НОРМАЛЬНАЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ ГИПЕРПОЛОСЫ С HRMПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос: Учебное пособие. Калининград, 1983. 82 c.

4. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С. 7-70.

5. Чакмазян А.В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография. Ереван, 1990. 116 c.

6. Атанасян Л.С. Оснащенные многообразия частного вида в многомерном аффинном пространстве // Тр. сем. по вект. и тенз. анализу. М., 1952. Вып. 9. С. 351-410.

Iu.I. P o p o v

NORMAL AFFINE CONNECTION OF EQUIPPED HYPERSTRIP

OF AFFINE SPACE

An interior affine connection у and a normal centroaffine connection у1 are introduced for the equipped regular hyperstrip P m of the affine space An+1 in the tangent fibering T(Vm) and in the normal fibering N(Vm) respectively. A normal characteristic centroaffine connection in fiber bundles %(Vm) of characteristic %x of

*

the hyperstrip P m с An+1 and also a normal centroaffine connection , induced by the fibering l(Vm) of equipping lines lx, where lx с Nx, x e Vm, are considered.

It is shown that trivial, axial and central axial equipment of the regular hyperstrip P m с An+1 induce a plane connection in the corresponding fibering. It is determined, for example, that the normal centroaffine connection у1 of a spherical strip is plane and the interior affine connection у is locally affine.

УДК 514.75

НОРМАЛЬНАЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ ГИПЕРПОЛОСЫ СНL ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

m

Т.Ю. П о п о в а

(Калининградское ВВМУ)

Введены в рассмотрение касательное расслоение T(Vr) и нормальное расслоение N^1), ассоциированные с нормализованной по Нордену гиперполосой

СНТт с Pn. Доказано, что в этих расслоениях соответственно индуцируются

центроаффинная связность V и центропроективная связность V1. Показано, что если нормали 1-го рода обобщенной нормализации гиперполосы СН гт образуют осевое оснащение, а нормали 2-го рода образуют гармоническую псевдоконгруэнцию, то связность V1 является плоской. Выяснено, что ряд подрасслое-ний, ассоциированных с гиперполосой СНгт, являются параллельными подрас-

слоениями нормального расслоения

Во всей работе придерживаемся следующей схемы индексов:

7, У,К,Ь = 0,п; J,Y,K,L= 1,п; p,q,r,s,t= 1.г; a,b,c,d= г + 1,п.

i,j,k,l= г + 1,т; аДу= т + 1,п + 1; u, и г + 1,п - 1; 1. Рассмотрим нормализованную в смысле Нордена центрированную тангенциально вырожденную гиперполосу СНт в проективном пространстве Pn.

Поле обобщенных нормалей 1-го рода ^г-1 гиперполосы СНт образует нормальное расслоение на поверхности Vr [1].. Множество касательных плос-

ёеГ

костей Т поверхности Vr, оснащенных нормалями 2-го рода ^г-1 = Ух, образует касательное центроаффинное расслоение T(Vr)[l]. При этом r-параметрическое семейство нормалей 2-го рода Ух является псевдоконгруэнцией в Pn. Отметим, что поле плоских образующих Еs , базисной поверхности Ут гиперполосы СН т определяет подрасслоение ЕS(Vr), поле характеристик Хх гиперполосы СН т является нормальным подрасслоением х^г), поле нормалей 1-го рода поверхности Ут есть нормальное расслоение №-т(^), поле плоскостей En-m-l=Nn-m п Хх образует нормальное подрасслоение №-т-1(^).

Уравнения инфинитезимального перемещения точечного репера { А ^ } проективного пространства имеют вид:

_ ¿А = 0ОАТ КАК ,

причем формы ю у удовлетворяют структурным уравнениям:

dюК = ю^ люК-§К(ю^ лю0). (11)

В репере { А } 1-го порядка гиперполоса СН т задается уравнениями [2]:

ю0 = 0, юа = 0, юр = аичюч, юР = с£чюЧ ю и = 0, ю п = арч ю ю Ь = арч ю

(1.2)

где

ап .= 0, аи т= 0, срг апП = 0, сР а а. = 0. (1.3)

[рч] ' [рч] ' и[ч г]р ' 1[ч г]р ( )

Проведем частичную канонизацию репера: вершины ^^ поместим в обобщенную нормаль 2-го рода &r-l(Ao), а точку Ап -в нормаль Еn-m(Ao) 1-го рода гиперполосы СН т. Тогда имеем

юр = СрдюЯ , юр = VюЯ ,

®п = Сщюq , ю1 = юq ,ю0 = Ьадюд . Такой репер R1 называется репером адаптированным с нормализованной гиперполосой СНт. Таким образом, уравнения (1.2)-(1.4) являются дифференциальными уравнениями нормализованной по Нордену гиперполосы СН гт в адаптированном репере R1.

Теорема 1. В касательном расслоениии T(Vr) и в нормальном расслоении

N(Vr), ассоциированных с нормализованной по Нордену гиперполосой СНI определяются соответственно центроаффинная связность V без кручения и нормальная центропроективная связность V1.

Действительно, с учетом (1.1)-(1.4) структурные уравнения касательного центроаффинного расслоения T(Vr) принимают вид:

ёюр =юд люр; ёюр = юд люр + Ор, (1.5)

где

Ор =юп люп+ю0 люр -5р(ю0 люр) = ю8 люЧ (1.6)

^ = аЬ[8СрЪ|1] + р] - 5р^[81]. (1.7)

Из (1.6) в силу теоремы Картана-Лаптева [3] вытекает, что в касательном расслоении ^^ поверхности V нормализованной по Нордену, определяется аффинная связность V без кручения. Впервые эту связность ввел и подробно исследовал Норден в работе [4]. Формы ю р есть формы связности V, а формы О р

- ее формы кривизны.

В силу (1.1)-(1.4) для нормального расслоения N^1) поверхности Vr имеем: ёюр =юд люр, ёю0 =юЪ лю? + Ор, ёюЪ =юС люЪ + ОЪ, (18)

д ^ а а а а ' а а с а ^

где

О0 =юр люр = Та^ю8 люЧ ОЪ =юр люр-5Ъ(юр люр), (1.9)

Tast = СP[shPt], ^^ = СP[salplt] -5 с^]. (1.10)

ОЪ

а ' а

Из (1.9) вытекает, что формы Ор, О а являются полубазовыми [3]. Поэтому

в силу теоремы Картана-Лаптева , формы ю р, ю Ъ определяют центропроектив-

ную связность V1 в нормальном расслоении N^1), а формы { ОЪ, Ор } являются формами кривизны [3].

Аналитическими условиями инвариантности системы форм кривизны { О0° } являются тождества Биянки, которые получаются внешним дифференцированием (1.9):

= -оСлйс Сло; ао; = -о;люс +юсло;. (1.11)

Формы ю ^ в силу (1.8) определяют связность V в расслоении нормальных

* 1

направлений К*(Уг) [1].

Дифференцируя уравнения ю ^ = С^ юнаходим

VСapq = 8. (Ы2)

Это означает, что С^ является смешанным тензором на Уг, который называется вторым фундаментальным тензором гиперполосы СНгт. Продолжая уравнения

юр = Ср;юю° = Ьр;ю;, получим

а^™ ' р;

^^ср; -й25р = ср^юч + ар;ю; = Ьр; +ю1. (Ы3)

Объект

ср = ср - с 5р, (1.14)

1

где са = — ср является тензором и его компоненты удовлетворяют уравнениям г р

V СаР = Ю1.

Компоненты (1.10) тензора кривизны центропроективной связности V1 нормального расслоения К(Уг) с учетом (1.14) можно представить в виде

Та81 = сар8Ь|р|1] + саЬ81], ^81 = ^^р^] -5СЬ[81] . (115)

2. Как показал А.В.Чакмазян [1] существует класс нормализованных подмногообразий Мш^Рп, у которых связность в нормальном расслоении является плоской. Аналогичная теорема имеет место и для гиперполос СН гт оРп.

Теорема 2. Если г-сопряженная система Уг в Рп нормализована сопряженно-

VI ».>».>

, определяемая этой нормализацией в нормальном расслоении К(Уг), является плоской.

Теорема 3. Осевая гармоническая нормализация подмногообразия Уг в Рп индуцирует в нормальном расслоении К(Уг) плоскую нормальную связность, а в касательном расслоении Т(Уг) эквиаффинную связность. Доказательство проведем аналогично работе[1, §5].

Пусть Еп-г-1=[Ва]=[ЯаЛо+Ла]-ось пучка обобщенных нормалей 1-го рода гиперполосы СНТт . Из условия неподвижности плоскости Еп-г-1 получим:

Xайр +©р = 0; аХа +Й2 -йСXс = 0. (1,16)

Из (1.16) с учетом (1.4) находим

О = ^ 5 .

ад ^а^д

CPq a § Р . (1.17)

Учитывая соотношения (1.17) в формулах (1.10), приходим к выводу, что Tast=0, =0, т.е. нормальная связность V1 плоская. Теперь с помощью (1.17) преобразуем (1.7):

Тр - ЯЪ рр

Tqst = ^Сф] + nq[s51].

Следовательно, тензор Риччи имеет такой вид:

К, = (1 - г)(а^А.а - Ь„).

Откуда получим R[qs]=0. Это означает, что связность V в касательном расслоении T(Vr) эквиаффинна [4].

В силу теорем 1 и 2 работы А.В.Чакмазяна [1,§8] для гиперполосы СНгт вытекают следующие предложения.

Теорема 4. Поле плоских образующих Es тангенциально вырожденной поверхности У^ гиперполосы СН гт является параллельным полем 8-мерных направлений, т.е. параллельным нормальным подрасслоением

Теорема 5. Поле характеристик Хх гиперполосы СНгт образует параллельное поле (п-г-1)-мерных нормальных направлений, т.е. нормальное параллельное подрасслоение №-г-1^г).

Теорема 6. Поле плоскостей En-m-l, ассоциированное с гиперполосой СНТт образует параллельное поле (п-ш-1)-мерных нормальных направлений, т.е. нормальное параллельное подрасслоение №-ш-1^г).

Библиографический список

1. Чакмазян А.В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография. Ереван, 1990. 116 с.

2. Попова Т.Ю. Центрированные тангенциально вырожденные гиперполосы СНгт

ранга г проективного пространства Рп. Калининград, 1997. 45 с. Деп в ВИНИТИ, №197-В97.

3. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С.7-70.

4. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976. 432 с.

T.Yu. P o p o v a

NORMAL CENTROPROJECTIVE CONNECTION OF HYPERSTRIP CHL OF PROJECTIVE SPACE

Tangent fibering T(Vr) and normal fibering N(Vr) are introoduced, associated with

normalized by Norden hiperstrip CHm ^Pn. It is proved that in there fiberings cen-

troaffine connectuon V and centroprojective connection V1 are induced respectively. It is shown, that if normals of the 1st -genus of generalized normalization of hyperstrip

CHm form the axial equipment, and normals of the 2nd-genus form harmonic pseudo-

congruence, than connection V1 is plane. It is cleared up, that a series of subfiberings,

associated with hiperstrip CHL are parallel subfibering of normal fibering N(Vr).

УДК 514.75

СИММЕТРИЧНЫЕ ПАРЫ Т КОНГРУЭНЦИЙ О.С. Р е д о з у б о в а

(Московский педагогический государственный университет)

В данной работе объединены результаты, полученные в разные годы по теории симметричных пар Т конгруэнций.

В евклидовом трехмерном пространстве рассматриваются пары Т конгруэнций jra | (а=1,2), связанные с конгруэнцией их общих перпендикуляров jrj.

Прямая r пересекает соответствующие прямые пары Т конгруэнций в точках Ka. Вершина подвижного ортонормированного репера R = (ОД) (ij=1,2,3)

помещается на прямой r, вектор ё3||г; аа углы, образуемые прямыми ra с вектором ё1, pa, pa - абсциссы фокусов конгруэнций |ra j относительно репера (K, Ла), где Л = ё1 cosaa + ё2 sin аa - направляющие орты прямых ra . Координаты точек Ka в репере (0,ё3) равны ha. Компоненты инфинитезимальных перемещений репера R : wi, wj удовлетворяют условиям

dO = ю 1ё{, dёi =ю ^.

Условия, определяющие пары Т конгруэнций, можно записать в виде [1,c.139] :

PlH2 + ^23 1^ - Р2А2 + Q2 = 0, PlAi - ^13 - Р2Н1 - Ql = 0,

PíH - Р2А2 + Q2 = 0, PlAi - Qi3 ipP^ - P2H1 - Ql = 0.

Здесь использованы обозначения:

Qa = ю1 cosa + ю2 sinая, Q* = ю1 sina - ю2 cosa,

a a a7 a a a~

-5 -5 * "5 "5

Qa3 =юг cosa a +ю 2 sin a a, Qa3 =-Qj sin a a +ю 2cosa a,

(1)