ЦЕНТРИРОВАННЫЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНО ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРПОЛОСЫ CHMR РАНГА R ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА PN Текст научной статьи по специальности «Математика»

It is proved that in the differential neighbourhood of the first order a field of one-parameter bundle (x , ) of interior HM-virtual normals is joined to the base M-distribution and in the differential neighbourhood of the order t > 2 five fields of one-parameter bundles ( , x ), ( , ), ( , ), ( , X ), ( , ) of the interior HM-virtual normals of the first kind are joined to the same base M-distribution.

Constructed fields of the interior HM-virtual normals of the first kind generate respectively in the differential neighbourhood of the first order a bundle of interior non-holonomic compositions of Norden (x^), M ) of H-distribution, and in the differential

neighbourhood of the order t > 2 five one-parameter families of nonholonomic compositions of Norden.

It becomes clear, that if regular H-distribution is mutual ( Aia = 0 ) then in the

neighbourhood of the first order bundle (x ; M) degenerates in the nonholonomic

composition of Norden (x, M), and in the neighbourhood of the order t> 2 from five one-parameter families of nonholonomic compositions remain only three families corresponding to the fields of one-parameter bundles ( , x ), ( , x ), ( , ) of HM-virtual normals of the first order.

УДК 514.75

ЦЕНТРИРОВАННЫЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНО ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРПОЛОСЫ CH" РАНГА Г ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА P

Ю. И . П о п о в , Т. Ю. П о п о в а

(Калининградский государственный университет)

Рассматриваются центрированные тангенциально вырожденные гиперполосы СНт с Рп. Дано задание и приведена теорема существования гиперполосы СН^ (§1). Построены однопараметрические пучки обобщенных нормалей 1-го и 2-го рода в окрестности 3-го порядка. Показано, что двойственные друг другу однопараметрические пучки нормалей 1-го и 2-го рода обобщенной нормализации гиперполосы СН^ взаимны относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (§2). В дифференциальной окрестности 3-го порядка внутренним инвариантным образом присоединяется к поверхности центров V с СН^ однопа-раметрическое семейство ее оснащающих плоскостей в смысле Э.Картана (§2). С помощью фокальных многообразий, ассоциированных с гиперполосой СН^, выясняется геометрический смысл некоторых основных квазитензоров гиперпо-

лосы СН^ . Показано, что в каждом центре А0 в дифференциальной окрестности 3-го порядка к гиперполосе СН^ присоединяется внутренний однопарамет-рический пучок ее нормалей второго рода А0), осью которого является

B -плоскость (§3).

Используется следующая схема индексов:

1Д,К^ = 0,п ; p,q,r,s,t,f = 1,г ; У,к = г + 1,ш ; а, у = m + 1,п -1 ;

(,$ = m + 1,П ; б = ш- Г . Символ 8 обозначает дифференцирование по вторичным параметрам, а п ^ - значения форм Ю ^ при фиксированных главных параметрах. В этом случае оператор V обозначается символом У8 .

§1. Задание центрированной тангенциально-вырожденной гиперполосы СН^ ранга Г в проективном пространстве,Рп

В проективном пространстве Рп наряду с точечным подвижным репером |А: | рассмотрим двойственный ему репер |тК |, элементы которого являются гранями репера |А: }:

(А„тк) = 8К. (1.1)

Уравнения инфинитезимальных перемещений данных реперов принимают следующий вид:

ёА1 = ю К Ак , ёт1 = —ю К т к, (1.2)

К

где формы Ю к имеют проективную структуру:

ёюК =юL люК, ЕюI = 0. (1.3)

I

Присоединим к изучаемому образу СНШ подвижной репер нулевого порядка, полагая А = А, тп =т, где А - центр плоской образующей Е8(Ао) (Б = ш — г), а т( А0 ) - главная касательная гиперплоскость гиперполосы СН^.

Для гиперполосы СН^ имеем: (ёА0, т п ) = (А0,ёт п) = 0. Откуда в силу (1.1), (1.2) получим Ю п = 0.

Элемент (А0, тп) гиперполосы СН^ зависит от г существенных параметров |ир |, которые назовем главными. При изменении главных параметров |ир | точка А0 описывает г -мерную поверхность V - поверхность центров

плоских образующих Е8 базисной поверхности У^ гиперполосы СИ^, а семейство главных касательных гиперплоскостей т п огибает некоторую тангенциально-вырожденную гиперповерхность У^. Плоские (п — Г — 1) -мерные образующие Еп_г_1 гиперповерхности У^ являются характеристиками вырожденной гиперполосы СИ^, причем Е8(А)^ Еп_г-1( А) [1].

Специализируем репер, поместив точки Ар в касательную плоскость Тг поверхности Ут, точки А - в плоскость Е8 (А0), точки Аа - в характеристическую плоскость Еп_гЧ(А) гиперполосы СИ^, а точка Ап пусть занимает произвольное положение, образуя с точками Л0, Ap, Ai, Aa проективный репер пространства Рп. Этот репер назовем репером первого порядка гиперполосы

СИГ

т '

о

Так как ёА0 = © ОА + ©РА, то

© о =© а=© оп=о. (1.4)

Таким образом, уравнения (1.4) задают направляющую поверхность Уг базисной поверхности УГ гиперполосы СИГ . Точки А, А лежат в характеристике Еп_гЧ( А) гиперполосы СИ^, поэтому

(т п,А> ) = о, (ёт п,А а) = 0. (1.5)

Учитывая формулы (1.1), (1.2) в соотношениях (1.5), находим

© п=о, ©а=о. (1.6)

Уравнения инфинитезимальных перемещений плоского элемента (А0, тп) гиперполосы СИ^ с учетом (1.4), (1.6) представим в виде

ёАо =©ОАо + © РАр , ётп = —© Р тр —© П тп. (1.7) Следовательно, формы ©р = ©р определяют перемещение точки А по поверхности У и поэтому являются независимыми линейными комбинациями дифференциалов ёир главных параметров - базисными формами гиперполосы СИ^ [2], отнесенной к подвижному точечному реперу |А }.

Аналогично, формы © П определяют перемещение гиперплоскости тп и, следовательно, являются базисными формами гиперполосы СИ^, отнесенной к подвижному тангенциальному реперу |т1}. При фиксации точки А0 плоскости

Тг ( Ао ), Е8 ( Ао ), Тш ( Ао ), Еп—г—1( Ао ), тп ( Ао ) неподвижны. В силу этого формы Ю п, Ю р, Ю(, Ю Р, Ю Р будут главными, т.е.

Ю Р = ар,Ю ' , Ю Р

а

ьр, Ю'.

Ю( = ь а, ю ', ю р = ьр, ю ', ю( = ь а, ю '. (1.8)

ьр, Ю4,

р

Уравнения

Юп = 0, юа = 0 (1.9)

с Т* о

характеризуют условие постоянства касательной плоскости Т вдоль плоской образующей Е 8.

Замыкая уравнения (1.4), в силу (1.3), имеем

а [ р, ]= 0 ь[р,]= 0 • ь (р,] = 0. <и0>

При замыкании уравнений (1.6), (1.9) получим

ьр[ча,]р = 0. ьа[ча,]р = 0, ьр(,ь(]р = 0. (1.11)

В силу того, что формы Ю п и Ю 4 линейно независимы, для матрицы

а

р,

но найти обратную

а

р,

, элементы которых связаны соотношениями - я1

ар, •а4 =8 р

мож-

(1.12)

Разложим главные формы Ю , Ю^, ю( , Юр, Юр по базисным формам Ю£ тангенциального репера |т1|:

ю р = ар1ю п, ю р = Ь> п, ю( ^ Ю п, Ю р =А> ,п, ю( =Х> п, (1.13)

где

^ = ьр^, г; = ь ^, ^ = ь , ^ = ь'а*. (1.14)

Замыкая уравнения (1.4), (1.6), (1.9), соответственно получим

N4 = 0, ар[ч 1] = 0, ^ 1]

Из (1.14), учитывая соотношения (1.12), находим

ар[ч ^ Ц!] = 0, ар[ч ^1] = 0, ^ ^1] = 0; а[р,] = 0, ^[р,] = 0; ^[р,] = 0. (1.15)

ьр = , ьа, = ^аа1д .

(1.16)

В силу симметричности матриц

^р1 , яр

а

из (1.16) следует, что величи-

ны ьр и ьр также симметричны относительно индексов р, q.

Замыкание уравнений (1.8) приводит к следующей системе уравнений:

Уар* + арЧ (© 0 + © "

((© 0 +© п ) =

ард1 ©

УЬР* + ьрч © 0 + арЧ © п + Ь «* ©« = ьрч1 © \

хтиа и« „ о , „ „ а ва ,

УЬ« + Ь ©о + а„„©« = Ь„„»© ,

pq

рд п

УЬр, + ьрд © о-8 р © 0 =

р*1

В; ©

р

(1.17)

уь «*+ь «* © 0-8 р © а- ьр* ©а=ь а* ©1

где величины а г, , Ьра1. симметричны по индексам p, q, ^ а величины

р*1:

а*1

симметричны по индексам p, q. Система величин |ар* |, соотношениями (1.12), образует тензор:

Ьа Ьр

введенных

Уар* -ам(©0 +©п) = ар*©п,

(1.18)

где ар* =-^£арга*8а1£.

Итак, система уравнений (1.4), (1.6), (1.8), (1.17), коэффициенты которых связаны соотношениями (1.11), задает центрированную тангенциально вырожденную гиперполосу СИ^ проективного пространства Рп относительно точечного репера |Л: | первого порядка ^.

Продолжая уравнения (1.13), с учетом (1.18), (1.13), получим

ух1* -х> п +х«; ©а +8 р © п = Хр © п,

УХ«* -х«* ©п +8 р ©а = Х«;1 ©п,

УХР* -ХР* © п - ар * © 0 = ХР*1 ©

(1.19)

УХР* -Хр* © п -ХР* © 1 - ар * © 0 = Хр* ©

Таким образом, система уравнений (1.4), (1.6), (1.13), (1.18), (1.19), коэффициенты которых удовлетворяют соотношениям (1.15), задает центрированную

тангенциально вырожденную гиперполосу СИ^ проективного пространства Рп относительно тангенциального репера |тК | первого порядка ^. Имеет место

Теорема 1. В п-мерном проективном пространстве Рп центрированная тангенциально вырожденная гиперполоса СИ^ существует с произволом 2п-2г-1 функций Г аргументов.

п

1

§2. Геометрические образы, ассоциированные с гиперполосой_ СИ^ с Рп

1. Если в каждом центре А е V задана (п-г)-мерная плоскость (А), проходящая через нормаль 1-го рода (А0) гиперполосы СН^ и через соответствующую плоскую образующую Е8 (А), то будем говорить, что задано на поверхности V нормальное поле (п-г)-мерных направлений (плоскостей (А)) [3].

Определение [3]. Нормализацию гиперполосы СНШ, в каждой точке А е V которой заданы нормаль 2-го рода (А) поверхности Уг и

(п-г)-мерная плоскость (А0) нормального поля , назовем обобщенной

нормализацией данной гиперполосы СН^. Плоскости (А0) и (А0) соответственно назовем обобщенными нормалями 1-го и 2-го рода гиперполосы

снш .

Рассмотрим присоединенное к гиперполосе СНг поле прямых 1( Ао) = [ Ао,Р], где Р = Ап + хрАр + х1А1 + ха А а, каждая из которых проходит через точку А0 направляющей поверхности V (поверхности центров плоских образующих гиперполосы СН^) и не лежит в касательной гиперплоскости т п (А0).

Из условия инвариантности прямой 1, т.е. 8 1 = 01, находим

V8 х1 = х1 п п — хап а—п п, (2.1)

V8 ха= хап п —па, (2.2)

V8 хр = хр п п — п п. (2.3)

Следуя работам [1]-[4], находим охваты величин |х11, {ха}, |хр |, удовлетворяющие соответственно (2.1)-(2.3):

х1 = Л == -ар,ь^, ха =Ла == -ар,ь ^, хр = — Тр + ц(Лр + Тр ) = (ц — 1)Тр + цЛр.

В результате получаем пучок прямых

1(ц) = [ Ао, Р(ц)] = [ Ао,Ап + {(ц — 1)Тр + цЛр } Ар + Л1А1 + Ла А а ], (2.4) внутренним инвариантным образом присоединенный к гиперполосе СНг в дифференциальной окрестности 3-го порядка гиперполосы СНШ.

Замечание. Для регулярных т-мерных гиперполос Я Нт с Рп аналогичный пучок прямых (2.4) впервые был рассмотрен А.В.Столяровым [4].

Пучок проективных прямых (2.4) дает возможность построить пучок нормалей 1-го рода (А) обобщенной нормализации гиперполосы СН^ в дифференциальной окрестности 3-го порядка. Действительно, каждую инвариантную нормаль 1-го рода (А0) можно рассматривать как (П-Г)-плоскость, натянутую на инвариантную прямую 1( А0) и характеристику Еп_г_!(Л0) гиперполосы СН^ [2], [4]:

п—г (ц)==[ Еп—гч(Ао );1(ц)]. (2.5)

Пучок (2.5) внутренних инвариантных нормалей 1-го рода (А0) обобщенной нормализации гиперполосы СНг можно представить и в таком виде:

п—г (ц) = [ Лр (ц)] = [т р — (цЛр + (ц — 1)Тр )т п ]. (2.6)

Отметим, что задание поля квазитензора {ур }, определяемого уравнениями

Vyp = ур Ю п + Ю п + ур Ю1, (2.7)

порождает поле инвариантных обобщенных нормалей 1-го рода (А0) гиперполосы СН^:

п—г (Ао ) = [ Еп—г—,(Ао ),лп + УрАр +Л'А, +Ла А а] = [тр + ур т п ]. (2.8)

Подразумевая это, в дальнейшем под полем инвариантных обобщенных нормалей 1-го рода (2.8) будем понимать поле соответствующего квазитензора {ур }.

2. Установим некоторое соответствие между нормалями 1-го и 2-го рода обобщенной нормализации гиперполосы СН^. Введем в рассмотрение квазитензор

р =—ар, V4 + ёр, V8 =— р п о —п р, (2.9)

где {V4 } - квазитензор, удовлетворяющий условиям (2.7). Квазитензор { } задает нормаль 2-го рода поверхности Уг, т.е. обобщенную нормаль 2-го рода гиперполосы СНг :

рхр — хо = 0, ха = 0, х1 = 0, хп = 0. (2.10)

Замечание. Из уравнений (1.4), (1.6), (1.8), (1.17) вытекает, что с вырожденной гиперполосой СН^ ассоциируется регулярная гиперполоса ЯНГ, базисной поверхностью которой является V (поверхность центров плоских образующих). Характеристика Xп_г—1(Ао) этой гиперполосы ЯНг есть характеристика Еп_г_ А) вырожденной гиперполосы СН^ и, следовательно, проходит через плоскую образующую ЕБ (Ао ) в соответствующем центре А :

Е8 (Л0 )сХ п _г Л0 ) = Еп _ г (Л0 ).

Плоскость (2.10) можно трактовать как нормаль 2-го рода в смысле Нордена гиперполосы ЯН, а нормаль (Л ) - как нормаль 1-го рода Нордена гиперпо-

лосы ЯН •

Таким образом, обобщенную нормализацию гиперполосы СН^ можно интерпретировать как нормализацию в смысле Нордена регулярной гиперполосы ЯН > ассоциированной с данной вырожденной гиперполосой СН^.

Уравнения (2.9) можно разрешить относительно Vр :

Vр = чам + ёр. (2.11)

Итак, с помощью формул (2.9), (2.11) устанавливается биекция между нормалями обобщенной нормализации гиперполосы СН^ .

В биекции (2.9) пучку р (ц) =—цЛр + (1 —ц)Тр нормалей 1-го рода (Л0) соответствует однопараметрический пучок инвариантных нормалей 2-го р°да (Ло):

р (ц) = —цЛ р +(1 —ц)Тр, (2.12)

где Л р = —арЧ Л4 + ёр, Тр = — ар^ + ёр.

Аналогично, как это сделано в работах [2], [4], можно показать, что пучки нормалей 1-го и 2-го рода обобщенной нормализации гиперполосы СН^ будут

взаимны относительно поля соприкасающихся гиперквадрик:

21 „ ха хп + ,2 (2.13)

аихрх" + Ь^х'х' + ^ ар ха х^ + 2Ь1а х'х" + 21,х-хп + 21 „ ха хп +

+ 2ёрхрхп +(То + и,ко + и21о )(хп) = 2хохп.

Теорема 2. Двойственные друг другу однопараметрические пучки нормалей 1-го и 2-го рода обобщенной нормализации гиперполосы СН^ взаимны относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (2.13) и внутренним инвариантным образом присоединяются к гиперполосе СН^ в дифференциальной окрестности 3-го порядка.

3. Рассмотрим инвариантную плоскость

Кп—г—1(Ло) = [Кп,Ка ,Кр ], (2.14)

где

Кп = Лп +vnЛo +VnPЛp +Л1Л1 +Ла Л а,

. р (2.15)

К а = Л а + V" Ло + 1" Л1, К1 = Л1 + ^Ло,

не проходящую через точку Л0 и не лежащую в касательной гиперплоскости

т п (Л0). Из условия инвариантности плоскости (2.14) следует, что коэффициенты в разложениях (2.15) подчинены дифференциальным уравнениям:

^п +v п (ю о —ю п ^ п ю р + л1 ю о +лаю а +ю п = v прюр,

vvp =юпvp —юр +vp ю4

п п п п п,

Vvа+vаю о +! а ю о +ю а=vаp ю р,

(2.16)

vv0 + v о ю о + ю о =v ор ю р.

Уравнения (2.16) выполняются, если рассмотреть следующие охваты функций [1], [2]:

V;; = 2 (Т — Л1 Л1 — ЛаЛа + ар, v п V;;) + V пёр,

v п (ц) = цЛр + (ц — 1)Тр, va =— |ар, ==—Ла, (2.17) v0 =— 1а ==—Л.

1 г ря 1 1

где ц - инвариантный параметр. Непосредственной проверкой убеждаемся, что прямая 11 =[ А0Кп ] инвариантна относительно преобразований стационарной группы С0 образующего элемента гиперполосы СН^. Плоскость

п-г (Ао ) = [ 11(Ао ),Еп—гч(Ао )] , натянутую на прямую 11(Ао ) и характеристику Еп—г—1(А0) гиперполосы СН^, можно рассматривать как плоскость некоторого нормального поля , внутренним образом присоединенного к гиперполосе СН^ в дифференциальной окрестности 3-го порядка. Тогда плоскость Кп—г — (Ло ) (2.14) интерпретируем как нормаль 2-го рода в смысле Нордена плоскости пг(А) = [^(А),Еп_г-1(А0)] нормального поля гиперпо-

лосы СН^. С другой стороны, плоскость КП_Г_1(А0 ) можно рассматривать как

оснащающую плоскость в смысле Э.Картана поверхности центров Уг с СНШ в данной точке А0. Резюмируя, приходим к выводам.

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 3-го порядка с каждой плоскостью (А0) нормального поля гиперполосы СН^ внутренним

инвариантным образом ассоциируется однопараметрическое семейство ее нормалей 2-го рода К п_г_ 1 в смысле Нордена.

Теорема 3*. В дифференциальной окрестности 3-го порядка внутренним инвариантным образом присоединяется к поверхности центров Уг с СНг

ш

<

однопараметрическое семейство ее оснащающих плоскостей Кп_г_! (2.14) в смысле Э.Картана.

§3. Фокальные многообразия, ассоциированные с гиперполосой_ СН^

1. Выясним геометрический смысл некоторых основных квазитензоров гиперполосы СН^. Пусть гиперполоса СН^ оснащена полем нормалей 1-го рода в смысле Нордена - Чакмазяна [6]. Точку Лп репера Я поместим в нормаль 1-го рода (Л) гиперполосы СН^, а точки |Ла| в плоскость

Еп—т—1 (Ло )= N—т (Ло ) ^ Еп—г—1 ( Ло ). ^а

1 а=о, ©а = Nа*© *, ©а=Nа*© *, © р=^© *. ад

Такой репер Я1 1-го порядка назовем репером Я1 (Ы), адаптированным полю нормалей 1-го рода Е ( Л ) гиперполосы СНг .

Рассмотрим нормальное поле плоскостей ( Л ) гиперполосы

СН^. Относительно репера Я (Ы) конечные уравнения плоскости (Л0) имеют вид

хр = 0. (3.2)

Определение [6], [7]. Точку Б, принадлежащую некоторому (исходному) элементу поля плоскостей, заданного на поверхности V ^ СН^, будем называть фокальной точкой этого элемента, соответствующей данному на поверхности V направлению, если точка Б принадлежит и соседнему элементу этого поля, полученному при смещении точки Л0 по поверхности V в этом направлении.

Точка Б е (Л0) определяется координатами х1, удовлетворяющими уравнению (3.2). При смещении плоскости (Л0) вдоль кривой

©а = о, ©п = о, © 1 = о, © * = р*е, ае = еле1 (з.з)

поверхности V точка Б( х1) перейдет в новую точку Б (х1), где

х1 = х1 — ©КхК . (3.4)

Потребуем, чтобы точка Б е (Л0). Тогда из (3.4) следует

© охо +© рх1 +©аха+© рхп = 0, хр = 0. (3.5)

Найдем фокальное многообразие, принадлежащее плоскости ( Л ) при смещении точки Л вдоль кривых (3.3), принадлежащих полю касательных плоско-

стей Тг поверхности Уг. Учитывая (3.1), (1.8), (3.3), уравнения (3.5) приведем к виду

(5 ¡¡х° + + К£,хп + Ьрх' )р' = 0, хр = 0. (3.6)

Нетривиальные решения уравнений (3.6) относительно р4 получаем при условиях

xp = 0, det

S Pxo + N pqx«+ Njqxn + bPqX1

0. (3.7)

Уравнения (3.7) определяют фокальное многообразие в плоскости

(А0), соответствующее смещению точки А0 по кривым (3.3), принадлежащих полю касательных плоскостей Тг поверхности V. В общем случае мы получаем алгебраическое многообразие размерности п-г-1 порядка г, которое обозначим Фп_г_ ). Соответствующая плоская образующая Е8 (А) пересекает многообразие Фп_г_!( ) по алгебраическому многообразию Ф^^ Е8 ) порядка г размерности Б-1:

det

S PX0 + bPqX1

0, x"$ = 0, xp = 0. (3.8)

Линейная поляра точки A0 относительно фокального многообразия Ф^^Es ) задается уравнениями:

x0 - Bx1 = 0, x"$ = 0, xp = 0, (3.9)

где

Bi =- 1bPp, VBi + œ 0Bi + œ 0 = Bip œp. (3.10)

Дифференциальные уравнения (3.10) задают поле нормалей 2-го рода Вг-1( A ) плоских образующих Es ( A0) гиперполосы CH^ . Плоскость Br-1 (A0), определяемую квазитензором |B} (3.10) в каждом центре A0 е CH^, назовем В-плоскостью. Выясняется, таким образом, геометрический смысл квазитензора {Bi} (3.10).

Теорема 4. Поле квазитензора {B} (3.10) задает поле В-плоскостей -

нормалей 2-го рода плоских образующих Es ( A ) гиперполосы CH^, каждая из которых является линейной полярой точки A0 относительно фокального многообразия Ф8Ч( Es ) ( A ) (3.8).

2. Пересечение плоскости Е^^ДЛ0) с фокальным многообразием Ф п—г—1( ) (3.7) есть алгебраическое многообразие размерности п-т-2 порядка

п—г

г:

ёег

хо 5р + N^1 = 0, хп = 0, х1 = 0, хр = 0, (3.11)

которое обозначим Ф п—т—2 ( Еп—т—1).

Линейная поляра центра Л0 относительно фокального многообразия

Фп—т—2 (Еп—т—1) есть плоскость %п—т—2 (Ло ) С Еп—т—) ,

Ло п—т—2(Ло ) :

хо - N ха = 0, хп = 0, х1 = 0, хр = 0, (3.12)

где

N а = ^"р , N а© о +©а = N ар ©р . (3.13)

Таким образом, выясняется геометрический смысл квазитензора } (3.13): поле квазитензора } (3.13) задает поле плоскостей Яп_т_2(Л0) (3.12), каждая из которых в соответствующей точке Л является линейной полярой точки Л0 относительно фокального многообразия (3.11).

3. Характеристическая плоскость Еп—г—1 (Л) гиперполосы СН^ пересекает фокальное многообразие Фп_г_!( ) (3.7) по многообразию

0, хр = 0, хп = 0, (3.14)

хо 5 р + Ьр*х1 + N

которое обозначим Фп_г_2(Х). Фокальное многообразие (3.14), лежащее в характеристике Еп—г—1 (Л0)с СН^, представляет собой многообразие размерности П-Г-2 порядка г. Линейная поляра точки Л0 относительно фокального многообразия Фп—г—2(Х) (3.14) есть плоскость %п—г—2(Ло)с Еп—г—1 (Ло),

Ло п—г—2 ( Ло ):

хо — ^х"— Вх1 = 0, хр = 0, хп = 0, (3.15)

где

. =— , В =— 1Ьр

а г ар' 1 г 1р

N =— iNP , В =— 1Ьр .

а г ар 1 г 1р

Итак, выясняется геометрический смысл квазитензора }. Квазитензор

} задает в каждом центре Л0 е V нормаль 2-го рода %п_г_2(Л0) характеристики Еп_г_!(Л0), которая является линейной полярой точки Л0 относительно фокального многообразия ФП_Г_2(Х) (3.14).

4. Пересечение нормали 1-го рода (А) гиперполосы СИ^ с фо-

кальным многообразием Фп_г_!( ) (3.7) есть алгебраическое многообразие размерности п-ш-1 порядка Г:

ёегЦх0 5р + N Р,ха+ Кчхп|| = 0, хр = 0, х1 = 0, (3.16)

которое обозначим Ф п _т-1 (^.

Линейная поляра центра А0 относительно многообразия (3.16) есть плоскость Пп_т_1 ( Ао ):

х0 _Nх00 _Nnxn = 0, хр = 0, х1 = 0, (3.17)

где

N0, = _ ^Пр, у№,+Nn щ о + ® п = р. (3.18)

Выясняется, таким образом, геометрический смысл квазитензора

N =_ ^ $. (3.19)

Квазитензор (3.19) задает в каждом центре А е V оснащающую плоскость в

смысле Э.Картана нормали (А) 1-го рода гиперполосы СИ^ .

Из результатов §2, §3 следует, что плоскость (А0 ) = [ Бг _1(А0 ), Г-1(А0 )], натянутая на В-плоскость (3.9) и на любую нормаль 2-го рода (А) (210) из пучка (2.12), есть нормаль 2-го рода А) гиперполосы СИ^ . Отсюда следует

Теорема 5. В дифференциальной окрестности 3-го порядка в каждом центре А гиперполосы СИ^ внутренним инвариантным образом присоединяется однопараметрический пучок ее нормалей 2-го рода, осью которого является В-плоскость БгЧ(А) (3-9).

Библиографический список

1. Попов Ю.И. Внутренние оснащения вырожденной г-мерной гиперполосы И^ ранга г многомерного проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1975. Вып. 6. С.102-142.

2. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос. Учебное пособие. Кали-нингр. ун-т. Калининград, 1983. 82 с.

3. Попов Ю.И. Введение инвариантного оснащения на вырожденной гиперполосе

Гт многомерного проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1970. Вып. 1. С. 27-46.

4. Столяров А.В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Математика. 1975. № 10. С. 97-99.

5. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // ДАН Арм. ССР. 1959. Т. 28. № 4. С.151-157.

6. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределение ш-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С.49-94.

7. Остиану Н.М. Распределение ш-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Там же. С. 95-114.