ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ВЫРОЖДЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

оно является постоянной нулевой или ненулевой кривизны, а компоненты 1 2

T, S и S можно выразить формулами (10)-(14). Случай (5а, 5б):

t

(п- Х)ф

S Р ц = 5 в S ц - 5 ц S р (S ц —--- y^); (15)

(n — 1)2 — t2

Spa^p - вида (9), но A = —(Щ2— • (16)

Теорема 4. Если регулярное пространство g*n,y типа (1) при 2+k+nw=0 допускает группу (vjw-изометрий (или (hjw-изометрий) G(n+1)(n+2)/2 , n>3, то T=0, R1=0, P1=0, R2=0, P2=0, а S1 и S2 обладают компонентами вида (15),(16).

Список литературы

L Thomas T.Y. The differential invariants of generalized spaces^ Cambridge, 1934 243 p^ Кручкович Г.И. О пространствах В.Ф.Кагана // Каган В.Ф. Субпроективные пространства. М^ Физматгиз, 1961 С 163-195^

VX Makeev

INFINITESIMAL ISOMETRICS OF GENERAL METRIC SPACES OF VECTOR ELEMENTS WITH THE RELATIVE METRIC

We study infinitesimal relative isometrics of weight w in general metric paces of the vector elements g*n,y of the certain type^ The structure of the all torsion's and curvatures of the generalized affine connection for g*ny with maximum group of the isometrics has been established^

УДК 514.7

Т.Ю. Максакова

(Балтийский военно-морской институт)

ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ВЫРОЖДЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ

Рассматриваются двойственные нормальные связности на центрированной тангенциально вырожденной гиперполосе CHm проективного пространства Рп . Показано, что

на обобщенно нормализованной гиперполосе СИт еРп в расслоении обобщенных

8

нормалей 1-го рода индуцируются четыре центропроективные связности V1 (нормальные связности), а в расслоении обобщенных нормалей 2-го рода индуцируются

8

четыре двойственные им центропроективные связности V1. Выяснены условия их совпадения.

В работе используется следующая схема индексов:

I, К, Ь=1,п; р, р, Б=1,г; и, V, ^^г + 1,п- 1; 1, к=г + 1,т;

а, в, у=т + 1,п- 1; а, р,т=г + 1,п; а = {0,а}; 8=1,3; 8 = 0,3; !,К,Ь = 0,п.

1. В репере первого порядка гиперполоса СИт задается уравнениями (без соответствующих замыканий) [4]:

шп = о, ®о=о, ®п=о, ®а= о, ®а = о,

п п а 1 1 1 Р а 1а а р 1 Р Р Р 1~Р Р

шр = аррш, шр =ьррш, шр =ЬрЧ ш, = ь^ш, ша = ь ач ш.

Определение. Обобщенной нормализацией гиперполосы СИт называется нормализация в смысле Нордена - Чакмазяна [3], [7] ее направляющей поверхности Уг, при которой в каждой точке АоеУг плоскость Кп-г(Ао) нормального поля проходит через характеристику Еп-г-1 (Ао) гиперполосы.

Поля обобщенных нормалей 1-го рода Кп-г (2-го рода Кг-1) определяются соответственно полями квазитензоров

УУ п +ш п =упч ш УУ р +ш о = V рч ш (2)

Следуя работе [5], для гиперполосы СИт запишем пучки нормалей 1-го (2-го) рода обобщенной нормализации в виде:

Vп(а 1) = а 1Тпр - Шпр, Vр(а2) = а2(Рр° - ) + = а2арчТпа + Шр°, (3)

def / \ def / ч def def

где Бр = ,1ара(1Ч - dq), Бро = 1 (1Ч + dq), W1Р =-Kp, Шро = Кр [^

def

Тпр = Wnp + Б?; а1, а2 - инвариантные параметры.

Нормали V р, V р пучков (3) двойственны [5] тогда и только тогда, когда а1=а2. По аналогии с работами [12], [6], гиперполосу СИт назовем коин-цидентной, если в каждой точке АоеУг каждый из пучков (3) вырождается в одну нормаль. Из (3) следует, что гиперполоса СИт коинцидентна тогда и только тогда, когда

Обращение в нуль тензора ТР (у), т.е. условие

р

ёеГ

Т0(у) = й + ап V4 - V0 = О

Р\ ' Р Р^ п УР "

(4)

(5)

является условием взаимности [5] обобщенной нормализации гиперполосы СНт относительно поля соприкасающихся гиперквадрик [4]:

а^хРхч + 2йрхРхп + 1^хих¥ + 21ух¥хп + Тп (хп)2 = 2х0хп,

где йр =—^ач®а8Чр. Отметим, что поля нормалей Фубини {^р^} и

Вильчинского } нормализуют гиперполосу СН^ сРп взаимно [3].

Под обобщенным оснащением гиперполосы СН^ в смысле Э.Картана

[11] понимается такое оснащение, при котором каждой точке А0 еУг поставлена в соответствие плоскость Кп_г_1(А0), не имеющая общих точек с касательной плоскостью ТГ(А0) направляющей поверхности Уг [4]. Плоскость Кп-г-1(А0) можно задать точками

(6) (7)

Vv 0 + ш V = V 0р ш Р, Vv п + V п ш ^ + V 0 ш V + ш п = V 0Р ш Р,

VvшV¥ шр Vvр +шр =vр ш4

V

В качестве функций V п

Вп = "Ьр„арч, Б^ =-^ЬРр [4], [2];

возьмем квазитензоры 2-го порядка

VBn +ш £ = Бпр шР, VБ0 +ш 0 = В0Ч ш (8)

В этом случае в каждой точке А0 еУг оснащающая плоскость Кп-г-1 (А 0) пересекает характеристику Бп-г-1 (А0) по первой оси Кенигса:

Кп-г-2 (А 0 )=К п-г-1 (Л0)пБп-Г-1 (А0). Будем говорить, что гиперполоса СН^ оснащена в смысле Э.Бортолотти

[10], если каждой точке А 0еУг поставлена в соответствие гиперплоскость ^^(АД не проходящая через точку А0. Эта гиперплоскость задается уравнением

г

г

0 р , 0 v , On 0 а /пч

vpxF + мVx + мnx - x = 0; (9)

V|M V + ю V = М Vq ю q, (a) Vvp + ю 0 = v 0, ю q

vm n -м V ю V -v p ю n +® П = м nq ю q-

Из (10а) следует, что в качестве охватов функций м 0 можно взять функции BV [4]. Таким образом, в этом случае оснащающая гиперплоскость Nn-i(A0) проходит через первую ось Кенигса Kn.r.2(A0) гиперполосы CH^.

2. Следуя работам [8], [9], с учетом (1), (2), (6) - (10), получаем предложение.

Теорема 1. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена - Кар-тана гиперполосе CHrm в расслоении обобщенных нормалей N„.r индуциру-

Е

ется четыре нормальные связности V1, определяемые системами слоевых форм:

Е Е i \ п0 0 0 q nu u ?u I 0 0 q I ft, =ю -vq<> 0V =ю -SV \ю0 -vqaQ /

p pq ' (10)

VV

ft = Kqaqq +v№p - вуюпр, ер = 0,

Е

nP p 0.0p. pp. j-<p p

вр =юр -ю0 + vp®0 + vPюр + Г ю0 '

Е

(11)

в0п = + ура°р + Б^Р -У0(у^Р + Б^ -уПпурп^р)+ у°п г:р О,

Е

где тензоры ГЩр имеют следующие охваты:

Р 1 2 3

т^п _ рп _ грР грп _ 7 Р к q грп _ /-к Т 9 (1 2)

Г пр = Р' Г пр = Т р > Тпр р - ^ р - ар9^п > Тпр = ар9Тп ■ (12)

Нами построен во 2-й дифференциальной окрестности двойственный образ

СИш гиперполосы СИШ относительно инволютивного преобразования I

форм о К [2]. В силу этого имеет место теорема, двойственная теореме 1.

Теорема 2. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена -Бортолотти гиперполосе СНгт в расслоении нормалей 2-го рода Ыг-1 инду-

Е

цируются четыре нормальные связности V1, определяемые системами слоевых форм

О0 = С к + у>иР) о: = с + С^О - 8иу {с4 - у>1 \

Оп = о, о; = ¡1 {у°рОРр + Б°що1 + вУо)

; ; Т\п п 0 0 р . р п . т^п р

0п =°п -оо - Ур°р + Ур°р + гпр ор'

;

(13)

7)0 0 0 р г>0 V . р( 0 а г>0 V 0 0 а\ , 0 Т^п а

где

0 1 1 2 2 3 3

Гп = 0 Гп =- гп Гп = гп Гп = гп (14)

щ ' щ щ' щ па' па па' V /

а функции С, ¡С введены в работе [2].

Каждая из систем форм |®т удовлетворяет соответствующим

структурным уравнениям Картана - Лаптева [1]:

е е

где системы функций £ и |Я£ и | являются тензорами кривизны -

б _е

кручения нормальных связностей V1 и V1.

В силу соотношений (11) - (14) с учетом (1), (4), (5), (8) приходим к следующим предложениям.

Теорема 3. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена - Кар-

0 1

тана гиперполосе СИ^ нормальные связности: 1) V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда обобщенная нормализация является взаим-

3 0

ной; 2) V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда гиперполоса ко-

1 2

инцидентна; 3) V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда поле

12

нормалей 1-го рода является полем нормалей Фубини ¥пр; 4) V1, V1 и

о

V1 вырождаются в одну тогда и только тогда, когда обобщенная нормализация есть нормализация Фубини {^пр }.

Теорема 4. На обобщенной нормализованной в смысле Нордена -

_0 _1

Бортолотти гиперполосе СНгт нормальные связности: 1) V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда обобщенная нормализация является

_з _о

взаимной; 2) V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда гиперпо-

_1 _2

лоса коинцидентна; 3) V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда

—1 —

поле нормалей 1-го рода является полем нормалей Фубини Fp ; 4) V1, V1

_о

и V1 вырождаются в одну тогда и только тогда, когда обобщенная нормализация есть нормализация Фубини \fJP ,F0 }•

Для регулярных гиперполос HmcPn результаты теорем 3 и 4 получены П.А. Фисуновым [8], [9].

Список литературы

1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275 - 382.

2. Максакова Т.Ю. Двойственный образ центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы CHm // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. № 30. С. 50 - 54.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.

4. Попова Т.Ю. Центрированные тангенциально вырожденные гиперполосы CHm ранга r в проективном пространстве Pn / Калинингр. ВВМУ. Калининград, 1997. 45 с. Деп. в ВИНИТИ, № 197-В97.

5. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994. 290 с.

6. Столяров А.В. Сужения пространств проективной связности, индуцируемых на оснащенной гиперполосе // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. № 30. С. 73 - 84.

7. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР. 1959. Т. 28. № 4. С. 151 - 157.

8. Фисунов П.А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной гиперполосе / Чуваш. пед. ин-т. Чебоксары, 1998. 20 с. Деп. в ВИНИТИ, № 3394-В98.

9. Фисунов П.А. Центропроективные связности в нормальных расслоениях регулярной гиперполосы проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. № 30. С. 89 - 94.

10. Bortolloti E• Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 1933. V. 3. P. 81 - 89.

11. Cartan E• Les espaces a connexion projective // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. МГУ. М.: 1937. Изд-во МГУ. № 4. С. 147 - 159.

12. Mihaikscu T Geometrie differentiala projectiva. Bucuresti, 1958. 494 p.

Yu. Maksakova

DUAL NORMAL CONNECTIONS ON THE DEGENERATE HYPERSTRIP

Dual normal connections on the centred tangential degenerate hyperstrip of the projectiVe space are considered. It is shown, that four centerprojectiVe connections and four centerprojectiVe connection dual to aboVe mentioned are induced on the generalized normalized hyperstrip in the generalized normals of the first kind bundle. Conditions of their coinsidence are cleared up.

УДК 514.75

В. С. Малаховский

(Калининградский государственный университет)

ДИОФАНТОВЫ СЕМЕЙСТВА ПИФАГОРОВЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Рассмотрены подмножества прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон (пифагоровых треугольников), имеющих одинаковую гипотенузу. Такие подмножества называются диофантовыми, так как Диофант в 3-й книге «Арифметика» впервые нашел четыре пифагоровых треугольника с одинаковой гипотенузой ([1], c.112). Доказано, что диофантово семейство с гипотенузой mn=p1p2...pn, где р in

последовательные простые числа вида 4k+1 (keN), состоит из ^ 2h-1 ch пифагоровых

h=1

треугольников. Указан метод нахождения таких семейств, и дана компьютерная программа Н.В.Малаховского определения диофантовых семейств для произвольного neN. Решена задача определения диофантова семейства с заданной гипотенузой се^

§1. Базовая последовательность пифагоровых треугольников

Пифагоровы треугольники определяются диофантовыми формулами

(2mn, m2-n2, m2+n2), (1.1)

где m,neN, m>n. Л.Эйлер доказал ([2], c.46-47), что всякое простое число

р=4к+1, keN единственным образом разлагается на сумму квадратов двух

22

натуральных чисел: р= m +n . Следовательно, такое простое число определяет единственный пифагоров треугольник (1.1). Обозначим через р i -ie простое число 4k+1, т.е.

р 1 =5, р 2=13, р з=17, р 4=29, р5=37, рб =41, р 7 = 53, р 8=61, р9=73, р ю=89, р п=97, р 12=101, р 13=109, р 14=113, р15=137,... (12) Последовательность пифагоровых треугольников с гипотенузами pi (i=1,2,...) назовем базовой. Для 1< i <45 получаем: