CC BY
11
Султыгов М.Д. ©
Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математики, Ингушский государственный университет
ЗВЕЗДНЫЕ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА а И ТИПА Д МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Аннотация
В статье получены новые результаты звездно однолистных функций порядка а и типа р на случай многих комплексных переменных. Приводятся изоморфизмы с известными классами функций, доказан критерий принадлежности голоморфных функций к исследуемому классу функций, строятся уточненные оценки модуля функции, указываются их точность на некоторых подмножествах. Получены точные оценки коэффициентов Тейлора функций из рассматриваемых классов.
Ключевые слова: Звездно однолистные функции, порядок, тип, дифференциальный и интегральный оператор, точность, множества, коэффициенты Тейлора.
Keywords: Star univalent function, procedure, type, differential and integral operator, precision, array, the coefficients of the Taylor.
Назовем /(z) e H(D с Cn) функцией класса QD [1,10], если в D с Cn имеет разложение
/(z) = 1 + Ij^|=1afczfc (1)
и F(zk) = zk/(l1zk, ...,zk,lnzk), как функция переменного zk, однолистна в сечении области D c комплексной прямой
^[k]=fzk = : l( е C\{0},т = 1,.,/ - 1, / + 1,... п);
при lm = 0 функция F(zk) = Zk/(0, ...,Zk, ...,0) однолистна в сечении
Lm = D П {zm = 0: т = 1,..., / — 1, / + 1,..., п}.
Определение 1. Классом Мв(а,р), 0 < а < 1,0 < р < 1 назовем множество всех
голоморфных в D с Cn функций /(z) вида (1) таких, что F(zk) = zk/(l1zk, ...,zk, ...,lnzk) , как функция переменного звездно Zk, однолистна порядка а и типа р в D П Pi[k] а при lm = 0 функция F(zk) = zk/(0, ...,zk, .,0) звездно однолистна порядка а и типа р
в lm и, следовательно, /(z) удовлетворяет условию:
L0ln/(z)
_________т____________
(2 р — 1)L0/(z) + 1 — 2ра
(2)
где /k = Ln_i[Ln_2 ■■■ [Ln-k[/]] ■■■] - суперпозиция операторов [2,10]: Lp[/(z)] = p/(z) +
Щ=1^ , ^ L(nVl[/]-Ln-1[/] и значение функции h = h(t,j)
выражается в виде определителя матрицы размерности 2п х 2п . Обратным к оператору LB[/(z)] является оператор lB-1)/(z) = £p-1/(ez1, ..., £zn)d£.
Легко проверить, что Мй(а, 1), есть класс звездообразных функций порядка а, а MD(0,1) совпадает с классом MD [1,12]. Покажем, что Мй(а, 1) = Мй(а) . Условие (2) при р = 1 перепишем в виде
L1/(z) 1 2 ^1/(z) J [L1/(z) 1Q
/(Z) Ч i /(z) Ч i /(z) J
или
© Султыгов М.Д., 2015 г.
4i/(z)
/(z)
- 1
<
4i/(z)
/(z)
+ 1 — 2a
Последнее условие эквивалентно неравенству Re
Ti/(z)
/(%)
> a, необходимому и достаточному,
чтобы функция /(z) е H(D с Сп) принадлежала классу MD(a)[3,166].
Лемма. Пусть h(z) голоморфная в области D с Сп функция из класса CD(1) [1,7] удовлетворяет условию
h(z) — 1
< 1
(3)
2 fi(h(z) — a) — (h(z) — 1) для всех точек z £ D. Тогда h(z) имеет вид
1 + (2а£—1)Ш
(z) 1 + (2Д — 1 )/(z) ( )
где /(z) некоторая голоморфная функция класса [D(0) [1,7]. Наоборот, любая функция, h(z) представленная в виде формулы (4), где/(z) £ [D(0) голоморфна в D и
удовлетворяет неравенству (3) для всех точек z £ D.
Теорема 1. Функция /(z) е H(D с Сп) принадлежит классу MD(a, Д) тогда и только тогда, когда существует функция F(z) £ [D(0) такая, что
/(z) = exp |20(a — 1)40
(-i)
F(z)
L1 + (2Д — 1)F(z)J
(5)
Доказательство. Пусть /(z) £ MD(a,^) . Тогда Ll/(z) удовлетворяет первой части
/(%)
леммы и
Отсюда
41/(z) 1 + (2a^ — 1)F(z)
/(z)
1 + 40Zn/(z)
1 + (2Д — 1)F(z)
1 + (2a£ — 1)F(z)
(-i)
Применяя оператор 40 /(z) получаем (5). Наоборот, если /(z) представимо в виде (5) с
F(z) £ [D(0) , то из него следует (6). Согласно второй части леммы /(z) £ MD(a, Д).
1 + (2Д — 1)F(z)
(6)
(7)
(8)
Теорема 2. Пусть функция /(z) £ MD(a, Д). Тогда в Dr = rD,
0 < г < 1, имеем оценки: для 0 < a < 1, Д ф 0,5
2P(a-1) 2Р(а-1)
[1 — (2Д — 1)г] @e-1 < |/(z)| < [1 + (2Д — 1)г] @e-1 и для 0 < a < 1, Д = 0,5, то
exp(ar — г) < |/(z)| < exp(r — ar)
Доказательство проводится с помощью работы [4,5].
Замечание 1. Используя интегральное представление (5) класса функций MD(a^) неравенства (7), (8) можно получить, воспользовавшись зависимостью между классами
Cd(1) и 5d(0) [1,7].
Замечание 2. Для упрощения записи все рассуждения ниже проводятся для случая двух комплексных переменных, однако полученные результаты легко переносятся на случай многих комплексных переменных.
Следствие 1. Если /(z1,z2) £ Mhii(a, Д), то в [5,332] имеем оценки: для 0 < a < 1,Д ф 0,5
2P(q-l)
> [1 — (2Д — 1)o(|z1|, |z@|)] 2p-U
2p(a-l)
|/(z1,z@)1 =
(9)
< [1 + (2Д — 1)o(|z1|, |z@|)] 2p-U
а при 0 < a < 1, Д = 0,5
exp(a — 1)o(|zJ, |z@|) < |/(z1,z@)| < exp(1 — a)o(|z1|, |z@|) (10)
где o(|z1|, |z2|) определены в [6,13] .
Положим
Vi(zi,z2) =
\\l — (2ft — 1)2CT 1(a1z1elfl + a2z2eia2)}, 0 < a < 1,ft ^ 0,5;
exp(1 — a)21_1(a1z1eiai + a2z2eiaj{, 0 < a < 1,ft = 0,5 .
Точность оценок (9) и (10) для области Ю достигается функцией v2(z1,z2), а для области
k1> ,} ^ 1 на множестве +a1|z1| = a2|z2|} П kj2,ff функцией v1(z1,z2).
Следствие 2. Если функция f(z1,z2)GMu2 (a,ft), то в бицилиндре €R □
Й1,Й2 l, 2
справедливы оценки вида (9) и (10) с заменой в них o(|z1|, |z2|) на ,(|z1|, |z2|) [7,342] .
Точность полученных оценок на множестве
{|% | |z п
—— = —2 2 П t/R □ будет достигаться функцией вида #1 R2 J 1, 2
|l — 2£~1 (%1 е
^(z1,z2) =
1«1
Ri
+
Z2 е
1«2
<]
2ff(q-l)
2p-l
! 1-a /z1 eiqi z2 е‘“2\ _ ~ r
lexP — Hr+ -RH'0<a<1'ft = 0'5 •
0 < a < 1,ft Ф 0,5;
R1 R2
В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы оценки сумм [8,165]:
^ДО) = supl‘‘ оК—*2 кр<*1-2 jz2|2*2,
St1(D) = sup|2t‘=0at
^1 —&2
1 —fc2,^2z1 z2 1 ’
для всех (z1,z2) G О,содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов afc fc2 (f, О) функций из рассматриваемых классов.
Эти коэффициенты оцениваются через характеристики областей Nfc1,fc2(f, О) = 5up{|z1|fc1|z2|fc2,(z1,z2) G О с С2}
Поэтому для конкретных областей О необходимо уметь вычислить dfc1,fc2(f, О). Для тех областей О, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также для бикруга, величины dfc1,fc2 (f, О) вычисляются эффективно.
Теорема 3. Пусть ffo^ = Z"1=0(Zi2=0 afc1>fc2,fc2z.f1—'^z^2) G MD(a,ft).Тогда имеют место оценки функционалов: при ft(1 — a) > 1 — ft
|Г£П?=—4(2ft — 1)1 + (1 — a)2ft},/ = 1.....M + 1;
-*ДО)< Г 1
fc(7+1)l 1±D 1
2
П7=+,1{(2^ — 1); + (1 — a)2ft},/ > M + 1;
'^(О) < {^(О)}
re(1—a)
где M = а при ft (1 — a) < 1 — ft
1->0^]-целая часть числа и |/| = Ef=1/l, /! = ПГ=1/1!
ЛДОХ ^ ,/1>1,
в*ДО) S {-МО)}2 , /1>1.
Следствие 3. Для функций f(z1,z2) = Z“1>fc2=o afc^zj^*2 G M—(a,ft)
имеет место оценка коэффициентов Тейлора: при ft(1 — a) > 1 — ft
I „ ml < < fiJi!372^n''=-1{(2ft " 1}' + (1 — a)2ft}'^ = 1.............M + 1
|afc1,fc2 ’ 1 ( —-----n7=01{(2ft — 1); + (1 — a)2ft},/> M + 1;
Ufc|(7 + 1)ldfe1,fe2(/,D)11'=0 LV H JJ У J
а при ft(1 — a) < 1 — ft имеем
|a‘1.‘2(f'°)l < ^
,|/|>1.
Следствие 4. Если /(z1,z2) £ MD(0,1), то \akl,k2(f.D)\ <
\k\ldkl,k2(f,D)
Последняя оценка ранее была получена в
П^С/ + 2), \/| > 1.
[1,75].
Литература
1. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций.- М.-1976. - 99 с.
2. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. - М.-1976.- 200 с.
3. Баврина К.П. Обобщение звездно однолистных функций порядка а на случай двух комплексных переменных.// - МОПИ им.Н.К.Крупской.-1972.-выпуск 15.-№2.- С. 165-176.
4. Султыгов М.Д. Обобщение звездообразных функций порядка а и типа на случай двух комплексных переменных. - МОПИ им.Н.К.Крупской.-М.-1982.-11 стр. Библиогр.:5 назв.-Деп. в ВИНИТИ. -23.02.1982.-№828-82.
5. Султыгов М.Д. О точности звездно-выпуклых функций в пространстве Сп,п> 2. //Сборник научных трудов ИнгГУ. - Магас. -2014.-№11.- С.332-343.
6. Султыгов М.Д. Экстремальные вопросы на подмножествах в пространстве Сп. // Научный вестник ИнгГУ.-2007. -№ 1-2.- С.11-22.
7. Султыгов М.Д. Звездно-выпуклые функции многих комплексных переменных в пространстве Рейнхардта //Сб. научных трудов ИнгГУ.- Магас.- 2004.- № 2.- C. 333-362.
8. Султыгов М.Д. Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных. //Сб. научных трудов ИнгГУ.- Магас.- 2008.- № 6.- C. 165-173.
