

уп = о, дгу' -1 = 0, (10)

где 41 = °1 , 4а=Ла .

Следуя работам [2; 5; 6], плоскость qn-2(A) назовем уН -виртуальной плоскостью Грина Н-подрасслоения данного Н (V) -распределения.

В биекции Бомпьяни — Пантази [7] уН -виртуальной нормали 2-го рода Грина (10) соответствует уН -виртуальная нормаль 1-го рода д'п, где^ = + X .

В результате справедлива

Теорема 2. Н(Ь) -распределение внутренним инвариантным образом порождает уН -виртуальную нормализацию Грина (д'п, qi) в дифференциальной окрестности порядка I где t — порядок квазинормали у} (или нормали уп Н-подрасслоения).

3. Следуя работе [8], назовем фокальной гиперплоскостью базисного Ь-подрасслоения в центре А данного Н(V) -распределение всякую гиперплоскость £(А), которая содержит две бесконечно близкие прямые Ь-подрасслоения при смещении центра А вдоль некоторой интегральной кривой Ь-подрасслоения.

Так как Ь(А) с £(А), то уравнение гиперплоскости £(А) в локальном репере Я1 зададим в виде

£аХ" +&п = 0. (11)

Имеем

а А С=0 = с1^ С =0 = с +4>1?а + 4С . (12)

Учитывая (11, 12), для искомых интегральных кривых Ь-подрасслоения получим соотношения

®а=сп = 0, (£441 +£41>> = 0. (13)

Система (13) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда выполняется условие

£41+£п^1п1 = 0. (14)

Таким образом, уравнения (13) определяют геометрическое место фокальных гиперплоскостей — фокальный гиперконус класса 1 [8], вершина которого есть прямая Ь(А).

Линейной полярой гиперплоскости Н(А) [9] относительно фокального гиперконуса (14) является связка гиперплоскостей, которую с учетом (11) представим в виде

^-лал1^ )а=0. (15)

Все гиперплоскости связки (15) пересекаются по двумерной плоскости

Ф2(А) = [А, е1, еп + 0^ (16)

которая и является линейной полярой гиперплоскости Н(А) [9] относительно фокального гиперконуса (14).

В локальном репере Я1(А) плоскость Ф2 (16) задается уравнениями

ха-фо-хп = 0,

где

ФТ=ЛЛ1, ^фап+< = фаа®к. (17)

Поле квазитензора {Ф^} (17) 1-го порядка задает поле нормалей Ф2 1-го рода Х-подрасслоения,

4. Аналогичные построения (см. п. 3) проведем для Х-подрасслоения данного Н (Ь) -распределения. Уравнение искомой фокальной гиперплоскости Г](Л) Х-подрасслоения зададим следующим образом (в репере Я1):

^х1 +Г1пхп = 0. (18)

Геометрическое место фокальных гиперплоскостей Т)(А) (18) Х-подрасслоения — фокальный гиперконус класса (п-2), вершиной которого служит плоскость Х(А), представим в виде

Мкл:«+члаА=(19)

Линейной полярой гиперплоскости Н(А) относительного гиперконуса (19) является связка гиперплоскостей

Х1 - -Ц-4ар4*хп = 0,

п - 2

которая определяет (п - 1)-плоскость

Фп Х(Л) = [А, еа, еп + Ф\ех], (20)

где

Ф1 = 44, УФ! =ФС. (21)

п-2

Таким образом, поле квазитензора (Ф"} (21) 2-го порядка задает поле плоскостей Фп-1 (20) — поле нормалей 1-го рода Ь-под-расслоения.

Плоскости Ф2 (16) и Фп-1 (20) пересекаются в каждом центре А по прямой Ф1 = [А, Ф1 (А)]:

Ф(А) = Ф2(А) пФп-1(А), Ф1 = еп + Фпе1, (22)

где (Фп } = (Фап ;Фп}, У Ф'п +®п = Ф^С.

Следуя работам [6; 8], прямую Ф1(А) (22) назовем нормалью Фосса Н(Ь)-распределения в центре А. Соответственно плоскости Ф2(А) (16) и Фп-1(А) (20) назовем нормалями Фосса 1-го рода в смысле Нордена [5] X-, Ь-подрасслоений данного Н(Ь) -распределения.

В силу биекции Бомпьяни — Пантази [10] полям нормалей

Фосса (Фп}, (Фп}, Ф} 1-го рода поставим в соответствие поля нормалей 2-го рода X-, Ь-, Н-подрасслоений:

Фа=ЛпарФРп- Ап, УФп=Фпк®К, Ф =-4Фп - Д, УФХ =ФЖСК,

ф, = -лф - л,, уф, =ф,к®к ,

где А = л"шУЯа - лвффрп; Д = Л Х^А - ЛХ; А = <>

у А -Л®п;

Заметим, что если задано поле нормалей Фосса {ФП} Н-под-расслоения, то охват тензора у1 (7) имеет вид

1

Ч =--2 (Л-Л Ф:) = 0 (23)

п - 2

в дифференциальной окрестности 1-го порядка. В этом случае, согласно работам [2; 5; 6], плоскость

/ = 0, оу -1 = 0, (24)

где Р1 = 01, Оа = Ха, назовем ребром Грина 0п-2(А) Н-под-расслоения.

В биекции Бомпьяни — Пантази нормали 2-го рода Грина {О,} соответствует нормаль 1-го рода {Оп }, где

ОП =-40, + Лгп, (25)

которую назовем нормалью 1-го рода Грина {0гп} Н-подрас-слоения.

Таким образом, имеет место

Теорема 3. Нормаль Фосса Ф1(А) Н(Ь) -распределения в каждом центре А есть пересечение линейных поляр гиперплоскости Н(А) относительно фокальных гиперконусов (14) и (19) соответственно Ь-, Х-подрасслоений.

Н(Ь) -распределение внутренним инвариантным образом

порождает нормализацию Фосса — Грина (Фгп; О,) и нормализацию Фосса (Ф:, Ф:) Х-подрасслоения в дифференциальной

окрестности 1-го порядка и нормализации Фосса (Ф>1,Ф1), (Фгп, Ф.) соответственно Ь-, Н-подрасслоений в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

Список литературы

1. Попов Ю. И. Гиперполосное распределение Н(Ь) аффинного пространства // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XXIV междунар. науч.-практ. конф. Новосибирск, 2015. Вып. 9(33). С. 17—30.

2. Попов Ю. И. Нормализации Фосса и Грина гиперполосного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2016. № 4. С. 5—17.

3. Остиану Н. М. Распределение гиперполосных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 71—120.

4. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного распределения да-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.

5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

6. Благонравов В. В. Распределения на гиперповерхности аффинного пространства / ВИНИТИ. М., 1982.

7. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполосного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 49—56.

8. Акивис М. А. Фокальные образы поверхности ранга г // Изв. вузов. Математика. 1957. № 1. С. 9—19.

9. Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. О полярном соответствии относительно алгебраической поверхности и его приложениях // Геом. сб. Томск, 1968. Т. 7. С. 23—24.

10. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов Н -распределения аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 113—125.

Yu. Popov

Foss and Green normalization for H (L) -distribution of affine space

For the basic structure subbundles of the hyperstrip H(L)-distribution of affine space An we construct Foss and Green normalization in the inner invariant manner. Throughout the article we use designations of [1; 2].

Key words: distribution, subbundle, normalization, focal variety, focal cone.

УДК 514.76

Н. А. Рязанов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Дифференциальные сравнения компонент объекта кривизны аффинной связности 2-го порядка в несимметричном случае

Выведены дифференциальные сравнения на компоненты объекта кривизны аффинной связности 2-го порядка в случае несимметричного объекта связности. Эти сравнения показывают, что в общем случае объект кривизны 2-го порядка образует геометрический объект лишь в совокупности с объектом кривизны 1-го порядка и объектом связности 2-го порядка.

Ключевые слова: структурные уравнения Лаптева, аффинная связность, объект кривизны 2-го порядка, голономное, полуголономное и неголономное гладкие многообразия.

© Рязанов Н. А., 2017