CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Список литературы
1. MokK., Patterson E., Wong Y. Structure of symmetric tensors of type (0,2) and tensors of type (1,1) on tangent bundle // Trans. Amer. Math. Soc. 1977. Vol. 234. P. 253 - 278.
2. Matsumoto M. A relative theory of Finsler spaces // J. Math. Kyoto Univ. 1983. Vol. 23. P. 25 - 37.
3. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка // Изв. вузов. Мат. 1963. № 3. С. 99 - 106.
V. Makeev
ON THE LIE ALGEBRAS OF THE INFINITESIMAL RELATIVE ISOMETRICS OF THE SPACES g3,y OF A CERTAIN TYPES
We study the infinitesimal relative isometrics of the weight w in the general metric spaces g3y of the vector elements with a relative metric.
The Lie algebras Lr,r > 5 of the infinitesimal relative isometrics of the
spaces g3,y , and the above mentioned spaces, which have solvable
groups of the relative isometrics of the dimension five of a certain structures have been obtained in the article.
УДК 514.75
Т.Ю. Максакова
(Балтийский военно-морской институт)
СВЯЗНОСТИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ВЫРОЖДЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСОЙ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Построены двойственные аффинные связности и двойственные проективные связности центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы CHrm [1] проективного пространства Pn (1< r < m < n-1). Показано, что обобщенно нормализованная гиперполоса CHrm порождает: 1) в расслоении обобщенных нормалей 1-го рода четыре центропроективные
76
Т.Ю. Максакова
s
связности V 1 (нормальные связности), 2) в расслоении обобщенных нормалей 2-го рода четыре двойственные им нормаль-
s _
ные связности V1 (s = 0,3) ,3) в касательном расслоении
а _
T(Vr ) пять аффинных связностей у (а = 1,5) . Кроме того, установлено, что обобщенно нормализованная гиперполоса CH m (двойственный образ гиперполосы CHrm ) индуцирует
а
пять аффинных связностей у , двойственных соответственно
а
связностям у . Выяснены условия попарного совпадения связ-
s а s а
ностей ( V1 ,у ) и ( V ,у ).
В работе используется следующая схема индексов: J,K,L = 0,n; i,j,k,l = r + 1,m; p,q,r,s,t,h,f = 1,r;
a, P, у = m +1, n -1; u, v, w = r +1, n — 1; p, т = r +1, n;
p,q,r,s,t,h,f = 0,r.
1. В репере первого порядка R1 гиперполоса CHrm задается уравнениями (без соответствующих замыканий) [1]:
a0n = 0, (о0 = 0, соП = 0, m'a = 0, cona = 0, conp = anpqmq, ®'р = b'pqmq, m'a = bapqmq, mp = bC, m' = bpq¡mq.
Определение. Обобщенной нормализацией гиперполосы CHrm называется нормализация в смысле Нордена-Чакмазяна [2; 3] ее направляющей поверхности Vr, при которой в каждой точке A0 е Vr плоскость Nn—r(A0) нормального поля проходит через характеристику En—r—1(A0) гиперполосы.
Поля обобщенных нормалей 1-го рода Nn-r (2-го рода Nn-l ) определяются соответственно полями квазитензоров
Vvpn +mp = уР„СЧ, Vv°p +C0p = V0pqCq. (2)
Согласно работам [4; 11] обращение в нуль тензора
77
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Т0 = йр-у°р + а"рУ„, УТ°р(у) = Т0рУ - (3)
есть условие взаимности [2] обобщенной нормализации гиперполосы СИгт с Рр относительно поля соприкасающихся гиперквадрик
а^хрхд + 2йрхрхи + 1РиухихУ + 21ухух" + Тп (хр )2 = 2х0хр. (4) Обращение в нуль тензора Трр :
трр = Ж" + рр, йТР -ТРаПр + ТРшР = ТРУ - (5)
йс/
^ и ' х и , и Ти а и ' Т и а д Тида
есть условие коинцидентности гиперполосы СИгт [5], а обращение в нуль симметрического тензора Дарбу
Б" = а" - а" УБ", + 2Б" аР = Б" а1, 1
рд1 рд1 (рд 1)' рд1 рд1 о рдъ ' I
Г (6)
Б" . = а" „ - а", ¿„ - а" ¿„ , I
рдИ рдИ ¡(рд I) (рд 1)1' J
есть условие касания 3-го порядка поля соприкасающихся гиперквадрик (4) с гиперполосой СИгт с Ри .
Отметим, что поля нормалей Фубини {РР,Р0} и Вильчинского (Жр } нормализуют гиперполосу СИгт с Ри взаимно [2].
Под обобщенным оснащением гиперполосы СИгт с Рп в смысле Э. Картана [6] понимается такое оснащение, при котором каждой точке А0 е¥г поставлена в соответствие плоскость Ки-Г_1(Л0), не имеющая общих точек с касательной плоскостью ТГ(А0) направляющей поверхности Уг [1].
Будем говорить, что гиперполоса СИгт оснащена в смысле Э. Бор-толотти [7], если каждой точке Л0 е V поставлена в соответствие гиперплоскость Ми-1(А0), не проходящая через точку А0 . Эта гиперплоскость задается уравнением
0 р , 0 V , 0 и 0 п /п\
урхр +м°х +М°х -х = 0; (7)
V*? = а>д,^р +< = уРд«д,1
Уи°-и°ау - у^а" + а" = а" ад. I ()
V " р " " ' ид I
78
Т.Ю. Максакова
Из (81) следует, что в качестве охватов функций / можно взять функции В0 [1]. Таким образом, в этом случае оснащающая гиперплоскость Ип_1(А0) проходит через первую ось Кенигса
Кп_г_2(А0) гиперполосы СИгт.
2. Следуя работам [8; 9] с учетом уравнений (1; 2; 7; 8), получаем предложение.
Теорема 1. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Картана гиперполосе СИгт в расслоении обобщенных нормалей
Б
Шп_г индуцируются четыре нормальные связности V1, определяемые системами слоевых форм:
S S S
0V -v^t, в°, = < -öv(a° -v^l), вv= 0,
S S S
л v Tjv n p v Tjv p n лп n 0 , 0 p , p n , j-'n p
вп = Bv<p -Vp®p -Bnvnpap,e n=ßn -Ю0 + vpmPp + v°m p + Г,
S S
вn = < + v<p + B<°0 -v°0(vqnpmp0 + B<vq -vlv<np) + vi Гnnp<, (9)
S
где тензоры Г *Up имеют следующие охваты:
0 12 3
т-г n п т-г n rj-,0 т-г n j 0 n q т-г n n rj-,q
Гnp= 0 Гnp= Т0, Гnp= lp -vp -ap^P, Гnp= apqTm- (10) Нами построен во 2-й дифференциальной окрестности двойственный образ CHrm гиперполосы CHrm относительно инволютивного преобразования J форм coj [10]. В силу этого имеет место теорема,
двойственная теореме 1.
Теорема 2. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Бортолотти гиперполосе CHrm в расслоении нормалей 2-го рода
S
Nr_[ индуцируются четыре нормальные связности V1, определяемые системами слоевых форм:
S S S
п 0 ß u ^и . juwj _ q 0 n i ¿3 n n
в v= luv(<u + VPlЮp), в u=<v> +lu lwvq<q -Ov,(<0 -Vq<n), в n= 0,
■o v jvu / 0 p . T)0 n , t>0 0 n \ n u u 0 0 p , p u , v u p в u= lv (vv< + КрЩ + B0v<n),e u =<u -<0 - v<0 + vn<v + Г u<0
79
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
п 0 0 0 р г>0 ° , р / 0 р т>0 ° 0 0 а \ , 0 г-» п р /11\
в п=®° - vрУр - ВУ° + °р(°рур - ВУр - °р°ур) + Г пуУ0' - (11)
0 1 112 13
у П _ у П _ _ у П у п _ у п у п _ у п /л
где Г пр~ 0' Г пр~~Г пс' Г пр~ Г пс' Г пс Г пс' (12)
функции Iвведены в работе [10].
Из соотношений (9 - 12) с учетом уравнений (1; 3; 5; 6) следует Теорема 3. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосе СИгт признаки условий попарного совпадения нормальных связностей имеют вид
0 1 0 3
V тр0 = 0, V тр = 0,
12 0 12
V ^ °р = ЕР' V ^ ^ ^ (°0р = Е°0'°р = ГР) . (13)
Согласно работам [11; 4; 10] с использованием формул (1 - 6), получим следующие предложения.
Теорема 4. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосе СИгт в касательном расслоении Т(УГ) ин-
1 5
дуцируются пять аффинных связностей у-у, определяемых системами слоевых форм:
1 2 1
ер =ФСР -ЗУ0-д^Р -°рр + °0ррС; вр=вр + [а^а^-
-аР*апрГ(°0 - -а^У)-д^ -а}°„)-д}(°0р -апр°п)]У0;
3 1 4 1
врр = ерp + а^Б-рУ; врр = 1 рр-дра»ТУ; (14)
1 2 3 4 5
при этом первые три связности У' У' у без кручения, а у.у имеют равные, вообще говоря, ненулевые кручения.
Теорема 5. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосе СИгтс Рп индуцируются пять аффинных
а а
связностей у (двойственных соответственно связностям у), определяемых системами слоевых форм:
80
Т.Ю. Максакова
1 1 2 1 3 1
= 6qp;6qp = = 0 p - afD}py0;
L 1 L 1
0 p = 0 p—SjafTf ®s0; 0 p = 0 p-(afD}pS + SqpansfTnf ]rn'0, - (15)
1 3
причем первые три связности f—f без кручения, а связности
4 5
f, f имеют равные, вообще говоря, ненулевые кручения. В силу формул (3; 5; 6; 14; 15) имеет место
Теорема 6. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-
Чакмазяна гиперполосе CHrm признаки условий попарного совпаде-
о
ния аффинных связностей f имеют вид
1 3 4 5 1 4 3 5
= D"pqt = 0, у^у^у^у^ T* = 0,
1 5 4 3 2 3
У = У«У = У« (Dnppt = 0,Tnp = 0), f = T0p = 0, (16)
1 2
f = (Dnppt = 0,T0p = 0).
Замечание. Для двойственного образа гиперполосы CH rm гиперполосы CHrm признаки попарного совпадения нормальных связностей (13) и аффинных связностей (16) будут те же, только в формулах (13;
о
16) надо связности писать с черточкой сверху, т. е. V и f .
Список литературы
1. Попова Т.Ю. Центрированные тангенциально вырожденные гиперполосы CHrm ранга r в проективном пространстве Pn / Калинингр. ВВМУ. Калининград, 1997. Деп. в ВИНИТИ, №197-В97.
2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976. 432 с.
3. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР. 1959. Т. 28. № 4. С.151 - 157.
4. Максакова Т.Ю. Двойственные нормальные связности на вырожденной гиперполосе CHrm // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. С.65 - 69.
5. Mihailescu T. Geometrie differential projective. Bucuresti, 1958. 494 p.
6. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Тр. семин. По вект. и тенз. анализу. М.; Л., 1937. № 4. С. 147 - 159.
81
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
7. Bortolloti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 1933. Vol. 3. P. 81 - 89.
8. Фисунов П.А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной гиперполосе / Чуваш. пед. ин-т. Чебоксары, 1998. Деп. в ВИНИТИ, № 3394-В98.
9. Он же. Центропроективные связности в нормальных расслоениях регулярной гиперполосы проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып. 30. С. 89 - 94.
10. Максакова Т.Ю. Двойственный образ центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы CHrm // Там же. С. 50 - 54.
11. Столяров А.В. Двойственные аффинные связности на регулярной гиперполосе // Изв. вузов. Мат. 1999. № 9. С. 55 - 63.
T. Maksakova
CONNECTIONS, ASSOCIATE WITH VACUOUS HYPERSTRIP OF THE PROJECTIVE SPACE
The dual affine connections are constructed and dual projective connections for the centered tangential vacuous hyperstrip in the projective space.
УДК 514.75
В.С. Малаховский
(Калининградский государственный университет)
О ДИСКРЕТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РАВНОБЕДРЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Рассмотрены семейства равнобедренных треугольников с целочисленными основаниями, высотами, опущенными на основание, и боковыми сторонами. Доказано существование единственного целочисленного равнобедренного треугольника с высотой р, с основанием 2р (р > 2) и двух треугольников с боковой стороной р > 5, где р - простое число (р е Р). Определены четыре последовательности, порождаемые множеством простых чисел, и показано, что при р > 5 площадь любого целочисленного равнобедренного треугольника с боковой стороной р е Р кратна 60.
Найдены подмножества всех целочисленных равнобедренных треугольников с заданными основанием а, высотой h и боковой стороной с. Даны конкретные примеры таких подмножеств.
82
