CC BY
4
1. Четырехмерная риманова геометрия. M.M^, 1985. 334c.
2. Stepanov S.E. The seven classes of almost symplectic structures // Webs & Quasigrups. Tver, 1992. с.93-96.
3. Tachibana S. On conformal Killing tensor in a Riemannian space // Tohoku Math.Joun. 1969. Vol.21. с.56-64.
4. Kashiwada T. On conformal killing tensor // Natural Science Report Ochanomizu University. 1968. Vol.19. №2. с.67-74.
5. Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна: M.: Энергоиздат, 1982. 416c.
6. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2 т. М.:Мир, 1990. 703c.
7. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432c.
8. Степанов С.Е. Симметрические 2-тензоры с постоянным следом // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1992.
Вып. 23. с.94-96.
S. E. S t e p a n o v, V. V. R o d i o n o v ADDITION TO ONE J.-P. BOURGIGNON'S WORK
2
Three fundamental differential operators on the space of sections C® SqM of a
S0M fibering of symmetric Bessel's forms are found and a geometric interpretation of each kernel is given in the article.
УДК 514.76
ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОЛОСНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
А.В.С т о л я р о в
(Чувашский государственный пединститут)
Нормальные связности на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства, рассматривались в работах ряда геометров (см., например, обзор литературы в монографиях [6], [7]). Аналогичные исследования на неголономных подмногообразиях до настоящего времени не проводились. Предлагаемая работа, по-видимому, является первым шагом по исследованию этих вопросов на неголономных подмногообразиях; в ней рассматриваются двойственные центропроективные связности в нормальных расслоениях на гиперполосном распределении, погруженном в пространство проективной связности.
В работе индексы принимают следующие значения:
7,к,ь = 7,к,ь,Р° = \л; Цк = 1т;
а,, в,у = т + 1,п; а, в,У = 0,т + 1,..,п; ц,и,\¥= т+ 1,п- 1.
Рассмотрим п-мерное пространство проективной связности Рпп, определенное Э.Картаном с помощью (п+1)2 форм Пфаффа, подчиненных структурным уравнениям
ПсоК =^^1 + 20^0°, С = 0. (1)
В уравнениях (1) функции ЯрР° кососимметричны по Р, Q и их совокупность представляет собой тензор кривизны-кручения пространства Рп п; в случае ЯрР° = 0 пространство Рпп представляет собой ^-мерное проективное пространство Рп.
Известно [4], [6], что в репере первого порядка {аА} дифференциальные
уравнения регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов Н, погруженного в пространство Рпп, имеют вид:
с = Лпр®р, < = ЛрсК, с = Ка<, с = N >К. (2)
В силу регулярности распределения Н е Рпп тензор Лп первого порядка невырожден; предполагается также, что тензор А"ш первого порядка также невырожден.
Заметим, что справедливы соотношения [6]
2Ап„Ли7] + 2Апп + 2Лп4^ у] = Яп - А^. (3)
Показано [5], [6], что регулярное распределение Н е Рпп во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует: а) пространство проективной связности Рпп, двойственное Рпп относительно инволютивно-
го преобразования 7.юр ^тр форм связности, определяемого внутренним образом самим многообразием Н; при этом пространства Рпп и Рпп могут быть проективными лишь одновременно; б) многообразие Н е Рпп, двойственное исходному Н.
Пусть распределение Н е Рп п нормализовано в смысле Нордена-Чакмазяна [4], [6] полями нормалей первого Мп-т(у) и второго Мт-1(у) родов, определяемых полями квазитензоров у'п и у°° соответственно:
Vvn + юn = v>0р, Vvu + С0 = у>рр
I 1 а
Возьмем систему форм \ вв
10 1п в0=®1 -V - у}па п ) + ав(у), ви =ю п - а% "
1 0
0п = < + V+ аХ + V(V>о" + а>ии - V»! - ПЖ) -
1
о
0и = ю w-5 w
и и
1 и
© 0 - 0^)- 00 - у> П)] - П - "0) - 0, (4)
0п = аКЖ + « - а:(уЖ + ¿х) + V(< - ¿X),
1 п
0п = Ж - Ж -0(у) + V0(< - «) + УЖП + а>п + уП< ,
где квазитензоры первого а"п и второго ¿0 порядков определяются охватами
а=т^ а0=
форма 0(v) имеет строение
од = ¿Ж -¿¿и + V0 )<
и функция V) удовлетворяет уравнению
+ « + ¿Ж +оП = v>K■ (5)
Известно [4], [6], что поля геометрических объектов , {^¿1 , у0}, {- ¿0} определяют оснащение в смысле Э.Картана распределения Н полем плоскостей N1-^), натянутых на точки М и = -а0иД + Д, Мп = УА + N N1 = А + ^4 + ¿Д.
Для заданного поля нормалей у,n существует ряд охватов, удовлетворяющих уравнению (5). Например, можно взять охваты:
е 1 / \
а) VI = К(У)==- "К - ЛП^) - а>0;
т '
оснащающая плоскость при этом называется [6] плоскостью Кенигса
нормали V;
е 1 \ 1
б) VI = ^0^)== -{Бп + + ВаЛ) +--Ъ^П + Ьиа".
2х ' т+ 2
Встречающиеся здесь функции Бп, ап, В0, Ь охвачены [6] внутренним образом в первых трех дифференциальных окрестностях текущего элемента распределения Н; при этом охвате Мп есть точка пересечения инвариантной прямой A(у) = с соприкасающейся гиперквадрикой [6] распределения в соответствующей его точке А0 .
Охваты а) и б) являются универсальными в том смысле, что они справедливы для любого поля нормалей у,n первого рода. Следует заметить, что конкретное поле нормалей может иметь охваты у0, используемые лишь для данного поля у,n. Например, охват
е 1 / \
0 Л70 1 лии /0,004 0 и (с\
к = К == - п-т-1А (аии + ¿и¿и)- а а (6)
пригоден только для поля нормалей
V = N ==-Аии№ . (7)
п п п- т-1 п ии v ;
Нами показано, что система форм 1 вр \ (см. (4)) удовлетворяет структурным
уравнениям Картана-Лаптева [1], [2]:
1 а 1 Г 1 а 11
V
110 1 а!
Следовательно, система форм \вр,вр\ определяет центропроективную ли-
Овр = в в Лву ЯвР°тРР Л®.
нейную связность в нормальном расслоении Нп-т(Н) (т.е. нормальную [7] цен-
1
тропроективную связность первого рода О на распределении Н).
Заметим, что в случае нормализованной регулярной гиперполосы Нт е Рпп в
1
силу С =® п = 0 связность О совпадает с нормальной связностью [6] в расслоении нормалей первого рода на Нт; но, в отличие от гиперполосы, на нормализо-
1
ванном гиперполосном распределении Н е Рпп связность О индуцируется лишь при задании дополнительного поля оснащающих в смысле Э.Картана плоскостей
^-т-М .
1 а
Система функций ЯрР( представляет собой тензор кривизны-кручения связ-
1
ности О:
1 а 1 а 1 у 1 а 1 а 1 у 1 а 1 а
ёЯрР(2+2ЯрР(° + ЯрР(2 в у - ЯГР(2 в р- ЯР7° юР - ЯрР7 а^7 = (...) 7®С .
1 а
Компоненты тензора ЯрР( имеют вполне определенные значения. Например,
1 п
Я7К = Я7 - аЯ7к + 2*7р - 2^^711 - + (8)
+ 2а1 [7^1] - 2а°о ($[7 Лп\К] - Уп^[п7Лп^К] )- 2а'иа^Апа^[а7^пп] - 2а1
1 п 1 и
Очевидно, что каждая из систем функций Я7к, Яп7к образует подтензор
1 а
тензора ЯрР°.
С использованием соотношений (3), (6)-(8) доказывается следующее предложение: если для нормализованного взаимного [4], [6] распределения НеРп с
1п
полем симметрического тензора Лп7 подтензор Яи7к тензора кривизны-кручения
1
связности О обращается в нуль, то подмногообразие Н является голономным, причем нормаль у'п и оснащающая плоскость *п-т-1(у) определяются, соответственно, охватами N и N (см. (7) и (6)).
Пусть Рпп = Рп, N(4) - ^-мерная плоскость, проходящая через центр Д распределения Hи N^4) е, р< п-т. По аналогии с [7], приведем
Определение. Поле N^4) называется параллельным в нормальной связно-
1
сти О, если при инфинитезимальном перемещении точки Д вдоль любой кривой, принадлежащей базисному распределению подмногообразия НеРп, смещение ^-мерной плоскости происходит в (m+p)-мерной плоскости, натянутой на текущий элемент базисного распределения и на плоскость N^4).
Если [41М] - гладкое поле одномерных направлений, принадлежащее полю Nn_m(у), то точка M имеет разложение М = 4 + , где не все ха одновременно равны нулю и N = 4 , N = 4 + у^4 + ¿"4; при хп = 0 это поле принадлежит полю характеристик П^^^), а при х" = 0 совпадает с полем инвариантных прямых .йЮ = [Л^]. Аналогично монографии [6] показывается, что условием
параллельности поля направлений [^зМ] в нормальной связности О является
1 а 10
ёха + хв 0в- хахв 0в = хаО(тоё I), ОО = ОАО0; здесь кривая ^ принадлежащая базисному распределению, имеет уравнения [3] = ж Л = 0; Об = вЩ\ У - ¡л'(а1 +00) = ¿6 . Доказаны следующие предложения: 1) поле характеристик П^^^) нормализованного распределения НеРп является параллельным в нормальной связ-1
ности О; 2) условием параллельности поля инвариантных прямых h(v) (а следо-
1
вательно, и поля нормалей первого рода Nn_m(v)) в связности Она нормализованном распределении НеРп является обращение в нуль тензора :
4»=апк + vJn{^jk - ¿илпк) = 0.
В силу наличия подмногообразия Н еРпп, двойственного исходному распределению Н е Рпп, в системе (4), определяющей центропроективную связ-
1
ность О в расслоении нормалей первого рода V', соответствует двойственная ей
система форм \бв|, имеющих строения вида (4); эта система определяет нор-
2
мальную связность О в расслоении нормалей второго рода V', являющуюся
1
двойственной [6] по отношению к связности О относительно инволютивного преобразования /:®К . Формы и функции, входящие в выражения форм
,вр \ (см. (4)), пишутся с черточкой сверху. Например, функции с черточкой и
без черточки связаны соотношениями [6]:
Лп = -Л1 Лп = -Л" , У1 = -ЛУ, V0 = Лпкук, у' ■ = -Лку].
1] ]1 ' Ши иш п пу к ' у 1 к1 п ' ' п п 1д'
Г70 - \п Л _ Д°шяи — Ап — ■
У1] =Лк1Упд, ап = Лп ау, аи = - Лшоап , апи = Лп ауии ;
в работах [5], [6] приведена также связь между формами юр и ар. Связь между функциями У0, Ур и формами в, в зависит от строений у0 и в; например, при универсальном охвате У0 = Кп связь между ними следующая:
<+к0=- т
У -Л'УХ -Лкп(
0 0 0 1 У1к -УдУк )
в =в+(а - лаС - лас+т
у]. - Лпд уку] - Лк](
пд к] п п п\
у -у0У0 ;
с
Указанные двойственные построения позволяют исследовать геометрии двой-
1 2
ственных нормальных связностей О и О на распределении Н е Рпп во взаимосвязи.
Библиографический список
1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. 246 с.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр.Моск. матем. о-ва. 1953. Т.2. С.275-382.
3. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. 1 // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С.49-94.
4. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных линейных элементов // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. 1975. Т.7. С.117-151.
5. Столяров А.В. Двойственная теория гиперполосного распределения и ее приложения // Диффференциальная геометрия многообразий фигур / Кали-ниград, 1982. Вып.13. С.95-102.
6. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд. Чебоксары: Чуваш. педин-т, 1994. 290 с.
7. Чакмазян А.В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография. Ереван: Армян. педин-т, 1990. 116 с.
Л.У.8 г о 1 у а г о у
DUAL NORMAL CONNECTIONS ON THE HYPERBAND DISTRIBUTION
Normal connections on normalized holonomic submanifolds, submerged into different spaces, were considered in the works of some geometricians. Similar researches on non-holonomic submanifolds haven't been carried out by mathematicians so far. The present work covers dual centre projective connections in normal fiberings on a non-holonomic submanifold, that is on the hyperband distribution, submerged into the space of the projective connection.
УДК 514.75
К ГЕОМЕТРИИ п-ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Е2п+1
М.А. Ч е ш к о в а
(Алтайский государственный университет)
В евклидовом пространстве Е2п+1 рассматриваются две гладкие п-поверхности М,М и диффеоморфизм М . Исследуется случай, когда каса-
тельные п-плоскости в соответствующих точках реМ, Др)е М ортогональны, р^р) - общая нормаль, причем | р^р) |=р=сош1 Назовем такое преобразование f преобразованием В.
Теорема 1. Если f есть преобразование В, то имеет место равенство
^(Х,УЖ ^ ш>= (хде- ^1 (уда+ ^1 (ВДУ,Ш),
где я (Х,у)г= Ух Ууг-Уу У^-У^,^ - кривизна связности Леви-Чивита метрики g (X,Y)=<df X, df Y>,<,>_скалярное произведение в Е2п+1 ,
я^,^ vX vY ^ vX [Lх,Y] I
-кривизна нормальной связности V1,X,Y,Z,WеTM.
Теорема 2. Если f есть преобразование В, то следующие утверждения эквивалентны: 1) поверхности М, М имеют плоские нормальные связности; 2) М, М локально есть пространства постоянной кривизны -у.
1. Основные формулы. Пусть М, М - две гладкие п-поверхности в евклидовом пространстве Е^+^М^М - диффеоморфизм, F(M) - Я-алгебра дифференцируемых на М функций, Т^ (М) -Б-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа д -дифференцирование в Е2п+1.
Формулы Гаусса-Вейнгартена поверхности М имеют вид [1,с.23]
