Научная статья на тему 'ЗВЕЗДНЫЕ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА α И ТИПА β МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ'

ЗВЕЗДНЫЕ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА α И ТИПА β МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
73
12
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЗВЕЗДНО ОДНОЛИСТНЫЕ ФУНКЦИИ / ПОРЯДОК / ТИП / ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ И ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР / ТОЧНОСТЬ / МНОЖЕСТВА / КОЭФФИЦИЕНТЫ ТЕЙЛОРА / STAR UNIVALENT FUNCTION / PROCEDURE / TYPE / DIFFERENTIAL AND INTEGRAL OPERATOR / PRECISION / ARRAY / THE COEFFICIENTS OF THE TAYLOR

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Султыгов М. Д.

В статье получены новые результаты звездно однолистных функций порядка α и типа β на случай многих комплексных переменных. Приводятся изоморфизмы с известными классами функций, доказан критерий принадлежности голоморфных функций к исследуемому классу функций, строятся уточненные оценки модуля функции, указываются их точность на некоторых подмножествах. Получены точные оценки коэффициентов Тейлора функций из рассматриваемых классов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «ЗВЕЗДНЫЕ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА α И ТИПА β МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Султыгов М.Д. ©

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математики, Ингушский государственный университет

ЗВЕЗДНЫЕ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА а И ТИПА Д МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ

ПЕРЕМЕННЫХ

Аннотация

В статье получены новые результаты звездно однолистных функций порядка а и типа р на случай многих комплексных переменных. Приводятся изоморфизмы с известными классами функций, доказан критерий принадлежности голоморфных функций к исследуемому классу функций, строятся уточненные оценки модуля функции, указываются их точность на некоторых подмножествах. Получены точные оценки коэффициентов Тейлора функций из рассматриваемых классов.

Ключевые слова: Звездно однолистные функции, порядок, тип, дифференциальный и интегральный оператор, точность, множества, коэффициенты Тейлора.

Keywords: Star univalent function, procedure, type, differential and integral operator, precision, array, the coefficients of the Taylor.

Назовем /(z) e H(D с Cn) функцией класса QD [1,10], если в D с Cn имеет разложение

/(z) = 1 + Ij^|=1afczfc (1)

и F(zk) = zk/(l1zk, ...,zk,lnzk), как функция переменного zk, однолистна в сечении области D c комплексной прямой

^[k]=fzk = : l( е C\{0},т = 1,.,/ - 1, / + 1,... п);

при lm = 0 функция F(zk) = Zk/(0, ...,Zk, ...,0) однолистна в сечении

Lm = D П {zm = 0: т = 1,..., / — 1, / + 1,..., п}.

Определение 1. Классом Мв(а,р), 0 < а < 1,0 < р < 1 назовем множество всех

голоморфных в D с Cn функций /(z) вида (1) таких, что F(zk) = zk/(l1zk, ...,zk, ...,lnzk) , как функция переменного звездно Zk, однолистна порядка а и типа р в D П Pi[k] а при lm = 0 функция F(zk) = zk/(0, ...,zk, .,0) звездно однолистна порядка а и типа р

в lm и, следовательно, /(z) удовлетворяет условию:

L0ln/(z)

_________т____________

(2 р — 1)L0/(z) + 1 — 2ра

(2)

где /k = Ln_i[Ln_2 ■■■ [Ln-k[/]] ■■■] - суперпозиция операторов [2,10]: Lp[/(z)] = p/(z) +

Щ=1^ , ^ L(nVl[/]-Ln-1[/] и значение функции h = h(t,j)

выражается в виде определителя матрицы размерности 2п х 2п . Обратным к оператору LB[/(z)] является оператор lB-1)/(z) = £p-1/(ez1, ..., £zn)d£.

Легко проверить, что Мй(а, 1), есть класс звездообразных функций порядка а, а MD(0,1) совпадает с классом MD [1,12]. Покажем, что Мй(а, 1) = Мй(а) . Условие (2) при р = 1 перепишем в виде

L1/(z) 1 2 ^1/(z) J [L1/(z) 1Q

/(Z) Ч i /(z) Ч i /(z) J

или

© Султыгов М.Д., 2015 г.

4i/(z)

/(z)

- 1

<

4i/(z)

/(z)

+ 1 — 2a

Последнее условие эквивалентно неравенству Re

Ti/(z)

/(%)

> a, необходимому и достаточному,

чтобы функция /(z) е H(D с Сп) принадлежала классу MD(a)[3,166].

Лемма. Пусть h(z) голоморфная в области D с Сп функция из класса CD(1) [1,7] удовлетворяет условию

h(z) — 1

< 1

(3)

2 fi(h(z) — a) — (h(z) — 1) для всех точек z £ D. Тогда h(z) имеет вид

1 + (2а£—1)Ш

(z) 1 + (2Д — 1 )/(z) ( )

где /(z) некоторая голоморфная функция класса [D(0) [1,7]. Наоборот, любая функция, h(z) представленная в виде формулы (4), где/(z) £ [D(0) голоморфна в D и

удовлетворяет неравенству (3) для всех точек z £ D.

Теорема 1. Функция /(z) е H(D с Сп) принадлежит классу MD(a, Д) тогда и только тогда, когда существует функция F(z) £ [D(0) такая, что

/(z) = exp |20(a — 1)40

(-i)

F(z)

L1 + (2Д — 1)F(z)J

(5)

Доказательство. Пусть /(z) £ MD(a,^) . Тогда Ll/(z) удовлетворяет первой части

/(%)

леммы и

Отсюда

41/(z) 1 + (2a^ — 1)F(z)

/(z)

1 + 40Zn/(z)

1 + (2Д — 1)F(z)

1 + (2a£ — 1)F(z)

(-i)

Применяя оператор 40 /(z) получаем (5). Наоборот, если /(z) представимо в виде (5) с

F(z) £ [D(0) , то из него следует (6). Согласно второй части леммы /(z) £ MD(a, Д).

1 + (2Д — 1)F(z)

(6)

(7)

(8)

Теорема 2. Пусть функция /(z) £ MD(a, Д). Тогда в Dr = rD,

0 < г < 1, имеем оценки: для 0 < a < 1, Д ф 0,5

2P(a-1) 2Р(а-1)

[1 — (2Д — 1)г] @e-1 < |/(z)| < [1 + (2Д — 1)г] @e-1 и для 0 < a < 1, Д = 0,5, то

exp(ar — г) < |/(z)| < exp(r — ar)

Доказательство проводится с помощью работы [4,5].

Замечание 1. Используя интегральное представление (5) класса функций MD(a^) неравенства (7), (8) можно получить, воспользовавшись зависимостью между классами

Cd(1) и 5d(0) [1,7].

Замечание 2. Для упрощения записи все рассуждения ниже проводятся для случая двух комплексных переменных, однако полученные результаты легко переносятся на случай многих комплексных переменных.

Следствие 1. Если /(z1,z2) £ Mhii(a, Д), то в [5,332] имеем оценки: для 0 < a < 1,Д ф 0,5

2P(q-l)

> [1 — (2Д — 1)o(|z1|, |z@|)] 2p-U

2p(a-l)

|/(z1,z@)1 =

(9)

< [1 + (2Д — 1)o(|z1|, |z@|)] 2p-U

а при 0 < a < 1, Д = 0,5

exp(a — 1)o(|zJ, |z@|) < |/(z1,z@)| < exp(1 — a)o(|z1|, |z@|) (10)

где o(|z1|, |z2|) определены в [6,13] .

Положим

Vi(zi,z2) =

\\l — (2ft — 1)2CT 1(a1z1elfl + a2z2eia2)}, 0 < a < 1,ft ^ 0,5;

exp(1 — a)21_1(a1z1eiai + a2z2eiaj{, 0 < a < 1,ft = 0,5 .

Точность оценок (9) и (10) для области Ю достигается функцией v2(z1,z2), а для области

k1> ,} ^ 1 на множестве +a1|z1| = a2|z2|} П kj2,ff функцией v1(z1,z2).

Следствие 2. Если функция f(z1,z2)GMu2 (a,ft), то в бицилиндре €R □

Й1,Й2 l, 2

справедливы оценки вида (9) и (10) с заменой в них o(|z1|, |z2|) на ,(|z1|, |z2|) [7,342] .

Точность полученных оценок на множестве

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

{|% | |z п

—— = —2 2 П t/R □ будет достигаться функцией вида #1 R2 J 1, 2

|l — 2£~1 (%1 е

^(z1,z2) =

1«1

Ri

+

Z2 е

1«2

<]

2ff(q-l)

2p-l

! 1-a /z1 eiqi z2 е‘“2\ _ ~ r

lexP — Hr+ -RH'0<a<1'ft = 0'5 •

0 < a < 1,ft Ф 0,5;

R1 R2

В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы оценки сумм [8,165]:

^ДО) = supl‘‘ оК—*2 кр<*1-2 jz2|2*2,

St1(D) = sup|2t‘=0at

^1 —&2

1 —fc2,^2z1 z2 1 ’

для всех (z1,z2) G О,содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов afc fc2 (f, О) функций из рассматриваемых классов.

Эти коэффициенты оцениваются через характеристики областей Nfc1,fc2(f, О) = 5up{|z1|fc1|z2|fc2,(z1,z2) G О с С2}

Поэтому для конкретных областей О необходимо уметь вычислить dfc1,fc2(f, О). Для тех областей О, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также для бикруга, величины dfc1,fc2 (f, О) вычисляются эффективно.

Теорема 3. Пусть ffo^ = Z"1=0(Zi2=0 afc1>fc2,fc2z.f1—'^z^2) G MD(a,ft).Тогда имеют место оценки функционалов: при ft(1 — a) > 1 — ft

|Г£П?=—4(2ft — 1)1 + (1 — a)2ft},/ = 1.....M + 1;

-*ДО)< Г 1

fc(7+1)l 1±D 1

2

П7=+,1{(2^ — 1); + (1 — a)2ft},/ > M + 1;

'^(О) < {^(О)}

re(1—a)

где M = а при ft (1 — a) < 1 — ft

1->0^]-целая часть числа и |/| = Ef=1/l, /! = ПГ=1/1!

ЛДОХ ^ ,/1>1,

в*ДО) S {-МО)}2 , /1>1.

Следствие 3. Для функций f(z1,z2) = Z“1>fc2=o afc^zj^*2 G M—(a,ft)

имеет место оценка коэффициентов Тейлора: при ft(1 — a) > 1 — ft

I „ ml < < fiJi!372^n''=-1{(2ft " 1}' + (1 — a)2ft}'^ = 1.............M + 1

|afc1,fc2 ’ 1 ( —-----n7=01{(2ft — 1); + (1 — a)2ft},/> M + 1;

Ufc|(7 + 1)ldfe1,fe2(/,D)11'=0 LV H JJ У J

а при ft(1 — a) < 1 — ft имеем

|a‘1.‘2(f'°)l < ^

,|/|>1.

Следствие 4. Если /(z1,z2) £ MD(0,1), то \akl,k2(f.D)\ <

\k\ldkl,k2(f,D)

Последняя оценка ранее была получена в

П^С/ + 2), \/| > 1.

[1,75].

Литература

1. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций.- М.-1976. - 99 с.

2. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. - М.-1976.- 200 с.

3. Баврина К.П. Обобщение звездно однолистных функций порядка а на случай двух комплексных переменных.// - МОПИ им.Н.К.Крупской.-1972.-выпуск 15.-№2.- С. 165-176.

4. Султыгов М.Д. Обобщение звездообразных функций порядка а и типа на случай двух комплексных переменных. - МОПИ им.Н.К.Крупской.-М.-1982.-11 стр. Библиогр.:5 назв.-Деп. в ВИНИТИ. -23.02.1982.-№828-82.

5. Султыгов М.Д. О точности звездно-выпуклых функций в пространстве Сп,п> 2. //Сборник научных трудов ИнгГУ. - Магас. -2014.-№11.- С.332-343.

6. Султыгов М.Д. Экстремальные вопросы на подмножествах в пространстве Сп. // Научный вестник ИнгГУ.-2007. -№ 1-2.- С.11-22.

7. Султыгов М.Д. Звездно-выпуклые функции многих комплексных переменных в пространстве Рейнхардта //Сб. научных трудов ИнгГУ.- Магас.- 2004.- № 2.- C. 333-362.

8. Султыгов М.Д. Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных. //Сб. научных трудов ИнгГУ.- Магас.- 2008.- № 6.- C. 165-173.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.