CC BY
4
Замечание. Изложенный прием задания однородной связности отличается от опубликованного в работе [5].
Список литературы
1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. Т.2.1953. С. 275 - 382.
2. Лумисте Ю.Г. Связности в однородных расслоениях // Мат. сб. 1966. Т. 69. С. 434 - 469.
3. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюз. мат. съезда. 1961.
4. Близникас В.И. Неголономное дифференцирование Ли и линейные связности в пространстве опорных элементов // Литовский мат. сб. 1966. №2. С.141 - 209.
5. Шевченко Ю.И. О фундаментально-групповой связности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1985. №16. С.104 - 109.
K. Polyakova
ON THE GIVING OF HOMOGENEOUS CONNECTION
Bliznikas' method for the giving of differential geometric connection in the homogeneous fiber bundle of Laptev's elements space is modernized.
УДК 514.75
Ю.И. Попов
(Калининградский государственный университет)
ИНВАРИАНТНЫЕ ОСНАЩЕНИЯ ГИПЕРПОЛОСЫ Hm(A)
Рассматривается специальный класс регулярных гиперполос Hm(A), оснащенных (г+1)-мерными плоскостями A. Дано задание гиперполосы Hm( A) и приведена теорема существования. Показано, что в дифференциальной окрестности порядка t, где t - порядок поля ТЛ-виртуальных нормалей 1 -го рода, к гиперполосе Hm(A) инвариантно присоединяются: пучки плоскостей Картана, пучки нормалей 2-го рода распределения характеристик, а в окрестности порядка t+1 - нормализация гиперполосы Hm(A) в смысле Нор-дена-Тимофеева.
В работе принята следующая схема индексов:
J, K, L = 1, n; i, j, k = 1, m; a, ( = m +1, n -1; v = r +1, n -1;
p, q, t = 1, r; a, b = r +1, n; a = m +1, n.
Знак « = » означает сравнение по модулю форм со .
§1. Задание гиперполосы Нт(Л)
Рассмотрим регулярные гиперполосы Нт с А, оснащенные (г+1)-мерными
скомпонованными плоскостями Л = [Л,к], где к(А) - прямая, л == ЛГ(А) - г-мерная плоскость, удовлетворяющие условиям:
А еЛг(А)с Тт (А), Л(А)п Еп_т_М) = А, А е к(А), к(А)<£т(А), А е¥т, г < т < п -1,
где Еп-т-1(А) - характеристика гиперполосы, Тт(А) - касательная плоскость базисной поверхности Ут гиперполосы Нт.
Отнесем пространство Ап к подвижному реперу ^Я = {м, ), дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид:
йМ = С eJ, deJ = юКеК. (1)
Т
Инвариантные дифференциальные формы с , о)к аффинной группы удовлетворяют структурным уравнениям Картана:
йюК =с а С, (2)
выражающим условия полной интегрируемости системы дифференциальных уравнений (1). Присоединим репер ^ к гиперполосе Нт следующим образом:
м=а, {еТт (а), [ер\^л(А), [ер, еа Тт (а),
Еп-т-Ъ len, ер }сЛ(А).
Выбранный таким образом репер ^ является репером 1-го порядка гиперполосы Нт (Л). Относительно репера гиперполоса Нт (Л) задается уравнениями:
йс = ск а с,
С = 0, сп = 0, С = 0,
п г,п I
сО„ = Ъп С
р р1
С = с
УЬп у
ъаС ,
п г,п г
С = ЪаС ,
а па I Са = ,
=%Ск,
а а I
сО„ = лпС
р р1
С
а
■ ЛрС ,
ЛодкС,
_ а I
О тО I
Сп = ;
(3)
а
'рч
а
ЩраС , ^^рЪ -ЩраСЪ =%рЪкС ,
(4)
\-7 та та п па а г\ та та п а а г\
Щ - Ц С - ЛаСА = 0, - Ц С - ЛаСп = 0 >
а п
а также соотношениями:
ЩЛ = 0, = 0 Яа[¡ЪА]к = 0, Ъ\]к] = 0, Щ\]к] = Ц)Ъ1}, Ла\]к] = 0. (5)
Геометрические объекты Г2 ^Щ^Хр»Ц} и Г3 = {г2,Ъ^Щк^ь^Ц0}
являются фундаментальными объектами соответственно 2-го и 3-го порядков гиперполосы Нт(Л).
Теорема 1. В п-мерном аффинном пространстве An т-мерная гиперполоса
Ит(Л), оснащенная Л-плоскостями, существует и определяется с произволом (m+1)(n-m)+m(n-r-2)+r(m-r) функций m аргументов.
§2. Инвариантные оснащения гиперполосы Нт(Л)
1. Определение [1; 2]. Любую инвариантную (т-г)-мерную плоскость Ут_г {Л) с Тт{Л), удовлетворяющую условиям:
у1П-Г ^л = а [ут_г, Л] = Тт, Л еут_г{Л)
назовем ТЛ-виртуальной нормалью 1-го рода ([-плоскостью). Произвольную инвариантную (г-1)-плоскость уг_1{Л)с Л{Л), не проходящую через точку А,
назовем ТЛ-виртуальной нормалью 2-го рода.
Нами показано [2; 3], что дифференциальные уравнения
Уур +Ор =урО (а) Ууа =Уар (Ь) (6)
задают соответственно поля ТЛ-виртуальных нормалей 1-го рода ут_г ([-распределение) и 2-го рода уг_1.
Прежде всего для простоты изложения адаптируем репер полю нормалей 1-го рода, т.е. положим, что е^Ып_т(Л). В этом случае формы ор становятся главными:
оПР = цо, УЬр + ьо _ Црп - 0, {а) уьр _ ьрОа + ьъао1 - 0. {ь)
(7)
Пусть задано инвариантное поле ТЛ-виртуальных нормалей 1-го рода ут_г полем квазитензора ур (6а). Рассмотрим на базисной поверхности Ут с Нт{Л)
поля нормалей 1-го рода Л-распределения и [-распределения, т.е. в каждой точке Л еУт пусть заданы плоскости 0.п_г{Л)=\Ып_т{Л),ут_г{Л)] и
{Л)=[Мп_т {Л), Л{Л)]. Следуя работе [4], с учетом формул (1 - 7) найдем фокальное многообразие
ФП _,_1{^п_, ,у) :
ха = о, \заа + {ларъ + лру У + Л + У + Ь + ьу )хп|| = о, (8)
полученное при смещении точки А вдоль кривых, принадлежащих полю у-плоскостей. Линейная поляра точки А относительно многообразия ФП_,_1 с (8) есть плоскость Пп_,_1{Л):
а г\ 1 р а п
X = 0, 1 _БрХР _БаХ _8пХ
где
1 ' [) Уе = еО; е = _1 л + Л1 [
ер = _ - {лара + Лар[ ) У ер = ерО; еа = _1 Л + Ла[) Уеа = е&О, (9) которая пересекает
а) оснащенную плоскость Л по ТЛ-виртуальной нормали 2-го рода уг_1{л):
1 _ерхр = 0, хи = 0, хп = 0; (10)
б) нормаль 1-го рода ЫП-П1(А) гиперполосы И^Л) по плоскости Картана ^^(у):
1 _еаха_епхп = 0, хр = 0, хп = 0; (11)
в) характеристику ЕП-П1-\(А) по ее нормали 2-го рода Е^^А):
1 _ еаха = 0, хр = 0, хп = 0, ха = 0. 2. Аналогично работе [4] с учетом формул (1 - 7) находим фокальное многообразие х¥гп_г _1 {0.п_г, л) :
хр _Ураха
(1
+[а?дл%У+Л уУ+к_урььъчУ ~ ( )
= 0,
полученное при смещении точки А вдоль кривых, принадлежащих Л-рас-пределению. Линейная поляра точки А относительно многообразия _1 (12) есть плоскость Пп_г_1 {Л):
хр _Ураха = 0, 1 _раха -Paxа-Pnxn = 0, (13)
где
Ра = _1 {уОрр _ УЬУа Лр ) УРа = Ра° ;
Ра =_1 {лар _уРЛар ) УРа = Ра° . (14)
Плоскость Пп_г_1{Л) (13) пересекает:
а) ТЛ-виртуальную нормаль 1-го рода по инвариантной Ту-виртуальной нормали 2-го рода уг _1:
1 _раха = 0, хр _урха = 0, ха= 0, хп = 0; (15)
б) нормаль 1-го рода ЫП-П1(А) гиперполосы И^Л) по плоскости Картана
Сп_т_1 {л) :
1 _раха_рпхп = 0, ха = 0, хр = 0; (16)
в) характеристику Еп_т_1{Л) по ее нормали 2-го рода Еп_т_2{Л):
1 _раха= 0, ха = 0, хр = 0, хп = 0. 3. Плоскость Рт_1
{Л)=[Уr-1{Л), уs_\{A)], натянутая на ТЛ-,ТЬ-виртуальные нормали 2-го рода (10; 15), является плоскостью Нордена-Тимофеева неголо-номной композиции (Л,у) [1; 2]:
0
<
1 - pX = 0, x = 0,
' p / Pa = Pa -£pVp, Pq = £q, VPi = Pij
Согласно работе [5] поле нормалей 1-го рода Нордена-Тимофеева можно определить полем квазитензора
pJ = -p.bij + tj, VPi - Plann + а>П = 0, (18)
где ^ = j, tj = -L bpjbPq.
Теорема 2. В дифференциальной окрестности порядка t+1 поля геометрических объектов pt (17) и P (18) инвариантно присоединяют к регулярной гиперполосе Hm(A) ее двойственную нормализацию в смысле Нордена-Тимофеева, ассоциированную с полем ТЛ-виртуальных нормалей 1-го рода vp порядка t (6а).
4. Тензоры sä (9) и pä (14) задают, вообще говоря, различные плоскости K„-m-i(v) (11) и Cn-m-1(Л) (16) в нормали 1-го рода Nn-m(A)^ Hm()). Таким образом, пучок плоскостей Картана, определяемый плоскостями (11; 16), осью которого является плоскость Cn-m-2(A):
1 -e&xä = 0, 1 -pX = 0, xa = xp = 0, (19)
можно задать пучком тензоров
Л а m = % + (1 - °Xpä - % ) (20)
Отсюда следует
Теорема 3. В дифференциальной окрестности порядка t пучок тензоров Ла (&) (20) задает в каждой нормали 1-го рода Nn-m (AHm ()) пучок оснащающих плоскостей Картана с осью Cn-m-2(A) (19), ассоциированный с полем ТЛ-виртуальных нормалей 1-го рода vp порядка t.
Пучок плоскостей Картана (20) высекает в соответствующей характеристике En_m-1(A)(^ Hm ()) пучок ее нормалей 2-го рода, осью которого является плоскость En-m-3(A):
1 -eaxä = 0, 1 -Päxä= 0, xa = 0, xp = 0. (21)
Указанный пучок нормалей 2-го рода задается пучком тензоров
Л а М =£ä+(1 - °~Xpä - Sä ). (22)
Теорема 4. Пучок тензоров (22) в каждой характеристике En-m-1(A)^ Hm ()) задает пучок нормалей 2-го рода этой характеристики, осью которого является плоскость En-m-3(A) (21).
Список литературы
1. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. Монография. СПб., 1992.
2. Попов Ю.И., Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос. Калининград, 1992.
3. Попов Ю.И. Регулярные гиперполосы Hm(Л) аффинного пространства / Кали-нингр. ун-т. Калининград, 1998. Деп. в ВИНИТИ 16.11.98, №3341-В98.
4. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. С. 49 - 94.
5. Попов Ю.И. Общая теория гиперполос аффинного пространства / Калинингр. унт. Калининград, 1998. Деп. в ВИНИТИ 16.11.98, №3342-В98.
Yu. Popov
INVARIANT EQUIPMENTS OF HYPERSTRIP Нт(Л)
Special class of regular hyperstrip Нт(Л), equipped by (r+1)-dimensional planes Л, is considered. The giving for the hyperstrip is produced and existence theorem is adduced. It is shown, in differential neighbourhood of order t, where t - order for field of TA-virtual normals of the 1-st kind , to the hyperstrip Нт(Л) one can join: bunch of Cartan's planes, bunch of normals of the 2-nd kind for characteristics distribution, and in neighbourhood of order t+1 - normalisation for hyperstrip in the Norden-Timofeev's sence.
УДК 514.75
А.В. Скрягина
(Калининградский государственный университет)
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ОСНАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В проективном пространстве Pn плоскостная m-поверхность рассмотрена как семейство Mr пар образующей Lh и ее 1-й дифференциальной окрестности Tm+hr. Произведено композиционное оснащение плоскостной поверхности, состоящее в задании полей обобщенной нормали 2-го рода Pr(h+1)-1, дополняющей образующую Lh до касательного пространства Tm+hr, и обобщенной плоскости Картана Pn-m-hr-1, дополняющей касательное пространство Tm+hr до объемлющего Pn. Это оснащение индуцирует в ассоциированном расслоении пучки связно-стей 1-го и 2-го типов. Найдены и геометрически охарактеризованы условия их совпадения. Введены и использованы специальные случаи обобщенных нормализации 2-го рода и оснащения Картана.
Продолжим изучение плоскостной поверхности Sm, представленной как r-мерное многообразие Mr пар плоскостей (Lh, Tm+hr). Оснащающие плоскости Pr(h+1)-1, Pn-m-hr-1 задаются совокупностями точек:
Bp = Ap +AapAa +ApA, Ba = Aa +AaaAa +ApaAp + AaA; (a,... = 1,h; p,... = h +1,m + hr; a,... = m + hr +1,n; i = h +1,h + r).
