CC BY
13
Султыгов М.Д. ©
Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математики, Ингушский государственный университет
ЭФФЕКТИВНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕЙЛОРА В НЕКОТОРЫХ ОБЛАСТЯХ
РЕЙНХАРТА
Аннотация
Рассматриваются вопросы оценки коэффициентов Тейлора в некоторых областях Рейнхарта, которые совпадает с классом выпуклых ограниченных полных двоякокруговых областей с центром в начале координат, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы. На примерах показано, как по радиусам параметризации границ областей Рейнхарта, получены эффективные коэффициенты Тейлора для различных классов голоморфных функций двух комплексных переменных. Для звездно-выпуклых функций получены коэффициенты в бикруге, в гипершаре для функций Мокану с порядком, в гиперконусе для звездных функций с типом и порядком и в последнем примере приведены оценки коэффициентов Тейлора класса спиралеобразных функций в специфической логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области.
Ключевые слова: Коэффициенты Тейлора, радиусы параметризации границы, области Рейнхарта, бикруг, гипершар, гиперконус, звездно-выпуклые функции, тип, порядок, двоякокруговая область.
Keywords: The coefficients of the Taylor series, radius parameterization of the border region Reinhart, bokrug, hyper car, hyper tonus, star-convex function, type, order, docoglossa region.
Область G E С2 называется полной кратнокруговой, если вместе с каждой точкой z = (zlr z2) E G она содержит поликруг
{(z1>Z2)EC2:lz1l<lz(ll,lz2l<lz2^\].
Логарифмически выпуклой такая область называется тогда, когда выпукло множество |G| = {(t^): ti = Zn|zi|,t2 = Zn^: (z^) EDc C2}.
Из множества логарифмически выпуклых полных областей Рейнхарта выделим класс Т, который совпадает с классом выпуклых ограниченных полных двоякокруговых областей с центром в начале координат, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы
[i;c6].
По критерию принадлежности к классу Т ограниченной области D (De (Т)) [Там же;а6] существует единственная система положительных вещественных
непрерывных функций r = r^(r*),i = 1, ...n; т* E А* , таких, что
D = UT*EA*(z E С': |^| < ri(T*),i = 1, ...,n} =
= int П,-еа*{z E С":|z,| < 1},
где А*= {т* = (Ti, ...,T'_i):0 < Ti < 1,0 < T2 < 1 - Ti, .,0 < T'_i <1-Ti-, ...,-T'_2},
T" 1 — Ti-, ■", —T"_i-
Функции ri(T*) называются радиусом параметризации области D.
B [2; c.71] показано, что если D E (Т) и
D = {z E C": |z" < 8(|zil,|z"_i|),0 < |zi| < R < от, i = 1,...,n},
Гг = 8(ri^-,r"_i) E C2(D), то по радиусам параметризации ri, ...,r" функция
8(ri^..,r"_i) определяется решением системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
© Султыгов М.Д., 2015 г.
Tt =
Эу(г1^..,гп_1)
drt
Т?=1П
dy(ri,...,rn_i)
<rf
-8(ri^..,rn_i)
удовлетворяют соотношениям: п \' Tt <rt . <rn Tt rn .
- = - > -----J = 1, ...,n - 1; ------------,! = 1, ...,n - 1.
г,- Z_iTnr, ar; or,- Tn r,-
Радиусы параметризации r1^..,rn_1 области De (Г)
n_1
1 <rn v"1 Tf 3rt 3rT
rn <Tt t ■-n ' t
В частности, при n = 2 отсюда получаем равенство — = —— —
Г? 1_Т Г-1
.2 1_Т Гс
где t G (0,1),r1(0) = 0, Г]_(1) < го,г1(т) > 0 ,r2(1) = 0 впервые введено в [3; с. 977] при описании областей класса (T).
Замечание 1. Для простоты, где это удобно, изложение некоторых результатов проведем для функций /(z1;z2) е H(D е С2).
В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы точные оценки сумм:
1fcc(D) = sup In/oloj
" J2,J2
|Z1|2(fcc_fc2)|Z2|
2J2
®fc1(D)=SUp |EfcC=o afc!_fc2,fc2Z1fcl fc2Z2fc2 l ,
для всех (Z1, z2) е D с С2, содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов afcij2(/:D) функций из рассматриваемых классов. Эти коэффициенты оцениваются через характеристики
JiJ
(/: D) = sup{|Z1|Jl|Z2|fc2,(z1,Z2) е Da С2} .
Поэтому для конкретных областей D необходимо уметь вычислить dfc.j2(/: D). Для тех областей D, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также для бикруга, величины rffcC,fc2(/:D) вычисляются эффективно.
Вычисление величин Vjj2(/:D) входящих в оценки коэффициентов Тейлора
представляют определенные трудности, которые удается преодолеть для областей De (Г). Отметим, что для области D класса (Г)
V*iJ2(/: D) = rJi (щ) rj2 (щ)
считая 0o = 1 [4; с.42].
9Ji 9 J2
Нетрудно заметить, что dfcij2(/: ]ifi,R2)
Как было нами ранее установлено [5; с.6: 6; с.167] в классе функций /(z1j z2) = Z"i,fe2=0afci,fe2 zJiz2fc2 G MD(b, S) оценки коэффициентов Тейлора |afcij2(/:D) | имеют место оценки:
KiJ2(F:D) 1 <
h_B
< <
nqfeJ2+i[h-g-1)B]
|fc|!dfei,fe2(/:D)
h_B
|fc|!dfei,fe2(/:D) '
nqfeJ2+i[h_o-_1)B]
jki,k2 (1:a)
,b- |[|S > |k| — 1, |[| > 2, b-2S < 1,|[ < 2,
,b - |[|S < |[ - 1,|[| < 3.
d|fc|(|fc|_2)!dki,k2(/:D)
Пример 1. Для функций /(z1,z2) = £ оценки коэффициентов Тейлора в бикруге имеет вид:
|afci,fc2(/:]«i,«2)| <
fci,fc2=0 afci,fc2 Z1fciz2fc2
GMD(b,S) [7; с.345]
A-В
R^R? '
< <
nfJ2+1[A-0--i)B]
|J|<r2S2
A-B
|fc|!Rk1Rk2
nq^^2+1[A-g-i)B]
,Л-|[|В> |[|-1,|[| ^2,
, b — 2C < 1, |[| < 2,
,b — |[|C < |[| — 1,|[| < 3.
d |fc|(|fc|-2)! R^2
Пример 2. Для функций /Ой^ = Z“1,fc2=oafc1,fc2 z/^2 G MVD(a,X) [8; c.96: 9; c.70] в гипершаре
С = ((Zi,Z2) G C2: |Zi|2 + |Z2|2 < 1} , где граница этой области представима в параметрическом виде:
= {(zi,Z2) G C2: |zi| = Vt, |z21 = V1 — т,0 < т < l), а оценки коэффициентов Тейлора имеет вид:
I /'/-’г-»?л1 i-{ J1 + U + i fi , 7 ^1 + ^+
|ofc1,fc+(/:5i)| < i-g tIk+ ([ + ^2) 2 , при fci+fc2 = 1.
J 2 j 2 J1 J2
Пример 3. Для функций /(Zi,Z2) = I_°j2=o“fc^fc+zj^J+ GM„(a,X) [10; c.178] в
гиперконусе ~i = {(zi;z2) G C2: |ziH_ |z21 < 1}, где граница этой области представима в параметрическом виде:
<~i = {(zi,Z2) G C2: |zi| = т, |z21 = 1 -t ,0 < t < 1},
(fcT+Tfcr)
имеют место оценки коэффициентов Тейлора: при Х(1 — w) > 1 — X
I°t1,t2(/'~i)| <
< <
—-—k+n>l/-i{(2X — 1)7 + (1 - w)2X}, |[| = 1...M + 1;
|J|!(»1+1k+) (rfe)
iM+if
а при X(1 — w) < 1 — X имеем
|ofc1,fc2(/,D)| <
kJI?=oi{(2X — 1); + (1 — w)2X}, [ > M + 1; 2{(1-|) ,|[| > 1-
2{(i-a) S1"
|fc|l( S1 ) V ) |J|!(fc1+fc2) (fc1+fc2)
где
м
{ii_{l)]-целая часть числа и |[| = £'=]_[;, [! = Or=i [i!
В качестве следующего примера рассмотрим оценки коэффициентов Тейлора класса
Л
голоморфных функций М„а(р,Я, w), 0 < w < р, |Я| < 2 [11; c.170] в логарифмически
выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области
0p,q = {(Zi,Z2) G C2: |Zi|P + |Z2|4 < 1;р = ^,m,n,< G v|.
Отметим, что Dp,q G (Г) тогда и только тогда, когда р > 1.
Имеем [12; c.11]
J1 J+ |fc|-i -
. . /[-.a + [im p /[-.a + [im q 1—r |2(1 — w)e ^сояЯ +/|'
u-0^1 IT----------m—-
Литература
1. Темляков А.А. Интегральные представления // Ученые записки Московского областного педагогического института им.Н.К.Крупской.-1960.-вып.6.Матанализ. - Т.96.- С.3-14.
2. Ионин Л.Д. Круговые и кратнокруговые выпуклые полные ограниченные области в Сп, n > 2 и соответствующие им нормы // Мат анализ и теория функций.- М.-1980.-С.69-73.
3. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных //Доклады АН СССР.- Т.120.-№5.-1958.- С.976-979.
4. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций.- М.-1976.-99 с.
5. Султыгов М.Д. О функциях Мокану порядка / двух комплексных переменных.
Математический анализ и его приложения. - Грозный.- 1984.- C 86 - 100.
6. Султыгов М.Д. Экстремальные вопросы в классе функций Мокану нескольких комплексных переменных. Исследования по теории функций и их приложения к уравнениям в частных производных. - Орджоникидзе.-1986.- C. 66 - 71.
7. Султыгов М.Д. Звездно-выпуклые функции многих комплексных переменных в пространстве Рейнхардта //Сб. научных трудов Ингушского государственного университета.- Магас.- 2004.-№ 2.- C. 333-362.
8. Султыгов М.Д. О функциях Мокану порядка / двух комплексных переменных.
Математический анализ и его приложения. - Грозный.- 1984.- C 86 - 100.
9. Султыгов М.Д. Экстремальные вопросы в классе функций Мокану нескольких комплексных переменных. Исследования по теории функций и их приложения к уравнениям в частных производных. - Орджоникидзе.-1986.- C. 66 - 71.
10. Султыгов М.Д. О структурных формулах для некоторых классов голоморфных функций в пространстве Сп, п > 2 // Актуальные проблемы современной науки. - Москва.-№3.-2015.-С.175-180.
11. Султыгов М.Д. Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных. //Сб. научных трудов Ингушского государственного университета.-Магас.- 2008.- № 6.- C. 165-173.
12. Султыгов М.Д. Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных // Научный вестник ИнгГУ.- №1-2.-Магас.- 2007.-С.5-11.
