Обобщенный класс звездных функций MD (a,b) в CN Текст научной статьи по специальности «Математика»

Султыгов М.Д. ©

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математики, Ингушский государственный университет

ОБОБЩЕННЫЙ КЛАСС ЗВЕЗДНЫХ ФУНКЦИЙ Мв{А,В) В Сп

Аннотация

Рассматриваются вопросы геометрической теории функций многих комплексных переменных обобщенного класса звездных функций, характеризующие специфическую особенность многомерного комплексного анализа. Доказан критерий принадлежности голоморфной функции к изучаемому классу. Получены двусторонние оценки функционалов, играющих важную роль в теории однолистности, и построены экстремальные функции, которые данные неравенства превращают в точные равенства на некоторых подмножествах. Устанавливаются точные оценки сумм, содержащих коэффициенты Тейлора в изучаемом классе голоморфных функций в области D с С2, и выделены специальные классы областейD, для которых можно эффективно вычислить D)

Ключевые слова: Оператор дифференцирования и интегрирования, гиперконус, поликруг, логарифмически выпуклые полные двоякокруговые области Рейнхарта, двусторонние оценки функционалов, специальные подмножества, экстремальные функции, эффективность коэффициентов Тейлора.

Keywords: The operator of differentiation and intégration, hyperconus, polikrov, logarithmically convex complete docucrease area Reinhart, two-sided estimates of functionals, special subsets of the extreme functions, efficiency coefficients of the Taylor.

Обобщенным классом звездных функций MD(A,B);-1 < В < А < 1 назовем множество всех голоморфных в области D с Сп функций f(zlt... zn) = f{z) представимых рядом f{z) = 1 + Y*\k\=1akzk , где

\k\ ШЯП=1ки k! = nn=i'i- и удовлетворяющих условию [1,с.7\.

KJjz) 1+A0(z)

-JW = T+~BQÎTye{z)ESD^.

Здесь fk ='п-1['п-2 .['n-k[f]\ - суперпозиция операторов [2,с.10]: "r[f(z)] = Yfiz) + rn^zj9-^ , ^nH-i[f] = f, 'П-щ-ЛП = 'n-i[f] и значение функции в = v(r, t) выражается в виде определителя матрицы размерности 2п х 2п . Обратным к оператору 'r[f{z )] является оператор R-1f(z) = JQ srf(sz1,... ,szn)ds.

Алгебру всех голоморфных в области D функций будем обозначать символом HÇD). В пространстве HÇD) вводится топология равномерной сходимости на компактных подмножествах D.

Отметим несколько свойств операторов дифференцирования [3,с.132].

'о,':'- H(D) ^ H(D),Y £ R+

n

'rf = Y~f+'«f

Легко видеть, что если f(z )= Гкег% #kzk £ H(D) есть степенное разложение функции

f, то

('of) (z) = ZkezS\k\akzk,zED

© Султыгов М.Д., 2016 г.

и с каждым числом а Е можно связать степень порядка а оператора Я.

(ЯаГ)&) = О (к + 1)аакгк,г Е Б

кЕ2%

Все сказанное ниже об операторах Я и его степенях Яа будет иметь естественные аналоги и для оператора Яо и его степеней ', только следует иметь в виду, что оператор Яо естественно рассматривать (в частности, чтобы определить его дробные степени) на пространстве Н(В), профакторизованном по константам, т.е. на Н(В)/С.

Отметим, что Яа(^) =(ЯаП!; для всех X Е В, где ^- срез-функция, т.е. ^(Л) = f(AX),Z е Б. Эта формула, позволяет сводить многомерные результаты об операторе Яа к одномерным.

Оператор Яа при а > 0 будем называть оператором дробного дифференцирования порядка а, а при а<0 - оператором дробного интегрирования порядка (-а).

Замечание 1. Для упрощения записи все рассуждения ниже проводятся для случая двух комплексных переменных, однако полученные результаты легко переносятся на случай многих комплексных переменных.

Класс Мв (А, В) охватывает ряд известных классов Мэ [2, с. 12] и Мэ (а) [4, с. 165] , а также содержит новые, ранее не описанные классы.

Выделим некоторые подклассы функций из класса МП(А,В). Прежде всего

Я X?)

Мп(1,0)= Мп[2,с.12], а условие (1) в этом случае принимает вид --1 < 1 или

Обозначим через Мв(а,Ъ) класс функций f(z )^(0,0) = 1 представимых рядом

а

< Ъ исследован в [5,с.5].

<2-п2.

f(z) = Е|к|=1 а^к и удовлетворяющих условию

Интересным является класс голоморфных функций Мп —^ +а, ,а + Ъ > 1,Ъ <

а < Ъ + 1 для которой приведен и доказан критерий принадлежности голоморфных функций

гг л \-ira к /'Ь2-а2+а 1-а\

= I¡\к|=oакZк еМв -,—)

Теорема 1[6, с.20]. Функция

гг л * , \-ira к /'Ь2-а2+а 1-а\

= 1+I¡\к|=lакZк еМв -,—)

тогда и только тогда, когда

ch(£Z1,£Z2) й.£

Ъ + (1 — а)h(£z1,£z2) £ где с = Ъ2 — (а — 1)2 и h(z1,z2) Е 4о(0) для которых < 1 в Б.

Подкласс М0(1,1-и),а>22; класса голоморфных функций Мв(А,В) ранее был исследован польскими математиками [7].

Интересными представляются классы функций Мп( а,—а),0<а<1 удовлетворяющих условию звездной однолистности порядка а:

f(Zl,Z2) = ехр

С.

< а.

Обобщениями классов Мп( а, —а) являются классы функций

или даже обще

хк№+кк-1№)

< а

< а,к>1> 0.

Вопрос исследования данных классов функций остается пока открытым. В пространстве Сп вводятся следующие области: гиперконус К1 = {(г1,г2) Е С2: ^ \ + ^2\ < 1} поликруг и~П = {гЕ Сп: \\г\\1 < й},

К1а = ,г ЕС2: (а^^)' + (а2^2\)' < 1,а1,а2 > 0,0 < „ < 1};

логарифмически выпуклая ограниченная полная двоякокруговая область

г-, т л

¥ \iz1_.z2) Е С2:1г1\Р + ^ <1;р = —,т,п,ц Е Ы}

а также множества:

^ = (4а)

{#1^11 = #2^2\} П К1а (5)

^ = = (6)

где

ииШ^Й^пиЦ (7)

"ию = (Г-!г>1г}пии). (8)

= {(а^)' + (.агЫ)'} (10)

и величины:

Yk(|Zll,|z2l)=maxZЕU2RlД2(k),-!^,-!g} , где к = 1,2,3; (11)

а и~21!2(к) определены в (7) - (9).

Теорема 2. [8, с.5]. Для функций f(z1,z2) е М0(А,В) в Бг, где -1 < В < А < 1,0 < г < 1 справедливы оценки:

А-В А-В

(1 — Вг)~ < - <(1 + Вг)~,В Ф 0, (17)

ехр(-Аг) < \^1^2)\ < ехр Аг ,В = 0. (18)

Доказательство теоремы проводится с помощью срез-функций вида ^(Л) = f(Ц),Z е Б и результатами теорем [9, с.313].

Покажем теперь точность полученных оценок (17) и (18) в областях и и"^ !2(к) и построим соответствующие экстремальные функци.

Следствие 1. Пусть f(z1,z2) = 1 + Тл\к\=Аа^к еМК2,а(А,В~). Тогда в имеем оценки:

' А-В А-В

(1-ВШ(Ы^2\))— < \^1, Z2)\<(1+ВШ(\Z1\,\Z2\))—,В Ф0 (1) ехр(-Аш(Ы^2\) ) < \^1^2)\ < ехр Аш(Ы^2\) ,В = 0. (2)

где = {(а^^У + (#2^2\у} .

Следствие 2. Если функция, f(z1,z2) е Ми2 (к) (А, В), то в иЦ, ~2(к)

• 1 2 1,2

справедливы оценки:

А-В А-В

(1 — В ;к(Ы^2\)) В <\^1^2)\<(1 + В ;к(Ы^2\)) В ,ВФ0 (3) ехр(-А ;к(Ы,^\) ) < \^1^2)\<ехр А;к(Ы^\) ,В = 0. (4)

~!Г,^} и к = 1,2,3.

Положим

А-В

V* (г1.г2) = Н1 + + ъе^)} В

(ехр2а~1А(а1е1а1г1 + а2еШ2г2) ,В = 0

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о точности оценок (1), (2), (3) и (4).

Оценки (1) и (2) в случае области К2:1 достигаются функцией ф1 (г1,г2), а для случая области К* „ ф 1 на множестве

(а1|г1| = а21г2\}ПК1* функцией ф*(г1,г2). Наконец, оценки (3) и (4) на множестве = ^Ц2) П и^^ точные и достигаются функцией

{А-В

I 2( Я1 п ,В Ф0

АГе«а1г1 , е«а2г2\ п _

ехР!(—+ —)' В = а

В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы оценки сумм [10,с. 165]:

Ак1ф) = зир^2=0\ак1-к2к2\2 ^112(к1-к2) Ы2Ч Вк1Ф) = ®ир\^кс22=0ак1-к2к2г1к1-к2г^2\ , для всех (г1,г2) Е Л,содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов акък2^,Б) функций из рассматриваемых классов.

Эти коэффициенты оцениваются через характеристики областей ¿к^Г.О) = Зир{1211к11221к2,{21,22) ЕБ^С2}

Поэтому для конкретных областей Б необходимо уметь вычислить dк1,к2(f,Б). Для тех областей Б, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также для бикруга, величины dкк2(f^ Б) вычисляются эффективно. Вычисление величин dкк2(f■ Б) входящих в оценки коэффициентов Тейлора

представляют определенные трудности, которые удается преодолеть для областей Бе (Т). Из множества логарифмически выпуклых полных областей Рейнхарта выделим класс Т, который совпадает с классом выпуклых ограниченных полных двоякокруговых областей с центром в начале координат, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы.

По критерию принадлежности к классу Т ограниченной области Б (Бе (Т)) [11;с.6] существует единственная система положительных вещественных непрерывных функций — = Г)(т*),1 = 1,...п; т* Е А* , таких, что

Б = Цт*ЕА*{г Е Сп■ Ы < П(т*)Л = 1.....п} =

= 1МГ\г*ЕА*{* Е С^^Ы < 1), где А*= {т* = (т1,...,тп-1).0 <Т1<1,0 <Т2 <1 -Т1,...,0 < тп-1 <1--Т1-,... ,-тп-2},

тп = 1 — т1-, . , -тп-1.

Функции Г)(т*) называются радиусом параметризации области Б.

В [12; с.71] показано, что если Б Е (Т) и

Б ^ {г Е Сп:Ы < ф(1г11,.,1гп-11),0 < <К<^,1 = 1,...,п}, —п = ф(г1,.,гп-1) Е С2(Б), то по радиусам параметризации гг,...,гп функция

ф(г1,.,гп-1) определяется решением системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

^ ду(г1,...,Гп-1)

д—

Уп „ дф(—1, ..•>гп-\) „ Л

2-11=1г1 о—, Ф(Г1>—>гп-1)

Радиусы параметризации г1,.,гп-1 области Бе (Т) удовлетворяют

соотношениям:

т

1 дгп о Т д—) л дгп Т)Гп

— = - о -,] = 1,-,п - 1; -----,1 = 1, ...,п - 1.

Т ¿—I Тп — д— д— тп —

- I - ---I _ I Г1 -

—п дС) ¿-^ ТпГ) д—< д—

Радиусы параметризации —1,... ,—п-1 используются в интегральных представлениях, в многомерной геометрической теории функций комплексного переменного при получении оценок и в теории целых функций при описании характеристик роста.

Как доказал А.А.Темляков [13,с.977], границу С2(Бе (Т)) этой области можно представить в следующем параметрическом виде:

Ы=—-(т),1г21=—2(т), 0< Т < 1, где —1(0) = 0, —1(1) <ю, —¡(т) > 0,(0 <т <1) и

—2СО = -¡о^^П—Лт*] , —2(1* = 0.

т-. -> -2 т -1

В частности, при п = 2 отсюда получаем равенство — =--.

г г 1-т г1

Такое параметрическое представление области позволяет эффективно вычислить dkl,k2(D1). Действительно, в этом случае, как легко установить, при к1 + к2 >0 для области Б класса (Т)

d«lЛ2(f:D)=г1kl(^)tlг?2(1l^f\ считая 0» = 1 [1, с.42].

Нетрудно заметить, что dk1,k2(/: и~1Д2) = Я-1 К,2.

Приведем достаточное условие принадлежности f(z1,z2) Е М0(А, В),-1 < В < А < 1 в виде многомерного аналога гипотезы Бибербаха [15].

Как было ранее установлено [10,с.167] в классе функций

f(z1,z2) = T¡kl,k2=oakl,k2z1klz2k2 ЕМв(А,В) оценки коэффициентов Тейлора \ак1,к2^: Б) \ имеют место оценки:

\ak1,k2(f■D) \ <

' —,-1 <В <А<1;

П@к-^1[А-«-1)в]

А В А-2В <1,1к1<2;

<

тш^ол) '

П^ЧА-О-^В] ¡-2 ,А - 1к1В < 1к1 - 1,1к1 < 3.

<|k|(|k|-2)\dkъk2(f■.D)^

Здесь везде 1к1 = к1 + к2.

Для функций f(z1,z2) ='£¡$l|k2=оakl|k2z1klz2k2 ЕМD(А,В) оценки коэффициентов Тейлора в бикруге [14,с.29] имеют вид:

К^Ся^Л <

' А В 1 < В < А < 1;

^ а - 1к1В > 1к1 - 1,1к1 > 2;

<

тнк^к2

,А-2В < 1,1к1 < 2;

'1 "2 А-В

м^к2

¡-2 к'2,А-1к1В < 1к1-1,1к1 < 3.

^№1-2)1 ик^к2

Для функций f(Zl,Z2) = Y%lk2=оakllk2zl1Z2k2 Е МК1(А,В) [14,с.30] в гиперконусе К1 = Е С2:^^ + ^21 < 1], где граница этой области представима в

параметрическом виде:

дК1 = {^¡^2) Е С2: ^I = т, ^21 = 1 - т ,0 < т < 1],

имеют место оценки коэффициентов Тейлора:

К^^) | <

-г; .-1<B<A<1-,

А-В

7кГ~

<

(_Ц_) 1(_к2_) (к1+к2) (к1+к2)

п^ЧА-У-УВ]

(к1+к2) (к1+к2) А-В

,А - \к\В > \к\ - 1, \к\ > 2;

\К\'(к1+к2) (к1+к2)

к2

, А-2В <1,\к\< 2;

П^ЧА-Ц-РВ]

г к ^ к лк~2,А-\к\В<\к\-1,\к\<3.

В качестве последнего примера приведем аналог гипотезы Бибербаха в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области

Орд ^ {(г1,г2) е С2: \2г\* + \г2\* < 1;р = ^,т,п,ц е <}. Отметим, что е (Т) тогда и только тогда, когда р > 1. В области БрА е (Т) радиусы параметризации г1(т) и г2(т) имеют вид [16,с.79]

—1?(т) =

тц

тц + (1 — т)р

к1 к2

,Г1Ч(т) =

(1-т)Ч

тц + (1 — т)р

^ к2(Г-0Ра) = (-О^-У (-Ь^), где о0 = 1,

к1,к2\} \к1а+к1р/ \к1а+к2р/ ' м

и тогда

1#к1,к2(Г:0) ° <

А-В

к2

( кщ ) р ( к2Р )' (к1q+к1p) (к1q+к2P)

П^1[А-(<-1)В]

1<B<A<1-;

,А- \к\В > \к\ — 1, \к\ >2;

<

к1 к2 \к\,( кШ )Р( к2р )д

1 ,'\к1д+к1р) \к1д+к2р)

-—-^ , А-2В<1,\к\< 2;

к1

\к\! ( к1Ч )Р( к2р )д 1 ''\кла+клр) \кла+к2р)

Кк^+к-^р 4=2

1Ч+к2р)

П]к1^1[А-«-1)В]

к1

к2

,А- \к\В < \к\ — 1, \к\ < 3.

l\к\(\к\-2)!(k-kkp)p(k-kkp)

Литература

1. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций. - М.-1976. - 99 с.

2. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. - М.-1976.- 200 с.

3. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - Москва.-1985.-Том 8.275 с.

4. Баврина К.П. Обобщение звездно однолистных функций порядка а на случай двух комплексных переменных //- МОПИ им. Н.К.Крупской -1972. - Выпуск 15.-№2.- С. 165-176.

5. Султыгов М.Д. Об одном подклассе класса М_Б функций двух комплексных переменных // -МОПИ им. Н.К.Крупской.- М.-1982.- 14 с.: Библиограф.:5 назван. - Деп. В ВИНИТИ 23.02.82,№828-82.

6. Султыгов М.Д. Интегральные представления некоторых классов голоморфных функций в пространстве многих комплексных переменных //Известия Чеченского государственного педагогического института. - №2 (10).-2015 г. Серия 1.- С.19-23.

7. Dziubinski J., Sitarski R. On classes of holomorphic functions of many variables starlike and convex on some hipersurfages. //- Demon. Math. - vol.13. - 1980. - pp. 619-632.

8. Султыгов М.Д. О точности оценок в обобщенных классах звездных функций многих комплексных переменных //Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. Материалы XI МНПК. - С-Петербург.-2015.- Том 3. - С. 4-7.

9. Janowski W. Some extremal problems for certain families of analytic functions. //-Ann. Polon. Math. -vol.28.-1973.-pp.297-326.

10. Султыгов М.Д. Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных. //Сб. научных трудов Ингушского государственного университета.-Магас.- 2008.- № 6.- C. 165-173.

11. Темляков А.А. Интегральные представления // Ученые записки МОПИ им.Н.К.Крупской. Матанализ. - М.-1960.-вып.6. - Т.96.- С.3-14.

12. Ионин Л.Д. Круговые и кратнокруговые выпуклые полные ограниченные области в Сп, n 2 и соответствующие им нормы // Мат анализ и теория функций. - МОПИ им. Н.К.Крупской.- М.-1980.-С.69-73.

13. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных //Доклады АН СССР.- Т.120.-№5.-1958.- С.976-979.

14. Султыгов М.Д. Эффективность коэффициентов Тейлора в некоторых областях Рейнхарта // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук.-№9.-2015.- Москва. - С.28-31.

15. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildug des Einheitskreises vermitteln // S.- B. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl. - 1916. -pp. 940-955.

16. Султыгов М.Д. Геометрические свойства функций многих комплексных переменных, голоморфных в областях Рейнхарта // - Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.-1995. - Москва.-103 стр.