О функциях Базилевича и Мокану нескольких комплексных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

56_PHYSICS AMD MATHEMATICS / <<ШУк©ЗДУМ-ШУГМА1>>#3(Ш7)),2<Ж

УДК 517.55

Sultygov M. D.

Candidate of physic-mathematical Sciences, Professor, Department of mathematical analysis, Ingush state University, Magas

ABOUT THE BAZILEVICH FUNCTIONS AND TO MOCANU OF SEVERAL COMPLEX

VARIABLES

Султыгов Магомет Джабраилович

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, Ингушский государственный университет, Магас.

О ФУНКЦИЯХ БАЗИЛЕВИЧА И МОКАНУ НЕСКОЛЬКИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Abstract.

In article criteria of belonging of the holomorphic functions to a class offunctions Bazilevich and Mocanu of an order в are proved. Isomorphism of classes of functions Bazilevich and Mocanu is established. Bilateral estimates for the module and function module the operator offunction of a class Mocanu are received.

Аннотация.

В статье доказываются критерии принадлежности голоморфных функций к классу функций Бази-левича и Мокану порядка р. Установлен изоморфизм классов функций Базилевича и Мокану. Получены двусторонние оценки для модуля функции и модуля оператора функции класса Мокану.

Keywords. Taylor series, functions Bazilevich and Mocanu, integral representation, integro-differential operator, hypergeometric function of Gauss, function module, module of the operator offunction.

Ключевые слова. Ряд Тейлора, функции Базилевича и Мокану, интегральное представление, интегро-дифференциальный оператор, гипергеометрическая функция Гаусса, модуль функции, модуль оператора функции.

1.Введение. Целью настоящей статьи является распространение на случай нескольких комплексных переменных классов функций [1 — 5] одного комплексного переменного. При этом рассматриваются функции, голоморфные в полных ограниченных кратнокруговых областях D с Сп или в их подобластях Dr = rD, где D —замыкание области D и г Е (0,1).

Введем несколько обозначений, используемых нами в дальнейшем. Пусть функция f(z) = f(z ..., zn) Е H(D с Сп) az = (az1,..., azn\ а Е С1 г°л°м°рфна в °бласти D и имеет разл°жения в ряд Тейлора [6,с. 12] вида

ж

' л

\к\=1

где к = (к1, .,кп) е Nn — мультииндекс,гк = nii=1Ziki, \k\ = '^l=1ki и удовлетворяет условию f(z) • KJ(z) Ф 0

f(z) = 1+^ akzk (1)

Здесь Ку[[(г)] = у[(г) + [7,с.10]. Обратным к оператору Ку[[(г)] является оператор

Х-1Г(г) = £г~1/(ег1.....£гп)йе.

Замечание. Для упрощения записи все рассуждения ниже проводятся для случая двух комплексных переменных, однако полученные результаты легко переносятся на случай многих комплексных переменных.

2.Функции Базилевича. Голоморфную функцию [(г1, г2) нескольких комплексных переменных мы будем считать функцией класса Базилевича Вв (Л, а, р) [8], если

Ке\{е -а) +" Г рС05А,

где 0< а < ™,0 < р < 1, Щ <

Теорема 1. Если [(г) е Вв(А,а, р),0 < а < ™,0 < р < 1,Щ , то Вв(Х,а,р) С Вв(Х,0,р) = В5в(Х,р) [9,с.18].

Теорема 2. Если [(г) е Вв(Л,а,р),0 < а < ю,0 < р < 1,Щ , то при всех 0 < а1 < а, Вв(А, а,р) с Вв(Л,а1,р).

Определение 1. Назовем [(г) е Н(О) функцией Базилевича типа А + щ нескольких комплексных переменных

f(z) = {(id + w)j [a(ezvez2)] ;

/ physics AND MATHEMATICS_57

1

-1 Y+w

i-1, ca2) I £ 1+щй£ t

J0

где a(z) e MD (fi) [10,с. 166], 0< д < те, - те < ^ < те, а степенная функция понимается в смысле главного значения.

Для характеристики элементов класса Вв (Л, a, fi) мы воспользуемся функциями класса Вв (в +

. -ч п cosA sinA

ш), где v =-и и =-.

а а

Определение 2. Пусть функция f(z) e H(D) имеет разложение (1). Голоморфную функцию f(z) не-

е11

скольких комплексных переменных мы будем называть функцией Базилевича типа — и порядка fi [11,с. 10], если

{еа Г1 cosA еа )ае

— J [<r(ez1,ez2)]—e —-1dei (3)

где o(z) e Мв(р). Класс функций с условием (3), где степенную функцию понимают в смысле главного значения, обозначим BD (—,р).

Теорема 3. BD (^,р) с Вв(Л,а,р),0 < а < < fi < 1,\Х\ .

Теорема 4. [12,с.22]. Необходимым и достаточным условием принадлежности голоморфной функции f(z) классу Вв(Л, а,р) является ее интегральное представление

lA „ll 1

f(Z1,Z2) = {^-КлР [F(Z1,Z2)]~

a ^

^ -1 ,ae"

=\e—S:[F(£Z1,£Z2)]-^- £s--1de\ (4)

где функции Р(г) принадлежат Вв(Л, 0,р) = ВБв(Л,р).

3. а-выпуклые функции Мокану порядка р. Определим класс МИв(а,р>),0 < а < те,0 < р < 1,

как множество функций, у которых в представлении (2) Л = 0. Класс МЫВ (а, р) является многомерным

аналогом известного [13,14] класса Мокану порядка р

Г К1/(г1,г2) Х1Х1/(г1,г2)) , ,

Ке\(1-а) 1 2 +а 1 1 2 }> РЛ^^-Х^^ФО (5)

Х1](г1,г2) )

Теорема 5. ММв(а,р) = Вв(0,а,р).

Доказательство. Из представления функций класса Вв (0, а, р) следует, что

1 1 г-1-1 1

[¡Ш* = -Х.11)[Р(2)]» ^(г) е во(0,0,р) = ВБо(0,р) = мв(р) [10].

а а

Применив к обеим частям оператор и прологарифмировав, получим (5) с учетом того, что

а

Р(г1, г2) е Мв($). Проводя рассуждения в обратном порядке, получаем полное доказательство теоремы. Теорема 6. При 0<а<га, 0 < р < 1 имеют место вложения МИв(а,р) с МИв(0,р) = Мв(р).

Критерий принадлежности голоморфной функции [(г) нескольких комплексных переменных к классу Мокану порядка р сформулируем в следующей теореме.

Теорема 7. Пусть 0<а<го, 0 < р < 1. Функция /(г1,г2) е МИв(а,р) тогда и только тогда, когда существует функция Р(г1,г2) е Мв [15, с. 12] такая, что

1 1-1 1_1 г

г?) = I [Р(ег1,£г7)] а еа d£}

(1 Г1 1-Р 1 , )

f(Z1,Z2) = \~J [F(£Z1,£Z2)]— еа-1dA (6)

где для степенной функции взято главное значение.

Доказательство. Для наглядности доказательство теоремы проведем для функции двух комплексных переменных. Предположим сначала, что Р(г1, г2) е Мв. Тогда функция [(г1, г2), определенная формулой (6), является голоморфной в О и [(0,0) = 1. В этом случае достаточно показать, что [(z1,z2) удовлетворяет условиям (5). В самом деле, для всех (г1, г2) е О имеем

(1 Г1 1-1

Х1Г(г1,г2) =\~! [Р(ег1,ег2)] « еа 1й£} +

2-11- Р Г1 1-р-а 1

+ [[(г1,г2)] а -I [Р(£г1,£г2)] « £г1 Р'2±(£г1,£г2)£« й£ +

а ■>о

2-11 - Р Г1 1-р-а 1

+ [f(Z1,Z2)] а - J [F(£Z1,£Z2)] a £Z2 F'Z2 (£Z1, £Z2)£a d£ =

a Jo

[ff 0-1(1 r1 1±-Z 1 ^d(£F(£Z1,£Z2)) J ) , = [f(Z1,Z2)\ a i-J [F(£Z1,£Z2)\ a £a (1 - fi)-—-d£} +

58

РНТШШ АМ© МАТНЕМАТШ / <<ШУШ(ЩШУМ-ШиГМА1>>#3(Ш7)),2©]]9

д-1 р Г1

+ [[(г1,г2)] « -I [Г(ег1,ег2)] «

а Уп

1-р 1_1 еа й£.

а

Применяя метод интегрирования по частям к интегралу

1 Г1 1±-И 1 -х пла(еР(ег1,ег2)) — I [Р(ег1,ег2)] а £а (1-р)-;-ае =

а -¡а

1-р р

(7)

1-р

йе

г1 1-р р

I [£р(ег1,£г2)] а еа й(е Р(ег1,£г2))

а

получим

1-р

Г1 1-Р Р

I [еР(ег1,£г2)] а еа ¿(е Р(ег1,ег2)) = ¿0

1-р

= [£р(ег1,ег2)] «

1 Р Г ё-Е 1-Ё.

--I е а [еР(ег1, ег2)] а йе =

0 а '

= №1^2)]

Подставляя (8) в (7) будем иметь

Р Г1 Р-а --I £ а

а ¡а

У-!1

а ¡а

1-1 Р Г1 1-1 1_1

" [Р(ег1,ег2)] а еа ¿е.

(8)

+

1-р 1

Отсюда

Я1Г(г1,г2) = Н(г1,г2)] « {№^1^2)] * ^(ег.,^)] « еа 1йе

а ¿а

^ 1 -1и 1 еа ае>.

а-1 1-р

— I [Р(ег1,ег2)] а еа 1de

а -/п

^1Г(21,22) = [Г(21,22)] « [Р(г1,г2)] а .

Введем обозначения К1[(г1,г2) = Ф(г1,22),К1К1[(г1,22) = К1Ф(г1,г2)

а-1 1-р

~[р(г-,,

(9)

ЧУ

и (9) перепишем в виде Ф(г1, г2) = [/(г^^, г2)]~[Р(г1, г2)]~ Имеем

КМг1,г2) Ф&1,г2)

= 1+2,

а-1 л 1-Р -1п[(г1, г2) +-1пР(г1, г2)

+

а-1 л 1-Р

1п[(г1,г2) +---—1пР(г1,г2~)

Яе

+ 22 , . 1 2.

а а

(1-а) К1Г(г1,г2) , а КК^.г^)

22

+

-р\ = = (1-р)К^-2-. (10)

[(гъг2) &1[(гъг2) ) Р(гъг2)

Из определения класса Мв и соотношений (6) и (9) получается, что функция [(г1,г2) удовлетворяет первому условию (5), в то время как из определения класса Мв и (10)вытекает, что [(г1, г2) удовлетворяет второму условию (5).

Пусть теперь [(гъг2) Е МЫв(а, р) .Докажем, что существует Р(г1,г2) Е Мв, для которой имеет место соотношение (6). В самом деле,

Р(гиг2) =

[К1Г(г1,г2)]а)1-Р

(11)

\Г(г1,г2)]а-1

голоморфна в О, Р(0,0) = 1 и она удовлетворяет равенству (6). Достаточно показать, что она удовле творяет условию принадлежности к классу Мв. Из (11) сразу следует

а 1-а

1пР(г1,г2) = --г: 1пФ(г1,г2) + -г—— 1п[(г1,г2).

1-р 1 + а

Р(гъг2)

Р(гъг2)

= 1 +

+

1-р 1-а

г1Ф'21(г1,г2) г2Ф'^1,12)

Ф(гъг2)

Ф&1,г2)

+

1-р

^1['г1(^1,г2) 22(г1,г2)

[&1, г2)

1-р

(1 - а) К1Г(г1,22) а К^^, 22) ' + —^----Р

[(?1,г2)

К1[(г1, 22 )

то есть

,22)]"-

1

аЛ1-р

(1 - а) &1[(гъ 22) а К^^, 22) ' + —^-^--Р

[&1,22)

К1[(г1,г2)

(12)

а

а

1

а

1

х

х

<<C©yL©MUM"J©UrMAL>>ffiM27)),2M9 / PHYSICS AMD MATHEMATICS_59_

Неравенство

П!F(Z1,Z2) Re 1 V 1 2 > 0

F(z1,z2)

получается из (12) и (11) с учетом второго условия (5). Доказательство теоремы на этом полностью завершено.

4.Оценки, их точность и экстремальные функции а - выпуклых функций Мокану порядка р. Теорема 8.Пусть f(z1t z2) 6 MND (a, fi), а > 0, тогда в Dr = rD, г 6 (0,1), справедливы следующие оценки

g(a,fi,-r) <\f(z1,z2)\ < g(a,fi,r) (13)

G(a,p,-r) < \XJ(Z1,Z2)\ < G(a,p,r) (14)

где

d 2-2fi

д(а,0,г)={е(±2—£,1+±;г)} ,

, ,, (15)

Уа а а ))

2-2Р а-1

G(a,fi,r) = (1-r) a [g(a,p,r)} а , (16)

Г(с) r1 Г(Ъ)Г(с - Ъ)

11

0(a,b,c;z) = ,, ^ J tb-1(1-t)c-b-1(1-tz)-bdt-

гипергеометрическая функция Гаусса, Г(х) — гамма-функция Эйлера.

Доказательство. В силу интегрального представления функций из класса М N в(а,[>), существует некоторая звездная функция Р(г1,г2) такая, что

(1 г1 1-л 1

f(Z1,Z2) = 1^] [F(£Z1,£Z2)] а £« d£

Так как для Р(г1, г2) е Ма справедлива оценка из Ма [15, с. 66], то

1 1 2/3-2

ь1,^2)\<{—\ Га-1 (1 — г) а dr}

(«Л)

Сравнивая это выражение с (15) и (16) при а = -, Ь = 2 2^ ,с = 1 +1, получаем

П 2—2В 1 (гъг2)\ <!&[-,-,1+-;г\

\f(z1,z2)\<\-i ra-1 (1-г) \а Jo

Перейдем теперь к доказательству левой части неравенства (13). Для произвольной фиксированной точки г* е В рассмотрим любое р,г < р < 1. Тогда е Вц при q = В силу полноты области Б при

\ < 1 точки ( е Бц. Так как МИп(а,р>) С мп с ^с[15,с. 10]. Из определения класса QD вытекает,

что функция одного комплексного переменного р(0 = %/ ( голоморфна и однолистна в \ < 1.

Для доказательства левой части (13) рассмотрим отрезок Г, соединяющий % = 0 с % = Яе*. Поскольку

р(0 звездная функция, Г есть образ некоторой дуги Жордана у в\%\ < 1, соединяющей % = 0 с % = ге*.

1

Образ у при отображении [р(%)]" , будет, вообще говоря, состоять из множества линейных отрезков, выходящих из начала координат, каждый длиной

1 1 Ra = [(p(f)]a =

1

dpa(t)

dt

\dt\

Здесь интеграл берется по контуру у. Так как р(%) функция а - звездная порядка то из интегрального представления следует существование некоторой звездной функции Р(%) такой, что

1 1-р 1

dpa(0

по

а

1

Поскольку Р (£) звездная функция, то

(Т+У*^^У (17)

Таким образом, если р = \, то из (17) следует, что

1 1 \p(0\a = Ra =

1 л

1 Гг , ,,1-Р?"

-f[F(Or^ ^

% а

\df\ >

1 Г 1 2-2Р 1 Гг Г 1 2-2Р

>а]ра 1(1+^) а dp>aJ J ра 1(1 + ^) а dр. Полагая р = гt получаем

1

1 Га Г1 1 _. 2-2Р

\p(0\a>- J ta 1(1 + rt) a dt.

a Jo

а

и

60_PHYSICS AMD MATHEMATICS / «Ш^ШЗДУМ-^ОУГМаЬ^ЩЖШШШ

Сравнивая это выражение с (15) и (16) при а = -, b = с = 1 + !, имеем

, 1 Па2 — 2ра 1

\ф(0\а > га в(-,--,1+-;—г)

\а а а )

или

1

( z*\ а 1 /1 2 —2В 1 \

Zf(t — ) >г« 0(-,--,1+-;—г).

V р) \а а а )

, ,1 1 (1 2 —2Р 1 \

\pf(z')\a>ra в(-,--,1+~;—г). (18)

\а а а /

еделу при р ^ г, возведя

(1 2— 2В 1 \\ \а а а ).

\f(zl\ >

Р'

Полагая здесь % = р получим

1 1 (1 2- 2В

га в(-,--,1+-

\а а а

Переходя в последнем неравенстве к пределу при р ^ г, возведя обе части в степень а и пользуясь (15) и (16), будем иметь

¡1 2-2р

&[—,--,1 + -;-г\

\а а а

Что и доказывает левую часть неравенства (13). Докажем неравенство (14). Из равенства (6) имеем

(1 [1 1-1 1_1 )"-1 1-1 Xlf(Zl,Z2) = \-j [Р(ег1,ег2)] « е* 1й£} ^(г^)] « ,

где Р(г1, г2) Е Мв. Учитывая оценку (17) для функции Р(г1,г2) и получим

2-2Р ( Г1 1 2-2Р )"-1

(1 + г) а Л га 1 (1+г) а аг} < 1К1[(г1, г2)1 <

2-2Р С Г1 1 2-2Р ^а-1

< (1 - г) а {I та (1 - г) а ¿Ь

или

.а-1

2-2р ( ,1 2 — 2В 1 М

(1 + г)^{вК1, — ,1+-а—Г)\ < Ш^ЪЯ <

2-Ж( (1 2 — 2р 1 \f-1

<(1 — г) « \в(-,--,1+-;г)\

I \а а а ))

отсюда легко приходим к оценке (14).

Усиленные оценки модуля функции и модуля оператора функции в классах функций Мокану порядка Р нами рассмотрены ранее [17,с.38].

Литература.

1.Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функ-ций.//Математический сборник. — 1964. —Т.64/103/.-Москва. —C.628-630.

2. Mocanu P.T. Une propriete de convexite generalize dans la theorie de la representation con-forme.—Math. (Cluj). —1969. —V.11. —№ 1. —Pp.127133.

3. Miller S.S., Mocanu P.T., Reade M.O. All a-convex functions are starlike: Rev. Roum. Math. Pures apple. vol. 17, No9, 1972, pp. 1395-1397.

4.Сижук П.И., Черников В.В.О некоторых свойствах однолистных функций//Математические заметки. —1975. —Т.17. —№ 4. —Москва. —С.563-569.

5.Сижук П.И., Черников В.В.О коэффициентах а — выпуклых функций порядка р //Математические заметки. —1978. —Т.24. —№ 5. —Москва. — С.679-688.

6.Султыгов М.Д. О функции Базилевича нескольких комплексных переменных//Вестник науки и образования. —№7(19). —М.-2016. — С.11-14.

7.Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. —М. — 1991.Издательство «Прометей». —200 с.

8. Султыгов М.Д. О структурных формулах для некоторых классов голоморфных функций в пространстве Сп. // Актуальные проблемы современной науки. -№ 3(82). -Москва. -2015. -С.175-181.

9.Султыгов М.Д. О коэффициентах Тейлора для спиралеобразных функций многих комплексных переменных // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - № 6(1). -Москва. -2015. -С. 17-20.

10. Баврина К.П. Обобщение звездно однолистных функций порядка а на случай двух комплексных переменных //-МОПИ им. Н.К.Крупской. -1972. Выпуск 15. -№2. -С.165-176.

11.Султыгов М.Д. Функции Базилевича многих комплексных переменных.

// III МНПК «Современные тенденции в фундаментальных и прикладных исследованиях». - Рязань. -2015. - С.9-10.

12. Султыгов М.Д. Интегральные представления некоторых классов голоморфных функций в пространстве многих комплексных переменных.// Известия Чеченского государственного педагогического института. -№2(10), -Грозный. -2015. -С. 19-23.

13.Хохлов Ю.Е. О функциях Мокану и Базиле-вича нескольких комплексных переменных//Труды

<<ШЦШМУМ-ШУГМА1>#Щ27)),2©1]9 / PHYSICS AND MATHEMATICS

61

семинара по краевым задачам. - Казгу -1978. -Вып. 15. -С. 132-137.

14. Liczberski P. On a certain family of holomor-phic functions of two complex variables //ZNPL. -Math. -z 11. -No 301. -1977. -PP.57-64.

15.Баврин И.И. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы. - М. -1976. -99 с.

16.Султыгов М.Д. Класс функций Мокану в пространстве Сп,п > 2 //Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - № 1(1).

—Москва. —2016. —С. 22-25.

17.Султыгов М.Д. Усиленные оценки модуля функции и модуля оператора функции в классах функций Мокану // Международный научный журнал «Актуальные проблемы современной науки». —Москва—Будапешт—Вена. — № 3. —2015. —С. 3639.

18.Султыгов М.Д. О функциях Базилевича и Мокану нескольких комплексных переменных // Известия ЧГПИ.—2017.—Т.15.—№ 1 (18). —Грозный. —С. 77-84.

УДК 517.55

Султыгов М.Д.

профессор кафедры математического анализа, кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВО «Ингушский государственный университет», г. Магас

ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ В КЛАССЕ ЗВЕЗДНЫХ ФУНКЦИЙ

ПОРЯДКА a-b

Sultygov M. D.

Professor, Department of mathematical analysis, Candidate of physic-mathematical Sciences, Ingush state University in Magas

QUESTIONS OF GEOMETRIC FUNCTION THEORY IN THE CLASS OF THE STAR FUNCTIONS

OF ORDER a-b

Abstract.

Discusses the issues of geometric function theory of several complex variables in the class star functions of order a - b. Given a criterion of holomorphic functions to the studied class. Obtained two-sided estimates of functionals that play an important role in the theory of odnolistnosti, and built extreme functions that these inequalities turn into an exact equality of some subsets. Are accurate estimates of the amounts that contains the Taylor coefficients in the studied class of holomorphic functions in a domain D с С2, and special classes D6 (T), which can efficiently compute dk k

Аннотация.

Рассматриваются вопросы геометрической теории функций многих комплексных переменных в классе звездных функций порядка а - Ъ. Приведен критерий принадлежности голоморфной функции к изучаемому классу. Получены двусторонние оценки функционалов, играющих важную роль в теории однолистности, и построены экстремальные функции, которые данные неравенства превращают в точные равенства на некоторых подмножествах. Устанавливаются точные оценки сумм, содержащих коэффициенты Тейлора в изучаемом классе голоморфных функций в области D с С2, и выделены специальные классы областей D 6 (T), для которых можно эффективно вычислить dklk2 (f: D).

Ключевые слова. Оператор дифференцирования и интегрирования, гиперконус, поликруг, логарифмически выпуклые полные двоякокруговые области Рейнхарта, двусторонние оценки функционалов, специальные подмножества, экстремальные функции, эффективность коэффициентов Тейлора.

Keywords. The operator of differentiation and integration, hyperrnnus, polydisk, logarithmically convex complete docucrease area Reinhart, two-sided estimates of functionals, special subsets of the extreme functions, efficiency coefficients of the Taylor.

Обозначим через MD —,a + b>1,b<a<b + 1 класс голоморфных функций предста-вимых рядом f(z) = l + E|fc|=i akzk и удовлетворяющих условию

рЖ-aUb. '

\ f(z) I -

Здесь fk = Kn_1[Kn_2 .[Kn_k[f]] .] - суперпозиция операторов [1,с. 10]: Ky[f(z)]=yf(z) + in=iZj^K^m = f, K(n\n_i[f] = Kn_i[f], K0\f] = K0[K0 ...[K0[f[...lKl0[f] = (K0[f])1 и зна-

Ko действует I раз

чение функции

v = v(t, t) выражается в виде определителя матрицы размерности 2п х 2п . Обратным к оператору KY[f(z )] является оператор K-1f(z) = С eY_1f(ez1,..., ezn)de.