CC BY
9<<ШЦШМУМ-ШУГМА1>#Щ27)),2©1]9 / PHYSICS AND MATHEMATICS
61
семинара по краевым задачам. - Казгу -1978. -Вып. 15. -С. 132-137.
14. Liczberski P. On a certain family of holomor-phic functions of two complex variables //ZNPL. -Math. -z 11. -No 301. -1977. -PP.57-64.
15.Баврин И.И. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы. - М. -1976. -99 с.
16.Султыгов М.Д. Класс функций Мокану в пространстве Сп,п > 2 // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - № 1(1).
-Москва. -2016. -С. 22-25.
17.Султыгов М.Д. Усиленные оценки модуля функции и модуля оператора функции в классах функций Мокану // Международный научный журнал «Актуальные проблемы современной науки». —Москва—Будапешт—Вена. — № 3. -2015. -С. 3639.
18.Султыгов М.Д. О функциях Базилевича и Мокану нескольких комплексных переменных // Известия ЧГПИ.-2017.-Т.15.-№ 1 (18). -Грозный. -С. 77-84.
УДК 517.55
Султыгов М.Д.
профессор кафедры математического анализа, кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВО «Ингушский государственный университет», г. Магас
ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ В КЛАССЕ ЗВЕЗДНЫХ ФУНКЦИЙ
ПОРЯДКА a-b
Sultygov M. D.
Professor, Department of mathematical analysis, Candidate of physic-mathematical Sciences, Ingush state University in Magas
QUESTIONS OF GEOMETRIC FUNCTION THEORY IN THE CLASS OF THE STAR FUNCTIONS
OF ORDER a-b
Abstract.
Discusses the issues of geometric function theory of several complex variables in the class star functions of order a - b. Given a criterion of holomorphic functions to the studied class. Obtained two-sided estimates of functionals that play an important role in the theory of odnolistnosti, and built extreme functions that these inequalities turn into an exact equality of some subsets. Are accurate estimates of the amounts that contains the Taylor coefficients in the studied class of holomorphic functions in a domain D с С2, and special classes DE (T), which can efficiently compute dкък2
Аннотация.
Рассматриваются вопросы геометрической теории функций многих комплексных переменных в классе звездных функций порядка а - Ъ. Приведен критерий принадлежности голоморфной функции к изучаемому классу. Получены двусторонние оценки функционалов, играющих важную роль в теории однолистности, и построены экстремальные функции, которые данные неравенства превращают в точные равенства на некоторых подмножествах. Устанавливаются точные оценки сумм, содержащих коэффициенты Тейлора в изучаемом классе голоморфных функций в области D с С2, и выделены специальные классы областей D E (Т), для которых можно эффективно вычислить d^ ^ (f: D).
Ключевые слова. Оператор дифференцирования и интегрирования, гиперконус, поликруг, логарифмически выпуклые полные двоякокруговые области Рейнхарта, двусторонние оценки функционалов, специальные подмножества, экстремальные функции, эффективность коэффициентов Тейлора.
Keywords. The operator of differentiation and integration, hyperrnnus, polydisk, logarithmically convex complete docucrease area Reinhart, two-sided estimates of functionals, special subsets of the extreme functions, efficiency coefficients of the Taylor.
Обозначим через MD (^—,a + b>1,b<a<b + 1 класс голоморфных функций предста-вимых рядом f(z) = l + Y,\k\=iakzk и удовлетворяющих условию
1^1-aUb . "
I f(z) I -
Здесь fk=Xn_1[Xn_2.[Xn_k[f]\.\ - суперпозиция операторов [1,с. 10]: Xy[f(z)]=yf(z) + ZU2!^ K(°l_i[f] = f, K(n\n_i[f] = Kn_i[f], = K0[K 0 ... [X0 0 [f]... ], Xl0[f] = (K0[f]y и зна-
Xq действует I раз
чение функции
v = v(t, t) выражается в виде определителя матрицы размерности 2п х 2п . Обратным к оператору XY[f(z )] является оператор X-1f(z) = С eY_1f(ez1,..., ezn)de.
62
рнтшШ А» МАТИЖМАТШ / <<шушетим-шигмАк>>#з(Ш7)),2©1]9
Теорема 1[2, с.20]. Функция [(г)еМв (^—тогда и только тогда, когда
/(г1,г2) = ехр I
-'п
сЬ(ег1,ег2)
d£
Ь + (1 — а)к(ег1, ег2) е
где с = Ь2 — (а — 1)2 и к(г1,г2) Е 5В(0) [3,с. 10] для которых \1г(г1,г2)\ <1 в Б.
Отсюда сразу следует, что данный класс функций является звездным порядка а — Ъ и тогда класс
функций переобозначим в удобном виде Мв (^—= Мв(а — Ь).
В пространстве двух комплексных переменных вводятся следующие области: гиперконус К1 = {(г1,г2)еС2-.1г11 + 1г21<Ц
бицилиндр ЩъП2 = {(гъг2) Е С2. ^ < < Я2},
К2„ = {гЕ С2. (а^г^ + (а21г21)* < 1,0.1,а2 > 0,0 < а < 1}; (1)
логарифмически выпуклая ограниченная полная двоякокруговая область
т
В.
р,ч
а также множества:
■ {(г1,г2) Е С2.\г1\р + \г2\« <1;р = —,т,п,ц Е
№=™}пК?а,
(. а1 а2 J 1,и
{а= а21?.2\}пк1гу &=112}пи2К1Я2(к),к = 1,2,3;
я*¿1) = №=1вп"и
К,«,(2) = \{
ы >^}п и2
Я2 .
П1#2
1}2
иПЪП2
(2) = {{
' 1 21 1 <\Щпи2
Я2 J
ПЪП2
и величины:
(\ 2.1 \ ,\ 22 \ ) = {(% \ \ У+(а2 \ 2.2 \ >}
\21 \,\22 \ ¥к( \ \ ,\ 2 \) =
тах
икя2
(к)
¡ыт , где к = 1,2,3;
(2)
(3)
(4)
где
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
а и1ъи2 (к) определены в (5) - (7).
Теорема 2. [4,с.5] Для функций [(г1, г2) Е Мв (а — Ь) в Вг = гй, 0 < г < 1 справедливы оценки:
1 — (1 — а)Л1-
Ъ
< \ № \ <
1 — (1 + а)г\1-а Ъ
,аФ1
ехр(—Ьг) < \[(г)\ < ехрЬг,а = 1
Ъ — (Ь2 — а2 + а)г Ь — (1 — а)г
<
№
<
Ъ + (Ъ2 — а2 + а)г Ь + (1 — а)г
Теорема 3. Если функция, [(г1, г2) Е МК2^(а — Ь) , то в К^^ справедливы оценки: ехр(—Ьш(\21\,\г2\)) < \[(г)\ < ехрЬш(\21\,\22\),а = 1
С
'1 — (1 — а)ш(\11\,\12\)\^
\гш =
<
ъ
1 — (1 + а)ш(\21\,\22\)\1-а
аФ1
(10) (11) (12)
(13)
(14)
Ъ
ГЮ
<
Ъ + (Ъ2 — а2 + а)ш(\г1\,\г2\)
Ъ + (1 — а)ш(\21\,\22\) Ь — (Ъ2 — а2 + а)Ш(\21\,\22\)
(15)
Ь — (1 — а)ш(\11\,\12\)
В случае области К^ оценки (13) и (14) точные. Они достигаются двупараметрическим семейством
функций
!ехр(а1г1е1"1 + а2г2е1"2) ,а = 1
(1 — а)(алт.1_е1а1 + а2Т.2е1а2') 1----,а*1
где а1 и «2- любые вещественные числа. В случае области К^, 0 < а < 1 оценки (14) и (15) также точные на множестве (1) и достигаются они функциями
с
с
и
с
V
V
«ш^шетим-^шгмАьотжш©^ / рнтшШ АМ© МАТНИМАТИШ
63
ехр2а 1(а1г1е1"1 + а2г2еш2) ,а = 1
Ф2(г!,г2) = < (1 — а)2а-1(а1г1е1а1 + а2г2е1а2)
,аФ 1.
Теорема 4. Если функция, [(г1,г2) Е М(]2 ^ (а — Ь), то в и^ ^ справедливы оценки (20)-(23), в ко-
торых равенство
ш^г^, и20 = {(а^г^ + (а^^] заменено равенством у^г^, = тах {г11, V1]
} гЕиЪ „_ (к) я2->
(а^г^У +
к = 1,2,3. Эти оценки точны на множестве (10) и достигаются функциями
Ъ(г1е1а1 г2е1а2
-'К1Д2
где
еХР2\ Н1
+
Й7
,а = 1
1 — а(г1еШ1 г2е1а2 1 ^^^^^— + ^—),а Ф 1.
Фз(гъг2) = <
1
1 +-
2Ъ \ И1 И2
В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы оценки сумм [5,с.165]:
Ак. ф) = Бир
щ^у --г ¿-1к2=о\ак1-к2к2\
1211
2(к1-к2) к1-к2 к2 I
Вк1(Ю = зир\£кк1=оак1-к2к2211 к^
для всех (г1,г2) Е Д,содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов акък2 (/, О) функций из рассматриваемых классов.
Теорема 5. Для функций ¿2) = 1+ 1,^=1 акгк ЕМв(а — Ъ) при |&| Е И-+ справедливы оценки функционалов:
АкМ'-Ю = эир ^ \ак1
— к2 к2
Ы2^-™^2^ < ь2к1
к2=0
Вк. (Г: Б) = Бир
I
к2 = 0
ак1-к2 к2г1
кл—к2 к2
<
где
1к1=1к1(0) =
1 Г1с + (] — 1)(а — 1)
к^.
П
1=1
Ь
,к1<р — 1,
—П
к1(р — 1).П
с + (] — 1)(а — 1) Ъ
,к1>р — 1,
а + Ь>1,Ь<а<Ь + 1,а + Ь<р,рЕг,с = Ь2 — (а — 1)2.
Достаточное условие принадлежности [(г) Е Н(В с С2) к классу функций Мв (а — Ь) содержит следующее предложение:
Теорема 6. Функция [(г1, г2) принадлежит классу функций Мв(а — Ь), если ее коэффициенты допускают оценку
ак1,к2(Г,°) = '
1
1к1йк1М(Г:0)
1к1
П
1=1
с + (] — 1)(а — 1)
Ь
,1к1<р — 1,
1к1(р — 1).акък2(!:В)
П
1=1
с + (] — 1)(а — 1) Ъ
,1к1>р — 1.
Эти коэффициенты оцениваются через характеристики областей
^к1:к2^: = зирИгХ1^2, (21,22) ЕБ с С2} Для конкретного вида области О важно уметь вычислить <Лкък2([,О). С целью получения эффективных оценок коэффициентов Тейлора возникает вопрос о выделении специальных классов областей О, для которых можно эффективно вычислить к (/: О). Пусть й1 Е (Т) -та область О, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне. Как доказал А.А.Темляков [6], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде: = г^т), 1г21 = г2(т), 0< т < 1, где г1(0) = 0, г1(1) <®, г'(т) > 0, (0 < т < 1) и г2(т) = Я2ехр [— г1(т)] , г2(1) = 0. Такое пара-
метрическое представление области й1 Е (Т) позволяет эффективно вычислить &кък2([:01) Действительно, в этом случае, как легко установить, при |&| = к1 + к2 >0
¿ыМ.01Е(Т) )=r1kl(J^)r2k2(1^),
, считая 00 = 1.
2
2
2
1
к
1
<
64
PHYSICS AND MATHEMATICS / «ШУШ(Ш1УМ-ШУГМА1>>#3(Ш7)),2©1]9
Заметим, что если область D бицилиндр UR2iR2 = {lz1l < R1, lz2l < R2] , то dklk2{f, UR2iR2 ) = R^
R22. Итак, в случае тех областей Б, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также в случае бицилиндра оценки коэффициентов Тейлора являются эффективными.
Теорема 7. Для функций [(г-1, г2) Е Ми2 (а — Ъ), имеем эффективные оценки коэффициентов Тейлора вида:
lk1,k2(f'Uli1,R2) =
_П1к1 с+и-Ша-1) lkl<p
1
1,
AkKp-iy-R*1^2 4=1
12
Теорема 8. Для функций[(г1,г2) Е МК1(А,В) в гиперконусе К1 = {(г1,г2) Е С2. \г1\ + \г2\ < 1}, где граница этой области представима в параметрическом виде: дК1 = {(г1,г2) Е С2. \г1\ = т, \г2\ = 1 — т ,0 < т < 1},
dkik2(f- Ю = {k^) 1 {k+r)
1,^2) k2
Kki + k2/
имеем эффективные оценки коэффициентов Тейлора:
lkllkl-1nk
| k| c+(j-1)(a-1)
b
k1 1k2
Ükl-1UP C+(j-1)(d-1)
,lkl <p - 1,
lkllkl-1Wj=i
b
,lkl > р - 1.
(Р — 1)\к1к1к2к2
В качестве последнего примера приведем оценки коэффициентов в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области
■ {(г^) Е С2. \Z1\P + № <1;р = ^,т,п,Ч Е л}. Отметим, что Орл Е (Т) тогда и только тогда, когда р > 1. В области Ор ч Е (Т) радиусы параметризации г1(т) и г2(т) имеют вид
ТЯ ^ (1—?)Ч
Г1Р(Т) =
Tq + (1- т)р
к2 ч
,Г1«(т)=-
тq + (1 — т)р '
*кл кЛГ-. = , где 00 = 1,
къ^Ч \к1Ч+к2р) \к1Ч+к2р) '
Теорема 9. Эффективные коэффициенты Тейлора в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Орл имеют вид:
41,k2(f'-Dp,q)]l <
\k1q + k2P)i1£?kPrt«1C + (1-l)(a-1)
k± k2 M(k1q)p(k2p)4
k1<i+k2p c + (j-1)(a-1) (k1q + k2p) p4 nPp=1-Ц b -
k± k2 Ikl(p-l)\(kiq)p(k2p)4 Все результаты работы публикуются впервые.
,1kl <р-1,
,lkl >р-1
Литература.
1. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М. 1976. 200 с.
2.Султыгов М.Д. Интегральные представления некоторых классов голоморфных функций в пространстве многих комплексных переменных //Известия Чеченского государственного педагогиче-
ского института. —№2 (10).—2015 г. Серия 1. С.19-23.
3. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы. — М. —1976.—99 с.
4.Султыгов М.Д. О точности оценок в обобщенных классах звездных функций многих ком-
плексных переменных //Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. Материалы XI МНПК. - С—Петербург.-2015.- Том 3. - С. 4—7.
5. Султыгов М.Д. Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных. //Сб. научных трудов Ингушского государственного университета. - Ма-гас.- 2008.- № 6.- C. 165-173.
6. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных //Доклады академии наук СССР.-1958.-Т.-120. -№5.
©М.Д.Султыгов,2019
1
