CC BY
5
12. Фиников С.П. Теория пар конгруэнций. М.: ГИТТЛ, 1956. 444 с.
13. Фисунов П.А. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе / Чуваш. пед. ин-т. Чебоксары, 1998. 17 с. Деп. в ВИНИТИ РАН, №627-В98.
14. Фисунов П.А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперполосе. Чуваш. пед. ун-т / Чебоксары, 1998. 20с. Деп. в ВИНИТИ РАН, №3394-В98.
15. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР. 1959. Т.28. №4. С.151-157.
16. Чакмазян А.В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография. Ереван: Армянск. пед. ин-т. 1990. 116 с.
17. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Тр.семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1937. Вып.4. С.147-159.
18. Miheilesou T. Geometrie differentials prcjectiva. Bucure§ti Acad. RPR. 494 p.
P.A. F i s u n o v
CENTROPROJECTIVE CONNECTIONS IN NORMAL FIBERINGS OF REGULAR HYPERSTRIP OF PROJECTIVE SPACE
The normal connections on the equipped regular hyperstrip Hm immersed in projective space Pn are considered. It is shown, that on the equipped hyperstrip Hm^Pn in fibering of normals of the first genus four centroprojective connections are induced. The invariant conditions of their coincidence are found. The indications are specified, that the normal connection was plain or semi-plain.
УДК 514.75
ДВОЙСТВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
С.В. Ф и с у н о в а
(*ôâà0nêèé âînôààdnôââîîûé ïâààâîâè^ânêèé ôîèââdnèôâô)
Рассматриваются двойственные нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов М, погруженном в n-мерное проективное пространство Ри. Доказано, что на оснащенном регулярном распределении гиперплоскостных элементов Мс Pn в расслоениях нормалей первого и второго родов индуцируются по шесть попарно двойственных центропроективных связ-ностей. Найдены инвариантные условия совпадения связностей.
В работе индексы принимают следующие значения:
I, J,К,L = 0, п, I, J, К,L = 1, n, i, j, k, l = 1, n-1, м,v,w = 0,5, м,v,w = 1,5.
1. Рассмотрим n-мерное проективное пространство Pra, отнесенное к точечному проективному реперу {Aj}; уравнения инфинитезимальных перемещений репера имеют вид:
dAj=ю KAK, (1)
где дифференциальные формы Пфаффа юK удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства [7]
БюК = Л®К, Юг = 0 • (2)
Известно [4], что дифференциальные уравнения распределения М^РИ в репере нулевого порядка имеют вид:
юП = ЛК юК • (3)
Совокупность функций {ЛП} образует тензор первого порядка:
улПк +лПкЮ: = лпш юL. (4)
Известно [2], что обращение в нуль кососимметричного тензора Л^ выделяет класс голономных распределений гиперплоскостных элементов.
defl I
Ниже рассматривается регулярное распределение М^РЙ, т. е. Л = Лп ф 0
Функция Л есть относительный инвариант первого порядка:
ШпЛ+(п + 1)(ю0 +юп) = ЛкюК, Лк-ЛПЛ^к • (5)
Известно [5], что в третьей дифференциальной окрестности элемента распределения МоРи определяется поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик, уравнения которых записываются в виде:
2b;
anx'xj +-4тх!хп + Sn(xn)2 = 2x0xn. (6)
ij n +1 n
2. Известно [4], что оснащение в смысле А.П.Нордена [3] распределения М^РИ равносильно заданию на нем полей квазитензоров v\, v0:
wn +юп -v'nKюК, vv0 +ю0 = v°KюК, (7)
определяющих, соответственно, поля нормалей первого и второго родов.
Условием взаимности [3] нормализации МоРи относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (6) является выполнение соотношений:
Ьк = (n+1)(v0 - а"ь vn) • (8)
Согласно работе [2], поля геометрических объектов {v!„}, {v!„ ,von}, определяют оснащение в смысле Э.Картана [10] подмногообразия M полем точек Nra, принадлежащих нормали первого рода:
vvn +ю0 = vnK юК ,vvn + vn®0 +юП =VOK юК. (9)
Будем говорить, что распределение М^РИ оснащено, если оно нормализовано в смысле А.П.Нордена и оснащено в смысле Э.Картана одновременно.
Согласно работе [8], условием неподвижности оснащающей точки N =А +угА.+у°А является выполнение соотношений:
V", -VУ'„А"1К -(Vо) 5К = о, V'пК +Уо5'к -VпVпа:к -у:У:Ъ"к = 0. (10) Известно [2], что поля геометрических объектов {V"} определяют оснащение в смысле Э.Бортолотти [11] подмногообразия Мо?и полем гиперплоскостей Пи-1 ^о^Пи-Д содержащих нормаль второго рода:
=ук «К , VII:—у ©:+©:=И0к «К . (11)
Функция
то (V)=I: -V: "V: (12)
есть относительный инвариант.
Определение. Будем говорить, что распределение согласованно
оснащено, если оно оснащено в смысле Э.Картана и Э.Бортолотти одновременно и при этом относительный инвариант Т" (у) обращается в нуль.
3. Известно [8], что на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов М^и система форм:
1и и
е:=©:: «о-v о (v«к -у: v: ©:)+(у:)2 ©:: (©о-v: ©:),
(13)
1и . . . и ■ ■
е:=©: :©: -©оо (©о -v: ©:)+2у>: +г:г(©о -v: ©о),
и
где в качестве тензора г: можно брать различные охваты (например, см. [8])
ш,
V*-*
в расслоении нормалей первого рода. В силу наличия подмногообразия М сРи, двойственного [5] исходному распределению М^и, системе форм (13) соответствует двойственная ей система форм, имеющих строение вида (13); эта система определяет нормальную связ-
2и ,
VI и и и
в расслоении нормалей второго рода, являющуюся двойственной по
1й
отношению к связности V . Формы и функции, входящие в выражения форм
(13), пишутся с черточкой сверху. Заменяя формы и функции с черточкой сверху на соответствующие формы и функции без черточки, имеем:
2и 1и 1и и и и 1
е:=е:-е: у: у о+ё(у: v о): (п.-гж,-у: ): г:г; л ©:+
и
то (I:о -v: v о )©:+т„° тж -у: ©:), (14)
2и 1и и и и 1
(2:=ее:+2т; (у)©:+(г:-п-ж-v к ©:)+г: гП] л ©:.
На согласованно оснащенном распределении М^и система форм (14) при и =0 имеет вид:
20 10 10 20 10
ео =ео-е: V уо+а(уг уо), е: =е:, (15)
: : : : I V : I : ш? V /
а на голономном согласованно оснащенном распределении гиперплоскостных элементов М^и имеем:
21 11 11 11 21 11 1 1
ео -ео-еоч'х+а(уг„у°)+цогого,Кюо, ео -ео+го,го,лоюо; (16)
п о о о 2 \ о 1 ' Г^о Г 02Г О, о о' О О Г о/Г 00 о о'
22 1 2 1 2 3 2 1.. ео =ео-ео v о v о + о уго)гом-v о юо)о г: г о, К юо,
22 12 3 2 3 1
ео -ео-гог(юО -vюо)+(п-гоого,л,юо;
23 13 13 3 3 1
ео =ео-ео v о v;0+d(vn v о) - о гохюо-v о юо)о го, л, юо,
23 13 3 3 1..
ео -ео-2гог(ю0 -v к юо)-тпт го, л, юо;
'о/ г огг о,^»-очл^о»
25 15 15 . 3 5 3 1..
ео-ео-еуо v0 + d(v о V о) - бЦ о г3 :(юо-V;, юо)о (г ог-6 гоо го, л, юо,
25 15 3 5 3 1
ео-ео-6 гог(юо-V к юо)+(го г-б I3 ог) г о, л, юо.
(17)
(18)
(19)
Таким образом, справедливы предложения:
Теорема 1. На оснащенном регулярном распределении гиперплоскостных элементов М^РИ в расслоениях нормалей первого и второго родов индуцируют-
1 I 2
и и г—, г—,
ся по шесть нормальных попарно двойственных связностей V и V , определяемых, соответственно, системами форм (13) и (14).
Теорема 2. При согласованном оснащении распределения гиперплоскостных элементов М^РИ;
10 20
а) формы двойственных нормальных связностей V и V связаны соотношениями (15);
б) в случае его голономности формы двойственных нормальных связностей
1и 2и 13 14 23 24
V-1 и V-1 связаны соотношениями (16)-(19), причем V-1 , V-1 . Доказаны следующие предложения:
Теорема 3. При согласованном оснащении распределения гиперплоскостных
10 I 20
элементов М^РИ нормальные связности V и V могут быть полуплоскими, либо плоскими лишь одновременно.
Теорема 4. В случае согласованного оснащения распределения М^РИ двой-
10 20
ственные нормальные связности V и V совпадают тогда и только тогда, когда
10 20 нормальная связность V , (а следовательно, и V ) полуплоская.
4. Пусть распределение гиперплоскостных элементов М^РИ нормализовано полями квазитензоров v1n,уо° Согласно работе [5], на нормализованном распре-
о 5 1
1 2
делении М^РИ индуцируются две двойственные аффинные связности V и V. Доказано следующее предложение:
1 2
Теорема 5. Двойственные аффинные связности V и V и нормальная связ-
1
ность V , индуцируемые на оснащенном распределении гиперплоскостных эле-
ментов МсРи, обобщенно сопряжены [3] относительно поля тензора Л^ вдоль любой кривой
Г©1 = г е, £>е=елео
l :
i«: - о,
o
o '
п o
принадлежащем распределению.
Библиографический список
1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований. // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т.2 С.275-382.
2. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности.1 // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С.49-94.
3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
4. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семинара /ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С.71-120.
5. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд. Чебоксары: Чуваш. пед. ин-т, 1994. 290с.
6. Столяров А.В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности.1 // Изв.вузов. Мат. 1980. №1. С.79-82.
7. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.
8. Фисунова С.В. Связности в нормальных расслоениях на распределении гиперплоскостных элементов // Деп. в ВИНИТИ РАН. 1998. 15 с. № 418-В98.
9. Чакмазян А.В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография. Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990. 116 с.
10. Cartan E. Les éspaces â connexion projective // Тр.семинара по векторному и тензорному анализу. 1937. Вып. 4. С.147-159.
11. Bortolotti E. Connessioni nelle varietâ luogo di spazi; applicazione alla geometria metrica differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari. 1933. V.3. P. 81-89.
S.V. F i s u n o v a
DUAL LINEAR CONNECTIONS ON DISTRIBUTION OF THE HYPERPLANE ELEMENTS
The dual normal connections on the equipped distribution of the hyperplane elements I, immersed in projective space Pn are considered. It is proved, that on the equipped regular distribution of the hyperplane elements in fiberings of normals of the first and second genuses are induced till six pairwise of dual centroprojective connections. The invariant coincidence of concurrence of connections are found.
