CC BY
4
object defining Am) has the maximal rank m. We obtain structural equations of structural forms of reduction H2(MN) by using method of differential continuation. We
obtain a partial connection rv, defined by A^, by explaining a geometric meaning of
objects Aj Aaib (which are differential continuations of A?).
УДК 514.75
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА, АССОЦИИРОВАННЫЕ С РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСОЙ Hr (L)
С. Ю. В о л к о в а
(Калининградское ВВМУ)
Работа является продолжением исследований гиперполос Hr (L) [1]. Показано, что каждая характеристика Xn-r-i с Hr(L) несет однопараметрическое семейство F-плоскостей. Найдены поля оснащающих объектов, присоединяющих внутренним инвариантным образом оснащения в смысле Картана для F-распределения, ¿-распределения, ^-распределения, ассоциированных с гиперполосой Hr(L). Введен в рассмотрение пучок нормалей 2-го рода для оснащающей М-плоскости. Приведены примеры построения однопараметрических пучков п-структур (неголономных композиций Нордена) для х-распределения и Ъ -распределения данной гиперполосы Hr(L).
Во всей работе придерживаемся терминологии и обозначений статьи [1]. Схема использования индексов следующая:
I, J, K = 1, n; p, q, s, t = 1, r; i, j, k = r +1, m ; а, в, у = m +1, n -1; u, v, w = r +1, n -1; a, b, c = 1, m.
Символом "=" обозначаем сравнение по модулю базисных форм юр.
1. Однопараметрический пучок плоскостей Fn-m-i. Рассмотрим гиперполосу Hr(L) проективного пространства Pn, заданную в репере 1-го порядка {Aj} [1]. С гиперполосой Hr(L) ассоциируется поле F -плоскостей [1], т.е. в каждой точке Ао базисной поверхности Vr гиперполосы определяется F-плоскость Fn-m-1 (Ао) = Хп-г-1(Ао) n Nn-m (Ао) - пересечение характеристики Хп-м(Ао) гиперполосы и нормали 1-го рода Nn-m (Ао) оснащающей M-плоскости Мш(Ао) = [Тг(Ао), Lm-r^)]. Плоскость Fn-m-1 (Ао) = [Ао, Fa] = [Ао, Аа + v«1 А? ] в локальном репере {Aj} задается уравнениями:
xn = xp = о, х1 - v«1 xa = о, (1)
где величины {v«1} образуют квазитензор:
VVa1 + Юа1 = Va?pfflp. (2)
Используя объекты [1, § 3], получаем в общем случае два линейно независимых охвата квазитензора {va1} в дифференциальной окрестности 2-го порядка:
Ба1 = 1/г Бр^ В а4 , УБа1 + Юа1 = 0; Ьа1 = -1/г Брд Б£Ч ,УЬа' + Юа1 = 0, и, следовательно, однопараметрический пучок квазитензоров
Уа'(ц) = ЦВа1 - (ц - 1)Ьа' =Ьа'+Ц(Ба1 - Ьа'). (3)
Отсюда вытекает:
ТЕОРЕМА 1. К каждой характеристике Хп-г-1 (Ао) гиперполосы Нг(Ь) внутренним инвариантным образом присоединяется однопараметрическое семейство Б-плоскостей:
Хп = 0, Хр = 0, X1 - Уа1 (ц)ха = 0, (4)
определяемое пучком квазитензоров Уа1 (ц) (3) 2-го порядка.Осью пучка (4) является (п-т-2)-мерная плоскость Fn-m-2(Ао):
хп = 0, хр = 0, X1 -Ба1 ха = 0, Та0 ха = 0, (5)
где Та0 = Ь 10 Та1 = Ь 10 (Ба1 - Ьа1), УТа0 + Та1 Ю10 = 0.
2. Плоскость Кёнигса К п-г-1. При смещении вдоль кривых юп = 0, Ю00 = 0, юр = ^р0, (6) принадлежащих базисной поверхности Vг с Нг(Ь), фокальное многообразие Фгп-г-1(у)(А0) нормали 1-го рода Н>г(А0) гиперполосы Нг(Ь) имеет вид
[2, §3], [3, § 3]:
хр -Упр хп = 0, | 5црх0 + Ь1рчх1 + ^ ха + (Упря -ЪпцУп^Упр) хп | = 0. (7) Фокальное многообразие Фгп-г-1(у) (7) представляет собой алгебраическое многообразие размерности п-г-1 порядка г. Линейная поляра точки А0 относительно многообразия Фгп-м(у) (7) есть плоскость Кп-г-1(А0) с Йп-г(А0), которая в локальном репере задается уравнениями:
хр -Упр хп = 0, х0- Ь 10х1 - NN а0 ха - V п0 хп = 0, (8)
причем
ГУУпр + Юпр = УпрдЮц; Ь10 = - 1/г Ь1рр, У Ь 1°+Ю1° = Ь 10рЮр;
{ NN а0 = -1/г Йарр, У NN а0-ЬЬ 10Юа1+Юа0= NN а0рЮр; (9)
I V п0 = - 1/г(Упрр -Ър>прУпЧ), У V п0+УпрЮр0- NN а0Юпа- Ь 10Юп1+Юп0= V п0рЮр.
Поле плоскостей Кп-м(А0), определяемое уравнениями (8), есть поле оснащающих плоскостей в смысле Картана [2], [4] базисной поверхности Уг с Нг(Ь). По аналогии с [2], [3], [5] плоскость Кп-м(А0) (8) назовем плоскостью Кёнигса инвариантной нормали 1-го рода Н>г(у), заданной квазитензором {Упр}.
3. Плоскости Кёнигса, принадлежащие элементам Ь-распределения, %-распределения, F-распределения. Найдем уравнения плоскостей, полученных при пересечении плоскости Кёнигса Кп-м(А0) соответственно с плоскостями L(А°), х(А0), Бп-т-1(ст) (А0):
К1-1(А0) = L(Ао) п Кп-г-1(А0): хр = 0, ха = 0, хп = 0, х0- Ь 10х1 = 0; (10)
Кп-г-2(А0) = х(А0) п Кп-г-1(А0): хр = 0, хп = 0, х0-Ь 10х1 -Й а0ха = 0; (11)
Ьп-т-2(ст) =Бп-т-1(А0) П Кп-г-1(А0):
Хп = 0, Хр = 0, X1 - Уа'(ст)ха = 0, X0 - Уа°(ст)ха = 0, (12)
где Уа0(а) = Ь 10 Уа1(ст) + NN а0, УУа0(а)+ Уа1(а)Ю10+ Юа0 = 0.
Исследуя уравнения (10) — (12), приходим к выводу, что плоскости Кы(А0), Кп-г-2(А0), Бп-ш-2(А0) являются плоскостями Кёнигса, принадлежащими соответственно плоскостям L(Аo), х(А0), Бп-т-1(ст) (А0). Ось пучка плоскостей Fn-m-2(ст) (12) Кёнигса есть плоскость Fn-m-з(Аo) сБп-т-2(А0), которую зададим относительно локального репера уравнениями
Хп = ХР = 0, X1 - Ва1 Ха = 0, Та0 Ха = 0, (13)
где Ва0 = Ь 10 Ва1 + N а0, УВа0 + Ва1 Ю10+ Юа0 = 0.
Плоскости (10) и (13) в каждой точке А0 е Уг натягивают еще одну инвариантную плоскость Кп-г-3 = |Гп-т-з(А0), К1-1(А0)] С Кп-г-2(А0):
Хп = 0, ХР = 0, Та0 Ха = 0, Х0 -Ь 10 Х1 - N а0 Ха = 0. (14)
Следуя работам [2], [3], определим инвариантную точку Кёнигса
Кп(у) = Уп0 А0+ Вп1 А А0+ВпаАа+ УпР Ар, (15)
где Уп0 = V п0 + I] 10 Вп1+!Ч а0 Впа, лежащую на инвариантной прямой L(v) [2], [3].
Из уравнений (10) — (14) выясняется геометрический смысл ряда квазитензоров второго порядка.
ТЕОРЕМА 2. В каждой точке А0 базисной поверхности гиперполосы Нг(Ь) объекты 2-го порядка { Ь 10},{ Ь10, N а0}, ^¿(ст), Vа0(a)}, {Ва1,Ва0,Та0},
{Ва0, Ь10, NN а0}, задают соответственно плоскости Кёнигса Кы(А0), Кп-г-1(А0), Рп-т-2(ст) (А0), ось Fn-m-з(Аo) пучка(4) плоскостей Кёнигса и плоскость Кп-г-з(А0)сКп-г-2(А0) (11).
4. Пучок нормалей 2-го рода оснащающей М-плоскости. Нормаль 2-го рода М-плоскости зададим как плоскость, натянутую на плоскость Кёнигса К 1(А0) (10) и на некоторую нормаль 2-го рода ^р0} [2]-[4] в смысле Нордена базисной поверхности VrcHr(L). Отсюда следует, что пучок нормалей 2-го рода Кг-1(ц)(А0) [2]-[4]:
Vp0(ц) = ц Б р0 + (1-ц)Ш р0 гиперполосы Нг(Ь) порождает пучок нормалей 2-го рода оснащающей М-плоскости в каждой точке А0 е Уг:
Ха = 0, Хп = 0, Х0 - Ь 10 Х1 - Vp1(ц)xp = 0. (16)
Осью пучка (16) является плоскость Кёнигса Кп-1(А0) с Ь(А0).
5. п-структуры, ассоциированные с %-распределением и Ъ-распределением. Согласно [6] всякую п-структуру на х-распределении можно определить полем аффинора {А/} Ф {6иу}, удовлетворяющего соотношениям:
Ашу = 5иу. (17)
Рассмотрим характеристику Хп-т-1(А0) = [Ь(А0), Б(А0)] гиперполосы Нг(Ь) как плоскость, натянутую на Ь-плоскость и F-плоскость (1). Пусть Ь(А0) =[А0, Щ Б(А0)=[А0, Ба], где
= 81к Ак + 61е Ар, Ба = vаk Ак + 5аР Ар.
Так как точки {Б;, Ба }= {Бу} линейно независимы, то для матрицы
и
5 к 0
vа за
Существует обратная матрица II Б иу || такая, что
* *
Ту X
и 1 ш Ош , 1 и 1 у Ои .
Учитывая соотношения (18), (19), находим матрицу
* 5 к о
= 1
и к V О аа
Величины
*
АУ =5У - 2ТкиТук
(18)
(19)
(20)
(21)
образуют тензор и удовлетворяют условиям (17). Используя матрицы (18), (20), находим компоненты тензора (21):
А;к = -5,к, А;а = 0, Арк = 2урк, Ара = 5ра. (22)
Поле аффинора Ауи (21) задает в общем случае неголономную п-структуру F) на х-распределении, базовыми распределениями которой являются L-распределение и F-распределение. Следуя работе [7], будем говорить, что поле аффинора {Ауи} задает на х-распределении неголономную композицию Нордена F). Так как в дифференциальной окрестности 2-го порядка построен пучок квазитензоров Уа '(^)(3) (пучок F-плоскостей (4)), то в результате приходим к предложению.
ТЕОРЕМА 3. Х-распределение несет однопараметрическое семейство него-лономных композиций Нордена (Ь, F(|)), определенных внутренним инвариантным образом в дифференциальной окрестности 2-го порядка пучком аффиноров АиУ(|Д где
Аиу(|) 11 =
-5 к
)
0
5Р
Базовыми распределениями семейства (Ь, F(|)) неголономных композиций Нордена являются распределения плоскостей L и F(|), где F(|)-плоскости пучка (4), соответствующие пучку квазитензоров (3). с1е/
Рассмотрим плоскость Ъп-м(Ао) = Ъ, удовлетворяющую условиям:
[Л(Ао), F(Ао)] = Ъ(Ао); Л(Ао) п F(Ао) = Ао. Распределение плоскостей Ъп-1-1, ассоциированных с гиперполосой Иг(Ь), назовем Ъ-распределением. Для Ъ-распределения имеет место аналогичная.
ТЕОРЕМА 4.Ъ-распределение несет однопараметрическое семейство неголономных композиций Нордена (Л,Б(|)), определенных внутренним инвариант-
ным образом в дифференциальной окрестности 2-го порядка пучком аффиноров ВиЧ|Д где
Bu%) II =
-5 k
о
2vk(^) 5«
Базовыми распределениями семейства неголономных композиций Нордена являются распределения плоскостей Л и F(|), где F(|) — плоскости пучка (4), соответствующие пучку квазитензоров (3).
Библиографический список
1. Волкова С.Ю. Нормализации Нордена-Чакмазяна, ассоциированные с регулярной гиперполосой Нг(Ь) проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1996. Вып.27. С.24-33.
2. Попов Ю.И., Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос: Учеб. пособие / Калинингр. ун-т. Калининград, 1992 80 с.
3. Столяров А.В. Двойственная теория регулярных гиперполос и ее приложения: Учеб. пособие / Чувашский госпединститут им. И.Я.Яковлева. Чебоксары, 1994. 116 с.
4. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос: Учебное пособие / Калинингр. ун-т. Калининград, 1983. 82 с.
5. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С.71-120.
6. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ. М., 1974. Т.2. С.153-207.
7. Домбровский Р. Ф. О неголономных композициях на поверхностях Мт,г в Рп. Всесоюзная научная конференция по неевклидовой геометрии "150 лет геометрии Лобачевского". М., 1976. С.69.
S. Yu. V o l k o v a
INVARIANT SUBSPACES ASSOCIATED WITH A REGULAR HYPERSTRIP Hr(L)
The article is the continuation of investigations of a regular hyperstrip Hr(L). It is shown, that each characteristic X n-r-i^ Hr(L) imply an one-parameter family of F-planes. Fields of equipping objects are found, joining, by the interior way, equipments in the sence of Cartan for the F-, L-, X -distributions associated with the hyperstrip Hr(L). A bundle of normals of the second genus for an equipping M-plane is introduced. Examples are brought of a constructions of one-parameter bundles of 71-
structures (of nonholonomic compositions of Norden) for the X -distributions and for
the Ъ-distributions of the given hyperstrip Hr(L). УДК 514.76
О СИММЕТРИЯХ КВАЗИГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ
В.А.И г о ш и н
(Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского)
С помощью пульверизационного моделирования [1], [2] получен ряд теорем о размерностях максимальных алгебр Ли симметрий квазигеодезических потоков (КП) - обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка.
1. Произвольный КП f=(M,f) на многообразии M локально представляется дифференциальным уравнением
d2x7dt2=f (xj, t, dx J /dt) (1)
1<i, j<n-1 = dim M. Все объекты будут предполагаться дифференцируемыми достаточное число раз.
Если функции f являются полиномами относительно скоростей dx j /dt, то КП f называется полиномиальным [3].
_ Пусть f=(M,f) и h=(N,h) - два КП. Отображение Ф: M =MxR^ N=NxR, переводящие интегральные кривые КП f в интегральные кривые КП h называется [4] точечным отображением КП.
В работах [1] и [2] в пространстве событий M =MxR произвольного КП f построена (моделирующая КП f стандартная) обобщенная связность Г, геодезические линии которой совпадают с интегральными кривыми КП f. При этом точечное отображение КП отождествляется с проективным соответствием моделирующих эти КП обобщенных связностей; аффинное соответствие связностей определяет аффинное точечное отображение моделирующих КП. Надо заметить, что в рамках классической теории С.Ли класс аффинных точечных отображений КП не был обнаружен.
Векторное поле Х на M, порождающее однопараметрическую группу проективных (или аффинных) симметрий КП f, будем называть в пределах данной статьи инфинитезимальной проективной (или аффинной) симметрией. Известно, что инфинитезимальные проективные симметрии (ПС) и аффинные симметрии (АС) образуют апгебры Ли симметрий для ланного КП f.
2. С помощью пульверизационного моделирования и классических результатов (см., например, [5] - [7] ), относящихся к обобщенным пространствам, получены следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 1. Максимальная размерность алгебры Ли аффинных симметрий (АС) (п-1)-мерного КП (Mn-i, f) равна r=n2 + n.
ТЕОРЕМА 2. Для того, чтобы (п-1)-мерный КП (Mn-i, f) допускал полную алгебру Ли АС максимальной размерности r=n2 + n, необходимо и достаточно, чтобы КП f был аффинно изоморфен тривиальному КП. В частности, одномер-
